不等式组的解集的四种情形

一元一次不等式组解集的四种情况示例文章篇一：《一元一次不等式组解集的四种情况》嗨，小伙伴们！今天咱们来聊聊一元一次不等式组解集的四种情况，这可超级有趣呢！咱们先来说第一种情况。

想象一下，有两个不等式，就像两个小伙伴在争地盘。

如果一个不等式是x > a，另一个是x > b，这里a和b是两个数哦。

那这个不等式组的解集是啥呢？这就好比两个人都想要更大的地方，那肯定是取更大的那个数呀。

所以这个不等式组的解集就是x > 最大的那个数。

比如说，一个不等式是x > 3，另一个是x > 5，那这个不等式组的解集就是x > 5。

这多简单呀，就像两个小朋友抢糖果，谁要的更多就听谁的。

你们看，是不是很好理解呢？再来说第二种情况啦。

要是一个不等式是x < a，另一个是x < b呢？这就像是两个小懒虫，都想找个最小的地方躲起来。

那这个时候，解集就是x < 最小的那个数。

比如说x < 2和x < 4，那解集就是x < 2。

这就好像是两个小动物找洞穴，越小的洞穴越能让它们觉得安全，所以就选最小的那个啦。

第三种情况有点不一样咯。

如果一个不等式是x > a，另一个是x < b，这里a比b 小。

这就像是两个人，一个想往大的地方去，一个想往小的地方去，那中间的部分就是他们都能接受的啦。

这个时候不等式组的解集就是a < x < b。

就像在一条路上，一个人想走到3这个位置之后，另一个人想走到7这个位置之前，那3到7之间的路就是他们都能走的啦。

比如说x > 1和x < 5，那解集就是1 < x < 5。

这是不是很像两个人在商量一个共同的活动范围呀？最后一种情况呢。

要是一个不等式是x < a，另一个是x > b，这里a还比b小。

这就像两个人的要求完全相反啦，一个要小的地方，一个要大的地方，而且大的地方还在小的地方左边，这怎么可能同时满足呢？所以这个不等式组就没有解啦。

一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。

如：，。

要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。

知识点二：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。

(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：知识点三：一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

解一元一次不等式组的一般步骤为：(1)分别解不等式组中的每一个不等式；(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).要点诠释：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；（5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案。

要点诠释：在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。

《一元一次不等式组》教案《一元一次不等式组》教案1教学建议一、知识结构本书首先结合实例引入一元一次不等式组的解集的概念，然后通过三个例题说明利用数轴解一元一次不等式组的方法，最后对一元一次不等式组的解法步骤进行了总结．二、重点、难点分析本节教学的重点是掌握一元一次不等式组的解法步骤并准确地求出解集．难点是正确应用不等式的根本性质对不等式进行变形、求不等式组中各个不等式解集的公共局部．不等式在中学代数中是研究问题的重要工具，例如求函数的定义域、值域、研究函数的单调性，求最大值、最小值，一元二次方程根的讨论等，都要用到不等式的知识．不等式也是进一步学习其他数学内容的根底．学习和掌握不等式的求解和不等式的证明方法，对培养学生逻辑思维能力也有极其重要的作用．在处理解不等式的问题中，一元一次不等式组的解法，具有特别重要的意义．这是因为，解各类不等式的问题都可以归结为解一些由简单不等式所组成的不等式组．1、在构成不等式组的几个不等式中①这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数；②这里的“几个〞并未确定不等式的个数，只要不是一个，两个，三个，四个……都行．2、当几个不等式的解集没有公共局部时，我们就说这个不等式组无解．3、由两个一元一次不等式组成的不等式的解集，共归结为下面四种根本情况：①其中第〔4〕个不等式组，实质上是矛盾不等式组，任何数都不能使两个不等式同时成立。

所以说这个不等式组无解或说其解集为空集。

②从上面列出的表中，我们可以概括出来不等式组公共解的一规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找。

三、教法建议1．解本节的引例及例1、例2、例3时，注意把解不等式组的思路讲清楚，即先分别解每一个不等式，求出解集，再求这些解集的公共局部．求公共局部的过程一定要结合数轴来讲。

2．这节课的讲解自始至终要突出解不等式组的根本思想以及解一元一次不等式组的步骤这两个重点．准确熟练地解一元一次不等式以及用数轴上的点表示不等式的解集是这节课的根底，因此讲新课之前要复习提问这些内容。

不等式与不等式组1．“a 与3的差是非负数”用不等式表示为 A ．30a -> B ．30a -< C ．30a -≥D ．30a -≤2．下列各式中，属于一元一次不等式的是 A ．320x ->B ．25>-C ．321x y ->+D ．135y y+<3．如果a b >，那么下列各式中正确的是 A ．33a b -<- B ．33a b < C ．a b ->-D ．33a b -<-4．明明准备用自己节省的零花钱充值共享单车“摩拜”，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设x 个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是 A ．3045300x -≥ B ．3045300x +≥ C ．3045300x -≤D ．3045300x +≤5．不等式215x -≤的解集在数轴上表示为ABCD一、不等式的概念、性质及解集表示 1．不等式一般地，用符号“＜”（或“≤”）、“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不课前检测知识梳理等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的基本性质温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．3．不等式的解集及表示法（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．二、一元一次不等式及其解法1．一元一次不等式不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．三、一元一次不等式组及其解法1．一元一次不等式组一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．2．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．3．一元一次不等式组的解法先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解． 4．几种常见的不等式组的解集设a b <，a ，b 是常数，关于x 的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：不等式组 （其中a b <）数轴表示解集口诀x ax b ≥⎧⎨≥⎩ x b ≥ 同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩ x a ≤ 同小取小x ax b ≥⎧⎨≤⎩ a x b ≤≤ 大小、小大中间找x ax b ≤⎧⎨≥⎩无解 大大、小小取不了考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下： （1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示； （2）利用一次函数图象解一元一次不等式； （3）求一元一次不等式组的最小整数解； （4）求一元一次不等式组的所有整数解的和． 四、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案． 考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．考向一 不等式的定义及性质考点突破（1）含有不等号的式子叫做不等式．（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．典例1 数学表达式：①57-<；②360y ->；③6a =；④2x x -；⑤2a ≠；⑥7652y y ->+中，是不等式的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个典例2 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是A ．P ＞R ＞S ＞QB ．Q ＞S ＞P ＞RC ．S ＞P ＞Q ＞RD ．S ＞P ＞R ＞Q1．“数x 不小于2”是指 A ．2x ≤ B ．2x ≥ C ．2x <D ．2x >2．利用不等式的基本性质求下列不等式的解集，并说出变形的依据：（1）若20122013x +>，则x __________；（2）若123x >-，则x __________；（3）若123x ->-，则x __________；（4）若17x->-，则x __________．考向二 一元一次不等式的解集及数轴表示（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．典例3 不等式2723x x--≤的解集为________________．典例4 某不等式的解集在数轴上表示如下图所示，则该不等式的解集是A ．2x ≥B ．2x >-C ．2x ≥-D ．2x ≤-3．不等式215x ->-的解集为 A ．2x > B ．1x > C ．2x >-D ．2x <4．不等式3223x x +<+的解集在数轴上表示正确的是 A ． B ．C ．D ．考向三 一元一次不等式组的解集及数轴表示不等式解集的确定有两种方法：（1）数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来； （2）口诀法：“大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了．”典例5 不等式组10251x x -≤⎧⎨-<⎩的解集为A ．2x <-B ．1x ≤-C ．1x ≤D ．3x <典例6 一元一次不等式组201103x x -≤⎧⎪⎨+>⎪⎩的解集在数轴上表示出来，正确的是A ．B ．C ．D ．【名师点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．不等式组31x x ><⎧⎨⎩的解集是A ．3x >B ．1x <C ．13x <<D ．无解6．将不等式组1010x x +≥->⎧⎨⎩的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是A ．B ．C ．D ．考向四 一元一次不等式（组）的整数解问题此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解即可．典例7 若实数3是不等式220x a --<的一个解，则a 可取的最小正整数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【名师点睛】本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解的定义及解不等式的能力是解题的关键．典例8 不等式组101102x x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩的最小整数解是A ．1B ．2C ．3D ．47．不等式3(2)4x x -≤+的非负整数解有_______________个．8．不等式组301 32x x --≥⎧⎪⎨>-⎪⎩的所有整数解之和为_______________．考向五 求参数的值或取值范围求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可．典例9 若关于x 的不等式组2x a x >⎧⎨<⎩的解集是212a x -<<，则a =A ．1B ．2C ．12D ．2-典例10 已知不等式组3(2)1213x x a x x --<⎧⎪+⎨>-⎪⎩仅有2个整数解，那么a 的取值范围是A ．2a ≥B ．4a <C ．24a ≤<D ．24a <≤【名师点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解．已知解集（整数解）求字母的取值或取值范围的一般思路：先把题目中除了未知数以外的字母当做常数看待，解不等式组，然后再根据题目中对结果的限制条件得到有关字母的式子，求解即可．学科@网9．若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为A ．23m >-B ．23m ≤C ．23m >D ．23m ≤-10．若关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有2个，则m 的取值范围为______________．考向六 一元一次不等式（组）的应用求解此类题目的难点是建立“不等式（组）模型”，通过求解不等式（组）的解集并与实际相结合即可．典例11 某市天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元．某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数为 A ．至少20户 B ．至多20户 C ．至少21户D ．至多21户典例12 某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送3本，则剩余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题：（1）用含x的代数式表示m；（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数．11．某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2 h，乙机器人工作4 h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3 h，乙机器人工作2 h，一共可以分拣650件包裹．（1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；（2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？12．在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中，栾城区污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对城区周边污水进行处理．已知每台A型设备价格为12万元，每台B型设备价格为10万元；1台A型设备和2台B型设备每周可以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？（2）要想使污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，但每周处理污水的量又不低于4500吨，请你列举出所有的购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金是多少万元？1．（3分）不等式组的解集为（ ）A ．﹣2＜x ＜4B ．x ＜4或x≥﹣2C ．﹣2≤x ＜4D ．﹣2＜x≤42．（3分）若不等式组有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＜﹣36B ．a≤﹣36C ．a ＞﹣36D ．a≥﹣36 3．3分）不等式组的整数解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（3分）当x 满足时，方程x 2﹣2x ﹣5=0的根是（ ） A ．1±B ．﹣1 C ．1﹣D ．1+5．3分）当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞1B ．m ＜1C ．m ＞4D ．m ＜46．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩，的解集为2x <．则k 的取值范围为（ ）A ．1k >B ．1k < C.1k ≥ D ．1k ≤7．某经销商销售一批电子手表，第一个月以600元/块的价格售出60块，从第二个月起降价，以550元/块的价格将这批电子手表全部售出，销售总额超过了58．万元，这批手表至少有 A ．100块 B ．101块 C ．103块D ．105块8．若不等式1ax x a +>+的解集是1x <，则a 必须满足的条件是A ．1a <B ．1a <-达标测评C ．1a >-D ．1a >9．已知不等式组3010x x ->⎧⎨+≥⎩，其解集在数轴上表示正确的是A ．B ．C ．D ．10．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 A ．40%B ．33.4%C ．33.3%D ．30%11．已知关于x 的不等式组023x b x -≤⎧⎨-≥⎩的整数解有4个，则b 的取值范围是A ．78b ≤<B ．78b ≤≤C ．89b ≤<D ．89b ≤≤12．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是A ．23x x ≥⎧⎨>-⎩B ．23x x ≤<-⎧⎨⎩C ．23x x ≥⎧⎨<-⎩D ．23x x ≤>-⎧⎨⎩13．适合不等式组51342133x x x ->-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩的全部整数解的和是A ．1-B ．0C ．1D ．21．（2017•株洲）已知实数a ，b 满足11a b +>+，则下列选项错误的为 A ．a b >B ．22a b +>+C ．a b -<-D ．23a b >2．（2017•眉山）不等式122x ->的解集是 A ．14x <-B ．1x <-C ．14x >-D ．1x >-3．（2017•六盘水）不等式963≥+x 的解集在数轴上表示正确的是ABCD4．（2017•遵义）不等式6438x x -≥-的非负整数解有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个5．（2017•西宁）不等式组2131x x -+<⎧⎨≤⎩的解集在数轴上表示正确的是A ．B ．C ．D ．6．（2017•绥化）不等式组1313x x -≤⎧⎨+>⎩的解集是实战演练A ．4x ≤B ．24x <≤C ．24x ≤≤D ．2x >7．（2017•广西四市）一元一次不等式组⎩⎨⎧≤+>+31022x x 的解集在数轴上表示为A ．B ．C ．D ．8．（2017•德州）不等式组2931213x x x +≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩的解集为A ．3x ≥B ．34x -≤<C ．32x -≤<D ．4x >9．（2017•自贡）不等式组12342x x +>⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上正确的是10．（2017•百色）关于x 的不等式组0230x a x a -≤⎧⎨+>⎩的解集中至少有5个整数解，则正数a 的最小值是 A ．3 B ．2 C ．1D ．23。

不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +⇒> ca b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ． 二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。

如1-≤x 或x <-1等。

x <②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。

典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。

A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．思考题．设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．y k 2x(第3题图)【经典练习】一、选择题（每小题2分，共36分）1、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞82、下列不等式一定成立的是（ ） A 、5a ＞4aB 、x +2＜x +3C 、－a ＞－2aD 、aa 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 *5、若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）A 、m ＞23，n ＞－31B 、m ＞3，n ＞－3C 、m ＜23，n ＜－31D 、m ＜23，n ＞－31*8、 下列说法中，正确的有（ ）.① 若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，则22am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9、 下列说法正确的是（ ）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集10、 若a-b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）.A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、ab＜0 D 、-a ＞-b11 不等式5x-1≤24的正整数解有（ ）.A 、4个B 、5个C 、6个D 、无限多个 **12 实数b 满足|b |<3，并且实数a 使得a <b 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、小于或等于3的实数 B 、 小于或等于－3的实数 C 、小于－3的实数 D 、 小于3的实数 13、 若4x <-，则下列不等式中正确的是（ ）. A ．x 2≥－4x B 、x 2≤－4x C 、 x 2>－4x D 、 x 2<－4x*14、关于x 的方程2435x a x b++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、35a b > B 、 b ≥53aC 、5a =3bD 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成立的x 的最大正整数值为（ ）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（ ）. A 、57-<-B 、5>3C 、0a 12>+D 、a a ->**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A 、10<m <15 B 、10≤m ≤15 C 、10<m ≤15 D 、10≤m <15 18、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）. A 、1y x 21<- B 、02x 3x 2>+- C 、2x141x 2+=+ D 、x 61x 31x 21>+二、填空题（每小题2分，共36分）1、不等式6－2x ＞0的解集是________.2、当x ________时，代数式523--x 的值是非正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m-28. 4、若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.5、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.6、已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.*7、某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.8、5m-3是非负数，用不等式表示为______. 9、不等式238654x--<-<-的解集为______.10、当a b >，则2ab b <成立的条件是______.*11、明明的语文、外语两科的平均分为m 分，若使语文、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满足的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，用“＜”或“＞”|号填空：11(1)_____;(2)100_____100;22(3)1.5_____1.5;(4)_____.1212a b a b a ba b --++--13、不等式的性质：（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的非负整数解是________.17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,2103y y --<,7x +5≥5x +6中, 一元一次不等式有_____个,它们是_____________________.三、解答题1、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（每题4分共16分） （1）3（1-x ）-2（x+8）<2； （2）3（x+3）-5（x-1） ≥7； （3）132+-x ≤42+x ；（4）)69(6123--x x ≥7+x ．3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。

不等式组的解集规律1.不等式组的解集有四种情况：①同大取大，②同小取小，③大小小大取中间，④大大小小是无解。

2.同解指两个不等式组具有相同的解集3.有关不等式组解集的问题可借助数轴画图，运用数形结合的思想解决。

【例1】如果关于x 的不等式组2030x a x b -≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有x =2、x =3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个【例2】已知关于x 的不等式组5310x a x -≥-⎧⎨-⎩<无解，则a 的取值范围是 。

【例3】若不等式组237635x a b b x a-⎧⎨-⎩<<的解集是5<x <22，求a ，b 的值【例4】若关于x 的不等式组2123x a x b -⎧⎨-⎩<>与不等式组()351235112x x -⎧-⎪⎨⎪-+⎩<<的解集相同，求代数式()()11a b +-的值。

1.若关于x 的一元一次不等式组0231x a x -⎧⎨-⎩><恰有2个负整数解，则a 的取值范围是 。

2.若关于x 的不等式组324x a x a +⎧⎨-⎩<>无解，则a 的取值范围是（ ） A.3a ≤- B.a <－3 C.a >3 D.3a ≥3.若关于x 的一元一次不等式组()63191x x x m -+-⎧⎪⎨--⎪⎩<>的解集是x >3，则m 的取值范围是（ ）A.m>4B.m≥4C.m <4D.m≤44.关于x 的不等式组32223x b a a x b +⎧⎪⎨+≤⎪⎩>与不等式组31234x x +-⎧⎨+≤⎩>，同解，则a = ，b = 。

5.已知关于x 的不等式组12x m x m -⎧⎨--⎩<>的解集中任意一个x 的值都不在一1≤x ≤2的范围内，则m 的取值范是（ ）A.24m -≤≤B.m ≤－2或m ≥4C.24m -<<D.m <－2或m >46.不等式组()()11132412x x x x a -⎧--⎪⎨⎪-≤-⎩<恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A.65a -≤-<B.－6<a ≤－5C.－6<a <－5D.－6≤a ≤－57.若不等式组200x a x b -+≤⎧⎨-≤⎩的解集为12x -≤≤（1）求a 、b 的值；（2）解不等式ax+b<0，并把它的解集在下面的数轴上表示出来。

不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。

例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。

不等式与不等式组（3）七年级数学同步复习（十一）一、知识要点：1、一元一次不等式组的概念。

二、应用举例：【例1】（07南京试题）不等式组⎩⎨⎧≤--0112x x 的解集是（ ）。

A 、x ﹥－1 B 、x ﹤－1 C 、x ≤1 D 、－1﹤x ≤12解集在数轴表示如下：∴原不等式组的解集为：－2﹤x ≤1（大小、小大中间夹）。

【例2】不等式组⎩⎨⎧2 x kx 无解，则k 的取值范围是（ ）。

A 、k =2B 、k ﹥2C 、k ≤2D 、k ≥2分析：根据大大、小小无解集，可得k 是较大的数，2是较小的数（但k 可以等于2）即：k ≥2。

【例3】不等式组⎩⎨⎧≤--0112x x 的整数解是：__________________。

分析：先求出不等式组的解集－1﹤x ≤1，再从中选出整数：0和1。

3、不等式组⎩⎨⎧+++1159m x x x 的解集是x ﹥2，则m 的取值范围是（ ）。

A 、m ≤2B 、m ≥2C 、m ≤1D 、m ﹥14、（2007潍坊试题）幼儿园新购进的一批玩具分给小朋友，若每人分3件，那么还剩59件；若每人分5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，则有_____位小朋友，共有______件玩具。

5、（2007杭州试题）暑假小张一家为体验生活，自驾车外出旅游，计划每天的行驶路程相同。

如果汽车每天比原计划多走19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天比原计划少走12公里，那么行驶同样的路程需要9天多的时间，求这辆车原计划每天行驶多少公里？班级：___________ 姓名：___________ 成绩___________ 【作业：】。

解题宝典不等式知识贯穿于高中数学的各个章节，其题型多变，且综合性较强.常见的不等式问题主要有求不等式的解集、比较两式的大小、证明不等式恒成立等.本文重点探讨这三类常见的不等式问题及其解法.一、求不等式的解集求不等式的解集是一类基础题，主要考查不等式的解法.对于一次不等式，可直接根据系数的正负来确定不等式的解集；求二次不等式的解集，需借助方程的判别式和求根公式来；对于三次或三次以上的不等式，需先将不等式中的因式分解为几个式子的乘积的形式，然后运用“穿针引线法”来求得不等式的解集.例1.解关于x 的不等式2ax -a 2>1-x ()a >0.解：由题意可得，原不等式等价于ìíîïï2ax -a 2>0,1-x ≥0,2ax -a 2>()1-x 2,①，或{2x -a 2≥0,1-x <0,②由①可得ìíîïïïïx >a 2,x ≤1,x 2-2()a +1x +a 2+1<0,由②可得ìíîïïx ≥a 2，x >1，∵Δ=4()a +12-4()a 2+1=8a >0，∴x 2-2()a +1x +a 2+1<0解集为a +1-2a ＜x＜a +1+2a ；（1）当0＜a ≤2时，a2≤a +1-2a ≤1,a +1+2a >1，不等式组①的解集为a +1-2a <x ≤1，不等式组②的解集为x >1，（2）当a >2，不等式组①无解，不等式组②的解集为x ≥a 2.在求二次不等式的解集时，我们首先要将不等式进行变形，使不等式的右边为0，然后根据方程的判别式判断不等式左边式子所对应的方程是否有根.若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式求出方程的两根，得到不等式的解集；若Δ=0，便可根据函数的图象得到不等式的解集.二、比较两式的大小比较两式的大小一般采用作商比较法或者作差比较法.在解题时，要先将两式作差或者作商，再将差值与0进行比较，即ìíîïïa -b >0⇔a >b ,a -b =0⇔a =b ,a -b <0⇔a <b ,将商值与1进行比较，即ìíîïïïïïïïïa b >1⇔a >b ,ab =1⇔a =b ,a b<1⇔a <b ,.例2.已知a >2，b >2，比较a +b 与ab 的大小关系.解：a +b ab =1b +1a，∵a >2，b >2，∴1a <12，1b <12，∴a +b ab =1b +1a<1，∴a +b <ab .在用作商比较法比较两式的大小时，要注意两式的符号，一般只有在两式同号时才能进行比较.三、不等式恒成立问题解答不等式恒成立问题的关键是，将不等式转化为函数最值问题来求解.首先，要将不等式进行变形，以便构造出合适的函数模型，然后求出函数的最值，建立使不等式恒成立的新关系式，从而使问题得解.例3.当x ∈()1,2时，不等式x 2+mx +2>0恒成立，求m 的取值范围.解：当x ∈()1,2时，不等式x 2+mx +2>0恒成立等价于m >-æèöøx +2x 在x ∈()1,2时恒成立，即m >éëêùûú-æèöøx +2x max ，∵x ∈()1,2，∴-æèöøx +2x ≤-22，当且仅当x =2x,即x =2时等号成立，∴m ＞éëêùûú-æèöøx +2x max =-22，即m 的取值范围为()-22,+∞.在变形不等式时，我们有时候需把参数、变量分离，有时需把不等式分离为两个常规的简单函数.求不等式的解集、比较两式的大小、求解不等式恒成立问题都是不等式中常见的题型.当然，不等式题目还有很多种类型，同学们在日常学习中要学会总结各类题型及其解法，这样在面对不同类型的不等式问题时，能快速找到清晰的思路以及正确的解题方法.（作者单位：新疆阿克苏地区第二中学）洋42。

一元一次不等式和一元一次不等式组一、概念：定义1：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

定义2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。

）定义3：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。

定义5：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

定义6：一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。

定义7：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

定义8：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

二、基本性质：“等式的基本性质”和“不等式的基本性质”（1）等式的基本性质：等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立如果a=b，那么a±c=b±c等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成立如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）（2）不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点？不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同.三、相关知识归纳：（一）、将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：1、指示线的方向,“>”向右,“<”向左.2、不等式的解集在数轴上表示时,当解集的符号是“≥”或“≤”时,用实心圆点表示,当解集的符号是“＞”或“＜”时,用空心圆圈表示。

不等式的基本性质及其解集【知识要点一】等式与不等式的基本知识对照表：等式不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式 两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变【知识要点二】1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值.2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解.3.解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.4.不等式解集的表示方法：a.用不等式表示：如32≥+x 的解集表示为：1≥xb.在数轴上直观表示如图： 如：a x >b x ≤b x a <≤ 【经典例题】例1.将下列不等式化为""a x >或""a x <形式（1）97<-x（2）145->x x （3）231>x （4）155<-xabba例2.在数轴上表示下列不等式的解集 （1）3-≥x （2）211<x （3）212321<≤-x （4）2||<x例3.求不等式212-≥-x 的非负整数解.练习：求出不等式431≤-≤-x 的解集，并求出其整数解．例4．已知02≤+x ，化简13222+-++x x例5．指出下列不等式成立的条件1．当0>a 时，0>ab 2．当0>a 时，0<ab3．当0<a 时，0<ab 4．当0<a 时，0>ab例6.如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围. 练习：1. ①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.2. 如果关于x 的方程323bx a x +=-的解是正整，求a 与b 的关系.例7.已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.☆基础探究☆1.由y x >得到ay ax <的条件是（ ） A 、0>aB 、0≥aC 、0<aD 、0≤a2.若m 为有理数，下列不等式关系不一定成立的是（ ）A 、m m +>+79B 、m m -<-43C 、m m 46>D 、0||4≥m3.已知b a ,两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） A 、b a > B 、0<ab C 、0>-a b D 、0>+b a4.下列各数0,3,2.5,,4,21π-中,能使不等式12>-x 成立的是（ ） A 、-4，π，5，2 B 、π，5，2 C 、π，5，2，3 D 、21，0，3 5.不等式143<x 的非负整数解是（ ） A 、无数个B 、1C 、0，1D 、1，26.下列四个结论：（1）4是不等式63>+x 的解；（2）4>x 是不等式63>+x 的解集； （3）3是不等式63≥+x 的解；（4）3≥x 是不等式63≥+x 的解集，其中正确的是（ ） A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7.如果b a >，用"">或""<填空 （1）a 2 b 2 （2）a 3- b 3- （3）a - b - （4）2a 2b（5）35a -b 35- （6）3+a 3+b8.如果b ax >，02<ac ，则xab 9.不等式21131<-x 的解集是 ，12≤-x 的正整数解为 . 10.若不等式a x <6的解集为3<x ，则a 的值为 .11.如果不等式1)1(+>+a x a 的解集为1<x ，那么a 必须满足 . 12.根据不等式性质，把下列不等式化成a x >或a x <的形式 （1）534+>x x（2）3132-<x （3）172<-x （4）123->-x xba 0☆综合能力提升☆ 13.在数轴上表示下列解集（1）大于-3而小于4的数 （2）所有不小于-4的数（3）所有不大于3的数 （4）绝对值小于3的数14.已知关于4152435+=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围，并在数轴上表示出来.15.已知不等式12≤-m x 的正整数解恰是1，2，求m 的取值范围.课后巩固1.设0<a ，则下列各式中不成立的是（ ） A 、43+<+a aB 、a a 43<C 、a a -<-43D 、43aa ->-2.若4-<x ，则下列不等式成立的是（ ）A 、x x 42->B 、x x 42-≥C 、x x 42-<D 、x x 42-≤3.下列按要求列出的不等式中，不正确的是（ ）A 、m 不是负数，则0≥mB 、m 是非大于0的数，则0≤mC 、m 不小于-1，则1-≥mD 、m 是非正数，则0<m4.与063<-x 不同解的不等式为（ ） A 、713<+xB 、63->-xC 、126<xD 、63-<-x5.下列说法中，错误的是（ ）A 、不等式13<x 的整数解有无限多个B 、不等式52<x 的整数解有有限个C 、不等式82<-x 的解集为4->xD 、不等式153<x 的正整数解有有限个 6．不等式1)2(>-x m 的解集为21-<m x ，则有（ ） A 、2>mB 、2<mC 、3>mD 、3<m7．下列不等式中，解集为全体实数的是（ ） A 、122+-x x >0 B 、02>x C 、x x 131<- D 、111<+-x x 8.若n m >时，m a 2n a 29.若22bc ac >，则a 3- b 3-10.若24ba ->-，则a b 2 11.不等式13<-x 的正整数解是 . 12.不等式5.5-≥x 的负整数解是 ．13.如果关于x 的方程02=+kx 的根是3，那么不等式8)2(->+x k 的解集是什么？请你在数轴上表示出来．14.如果不等式x m x 253-<+没有正数解，求m 的值．15.关于x 的方程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围.16.不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.。

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数之间的大小关系。

在解决实际问题时，经常会遇到需要求解不等式的情况，本文将介绍常见的不等式解法方法，帮助读者更好地理解和掌握不等式的求解过程。

一、一元一次一元一次不等式是指只含有一个未知数并且次数为1的不等式。

常见的一元一次不等式形式为ax + b < c或者ax + b > c。

求解一元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + b = c的形式。

2. 根据a的正负情况，分别讨论两种情况：- 当a > 0时，解为x > (c - b) / a。

- 当a < 0时，解为x < (c - b) / a。

3. 以解集的形式表示不等式的解。

例如，对于不等式3x + 4 > 10，可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到3x + 4 = 10。

2. 根据3的正负，讨论两种情况：- 当3 > 0时，解为x > (10 - 4) / 3，即x > 2。

- 当3 < 0时，解为x < (10 - 4) / 3，即x < 2。

3. 不等式的解为解集{x | x > 2}。

二、二元一次二元一次不等式是指含有两个未知数并且次数为1的不等式。

常见的二元一次不等式形式为ax + by > c或者ax + by < c。

求解二元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + by = c的形式。

2. 根据a、b的正负情况，分别讨论四个象限的情况：- 当a > 0，b > 0时，解为x > (c - by) / a。

- 当a > 0，b < 0时，解为x > (c - by) / a。

- 当a < 0，b > 0时，解为x < (c - by) / a。

- 当a < 0，b < 0时，解为x < (c - by) / a。

第九章不等式与不等式组9.1不等式9.1.1不等式及其解集【知识与技能】1.掌握不等式的概念；2.理解不等式的解、解集；会在数轴上表示不等式的解集；3.掌握一元一次不等式的概念；4.会列出简单实际问题中的不等式.【过程与方法】从实例出发，引出不等式的概念，类比于方程的解理解不等式的解.进而理解不等式的解集，并学会在数轴上表示不等式的解集，类比于一元一次方程的概念理解一元一次不等式的概念.【情感态度】不等式是现实世界中普遍存在的关系，体验数学来源于实际生活又反过来服务于实际生活，提高同学们学习兴趣.【教学重点】不等式的概念，不等式的解、解集的概念，在数轴上表示不等式的解集.【教学难点】理解不等式的解集及在数轴上表示不等式的解集.一、情境导入，初步认识问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50km ，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？解：设车速是x 千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系：（1）汽车行驶50千米的时间＜_______.（2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子：①_______________，②_______________.不等式的定义是：___________________.问题2 在中，当x ＝76，x=75，x ＝72，x ＝70时，不等式是否成立？76，2503x ＞75，72，70哪些是不等式的解，哪些不是?不等式的解有多少？它的所2503x ＞有解组成解的集合，怎样表示它的解集？【教学说明】同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x ＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点.二、思考探究，获取新知思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？【归纳结论】1.定义：用“＜”或“＞”或“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.2.在数轴上表示不等式的解集有下列四种情形：注意：不含等号的用空心的小圆圈，含等号的用实心小圆点，切记.三、运用新知，深化理解1.用不等式表示：（1）x 与1的和是正数；（2）a 的1/2与b 的1/3的差是负数；（3）y 的2倍与1的和大于3；（4）x 的一半与8的差小于x.2.下列说法错误的是（ ）A.x ＜2的负整数解有无数个B.x ＜2的整数解有无数个C.x ＜2的正整数解是1和2D.x ＜2的正整数解只有13.在-2，-1，0，1/3，1，2中.12（1）x 取哪些数值能使不等式x-1＜0成立？（2）满足不等式x-1＜0的x 有什么特点？4.在数轴上表示下列不等式的解集.（1）x ＞3；（2）x ≤3；（3）x ＜3；（4）x ≥3.5.比较下列各题中两个式子的大小.（1）a 4与-a 2-2；（2）2a 2-2b 2+4与3a 2+6b 2+8（提示：若A-B ＞0，则A ＞B ，若A-B ＜0，则A ＜B ，若A-B ＝0，则A ＝B ）.【教学说明】题1、4可让学生自主探究，写出答案，画出解集，教师对出错的同学帮助其分析错误的原因，再加以改正，加深印象.题2、3、5，师生共同探讨，题5教师应事先给予提示，然后引导学生得出正确答案.【答案】1.解：（1）x+1＞0;(2) a-b ＜0;1213(3)2y+1＞3;(4) x-8＜x.122.C 解析：不等式的解是使不等式成立的未知数的值，它可能有无数个解，可能只有有限个解，也可能无解.本题中，x ＜2的正整数解不包含2，只有1，故选项C 说法错误，选C.3.解：（1）当x 取-2，-1，0，1/3时，不等式x-1＜0成立；（2）满足不等式x-1＜0的x 的特点为均小于1.4.解：（1）（2）（3）（4）5.解：（1）由于a4-(-a2-2)=a4+a2+2＞0,故a2＞-a2-2;(2)由于（2a2-2b2+4）-(3a2+6b2+8)=2a2-2b2+4-3a2-6b2-8=-a2-8b2-4=-(a2+8b2+4)＜0故2a2-2b2+4＜3a2+6b2+8.四、师生互动，课堂小结1.不等式、不等式的解及解集、解不等式、一元一次不等式的概念.2.常见的基本语言及含义.（1）不大于、不高于、不超过的意义都是“≤”.（2）不小于、不低于的意义都是“≥”.1.布置作业：从教材“习题9.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.等与不等是现实世界中存在的一种矛盾，但它们之间又是密切联系的.本课在教学上采用方程等式的观点进行不等式的教学，并进一步学习了解不等式的解集，这样既激发了学生的学习兴趣，又降低了他们在学习上的难度，充分调动了学生学习的积极性，让学生在教学活动中占主体地位.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

《不等式(组)》导学案考点1 不等式的性质性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．即：如果a >b ，那么a ＋c ________b ＋c ，a －c ________b －c ； 性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 即：如果a >b ，c >0，那么a ·c ________b ·c ，a c ________b c ； 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 即：如果a >b ，c <0，那么a ·c ________b ·c ，a c ________b c . 考点2 一元一次不等式及其解法 1．解一元一次不等式的一般步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(系数化为1时，注意不等号方向是否改变)．2．一元一次不等式的解集在数轴上的表示1．解一元一次不等式组的步骤 (1)分别解每一个不等式；(2)确定公共部分即不等式组的解集． 2．一元一次不等式组的解集的四种类型设a <b ，a ，b 是常数，关于x 的不等式组的解集的四种情况如下表：1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥1，2x －6≤0的解集为________．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2>1，－2x ≤4的解集为________．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－2x <5，2(x －2)≤1的解集为________．考点4 一元一次不等式(组)的实际应用解决不等式的实际应用问题时，常见的关键词与不等号的对比表：研究1 不等式的性质1．若m >n ，则下列不等式正确的是 ( ) A ．m －2<n －2B ．m 4>n4C ．6m <6nD ．－8m >－8n研究2 一元一次不等式及其解法 2．不等式－3x >2的解集是________． 3．不等式1－x 3＋2≤x ＋12的解集是________． 研究3 不等式(组)的解法及数轴表示4．[2020威海模拟]解不等式组⎩⎨⎧2x ＋5≤3(x ＋2)，1－2x 3＋15>0，并把解集在数轴上表示出来．研究4 不等式组的特殊解及根据不等式(组)的解集确定字母的值或范围■命题角度1：不等式组的整数解5．[2020扬州模拟]解不等式组⎩⎨⎧2－x ≤2(x ＋4)，x <x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解．6．[上题变式]上题中的不等式组不变，求出它的所有非负整数解．■命题角度2：根据不等式组的解集，确定字母系数的值(或取值范围)7．[2020宿迁模拟]关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>3，a －x >1的解集为1<x <3，则a 的值为________．研究5 列一元一次不等式(组)解应用题8．[2020济宁模拟]“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A ，B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102 000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？9．[变式训练] [2020宁波模拟]某商场销售A ，B 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：售后可获毛利润9万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)(1)该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备各多少套？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A 种设备的购进数量，增加B 种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A 种设备减少的数量的1.5倍，若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A 种设备购进数量至多减少多少套？训练点1 不等式(组)1．[2020永州模拟]若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >m －1恰有两个整数A ．－1≤m <0B ．－1<m ≤0C ．－1≤m ≤0D ．－1<m <02．[2020乐山模拟]下列说法不一定成立的是( ) A ．若a >b ，则a ＋c >b ＋c B ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若ac 2>bc 2，则a >b3．[2020恩施州模拟]关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)>4，a －x <0的解集为x ＞3，那么a 的取值范围为( )A ．a ＞3B ．a ＜3C ．a ≥3D ．a ≤34．[2020泸州模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －b ≥0，x ＋a ≤0的解集为3≤x ≤4，则关于x 的不等式ax ＋b <0的解集为________．5．[2020贵阳模拟]已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥－1，a －x <0无解，则a 的取值范围是________．6．[2020德州模拟]先化简，再求值：x －3x 2－1÷x －3x 2＋2x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1，其中x 是不等式组⎩⎨⎧5x －3>3(x ＋1)，12x －1<9－32x的整数解．训练点2 不等式(组)的应用1．[2020日照模拟]某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( )A ．29人B ．30人C ．31人D ．32人2．[2020张家界模拟]阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号min{a ，b }的意义为：当a <b 时，min{a ，b }＝a ；当a >b 时，min{a ，b }＝b ，如：min{4，－2}＝－2，min{15,5}＝5.根据上面的材料回答下列问题： (1)min{－1,3}＝________；(2)当min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x －32，x ＋23＝x ＋23时，求x 的取值范围．《不等式(组)》导学案考点1 不等式的性质性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．即：如果a >b ，那么a ＋c ________b ＋c ，a －c ________b －c ； 性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 即：如果a >b ，c >0，那么a ·c ________b ·c ，a c ________b c ； 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 即：如果a >b ，c <0，那么a ·c ________b ·c ，a c ________b c . 答案：> > > > < < 考点2 一元一次不等式及其解法 1．解一元一次不等式的一般步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(系数化为1时，注意不等号方向是否改变)．2．一元一次不等式的解集在数轴上的表示1．解一元一次不等式组的步骤 (1)分别解每一个不等式；(2)确定公共部分即不等式组的解集． 2．一元一次不等式组的解集的四种类型设a <b ，a ，b 是常数，关于x 的不等式组的解集的四种情况如下表：[练习学知]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥1，2x －6≤0的解集为________．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2>1，－2x ≤4的解集为________．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－2x <5，2(x －2)≤1的解集为________．答案：1.x ≤0 2.x >3 3.－1<x ≤52 考点4 一元一次不等式(组)的实际应用解决不等式的实际应用问题时，常见的关键词与不等号的对比表：[题型研究]研究1 不等式的性质1．若m >n ，则下列不等式正确的是 ( ) A ．m －2<n －2 B ．m 4>n 4 C ．6m <6n D ．－8m >－8n答案：B研究2 一元一次不等式及其解法 2．不等式－3x >2的解集是________． 答案：x <－233．不等式1－x 3＋2≤x ＋12的解集是________． 答案：x ≥115研究3 不等式(组)的解法及数轴表示4．[2020威海模拟]解不等式组⎩⎨⎧2x ＋5≤3(x ＋2)，1－2x 3＋15>0，并把解集在数轴上表示出来．[解]⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3(x ＋2)，①1－2x 3＋15>0，②解不等式①，得x ≥－1，解不等式②，得x <45. ∴原不等式组的解集为－1≤x <45. 在数轴上表示如图所示．研究4 不等式组的特殊解及根据不等式(组)的解集确定字母的值或范围■命题角度1：不等式组的整数解5．[2020扬州模拟]解不等式组⎩⎨⎧2－x ≤2(x ＋4)，x <x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解．[解]⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≤2(x ＋4)，①x <x －13＋1，②解不等式①，得x ≥－2， 解不等式②，得x <1.∴不等式组的解集为－2≤x <1， ∴最大整数解为x ＝0.6．[上题变式]上题中的不等式组不变，求出它的所有非负整数解．答案：0■命题角度2：根据不等式组的解集，确定字母系数的值(或取值范围)7．[2020宿迁模拟]关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>3，a －x >1的解集为1<x <3，则a 的值为________．答案：4研究5 列一元一次不等式(组)解应用题8．[2020济宁模拟]“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A ，B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102 000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？[解] (1)设清理养鱼网箱的人均支出费用为x 元，清理捕鱼网箱的人均支出费用为y 元，根据题意，得⎩⎨⎧15x ＋9y ＝57 000，10x ＋16y ＝68 000，解得⎩⎨⎧x ＝2 000，y ＝3 000.答：清理养鱼网箱的人均支出费用为2 000元，清理捕鱼网箱的人均支出费用为3 000元．(2)设m 人清理养鱼网箱，则(40－m )人清理捕鱼网箱，根据题意，得⎩⎨⎧2 000 m ＋3 000(40－m )≤102 000，m <40－m ，解得18≤m ＜20，∵m 为整数，∴m ＝18或m ＝19，则分配清理人员方案有两种： 方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱； 方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．9．[变式训练] [2020宁波模拟]某商场销售A ，B 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：售后可获毛利润9万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)(1)该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备各多少套？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A 种设备的购进数量，增加B 种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A 种设备减少的数量的1.5倍，若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A 种设备购进数量至多减少多少套？解：(1)设该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备分别为x 套、y 套，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋1.2y ＝66，(1.65－1.5)x ＋(1.4－1.2)y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝30.答：该商场计划购进A 种设备20套，B 种设备30套． (2)设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，由已知，得1．5(20－a )＋1.2(30＋1.5a )≤69，解得a ≤10. 答：A 种设备购进数量至多减少10套．训练点1 不等式(组)1．[2020永州模拟]若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >m －1恰有两个整数A ．－1≤m <0B ．－1<m ≤0C ．－1≤m ≤0D ．－1<m <0答案：A2．[2020乐山模拟]下列说法不一定成立的是( ) A ．若a >b ，则a ＋c >b ＋c B ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：C3．[2020恩施州模拟]关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)>4，a －x <0的解集为x ＞3，那么a 的取值范围为( )A ．a ＞3B ．a ＜3C ．a ≥3D ．a ≤3答案：D4．[2020泸州模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －b ≥0，x ＋a ≤0的解集为3≤x ≤4，则关于x 的不等式ax ＋b <0的解集为________．答案：x >325．[2020贵阳模拟]已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥－1，a －x <0无解，则a 的取值范围是________．答案：a ≥26．[2020德州模拟]先化简，再求值：x －3x 2－1÷x －3x 2＋2x ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1，其中x 是不等式组⎩⎨⎧5x －3>3(x ＋1)，12x －1<9－32x的整数解．解：原式＝x －3(x ＋1)(x －1)·(x ＋1)2x －3－1＋x －1x －1＝x ＋1x －1－x x －1＝1x －1， 解不等式组⎩⎨⎧5x －3>3(x ＋1)，12x －1<9－32x ，得3＜x ＜5，即整数解x ＝4，则原式＝13.训练点2 不等式(组)的应用1．[2020日照模拟]某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( )A ．29人B ．30人C ．31人D ．32人答案：B2．[2020张家界模拟]阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号min{a ，b }的意义为：当a <b 时，min{a ，b }＝a ；当a >b 时，min{a ，b }＝b ，如：min{4，－2}＝－2，min{15,5}＝5.根据上面的材料回答下列问题： (1)min{－1,3}＝________；(2)当min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x －32，x ＋23＝x ＋23时，求x 的取值范围． 解：(1)由题意，得min{－1,3}＝－1. 故答案为－1.(2)由题意，得2x －32≥x ＋23， 3(2x －3)≥2(x ＋2)， 6x －9≥2x ＋4， 4x ≥13，x ≥134. ∴x 的取值范围为x ≥134.。

专题13 一元一次不等式（组）及其应用专题知识点概述1．不等式的定义：用不等号“＜”“＞”“≤”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。

2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

3．一元一次不等式的定义：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

4.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

5．不等式的性质：性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

6.一元一次不等式的解法的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.7．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

8．求不等式组解集的规律：不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈。

不等式组的解集有四种情况:若a>b，（1）当x ax b>⎧⎨>⎩时,•则不等式的公共解集为x>a;（2）x ax b<⎧⎨>⎩时,不等式的公共解集为b<x<a;（3）x ax b<⎧⎨<⎩时,不等式的公共解集为x<b;（4）当x ax b>⎧⎨<⎩时,不等式组无解.9.中考出现一元一次不等式（组）试题类型总结：类型一：一元一次不等式的解集问题。

类型二：一元一次不等式组无解的情况。

类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围。

类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围。

类型五：一元一次不等式组有整数解求范围。

不等式的解集表示方法不等式是数学中重要的概念之一，用来描述数值或者变量之间的大小关系。

解不等式的问题在数学中也是常见的，解集表示方法是描述不等式解的形式化方式。

本文将介绍不等式的解集表示方法，包括数轴表示法、集合表示法以及区间表示法。

一、数轴表示法数轴表示法是一种简洁直观的不等式解集表示方法。

通过绘制数轴，并在数轴上标注不等式中的关键数值点，可以清晰地表示不等式的解集。

下面举一个例子进行说明：假设有不等式 x > 2，我们可以在数轴上找到数值点2，并用一个开放的圆圈表示它。

由于不等式是大于关系，因此解集即为2之后的所有实数。

在数轴上，我们可以用箭头表示解集，即从2开始向右延伸的无穷区间。

数轴表示法简单明了，适用于一元线性不等式的解集表示。

二、集合表示法集合表示法是用集合的形式表示不等式的解集。

具体而言，用大括号{}表示集合，将解集中的元素依次列举于括号之内，并用逗号隔开。

如果集合中的元素具有特定的规律，可以用描述性的方式表示。

例如，如果不等式是 x > -3，解集为所有大于-3的实数，则可以用集合表示法表示为{x | x > -3}。

在该表示法中，x表示集合中的元素，竖线“|”表示“使得”。

集合表示法可以直观地表示解集，适用于复杂的不等式或多元不等式的解集。

三、区间表示法区间表示法是一种以区间的方式表示不等式的解集。

在数轴上，解集可以用有限或无限的区间来表示。

对于有限区间，用方括号[]表示闭区间，用圆括号()表示开区间，并结合数轴的方向来表示不等式的解集。

例如，对于不等式 -2 ≤ x < 3，解集可以表示为闭区间[-2, 3)。

在该表示法中，-2表示解集的起始点，3表示解集的结束点，方括号表示包含起始点，圆括号表示不包含结束点。

对于无限区间，可以用有限的数代替。

例如，对于不等式x ≥ 4，解集为大于等于4的所有实数，则可以表示为区间[4, +∞)，其中+∞表示正无穷。

综上所述，不等式的解集可以通过数轴表示法、集合表示法以及区间表示法来表达。