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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1课件新人教A版必修4

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高中数学三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式第1课时两角和与差的正弦、余弦公式课件新人教A版必修4

高中数学三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式第1课时两角和与差的正弦、余弦公式课件新人教A版必修4

解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后 局部的基本原则， 如果整体符合三角公式的形式， 则整体变形， 否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
)
7 2 A． 26 5 2 C． 26
答案：B
17 2 B． 26 9 2 D． 26
4．sin 75° ＝________，sin 15° ＝________．
6＋ 2 答案： 4
6－ 2 4
π 3 5． 已知 sin α＝－ ， α 是第四象限角， 则 sin4－α＝________． 5
第三章
三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正
切公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章
三角恒等变换
1.正确理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导过程 及区别与联系． 2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并
能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换．
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 条件
分)
1．若本例的条件不变，求 sin 2α 的值．
解：由本例解析知 sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) 5 4 12 3 ＝ ×－5＋ ×－5 13 13 56 ＝－ . 65
π 3π 5 2．本例条件变为： ＜ β＜ α ＜ ， sin(α － β)＝ ， sin(α＋ β) 2 4 13 5 ＝－ ，求 sin 2β 的值． 13
(2)原式＝2 ＝2sin

高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件

高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
2024/11/4
21
2024/11/4
22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
17
巩固练习:
解：
2024/11/4
18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
2024/11/4
5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
2024/11/4
2 3 21 6 2
2 2 22
4

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(40张)

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(40张)
__α_，__β_为__任__意__角_____.
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α＋β)＝ _s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β___
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．理解两角和与差的正、余弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导 S(α－β) 中的作用．
2．掌握并能运用两角和与差的正、余弦公式化简或求值．
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝__c_o_s_α_c_o_s_β__－__si_n__α_si_n__β__，简记为_C__(α_＋_β_) _，使用的条件为
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．求值：(1)sin(－15°)；
(2)化简scions
7°＋cos 7°－sin
15°sin 15°sin
8° 8°.
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝－sin 30°＝－12. 答案： A
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．sin 75°＝ ． 解析： sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin30°＝ 22·23＋ 22·12

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4

2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4

∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件


3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件


• 二、两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
两角和 的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差 的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
使用条件 α，β∈R α，β∈R
• 2．怎样利用诱导公式推出sin(α±β)? 提示：sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β， 用－β 代 β 得 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋ cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)若角的范围是－π2，π2，则选择正弦函数比余弦函数 更好；
(5)若角的范围是(0，π)，则选择余弦函数比正弦函数更 好．总之，尽量选择在区间上单调的函数．
• 三、两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
两角差 的正切
tan α－tan β 1＋tan αtan β
T(α－β)
α，β，
α－β≠ π
kπ＋ 2(k∈Z)
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
• S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函 数值计算．

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4(1)

2 2
+ ������
=sin αcos β-cos αsin β, 同理由 sin(α+β)=sin [α-(-β)]可推得 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
4.填空:(1)sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β. (2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. sin������ 5.根据同角三角函数的商数关系 tan θ= ,怎样由sin(α+β)以及 cos������ cos(α+β)的公式将tan(α+β)用tan α,tan β来表示?如何将tan(α-β)用tan α,tan β来表示?
3.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 以及诱导公式 sin α,cos
π -������ 2
π -������ 2
=cos
=sin α 能否将 sin(α-β)以及 sin(α+β)用 α,β 角的正弦和余
π π -������ 2
弦表示?
提示:sin(α-β)=cos 2 -(������-������) =cos π π =cos -������ cos β-sin -������ sin β
tan������-tan������ .( 1-tan������tan������ tan������+tan������
( ) (
)
(4)不存在角 α,β,使得 sin(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.
答案:(1) (2)× (3) (4)×
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件


1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过 大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该 角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】 解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系 数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均 可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化 简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角 函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基 本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝 角”．仍求 sin β 的值．
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探究一
探究二
探究三
变式训练1求值: (1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°; (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°). 解(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76° =sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°) =cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°
4.做一做:(1)cos 15°= . (2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=
.
2 3 2 1 × + × 2 2 2 2
解析(1)cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°= =cos 60°= .
1 2
=
(2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)
3 α= ,α 5
4 是第二象限角;cos β= ,β 是第四象限 5
1 3 α= ,cos(α+β)=- ,α,β 2 5
均为锐角,求 cos β 的值.
分析对于(1),可根据同角的三角函数关系式求出cos α,sin β的值, 然后利用两角差的余弦公式展开后代入即得;对于(2)可考虑将β表 示为(α+β)-α,然后展开,再结合同角的关系公式进行求解.
1 2 3 1 2
6+ 2 . 4
(4)2cos 15°+ 2 sin 15°
=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15° =cos(60°-15°)=cos 45°= 2 .
2
探究一
探究二
探究三
利用公式C(α-β)求值的方法技巧 在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值 问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与 特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导 公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆 用公式求值.
2.观察下表中的数据,你有什么发现?
cos(60°-30°) 3 2 cos(120°-60°) 1 2
cos 60° 1 2 cos 120° -2
1
cos 30° sin 60° 3 3 2 2 cos 60° sin 120° 1 3 2 2
sin 30° 1 2 sin 60° 3 2
提示cos(60°-30°)=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°; cos(120°60°)=cos 120°cos 60°+sin 120°sin 60°. 3.填空:(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β . (2)此公式简记作C(α-β). (3)使用条件:α,β都是任意角.
15°.
分析对于(1),应利用诱导公式将-375°转化为锐角再变为两特殊 角之差然后利用公式计算;对于(2),应将sin 195°转化为-sin 15°再套 用公式计算;对于(3),可将α+45°当作一个整体来处理;对于(4),应将 1 3 , 分别转化为 2 2 cos 60°,sin 60°,然后套用公式计算.
探究一
探究二
3 =cos(44°-14°)=cos 30°= 2 .
(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°) =cos [(θ+70°)-(θ+10°)]=cos
1 60°= . 2
探究一
探究二
探究三
利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
【例 2】 (1)已知 sin 角,求 cos(α-β)的值; (2)已知 sin
3.1.1
两角差的余弦公式
课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.掌握两角差的余弦公式,能够运用公式 解决相关问题.培养逻辑推理及数学运算 两角差的余弦公式 素养. 公式推导 2.会用向量方法推导两角差的余弦公式, 公式 体会向量方法的作用.培养逻辑推理素养. 公式应用 3.体会公式运用中一般与特殊的转化关 系.培养逻辑推理及数学运算素养.
探究一
探究二
探究三
利用两角差的余弦公式解决给角求值问题 【例1】 求下列各式的值: (1)cos(-375°); (2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°; (3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α;
1 (4)2cos 究二
探究三
解(1)cos(-375°)=cos 375°=cos 15° =cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
2 3 2 1 =2 × 2 + 2 ×2
=
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195° =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15° =cos(75°-15°)=cos 60°= . (3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α =cos [(α+45°)-α] =cos 45°= 2 .
6+ 2 1
6+ 2 . 4
答案(1) 4
(2)2
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的 打“×”. (1)对于任意角α,β,都有cos(α-β)=cos α-cos β. ( ) (2)对于任意角α,β,都有cos(α-β)≠cos α-cos β. ( ) (3)存在角α,β,使得cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.( ) (4)当α,β为锐角时,必有cos(α-β)>cos αcos β. ( ) 答案(1)× (2)× (3) (4)
两角差的余弦公式 问题思考 1.15°角是特殊角吗?如果不是特殊角,那么能否用特殊角的和与 差来表示15°?如果15°=45°-30°,那么cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°吗? 提示15°角不是特殊角,但可以用特殊角的差来表示15°,例如 15°=45°-30°,但cos(45°-30°)≠cos 45°-cos 30°.