一元一次不等式组及其解集

一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集是指该不等式组满足给定条件时，未知量可取到的所有实数值。

以下列出一元一次不等式组的解集:1、加法原理：若有不等式$ax+b>0$��不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b>0$与$a{x'}+b>0$同时成立的解集为$x>{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}>{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}或{-\dfrac{b}{a}}<{x'}<x$$2、减法原理：若有不等式$ax+b>0$与不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b<0$与$a{x'}+b<0$同时成立的解集为$x<{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}<{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$${x'}<x<{-\dfrac{b}{a}}$$3、乘法原理：若有不等式$ax+b>0$，则可乘以$\dfrac{1}{a}$，得$x+\dfrac{b}{a}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}$$4、倍乘法原理：若有不等式$a^2x+b>0$，则可以乘以$\dfrac{1}{a^2}$，得$x+\dfrac{b}{a^2}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a^2}}$$5、翻转原理：若有不等式$ax+b>0$，则可以转置变为${-ax-b}<0$，令$\quad-ax-b=0$，得$x={-\dfrac{b}{a}}$，即满足不等式无解结果。

6、乘容原理：若有不等式$ax-b>0$与$cx-d>0$，则$acx-ad-bc+bd>0$，令$acx-ad-bc+bd=0$，得$x=\dfrac{ad-bc}{ac}$，即$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$，即有：$$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$$7、综合分析：若有$ax+b>0$且$cx+d>0$，得$acx+ad+bc+bd>0$，故有：$$x>\dfrac{ad+bc}{ac}$$。

一、本节的重点:理解一元一次不等式组及其解集的意义，二、难点是：如何找一元一次不等式组的解集，三、学习本节时应注意以下两点：①两个一元一次不等式合在一起组成一个不等式组，要理解其解集是什么，即一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集；②二元一次方程组的解通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴得出。

一定要注意：如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解；探究问题现有长度为3cm和10cm的两条线段，则第三条线段x需取多长可以围成三角形x>10-3x<10+3探究问题现有长度依次为3cm、10cm、6cm、9cm和14cm的五条线段，从中选出三条线段并且三条线段中必须有3cm和10cm的两条线段，请大家思考共有多少情况？哪些情况三条线段可以围成三角形？重要概念1．定义：类似于方程组，把两个（或多个）不等式合起来，组成一个一元一次方程组记作：①②由不等式①解得x<13由不等式②解得x>7从图可以看出解集是7<x<13。

例1.利用数轴判断下列不等式组是否有解集？如有，请写出。

不等式组的解集为ｘ<1都小取较小例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为ｘ>3都大取较大例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为1<ｘ<3小大大小中间找例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为空集即：不等式组无解大大小小无解了比一比：看谁反应快运用规律求下列不等式组的解集：1.都大取较大，2.都小取较小；3.小大大小中间找，4.大大小小无解了。

x>2x>-2x<3x<-43<x<7-1<x<4无解-2≤ｘ<1x≤-2x<-2设a＜b，你能说出下列四种情况下不等式组的解吗？用数轴试一试Ｘ＞b X＜ａ无解ａ＜X＜ｂ大小小大中间找大大小小无解了两小取小两大取大规律(口诀)探究活动：解不等式①得：ｘ>2解不等式②得：ｘ≧3在数轴上表示不等式①、②的解集：例1.解不等式组：解：所以不等式组的解集为：ｘ<-1因此，原不等式组无解。

一元一次不等式组的概念及其解法一、概念解析一元一次不等式组，顾名思义，即由一元一次不等式构成的一个集合。

一元一次不等式是指不等式中只包含一个变量，并且该变量的最高次数为1。

而不等式组则是由多个不等式组成的系统，其中每个不等式都包含相同的变量。

一元一次不等式组就是由一元一次不等式构成的一个系统或集合。

解法通常包括图解法和代入法。

图解法是指通过绘制不等式的图像来解析问题，从而得出解的范围。

而代入法则是将不等式组中的不等式逐一进行代入，解出变量的取值范围，并且保证该范围同时满足所有的不等式。

二、深入讨论在解一元一次不等式组时，首先需要将不等式组中的每一个不等式都化为标准式，即形式为ax+b>0的形式。

这一步骤十分重要，因为只有将不等式统一格式化之后，才能更好地进行比较和推导。

接下来，可以利用代入法来解，通过逐一代入不等式组中的每一个不等式，并求解出变量的取值范围。

将这些取值范围进行交集运算，得出最终的解集。

在实际应用中，一元一次不等式组常常出现在数学建模和优化问题中。

在生产成本、市场需求、销售收入等方面的问题中，都可能涉及到一元一次不等式组，通过解出不等式组的解集，可以得出最优的经济决策方案。

三、总结与回顾通过本文的深入讨论，我们对一元一次不等式组的概念和解法有了更深入的了解。

一元一次不等式组是由一元一次不等式构成的系统，解法包括图解法和代入法。

在实际应用中，一元一次不等式组常常出现在数学建模和优化问题中，通过解出不等式组的解集，可以得出最优的经济决策方案。

四、个人观点与理解在我的个人观点中，一元一次不等式组是数学中的重要概念之一，它不仅是数学建模和优化问题的重要工具，更可以帮助我们更好地理解变量的取值范围和限制条件。

对一元一次不等式组的深入理解和应用十分重要。

我们应当在学习中注重实际问题的应用，通过解决实际问题来巩固对一元一次不等式组的理解，从而更好地掌握其解法和应用方法。

通过本文的撰写，我对一元一次不等式组的概念和解法有了更深入的了解，并且明白了它在实际问题中的重要性。

一元一次不等式组及其解集学生姓名：麦麦提江·克依木学号：20080103012系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-1班完成日期：2012年 5 月5一元一次不等式组及解集●学习目标1．理解一元一次不等式组解集的概念，会利用数轴求较简单的一元一次不等式组的解集．2．掌握一元一次不等式组解集的几种情况．3．通过利用数轴解不等式组，培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力．●重点·难点（一）重点：理解一元一次不等式组解集的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．（二）难点：正确理解一元一次不等式组解集的含义．●教学过程什么叫不等式？答：象这种用“>”，“≠”，“≥”，“≤”，“<”符号表示大小关系的式子叫做不等式。

用不等号表示不等关系的式子1、下面给出的几个式子，哪些属于不等式？（1）-1 <0 （）（2）3X-2Y（）（3）3x +4=0 （）（4）5+3 x > 240 （）（5）x +3≠ 0 （）（6）5-x≥1（）可以看出：不等式可含有未知数，也可以无未知数；练一练：用不等式表示下列例题：想一想：观察下列不等式，有什么共 同点，并试着给它们起名？（1）x-2≥-1 （2）4x>7（3） 问：什么叫一元一次不等式？含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做 一元一次不等式。

下列式子中：（1）3x+2>x –1 (2)-5<0(3)2x=3 (4)a+b≠c(5) 1 /x +3<5x –1 (6) 5x+3<0 (7) 3x+2 (8) x 2 +3<2x(9)4x-2y≤0不等式是：(1)，(2)，(4)，(5)，(6)，(8)，(9) 一元一次不等式是： (1) (6)321y ＜判断下列不等式中哪些是一元一次不等式？（1），（3）不是一元一次不等式（2），（4）是一元一次不等式；解一元一次不等式组的步骤：1、求出不等式组中各个不等式的解集。

《一元一次不等式组》教案教学目标1．理解一元一次不等式组和它的解集的概念．2．掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集．3．在积极参与探索一元一次不等式组解法的学习活动中，体会一元一次不等式组在实际问题中的应用，发展应用数学知识的意识与能力．教学重难点重点：两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解法．难点：确定两个不等式解集的公共部分．教学过程一．创设情境1．什么叫做一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是什么？2．提出问题：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多少时间能将污水抽完？二．探索归纳1．分析问题：问：求解应用题时，在很多情况下，我们可以将某些适当的量设为未知数．此题中我们如何来设元呢？答：可以直接设元，设需要x 分钟才能将污水抽完．问：总的抽水量可表示成什么形式？答：总的抽水量为______吨．问：依据题中的条件，你能列出什么式子？答：由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有1200≤30x ≤1500．这实际上包括了两个不等式30x ≥1200和30x ≤1500．⎩⎨⎧≤≥ ②． ①， 150030120030x x像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组就叫做一元一次不等式组．⎩⎨⎧≤≥ ②． ①， 150030120030x x分别求这两个不等式的解集，得:⎩⎨⎧≤≥．，5040x x同时满足不等式①，②的未知数x 应是这两个不等式解集的公共部分．要求学生在同一数轴上表示这两个不等式的解集，并找出公共部分．如图，公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40≤x ≤50．这就是所列不等式组的解集．所提问题的答案为：大约需要40到50分钟能将污水抽完．2．概念与方法：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．求不等式组解集的过程叫做解不等式组．方法：解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集．三．例题解析：例1：解不等式组23-x ＜52-x212-x ＜32-x . 例2：解不等式组5x -6≥2x +63x -4＞4（x -1）.例3：求适合不等式-11＜-2a -5≤3的a 的整数解.课堂总结：本节课你学会了什么？。

9.3(1.1)一元一次不等式组--定义、解集、解法一．【知识要点】1.一元一次不等式组的有关概念（1）关于_____________的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组（2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的___________叫做一元一次不等式组的解集（3）求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

（4）解不等式组的基本步骤就是先 _________________,然后求出其_______________。

2.通常两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形。

设a b <，那么：（1）不等式组,x a x b >⎧⎨>⎩的解集是__________; (2)不等式组,x a x b <⎧⎨<⎩的解集是__________; （3）不等式组,x a x b >⎧⎨<⎩的解集是__________； (4)不等式组,x a x b<⎧⎨>⎩的解集是___________.二．【经典例题】1．解不等式组：253(x 1),11,32x x x -≥-⎧⎪-⎨-<⎪⎩并把解集表示在数轴上。

2．解集如图所示的不等式组为（ ）．A ．B ．C ．D ． 3.若点(2,1)A a a -+在第二象限，则a 的取值范围是 （ ）A.2a >B.12a -<<C.1a <-D.1a <4.两个式子1x -与3x -的值的符号相同，则x 的取值范围是 （ ）A.3x =B.1x <C.12x <<D.1x <或3x >三．【题库】【A 】1. 一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示, 则下列符合条件的不等式组为（ ）. 12x x >-⎧⎨≤⎩12x x ≥-⎧⎨>⎩12x x ≤-⎧⎨<⎩12x x >-⎧⎨<⎩0 2-1 A 0 2 -1 B 0 2 -1 C 0 2 -1 DA.21x x >⎧⎨≤-⎩B.21x x <⎧⎨>-⎩C.21x x <⎧⎨≥-⎩D.21x x <⎧⎨≤-⎩2.一元一次不等式组32010x x ->⎧⎨-≤⎩的解集是____________ 3．不等式组211{841x x x x ->++<-的解集是（ ） A.3x < B.3x >- C.3x <- D.3x >4.下列说法正确的是( )A.不等式组3,5x x >⎧⎨>⎩的解集是53x <<B.不等式组2,3x x >-⎧⎨<-⎩的解集是-3-2x << C.不等式组2,2x x ≥⎧⎨≤⎩的解集是=2x D.不等式组3,3x x <-⎧⎨>-⎩的解集是3x ≠4．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．不等式组的解集在数轴上表示为 （ ）．6.不等式组24010x x -<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） 7．把不等式组110x x +⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上，正确的是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）312840x x ->⎧⎨-≤⎩-1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 18.下列式子是一元一次不等式组的有（ ）①⎩⎨⎧-<+>1520x x ①⎩⎨⎧<-->+032x x π①⎪⎩⎪⎨⎧>-<+45321x x ①⎩⎨⎧>+-<05b a ab ①⎩⎨⎧≤--≥++022022n m n m A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＞－3B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x ＜－3C.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＜－3D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x ＞－3【B 】1．关于x 的不等式组10111236x x +⎧⎪⎨-<⎪⎩≤的解集在数轴上表示为 （ ）2.不等式组21217x x -≥⎧⎨->-⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）。

2021年中考数学专题10 一元一次不等式(组)及其应用（知识点总结+例题讲解）一、不等式及其性质：1.不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式；2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；3.不等式的解集：（1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解；（2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集；4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式；5.不等式基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c；（2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或a b＞)；c c（3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或a b＜)；c c【例题1】下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】主要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．【变式练习1】据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33【答案】D【解析】已知某日武侯区的最高气温和最低气温，可知某日武侯区的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温．解：由题意知：武侯区的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天武侯区的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．故选：D．【例题2】（2020•贵港）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac+1＞bc+1 D．ac2＞bc2【答案】D【解析】根据不等式的性质解答即可．解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．【变式练习2】（2019•济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【答案】C【解析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．【例题3】已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝．【答案】-35【解析】解答此题首先根据已知得出理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．解：因为x≥5的最小值是a，a＝5；x≤﹣7的最大值是b，则b＝﹣7；则ab＝5×（﹣7）＝﹣35．故答案为：﹣35．【变式练习3】关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【答案】D【解析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得不等式的解集，再根据x≥4，求得m的值．解：m−2x3≤−2；所以：m﹣2x≤﹣6；则：﹣2x≤﹣m﹣6；即：x≥12m+3；∵关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4；∴12m+3＝4，解得m＝2．故选：D．二、一元一次不等式及其解法：1.一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的2.一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将未知项的系数化为1。

二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a x a ³£或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以或除以))同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321£---x x 解不等式： 解：去分母，得解：去分母，得 6)13(2)13£---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得去括号，得去括号，得 62633£+--x x （注意符号，不要漏乘!）移移 项，得项，得项，得 23663-+£-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得合并同类项，得合并同类项，得 73£-x （计算要正确）系数化为系数化为1， 得 37-³x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）三、一元一次不等式组含有同一个未知数的含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、个、33个、个、44个或更多．个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) a a a a x <ax >a x ≤a x ≥a 一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

一元一次不等式组及其解法一、不等式的基本性质：1、不等式两边同时加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

2、不等式的两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

二、解不等式的基本步骤：1、去分母（不等式的性质二）；2、去括号（乘法分配律）；3、移项（不等式的性质一）；4、合并同类项(整式加减性质)；5、化系数为1 （不等式性质二，三）。

三、一元一次不等式组的解法：1. 把两个一元一次不等式组合在一起就组成了一个一元一次不等式组。

2. 不等式组中各不等式解集的公共部分叫不等式组的解集。

3. 求不等式组解集的过程叫解不等式组。

例题1、现有两根长度分别为３cm和10cm的木条，若要再找一根木条与这两根木条一起钉成一个三角形木框，则第三根木条的长度L应满足什么条件？解：由构成三角形的条件可得：L 10 - 3L 10 + 3解得：7 L 13例题2、小明同学准备花181元请同学们去听知识讲座，门票15元一张。

如果要把所有的好朋友都请上，至少要买8张门票。

若需留出往返车票至少16元，那么他的钱是否够用？如果够用那么最多可买多少张门票？解：设最多可买X张门票，根据题意得：X ≥ 815X + 16 ≤ 181解得：8 ≤ X ≤ 11四、一元一次不等式组解集在数轴上的表示：1、两个解集同大取大：图（1）2、两个解集同小取小：图（2）3、两个解集一大一小中间找：图（3）4、两个解集一大一小无处找：图（4）不等式是现实世界中不等关系的一种数学表现形式，它不仅是学我们现阶段学习的重点内容，而且也是我们后续学习的重要基础。