量子力学基础教程答案
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量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b (常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ, (1)以及 c v =λ, (2)λρρd dv v v -=, (3)有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。
但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下:01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ,则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv ,λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0⨯,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里,利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后,对Ec hc e 22μλ=作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
=,量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b (常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ, (1)以及 c v =λ, (2)λρρd dv v v -=, (3)有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。
但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下:01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ,则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv ,λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0⨯,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里,利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后,对Ec hc e 22μλ=作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
=,量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b (常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ, (1)以及 c v =λ, (2)λρρd dv v v -=, (3)有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。
但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下:01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ,则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv ,λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0⨯,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里,利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后,对Ec hc e 22μλ=作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λT=b (常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ,(1)以及c v =λ,(2)λρρd dv v v −=,(3)有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。
但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下:201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ,则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1.2在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv ,λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e µ<<动),那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0×,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里,利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后,对Ec hc e 22µλ=作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
=,量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b (常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ, (1)以及 c v =λ, (2)λρρd dv v v -=, (3)有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。
但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下:01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ,则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv ,λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0⨯,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里,利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后,对Ec hc e 22μλ=作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ, (1) 以及 c v =λ, (2)λρρd dv v v -=, (3)有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。
但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下:01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThc λ ,则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=h v ,λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0⨯,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有ph=λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里,利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后,对Ec hc e 22μλ=作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
量子力学基础教程答案【篇一:量子力学课后答案】class=txt>????? 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子?301.1.由黑体辐射公式导出维恩位移定律:?mt?b,b?2.9?10m?c。
证明:由普朗克黑体辐射公式:8?h?31 ??d??d?, h3c ekt?1c c及??、d???2d?得?? 8?hc1?? ?5,hc?e?kt?1 d?hc令x?,再由??0,得?.所满足的超越方程为 ?d? ktxex 5?x e?1 hc x?4.97,即得用图解法求得?4.97,将数据代入求得?mt?b,b?2.9?10?3m?0c ?mkt1.2.在0k附近,钠的价电子能量约为3ev,求de broglie波长.0hh?10解:? ???7.09?10m?7.09a p2me # 3e?kt,求t?1k时氦原子的de broglie波长。
1.3. 氦原子的动能为 2h0hh?10??12.63?10m?12.63a 解:? ??p2me3mkt ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg,k?1.38?10j?k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件,求:(1)一维谐振子的能量。
(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
绪论第一章b?10t,玻尔磁子?b?0.923?10?23j?t?1,求动能的量子化间隔?e,并与t?4k及已知外磁场t?100k 的热运动能量相比较。
p21解:(1)方法1:谐振子的能量e????2q2 2?2p2q2可以化为??1 22 ?2e?2e? ????2???2e 的平面运动,轨道为椭圆,两半轴分别为a?2?e,b?,相空间面积为 2 ??2?eepdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? e?nh?,n?0,1,2,? 所以,能量方法2:一维谐振子的运动方程为q????2q?0,其解为q?asin??t??? 速度为 q??a?cos??t???,动量为p??q??a??cos??t???,则相积分为 2222tta??a??t222pdq? a??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh,n?0,1,2,? 002222a??nh e???nh?,n?0,1,2,? 2t 2?v?v evb?(2)设磁场垂直于电子运动方向,受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
由,得r? ebr ?2 pdq?nh,n?1,2,3,?,以?,p???rv??r??ebr2分别表示广义坐标和相应再由量子化条件的广义动量,所以相积分为2?n?2n?1,2,?,,由此得半径为,n?1,2,?。
p?d??pd??2??rv?2?ebr?nhr? ?0eb2??11ebr122n? ?e??v2????eb?n?bb 电子的动能为???222?eb??动能间隔为?e??bb?9?10?23je?kt,所以当t?4k时,e?4.52?10?23j;当热运动能量(因是平面运动,两个自由度)为t?100k 时,e?1.38?10?21j。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两个光子的能量相等,问要实现这种转化,光子波长最大是多少? ch 解:转化条件为,即有 h???ec2,其中?e为电子的静止质量,而??,所以????ec0 h6.626?10?34?max???c??0.024a(电子的康普顿波长)。
?318 ?c9.1?10?3?10e???第二章波函数和薛定谔方程2.1.证明在定态中,几率流与时间无关。
证:对于定态,可令 ???( r,t)??(r)f(t) i?et???(r)e??i? j?(???*??*??)2miiii ?et?et???et???et*??i? ?[?(r)e?(?(r)e)??*(r)e??(?(r)e?)] 2m ??i?*?*? ?[?(r)??(r)??(r)??(r)]2m ?可见 j与t无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度: 1ikr1?ikr (1)??e (2)??e 12rr从所得结果说明?1表示向外传播的球面波,?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。
??解:j1和j2只有r分量 ???1??1? 在球坐标中??r0 ?e??e??rr??rsin??? i?** ?(1) j1?(?1??1??1??1)2mi?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr? ?[e(e)?e(e)]r0 2mr?rrr?rri?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k? ?r?r203 mrmr? ? j1与r同向。
表示向外传播的球面波。
?i?** j?(2) (?????2222??)2mi?1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr? (e)?e(e)]r0 ?[e2mr?rrr?rr ? ?i?[1(?1?ik1)?1(?1?ik1)]r 02mrr2rrr2r?k??k? ??r??r 203?? 可见,j2与r反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
mrmr补充:设?(x)?eikx,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化??*?dx?dx????? 2∴波函数不能按(x)dx?1方式归一化。
?其相对位置几率分布函数为 2 ???1表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3一粒子在一维势场 ??,x?0 ? 0?x?a u(x)??0, ??,x?a?中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解: u(x)与t无关,是定态问题。
其定态s—方程 ?2d2?(x)?u(x)?(x)?e?(x) ?2 2mdx在各区域的具体形式为?2d2??1(x)?u(x)?1(x)?e?1(x) ①Ⅰ:x?0 2mdx2?2d2?2(x)?e?2(x) ②Ⅱ: 0?x?a ? 2mdx222?d x?a??3(x)?u(x)?3(x)?e?3(x) ③Ⅲ:22mdx 由于(1)、(3)方程中,由于u(x)??,要等式成立,必须 ?1(x)?0?2(x)?0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
d2?2(x)2me ?2?2(x)?0 方程(2)可变为2dx?令k2?2me,得 ?2d2?2(x) ?k2?2(x)?0 2 dx其解为 ?2(x)?asinkx?bcoskx④根据波函数的标准条件确定系数a,b,由连续性条件,得?2(0)??1(0)⑤?? ?2(a)??3(a) ⑥⑤ ?b?0?a?0⑥ ?asinka?0 ?sinka?0?ka?n? (n?1, 2, 3,?) n? x ∴?2(x)?asina 由归一化条件 2(x)dx?1a22n??得 a?sin0axdx?1由 ?absinm?n?ax?sinxdx?mn aa2?a?2a2n?sinxaa2me2?k ? 2??2?22 n (n?1,2,3,?)可见e是量子化的。
?en?22ma对应于e n的归一化的定态波函数为 i?2 n???entsinxe,0?x?a? ?n(x ,t)??aa? 0,x?a, x?a?1 2.4. 证明(2.6-14)式中的归一化常数是a??an???asin(x?a),x?a? 证:?n??a? 0, x?a? 由归一化,得 an?21?ndx?a?2sin2(x?a)dx??a aa1n??a?2[1?cos(x?a)]dx?a2 aa a?2a?2an?x?cos(x?a)dx? 2?a2?aaa2 ?a?2a?a??asinn?(x?a)2n?a ?a?a?2a1 ∴归一化常数a?? a2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
1?2x2解:?(x)? ?2?xe22 22?2?1(x)?1(x)?4?2??x2e??x2 2?3222??x ??xe 22d?1(x)2?3?[2x?2?2x3]e??x ?? 2(x)?????dx d?1(x)1x??x??? ? 令 0,得x?0?dx x???时,?1(x)?0。
显然不是最大几率的位置。
由?1(x)的表达式可知,x?0 ,d2?1(x)2?322223??2x2而?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx23224??[(1 ?5?2x2?2?4x4)]e??xd2?1(x)4?311???2?0 ,可见是所求几率最大的位置。
x????2edx1???x??2#【篇二:ch17ch18量子力学基础习题及答案】将星球看做绝对黑体,利用维恩位移定律测量?m便可求得t.这是测量星球表面温度的方法之一.设测得:太阳的?m?0.55?m,北极星的?m?0.35?m,天狼星的?m?0.29?m,试求这些星球的表面温度.解:将这些星球看成绝对黑体,则按维恩位移定律:?mt?b,b?2.897?10?3m?k对太阳: t1?b?m?12.897?100.55?10?3?6?5.3?103k对北极星:t2?b?mb?22.897?100.35?10?3?6?8.3?103k对天狼星:t3??m?32.897?100.29?10?3?6?1.0?104kmb(t)?22.8w?cm?2?22.8?104w?m?2 按斯特藩-玻尔兹曼定律:mb(t)??t mb(t)22.8?105.67?104?814t??22.85.67)1?()43?(?103?1.42?10k16-3 从铝中移出一个电子需要4.2 ev 的能量,今有波长为2000a的光投射到铝表面.试问:(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少?(2)遏止电势差为多大?(3)铝的截止(红限)波长有多大?解:(1)已知逸出功a?4.2ev 据光电效应公式hv?则光电子最大动能: ekmax?12mvm?h??a?212mvm?a2hc??a?6.63?10?34?3?10?1082000?10?19?4.2?1.6?10?19?3.23?10(2)?euj?2.0ev12mv2ma?ekmax?∴遏止电势差 ua?3.23?101.6?10c?19?19?2.0v(3)红限频率?0,∴h?0?a,又?0??0∴截止波长?0?hca?6.63?10?34?3?10?1984.2?1.60?10?2.96?10?7m?0.296?m16-4 在一定条件下,人眼视网膜能够对5个蓝绿光光子(??5.0?10-7m)产生光的感觉.此时视网膜上接收到光的能量为多少?如果每秒钟都能吸收5个这样的光子,则到达眼睛的功率为多大? 解:5个兰绿光子的能量e?nh??n?hc??345?6.63?10?18?3?1085.0?10j?1.99?10功率 ?et?1.99?10-1?18w1秒钟落到1m地面上的光子数为 2-2hc?n?8e?8?hc?198?5?106.63?10s?1?34?78?3?10?2.01?10?m?2每秒进入人眼的光子数为n?n?d42?2.01?101419?3.14?3?102?6?1.42?10s?116-6若一个光子的能量等于一个电子的静能,试求该光子的频率、波长、动量.解:电子的静止质量m0?9.11?10?31kg,h?6.63?10?34j?s 当 h??m0c2时,则 ??m0ch2?9.11?1020?31?(3?10)?34826.63?10hz?12?1.236?10??p?或p?ec?m0cc2c??2.4271?10?22m?0.02a?1h??2.73?10kg?m?se?cp?m0c?9.11?10?318?3?10?2.73?10?22kg?m?s16-7 光电效应和康普顿效应都包含了电子和光子的相互作用,试问这两个过程有什么不同? 答:光电效应是指金属中的电子吸收了光子的全部能量而逸出金属表面,是电子处于原子中束缚态时所发生的现象.遵守能量守恒定律.而康普顿效应则是光子与自由电子(或准自由电子)的弹性碰撞,同时遵守能量与动量守恒定律.22解:由hv0?m0c?h??mcek?mc2?m0c2?h?0?h??h(?0??)??h?∴?ek?h?h(?0??)???0???5已知??01?1.2由c?????0??1.2??0?1.2则??0???11.2?1?10.2?516-9 波长?0?0.708a的x射线在石腊上受到康普顿散射,求在线波长各是多大??解:在??方向上:2?2hm0c?31sin2?282?6.63?109.11?10?34?3?10sin?4?2.43?10?12m?0.0243a2hm0csin2?2?2hm0c?4.86?10?12m?0.0486a16-10 已知x光光子的能量为0.60 mev,在康普顿散射之后波长变化了20%,求反冲电子的能量.解:已知x射线的初能量?0?0.6mev,又有??hc,??0?hc?0?0经散射后 ???0?????0?0.020?0?1.20?0 此时能量为 ??hc?hc1.2?0?11.211.2??0反冲电子能量e??0???(1?)?0.60?0.10mev16-11 在康普顿散射中,入射光子的波长为0.030 a,反冲电子的速度为0.60c,求散射光子的波长及散射角.解:反冲电子的能量增量为?e?mc2?m0c2?m0c22?0.6?m0c2?0.25m0c2由能量守恒定律,电子增加的能量等于光子损失的能量,故有hc?hc?0.25m0c2?0?散射光子波长???h?0h?0.25m0c?06.63?106.63?10?34?0.030?10?31?108?10?0.25?9.1?10?3?10?0.030?10?4.3?10?12m?0.043a由康普顿散射公式??????0?22hm0csin2?2?2?0.0243sin2?2可得sin?2?0.043?0.0302?0.0243?0.2675散射角为??62?17?16-12 实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75ev 的光子.(1)试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级?(2)受激发的氢原子向低能级跃迁时,可发出哪几条谱线?请将这些跃迁画在能级图上.解:(1)?13.6ev?12.75ev??0.85ev??13.6evn1n1222解得 n?4 或者?e?rhc(112?)?136.(1?n)?12.75解出n?4题16-12图题16-13图(2)可发出谱线赖曼系3条,巴尔末系2条,帕邢系1条,共计6条. 16-13 以动能12.5ev 的电子通过碰撞使氢原子激发时,最高能激发到哪一能级?当回到基态时能产生哪些谱线?解:设氢原子全部吸收12.5ev能量后,最高能激发到第n个能级,则112en?e1?rhc[?1n2],1n2]rhc?13.6ev,即12.5?13.6[1?【篇三:作业10量子力学基础( i ) 作业及参考答案】/p> [ c ]1.(基础训练2)下面四个图中,哪一个正确反映黑体单色辐出度mb?(t)随??和t的变化关系,已知t2 t1.(b)解题要点: 斯特藩-玻耳兹曼定律:黑体的辐射出射度m0(t)与黑体温度t的四次方成正比,即.m0 (t )随温度的增高而迅速增加维恩位移律:随着黑体温度的升高,其单色辐出度最大值所对应的波长?m向短波方向移动。