上海市闵行区七宝中学2016届高三10月月考数学试题(PDF版)

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10月月考数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为___ 2.（填空题.3分）计算 (1002)×(14−23) =___ ． 3.（填空题.3分）已知向量 a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．若|a ⃗+b ⃗⃗| 不超过5.则k 的取值范围是___ ．4.（填空题.3分）若 |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ .则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ．5.（填空题.3分）已知 a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ .若 a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形.则m=___ ．6.（填空题.3分）已知行列式 |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| 中的元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项.则此行列式的值是___ ．7.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.2）. b ⃗⃗ =（2.3）.则“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的___ 条件．8.（填空题.3分）（理）若平面向量 a ⃗ 满足| a ⃗i |=1（i=1.2.3.4）且 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0（i=1.2.3）.则| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |可能的值有___ 个．9.（填空题.3分）在△ABC 中.∠A=60°.M 是AB 的中点.若|AB|=2.|BC|=2 √3 .D 在线段AC 上运动.则 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ．10.（填空题.3分）已知函数 f (x )=√3|sin π2x|(0＜x ≤4038) .其图象的最高点从左到右依次记为A 1.A 2.A 3.….A 2019.其图象与x 轴的交点从左到右依次记为B 1.B 2.B 3.….B 2019.则 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 11.（填空题.3分）设 f (x )=x (12)x+1x+1 .O 为坐标原点.A n 是函数图象上横坐标为n （n∈N *）的点.向量 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 i ⃗=(1，0) 的夹角为θn .则满足tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn ＜ 53 的最大正整数是___ ．12.（填空题.3分）已知O 是三角形ABC 的外心.AB=2.AC=1.∠BAC=120°．若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则m-n=___ ．13.（单选题.5分）若从平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点.得到的向量中有n （n∈N *）个是两两不相等的.则n 的最大值是（ ） A.6 B.8 C.10 D.1214.（单选题.5分）任意四边形ABCD 内有一点O 满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .则O 点的位置是（ ） A.对角线的交点 B.对边中点连线的交点 C.BD 的点 D.AC 的中点15.（单选题.5分）已知向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）.向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.2）.向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 cosα. √2 sinα）.则向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为（ ） A.[0. π4] B.[ π4 . 5π12 ] C.[ 5π12 . π2 ] D.[ π12 . 5π12 ]16.（单选题.5分）三角形ABC 中.BC 边上的中垂线分别交BC.AC 于D.M.若 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .AB=2.则AC=（ ）A.3B.4C.5D.617.（问答题.0分）用行列式讨论关于x.y 的方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0 的解的情况．18.（问答题.0分）在△ABC 中. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 ． （1）求AB 边的长度； （2）求sin (A−B )sinC的值．19.（问答题.0分）已知两点M （-1.0）.N （1.0）.且点P （x.y ）使 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列． （1）求x 与y 满足的关系式.并写出x 的取值范围； （2）记θ为 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.求tanθ的取值范围．20.（问答题.0分）如图.点Q 在第一象限.点F 在x 轴正半轴上.△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ． （1）求S 关于θ的解析式；（2）设 |OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c (c ≥2) .求点Q 的坐标； （3）在（2）的条件下.若 S =34c .求 |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值和此时点Q 的坐标．21.（问答题.0分）平面直角坐标系中.射线y=x （x≥0）和y=2x （x≥0）上分别依次有点A 1.A 2.….A n .…和点B 1.B 2.….B n .….其中A 1（1.1）.B 1（1.2）.B 2（2.4）.且 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| （n=2.3.4.…）． （1）用n 表示 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点A n 的坐标； （2）用n 表示 |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点B n 的坐标；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 的面积关于n 的表达式S n .并求S n 的最大值．2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为___ 【正确答案】：[1]6【解析】：利用代数余子式的定义直接求解．【解答】：解：三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为：（-1）3 |2839| =-（18-24）=6．故答案为：6．【点评】：本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法.考查代数余子式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（填空题.3分）计算 (1002)×(14−23) =___ ．【正确答案】：[1] (14−46)【解析】：直接用矩阵相乘公式代入求解．【解答】：解： (1002)×(14−23) = (14−46) .故答案为： (14−46) ．【点评】：本题考查矩阵相乘.属于基础题．3.（填空题.3分）已知向量 a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．若|a ⃗+b ⃗⃗| 不超过5.则k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-6.2]【解析】：根据向量模的计算公式.列出一个关于K 不等式.解不等式.即可求出K 的取值范围．【解答】：解：∵ a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．a ⃗+b ⃗⃗=(3，2+k)则|a ⃗+b ⃗⃗|=√9+(2+k)2 ≤5 ∴-6≤k≤2 故答案为：[-6.2]【点评】：求 |a ⃗| 常用的方法有： ① 若已知 a ⃗=(x ，y) .则 |a ⃗| = √x 2+y 2 ； ② 若已知表示 a ⃗ 的有向线段 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的两端点A 、B 坐标.则 |a ⃗| =|AB|= √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ③ 构造关于 |a ⃗| 的方程.解方程求 |a ⃗| ．4.（填空题.3分）若 |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ .则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] 2π3【解析】：根据向量 c ⃗⊥a ⃗ .得到 c ⃗•a ⃗=0 .然后求出 a ⃗•b ⃗⃗ .利用数量积的应用求向量夹角即可．【解答】：解：∵ |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ . ∴ c ⃗•a ⃗=0 .即（ a ⃗+b ⃗⃗ ） •a ⃗=a ⃗2+a ⃗•b ⃗⃗=0 . ∴1+ a ⃗•b ⃗⃗=0 . 解得 a ⃗•b⃗⃗=0 -1=-1. 设向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ.则cos θ=a ⃗⃗•b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=−12×1=−12. ∵0≤θ≤π. ∴ θ=2π3． 故答案为： 2π3．【点评】：本题主要考查数量积的应用.要求熟练掌握数量积的应用.比较基础． 5.（填空题.3分）已知 a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ .若 a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形.则m=___ ．【正确答案】：[1]-7【解析】：由所给三个向量可构成三角形.得 a ⃗ + b ⃗⃗ - c ⃗ = 0⃗⃗ .由此列式可求m 的范围．【解答】：解：∵ a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ . a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形；∴ a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线. b ⃗⃗ 与 c ⃗ 不共线. a ⃗ + b ⃗⃗ - c ⃗ = 0⃗⃗ ；∴ m 4 ≠ −23 . m −3 ≠ −21 .（4+m+3） i ⃗ +（3-2-1） j ⃗ = 0⃗⃗ ； ∴m≠- 83 .m≠6．m=-7． 故答案为：-7．【点评】：本题考查了平面向量的坐标运算.考查了向量共线的坐标表示.考查了数学转化思想.是基础题．6.（填空题.3分）已知行列式 |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| 中的元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项.则此行列式的值是___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意等比关系代入求解．【解答】：解：因为元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项. 所以设等比数列的公比为q.则a n+2=qa n+1. a n+3=q 2a n+1 . a n+4=q 3a n+1 .…. a n+9=q 8a n+1 . ∴ |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| = |a n+1qa n+1q 2a n+1q 3a n+1q 4a n+1q 5a n+1q 6an+1q 7a n+1q 8a n+1| = q 9a n+13|1qq 21qq 21q q 2| =0.（两列（或行）相同的行列式值为0）. 故答案为：0【点评】：本题考查行列式.等比数列.属于基础题．7.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.2）. b ⃗⃗ =（2.3）.则“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的___ 条件． 【正确答案】：[1]充分不必要【解析】：先求 m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =3λ+6-2λ-3＜0.解得：λ＜-3.得到夹角是钝角的充要条件.从而进行判断．【解答】：解： m ⃗⃗⃗ =λ（1.2）+（2.3）=（λ+2.2λ+3）.则 m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =3λ+6-2λ-3=λ+3. 若 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 夹角为钝角.则λ+3＜0.解得λ＜-3.因为λ＜-4是λ＜-3的充分不必要条件.所以“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要．【点评】：本题考查了充分必要条件.考查了向量的夹角的余弦值.是一道基础题．8.（填空题.3分）（理）若平面向量 a ⃗ 满足| a ⃗i |=1（i=1.2.3.4）且 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0（i=1.2.3）.则| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |可能的值有___ 个． 【正确答案】：[1]3【解析】：由 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得 a i ⃗⃗⃗⃗⊥a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .分类作图可得结论．【解答】：解：由 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得 a i ⃗⃗⃗⃗⊥a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 若四向量首尾相连构成正方形时（图1）.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=0. 当四向量如图2所示时.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 当四向量如图3所示时.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 √2 . 故答案为：3【点评】：本题考查平面向量的模长.涉及分类讨论的思想.属中档题．9.（填空题.3分）在△ABC 中.∠A=60°.M 是AB 的中点.若|AB|=2.|BC|=2 √3 .D 在线段AC 上运动.则 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 2316【解析】：把向量用 DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示.可化简数量积的式子为 (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316 .由余弦定理可得AC 的长度.进而可得 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的范围.由二次函数区间的最值可得答案．【解答】：解：∵ DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 故 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+2+32×2×|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60° = |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−32|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+2 = (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316. 设AC=x.由余弦定理可得 (2√3)2=x 2+22−2•2•xcos60° . 整理得x 2-2x-8=0.解得x=4或x=-2（舍去）. 故有 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ∈[0.4].由二次函数的知识可知当 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 34 时. (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316 取最小值 2316 故答案为： 2316【点评】：本题考查平面向量的数量积的运算.涉及余弦定理和二次函数的最值.属中档题． 10.（填空题.3分）已知函数 f (x )=√3|sin π2x|(0＜x ≤4038) .其图象的最高点从左到右依次记为A 1.A 2.A 3.….A 2019.其图象与x 轴的交点从左到右依次记为B 1.B 2.B 3.….B 2019.则 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]-8072【解析】：根据题意即可得出 A 1(1，√3)，A 2(3，√3)，A 3(5，√3) .…. A 2018(4035，√3)，A 2019(4037，√3) ；B 1（2.0）.B 2（4.0）.B 3（6.0）.….B 2018（4036.0）.B 2019（4038.0）.从而可求出 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4.从而可求出答案．【解答】：解：根据题意得. A 1(1，√3)，A 2(3，√3)，A 3(5，√3) .…. A 2018(4035，√3)，A 2019(4037，√3) ；B 1（2.0）.B 2（4.0）.B 3（6.0）.….B 2018（4036.0）.B 2019（4038.0）. ∴ A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4. A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗• A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4.A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4.∴ A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4×2018=-8072．故答案为：-8072．【点评】：本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法.向量数量积的运算.向量数量积的坐标运算.考查了计算能力.属于中档题． 11.（填空题.3分）设 f (x )=x (12)x +1x+1.O 为坐标原点.A n 是函数图象上横坐标为n （n∈N *）的点.向量 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 i ⃗=(1，0) 的夹角为θn .则满足tanθ1+tanθ2+t anθ3+…+tanθn ＜ 53 的最大正整数是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由题意可得 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（n.n （ 12）n +1n+1 ）.tanθn =（ 12 ）n + 1n (n+1) =（ 12 ）n + 1n - 1n+1.由数列的分组求和、裂项相消求和.构造函数.判断出符合条件的最大整数n 的值．【解答】：解： OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（n.n （ 12 ）n + 1n+1 ）. tanθn =（ 12 ）n + 1n (n+1) =（ 12 ）n + 1n - 1n+1 .可得tanθ1+tanθ2+…+tanθn =（ 12 + 14 +…+ 12n ）+（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ） =12(1−12n )1−12+1- 1n+1 =2- 12n - 1n+1 .由题意可得2- 12n - 1n+1 ＜ 53 .即为 12n + 1n+1 ＞ 13 . 函数g （n ）= 12n + 1n+1 （n∈N*）为减函数.g （1）=1.g （2）= 14 + 13 ＞ 13 .g （3）= 18 + 14 = 38 ＞ 13 .g （4）= 116 + 15 = 2180 ＜ 13 . 故最大整数n 的值为3． 故答案为：3．【点评】：本题考查了由向量求夹角.数列的求和.不等式.解题的关键是认真审题得出tanθn 的表达式.以及熟练掌握数列求和的技巧．12.（填空题.3分）已知O 是三角形ABC 的外心.AB=2.AC=1.∠BAC=120°．若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则m-n=___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：建立直角坐标系.求出三角形各顶点的坐标.因为O 为△ABC 的外心.把AB 的中垂线p 方程和AC 的中垂线q 的方程.联立方程组.求出O 的坐标.利用已知向量间的关系.待定系数法求m 和n 的值．【解答】：解：如图：以A 为原点.以AB 所在的直线为x 轴.建立直角坐标系： 则A （0.0）.B （2.0）.C （- 12 . √32 ）. ∵O 为△ABC 的外心.∴O 在AB 的中垂线p ：x=1 上.又在AC 的中垂线 q 上. AC 的中点（- 14 . √34 ）.AC 的斜率为- √3 . ∴中垂线q 的方程为 y- √34 = √33 （x+ 14 ）.把直线p 和q 的方程联立方程组解得△ABC 的外心O （1. 2√33）. 由条件 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 得（-1.-2√33 ）=m （2.0）+n （- 12 . √32 ）=（2m- 12 n. √32n ）； ∴2m - 12 n=0-1. √32 n=- 2√33； m=- 56 .n=- 43 ； ∴m -n= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了求两条直线的交点坐标的方法.三角形外心的性质.向量的坐标表示及向量相等的条件.待定系数法求参数值.同时考查了运算求解的能力.属中档题．13.（单选题.5分）若从平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点.得到的向量中有n （n∈N *）个是两两不相等的.则n 的最大值是（ ） A.6 B.8 C.10 D.12【正确答案】：B【解析】：可以画出平行四边形ABCD.可以看出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 这8个向量是两两不相等的.从而可得出n 的最大值．【解答】：解：如图.在平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点构成的向量中.以下8个向量.是两两不相等的：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .再增加任何一个向量.都会和这8个向量中的一个相等.∴n 的最大值是8． 故选：B ．【点评】：本题考查了相等向量的定义.向量的定义.考查了推理能力.属于基础题．14.（单选题.5分）任意四边形ABCD 内有一点O 满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .则O 点的位置是（ ） A.对角线的交点 B.对边中点连线的交点 C.BD 的点 D.AC 的中点 【正确答案】：B【解析】：首先根据题意作图.然后由三角形法则.即可求得向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的和向量.即可得出正确选项【解答】：解：如图：分别取四边形ABCD 各边的中点E 、F 、G 、H ． ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∵ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ . ∴2 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ⇒ OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 即O 是EG 的中点.则点O 为一组对边中点连线的中点．故选：B ．【点评】：此题考查了平面向量的知识．注意数形结合思想的应用与三角形法则的应用是解此题的关键．15.（单选题.5分）已知向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）.向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.2）.向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 cosα. √2 sinα）.则向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为（ ） A.[0. π4 ] B.[ π4 . 5π12 ] C.[ 5π12 . π2 ] D.[ π12 . 5π12 ] 【正确答案】：D【解析】：利用CA 是常数.判断出A 的轨迹为圆.作出A 的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．【解答】：解：| CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 .∴A 点在以C 为圆心. √2 为半径的圆上. 当OA 与圆相切时对应的位置是OA 与OB 所成的角最大和最小的位置 OC 与x 轴所成的角为 π4 ；与切线所成的为 π6所以两个向量所成的最小值为 π4−π6=π12 ；最大值为 π4+π6=5π12故选：D ．【点评】：本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．16.（单选题.5分）三角形ABC 中.BC 边上的中垂线分别交BC.AC 于D.M.若 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .AB=2.则AC=（ ）A.3B.4C.5D.6【正确答案】：B【解析】：根据条件可得出 DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 .从而根据 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 可得出 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .进而得出 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12 .然后根据余弦定理即可求出AC 的值．【解答】：解：∵DM⊥BC .∴ DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 .且 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 . ∴ (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =6. ∴ 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12 .且AB=2. 在△ABC 中.根据余弦定理得. AC 2=AB 2+BC 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4+BC 2−(BC 2−12)=16 . ∴AC=4． 故选：B ．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件.向量加法的几何意义.向量数乘的几何意义.向量的数量积运算及计算公式.余弦定理.考查了计算能力.属于中档题．17.（问答题.0分）用行列式讨论关于x.y 的方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0 的解的情况．【正确答案】：【解析】：分情况m=-1、m=3.m≠-1.m≠3三种情形进行讨论.计算即可．【解答】：解：根据题意.方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0的解.D= |1mm −23| =3-m （m-2）=-（m-3）（m+1）.D x =|−6m −2m 3|=−18+2m 2=2(m −3)(m +3) .D y =|1−6m −2−2m |=−2m +6(m −2)=4m −12=4(m −3) .所以.当m=-1时.D=0.Dx≠0.方程组无解； 当m=3时.D=Dx=Dy=0.方程组有无穷多个解； 当m≠-1且m≠3时.D≠0.方程组有唯一的解 {x =−2(m+3)m+1y =−4m+1．【点评】：本题重点考查了方程组与行列式之间的关系.分类讨论思想及其应用等知识.属于中档题．解题关键是分类中如何划分“类”．18.（问答题.0分）在△ABC 中. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 ． （1）求AB 边的长度； （2）求sin (A−B )sinC的值．【正确答案】：【解析】：（1）直接根据 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) .再结合 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 即可求出求AB 边的长度；（2）结合已知及（1）可得：2bcosA=1.2acos （π-B ）=-3；再利用正弦定理把所有的边都用角表示出来得到sinAcosB=3sinBcosA.再代入所求即可得到结论．【解答】：解：（1）∵ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−3=1 ． ∴ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ．即AB 边的长度为2．（5分） （2）由已知及（1）有：2bcosA=1.2acos （π-B ）=-3. ∴acosB=3bcosA （8分）由正弦定理得：sinAcosB=3sinBcosA （10分） ∴ sin (A−B )sinC = sin (A−B )sin (A+B )=sinAcosB−cosAsinB sinAcosB+cosAsinB =12 （12分）【点评】：本题是对向量的数量积以及两角和与差的正弦函数的综合考查．在解决问题的过程中.用到了解三角形常用的方法之一：边转化为角．19.（问答题.0分）已知两点M （-1.0）.N （1.0）.且点P （x.y ）使 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列． （1）求x 与y 满足的关系式.并写出x 的取值范围； （2）记θ为 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.求tanθ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）设出要求轨迹的点的坐标.根据所给的两个点的坐标写出要用的向量.做出向量的数量积.根据 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列.列出不等式和等式.整理整式得到结果．（2）求两个向量的夹角.根据球向量夹角的公式.先用求出数量积和模的乘积.求出角的余弦值.根据同角的三角函数的关系.用已知条件表示出tanθ.然后推出结果．【解答】：解：（1）记P （x.y ）.由M （-1.0）.N （1.0）得=（-1-x.-y ）. =（1-x.-y ）.=（2.0）. .是公差小于零的等差数列 ∴即x 2+y 2=3（x ＞0）.∴点P 的轨迹是以原点为圆心. √3 为半径的右半圆．（2）解：（1）记P （x.y ）.由M （-1.0）.N （1.0）得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1-x.-y ）. PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-x.-y ）. MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）. NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2（x+1） ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2-1. NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2（1-x ）. ∵ MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列． ∴ {x 2+y 2−1=12×[2(1+x )+2(1−x )]2(1−x )−2(1+x )=0 . 即x 2+y 2=3（x ＞0）.∴点P 的轨迹是以原点为圆心. √3 为半径的右半圆．（2）点P 的坐标为（x 0.y 0）.则x 02+y 02=3. PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-1=2. ∵| PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(1+x 0)2+y 02•√(1−x 0)2+y 02 = √(4+2x 0)(4−2x 0) =2 √4−x 02 . ∴cosθ= PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 1√4−x 02. ∵0＜x 0≤ √3 .∴ 12 ＜cosθ≤1.0≤θ＜ π3.sinθ= √1−cos 2θ = √1−14−x 02 .tanθ= sinθcosθ= √3−x 02 =|y 0|∈（- √3 . √3 ）．【点评】：这是一个综合题.求轨迹的问题.向量的数量积.等差数列的定义.求向量的夹角.同角的三角函数关系.综合性较强．这是一个难题.20.（问答题.0分）如图.点Q 在第一象限.点F 在x 轴正半轴上.△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ． （1）求S 关于θ的解析式；（2）设 |OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c (c ≥2) .求点Q 的坐标； （3）在（2）的条件下.若 S =34c .求 |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值和此时点Q 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件即可得出 S =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sinθ=tanθ2； （2）根据 |OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c 以及 OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 即可得出 |FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1c•cosθ.从而得出Q 点的坐标为 (c +1c，tanθc) ； （3）根据 S =34c 以及 S =tanθ2 即可得出 tanθc=32 .从而得出 |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(c +1c )2+94 .根据函数c +1c 在[2.+∞）上是增函数.即可求出 c +1c ≥52 .从而得出c=2时. |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取得最小值.并可求出该最小值.并可求出此时的点Q 的坐标．【解答】：解：（1）∵△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 .∴ S =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sinθ=12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosθ•tanθ = 12OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•tanθ=tanθ2. 即S 关于θ的解析式为： S =tanθ2； （2）∵ |OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c .且 OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 . ∴ c •|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•cosθ=1 . ∴ |FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1c•cosθ. ∴ Q (1c+c ，tanθc) ； （3）∵ S =34c .且 S =tanθ2. ∴ 34c =tanθ2 . ∴ tanθ=32c . ∴tanθc=32 .∴ Q (1c +c ，32) . ∴ |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(c +1c )2+94. ∵ c +1c 在[1.+∞）上单调递增.且c≥2. ∴ c +1c ≥52 . (c +1c )2+94≥172.∴c=2时. |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值为 √342 .此时 Q (52，32) ．【点评】：本题考查了向量数量积的计算公式.三角形的面积公式.函数 y =x +1x的单调性.增函数的定义.考查了计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）平面直角坐标系中.射线y=x （x≥0）和y=2x （x≥0）上分别依次有点A 1.A 2.….A n .…和点B 1.B 2.….B n .….其中A 1（1.1）.B 1（1.2）.B 2（2.4）.且 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| （n=2.3.4.…）． （1）用n 表示 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点A n 的坐标； （2）用n 表示 |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点B n 的坐标；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 的面积关于n 的表达式S n .并求S n 的最大值．【正确答案】：【解析】：本题第（1）题根据题意可发现数列{| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是一个等差数列.则写出| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |关于n 的表达式.即可得到点A n 的坐标；第（2）题先计算出| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 .再根据题干条件|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .可得数列{| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是一个等比数列.即可得到| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |关于n 的表达式.再根据点B 1.B 2.….B n .…均在射线y=2x （x≥0）上.可得| OB n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |代入后利用等比数列求和公式可得结果.设点B n 的坐标为（t.2t ）.则√t 2+(2t )2 = √5 •[3-（ 12 ）n-2]．解出t 的值可得点B n 的坐标；第（3）题先求出|OA n |及点B n到直线y=x 的距离为d.进一步可求得 S △OA n B n = 12 •|OA n |•d .同理可得 S △OA n+1B n+1 .则S n = S A n A n+1B n+1B n = S △OA n+1B n+1 - S △OA n B n .求出S n 的表达式.再利用不等式组 {S n ≥S n+1S n ≥S n−1.计算可得到S n 的最大值．【解答】：解：（1）由题意.| OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 . ∵ |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .∴数列{| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是以 √2 为首项. √2 为公差的等差数列． ∴| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 + √2 •（n-1）= √2 n ． ∴点A n 的坐标为（n.n ）．（2）由题意. B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.2）.则| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 ．∵ |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .∴数列{| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是以 √5 为首项. 12 为公比的等比数列．∴| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 •（ 12 ）n-1．∵点B 1.B 2.….B n .…均在射线y=2x （x≥0）上. ∴| OB n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √5 + √5 + √5 • 12 +…+ √5 •（ 12 ）n-2= √5 + √5 •[1+ 12 +（ 12 ）2+…+（ 12 ）n-2] = √5 + √5 •1−(12)n−11−12= √5 •[3-（ 12 ）n-2]． 设点B n 的坐标为（t.2t ）.则 √t 2+(2t )2 = √5 •[3-（ 12 ）n-2]． 解得t=3-（ 12）n-2．∴点B n 的坐标为（3-（ 12 ）n-2.6-（ 12 ）n-3）． （3）由（1）（2）.可知O （0.0）.A n （n.n ）.B n （3-（ 12 ）n-2.6-（ 12）n-3）． |OA n |= √n 2+n 2 = √2 n.设点B n 到直线y=x 的距离为d.则 d=|3−(12)n−2−6+(12)n−3|√1+1 =3−(12)n−2√2∴ S △OA n B n = 12 •|OA n |•d= 12 • √2 n•3−(12)n−2√2 =n[ 32 -（ 12 ）n-1]．同理可得 S △OA n+1B n+1 =（n+1）[ 32 -（ 12 ）n ]． ∴S n = S A n A n+1B n+1B n = S △OA n+1B n+1 - S △OA n B n =（n+1）[ 32 -（ 12 ）n ]-n[ 32 -（ 12 ）n-1]= n−12n + 32．根据不等式组{S n≥S n+1S n≥S n−1 .有{n−12n+32≥n2n+1+32 n−12n+32≥n−22n−1+32.解得2≤n≤3．∵S1= 32＜S2=S3= 74＞S4= 2716＞…∴S n的最大值为74．【点评】：本题主要考查向量、解析几何与数列的综合问题.考查了转化思想的应用.等差数列与等比数列的基础知识.数列最大值的求法.考查逻辑思维能力和数学运算能力．本题属综合性较强的较难题．。

七宝中学高一月考试卷2015.10一。

填空题（每题4分，共48分） 1。

已知集合2{|20,}A x x x x R =--=∈,集合{|13}B x x =≤≤,则A B = ；2. 集合{|25}A x x =-<<，集合{|121}B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆，则m 的取值范围为 ;3。

命题“若实数,a b 满足7a b +<,则2a =且3b =”的否命题是 ； 4. “||||x y >"是“x y >”的 条件； 5。

不等式2113x x -≥+的解集是;6。

已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解是 ；7。

不等式(1)(1||)0x x +->的解集是 ; 8。

设集合{(,)|13}A x y y x ==-,2{(,)|(12)5}B x y y m x ==-+，其中,,x y m R∈，若A B =∅，则实数m 的取值范围是 ；9。

已知12a b -<<<，则2a b -的范围是 ；10. 集合A 中有10个元素，B 中有6个元素,全集U 有18个元素，A B ≠∅，设集合()U C A B 有x 个元素,则x 的取值集合为;11。

对于任意的1[,3]2m ∈,不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是 ；12. 已知非空集合{1,2,3,4,5,6}S ⊆满足：若a S ∈，则必有7a S -∈，问这样的集合S有 个；请将该问题推广到一般情况： ；二。

选择题(每题5分，共20分）13。

设{|A x x =为合数}，{|B x x =为质数}，N 表示自然数集，若E 满足A B E N =，则这样的集合E （）A. 只有一个B. 只有两个C. 至多3个D. 有无数个14。

2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的条件．5．不等式≥1的解集是．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有个；请将该问题推广到一般情况：．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．1815．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求出集合B，再根据两个集合的交集的意义求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={﹣1，2}，因为B={x|1≤x≤3}，∴A∩B={2}；故答案为{2}；【点评】本题属于以一元二次方程为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的情况．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3．【考点】四种命题．【专题】规律型；对应思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的定义，结合原命题，可得其否命题．【解答】解：命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是“若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3”，故答案为：若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3【点评】本题考查的知识点是四种命题，正确理解四种命题的定义，是解答的关键．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由|x|＞|y|，化为，或．即可判断出结论．【解答】解：由|x|＞|y|，化为，或．∴“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．故答案为：既非充分也非必要．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．不等式≥1的解集是{x|x＜﹣3或x≥4}．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项通分可化不等式为于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，整理可得≥0，等价于，解得x＜﹣3或x≥4，∴不等式≥1的解集为{x|x＜﹣3或x≥4}故答案为：{x|x＜﹣3或x≥4}【点评】本题考查分式不等式的解集，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．【解答】解：∵不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣3，x=﹣2∴﹣3+（﹣2）=，（﹣3）•（﹣2）=，∴a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0，即﹣6x2﹣5x﹣1＞0，∴6x2+5x+1＜0，∴（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分x大于等于0和x小于0两种情况，根据绝对值的代数意义化简原不等式，得到（1+x）（1﹣x）大于0或（1+x）（1+x）大于0，求出相应的两解集的并集，即为原不等式的解集．【解答】解：当x≥0时，|x|=x，原不等式变形为：（1+x）（1﹣x）＞0，可化为或，解得：﹣1＜x＜1，不等式的解集为[0，1）；当x＜0时，|x|=﹣x，原不等式变形为：（1+x）（1+x）＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的思想，是高考中常考的题型．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据A∩B=∅，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，即可得到结论．【解答】解：集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，A∩B=∅，∴直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，∴1﹣2m2=﹣3，解得m=±，故答案为：±【点评】本题主要集合的基本运算，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行是解决本题的关键，比较基础9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是（﹣4，2）．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；判别式法；不等式．【分析】分别求出﹣4＜2a﹣b＜5和2a﹣b＜2，从而求出2a﹣b的范围即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜b＜2，∴﹣1＜a＜2，﹣1＜b＜2，a﹣b＜0，∴﹣2＜2a＜4，﹣2＜﹣b＜1，∴﹣4＜2a﹣b＜5①，而a＜2，a﹣b＜0，则2a﹣b＜2②，综合①②得2a﹣b的范围是（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题考查了不等式的性质问题，是一道基础题．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是3≤x≤8且x为整数．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由集合B中有6个元素，考虑当A与B两集合的交集最少时，仅有一个元素时，得到两集合的并集有15个元素，根据全集有18个元素，得到两集合并集的补集有3个元素；当两集合的交集最多时，有6个元素时，两集合的并集有10个元素，得到两集合并集的补集有8个元素，所以得到两集合并集中元素x的取值范围．【解答】解：因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合∁U（A∪B）中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，∁U（A∪B）中有8个元素，则得到3≤x≤8且x为整数．故答案为：3≤x≤8且x为整数【点评】此题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，是一道综合题．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；构造法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，由单调性可得f（）＞0，且f（3）＞0，由二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，即为m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，即有f（）＞0，且f（3）＞0，即为（t﹣2）+t2﹣4＞0，且3（t﹣2）+t2﹣4＞0，即有t＞2或t＜﹣且t＞2或t＜﹣5，解得t＞2或t＜﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意构造函数运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有7个；请将该问题推广到一般情况：已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个．【考点】类比推理．【专题】综合题；集合思想；综合法；推理和证明．【分析】若a∈S，则必有7﹣a∈S，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可；针对n是否为奇数和偶数进行讨论，分为奇数和偶数，然后，根据集合之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}，且若a∈S，则必有7﹣a∈S，那么满足上述条件的集合S可能为：{1，6}，{2，5}，{3，4}，{1，6，2，5}，{1，6，3，4}，{2，5，3，4}，{1，2，3，4，5，6}，共7个；若n为偶数，则集合{1，2，3，…，n}的元素个数为奇数个，因为a∈A，则n+1﹣a∈A，所以从集合{1，2，3，…，n}中取出两数，使得其和为n+1，这样的数共有对，所以此时集合M的个数有个，若n为奇数，则单独取出中间的那个数，所以此时集合M的个数为个．故答案为：7；已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个【点评】本题主要考查了子集的定义，以及集合的限制条件下求满足条件的集合，考查集合的元素特征，集合与集合之间的关系，元素与集合的关系等知识，属于中档题．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由题意E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，由此能求出结果．【解答】解：∵设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，∴A∪B中只比N中少两个元素：0和1，∵E满足A∪B∪E=N，∴E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，∴这样的集合E有无数个．故选：D．【点评】本题考查满足条件的集合个数的判断，是基础题，解题时要熟练掌握并集的性质．14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．18【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．【解答】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．15．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等关系与不等式．【专题】综合题．【分析】利用不等式的基本性质，分别进行变形，可以得到，即为使成立的充分条件．【解答】解：由题意，b＞0＞a时，，∴；0＞a＞b时，，∴；a＞0＞b时，，∴；a＞b＞0时，，∴从而能使成立的充分条件的个数是3个故选C．【点评】本题以不等式为载体，考查充分条件，解题的关键利用不等式的基本性质，分别进行变形．16．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．【解答】解：A：|a﹣b|=|a﹣c+c﹣b|≤|a﹣c|+|c﹣b|=|a﹣c|+|b﹣c|，故A恒成立；B：由于由于函数f（x）=x+在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即，a2+＞a+，当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即a2+＞a+，当a=1，a2+=a+．故B恒成立；C：由于．故C恒成立；D：若a﹣b=﹣1，则该不等式不成立，故D不恒成立故选D．【点评】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式a2+b2≥2ab成立的条件．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用．【分析】由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，运用作差法，结合因式分解，可得左边﹣右边=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，即可得证．【解答】证明：由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，又a2b+b2c+c2a﹣ab2﹣bc2﹣ca2=（a2b﹣ab2）+（b2c﹣ca2）+（c2a﹣c2b）=ab（a﹣b）+c（b﹣a）（b+a）+c2（a﹣b）=（a﹣b）（ab﹣bc﹣ac+c2）=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，所以a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查因式分解能力和推理能力，属于基础题．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，B，即可得出结论；（2）利用A∩B=B，可得B⊆A，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，a=2时，B={x|2x2﹣x+3＜0，x∈R}=∅；∴A∩B=∅；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，B=∅，，∴a≥；B≠∅，，∴0＜a≤综上，a＞0．【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】命题α，β有且只有一个是真命题，知两个命题一真一假，故要分为两类求解，α真β假或α假β真，首先要将两个命题中的条件进行化简，再分类讨论．【解答】解：由命题α：|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2，∴﹣1＜a＜3；∵方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，分为两类求解，一是方程无解，二是有两个非正实根，令f（x）=x2+（a+2）x+1，则f（0）=1，∴当无解时，△=（a+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜a＜0；当有两个非正根时，，解得a≥0．∴当方程x2+（a+2）x+1=0没有正根时，a的取值范围是：a＞﹣4．∵命题α，β有且只有一个是真命题，∴当α真β假时，得a∈∅；当α假β真时，得﹣4＜a≤﹣1或a≥3．∴命题α，β有且只有一个是真命题时，a的取值范围是（﹣4，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是化两个条件，尤其是命题β：方程x2+（a+2）x+1=0不存正实数根这个条件的转化，易因忘记方程无根时也满足无正根而导致错误，做题是要考虑完善，转化要注意验证是否等价，该题是中档题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由已知得（）2=1+≤2，由此能求出的最大值．（2）设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，由此利用均值定理能求出满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值．【解答】解：（1）∵x，y∈R+，∴（）2==1+≤2，当且仅当x=y时，对等号，∴当x=y时，的最大值为．（2）∵a，b∈R+，∴设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，∴2m+n≥=2，∵满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，∴2m+n≥k≥k=2k，∴2k，解得k，∴满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值为．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，考查满足不等式的实数的最大值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】新定义；等差数列与等比数列；集合．【分析】（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（2）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又由于＜＜…＜，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；＜，=1，=a2，…，=a n﹣1（3）根据（2），只要证明====a2即可求得集合A．【解答】解：（1）由于3×4，与或均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，∴该数集具有性质P．（2）证明：∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，=1，=a2，…，=a n，﹣1从而++…++=a1+a2+…+a n，∴；（3）由（2）知，当n=5时，有=a2，=a3，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得=∈A，且1＜=a2，∴==a2，∴====a2即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列，即有集合A={1，2，4，8，16}．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。

2017-2018 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10 月月考数学试卷一.填空题1．（3 分）已知，，则 | |＝．2．（3 分）等差数列{ an}的前n 项和为S n，则＝．3．（3 分）已知正△ABC 的面积是，则＝4．（3 分）已知，（k＞0），若，则正数k＝．5．（3 分）已知Rt△ABC 的内角A、 B、C 所对的边分别是a、 b、c，若A、B、C 依次成等差数列，且A＜ B＜ C，则a： b：c＝．6．（3 分）设等比数列{ an} 的公比q＝2，前n 项和为S n，则＝．7．（3 分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4），若存在实数λ，使得，则实数a＝．8．（3 分）已知（n∈N *），则＝．9．（3 分）已知等差数列{ an} 的公差不为零，且a5+a n＝a10+a20﹣m（m，n∈N *），则mn 的最大值是10．（3 分）设向量，满足||＝2，| |＝1 且，的夹角为，若向量2t +7 与+t 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是．11（．3 分）设、、都是非零向量，其中任意两个都不平行，已知∥，∥，则关于x的方程的解x＝．12．（3 分）给定平面上四点O，A，B，C 满足O A＝4，OB＝3，OC＝2，＝3，则△ABC 面积的最大值为．二.选择题第 1 页（共18 页）13．（3 分）已知﹣（）9依次成等比数列，则实数x 的值为1、a、x、b、﹣3D．不确定A ．3 B．﹣3C．3 或﹣14．（3 分）下列等式中不恒成立的是（）A ．B．C．D．入 3 个数，使它们与原数列构成一个新数列，则15．（3 分）在数列{ an} 中每相邻两项间插新数列的第41 项（）A ．不是原数列的项B．是原数列的第10 项C．是原数列的第11 项D．是原数列的第12 项16．（3 分）已知数列{ an} 满足a n+1＝pa n+2（p≠0），a1∈R，则下列命题中的真命题是（）A ．p＝﹣2，则数列{an+2} 一定是等比数列B．p＞1，a1≠0，数列 { a n}不存在极限C．p≠1，数列一定是等比数列D．0＜|p|＜1，则数列{an} 的极限为三.解答题17．已知向量和的夹角为60°，且| |＝3，，（1）求向量在方向上的投影；（2）若，求实数k 的取值范围．18．已知，，且向量、不平行，，，其中k、t 是正实数．（1）若，且，求向量、的夹角；（2）若∥，试求k+2t 的最小值．2，x 轴以及直线x＝ 1 所围成的区域的面积 S，可用x 轴上的y＝x19．我们要计算由抛物线分点0、、、⋯、、1 将区间[0，1]分成n 个小区间，在每个小区间上做一个小2为0、、、⋯、矩形，使矩形的左端点在抛物线y＝ x 上，这些矩形的高分别18 页）第 2 页（共，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为S n ，为求 S ，只须令分割的份数 n 无限增大， S n 就无限趋近于S ，即 ．（1）求数列 S n 的通项公式，并求出S ； 2（2）利用相同的思想方法，探求由函数 y ＝ x （ 1≤ x ≤ 2）的图象， x 轴以及直线x ＝ 1 和x ＝2 所围成的区域的面积T ．* 20．设数列 { an}的前 n 项和为 S n ，对一切n ∈N，点 都在 的图象上．* （1）证明：当n ≥ 2，n ∈N 时， an+an ﹣1＝2（2n ﹣1）； （2）求数列 { an} 的通项公式；*（3）设 T n 为数列前 n 项积，若不等式对一切n ∈N恒成立，求实数 a 的取值范围． 21．定义向量＝（a ，b ）的“相伴函数” 为 f （x ）＝asin x+ bcosx ，函数 f （x ）＝asinx+ bcosx的“相伴向量” 为 ＝（a ，b ）（其中 O 为坐标原点） ．记平面内所有向量的 “相伴函数”构成的集合为 S ．（1）设 g （x ）＝ 3sin （x+ ）+4sinx ，求证： g （x ）∈S ；（2）已知 h （x ）＝ cos （x+α）+2cosx ，且 h （x ） ∈S ，求其“相伴向量”的模； 2 2（3）已知 M （a ，b ）（b ≠0）为圆C ：（ x ﹣2） ＝1 上一点，向量 的“相伴函数” f+y（x ）在 x ＝x 0 处取得最大值．当点M 在圆C 上运动时，求 tan2x 0 的取值范围．第 3 页（共18 页）2017-2018 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10 月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3 分）已知，，则| |＝．【分析】直接利用向量的坐标运算求解|AB|即可．【解答】解：，，则| | ＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的求法，向量的坐标运算，是基本知识的考查．2．（3 分）等差数列{ an}的前 n 项和为S n，则＝ 2 ．【分析】先求出S n＝n（），再由“”型极限的计算公式能求出的值．【解答】解：∵ S n＝na1+ ＝n（），∴＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质第4 页（共18 页）的灵活运用．3．（3 分）已知正△ABC 的面积是，则＝﹣8【分析】根据三角形的面积公式求出边长，结合向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵正△ABC 的面积是，设边长为a，2∴S＝a?a×sin60°＝ a ＝4 ，2得 a ＝16，得 a＝4，向量＝| |?| |cos＜，＞＝4×4cos120°＝16×（﹣）＝﹣ 8，故答案为：﹣8【点评】本题主要考查向量数量积的计算，结合正三角形的面积公式求出边长是解决本题的关键．4．（3 分）已知，（k＞0），若，则正数k＝．【分析】根据即可得出，进行数量积的运算即可求出 k 的值．【解答】解：∵；2∴＝k+1﹣8＝0；又 k＞0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算．5．（3 分）已知Rt△ABC 的内角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，若 A、B、C 依次成等差数列，且A＜B＜C，则 a：b：c＝．【分析】根据 A、B、C 依次成等差数列，以及三角形是直角三角形求出，A，B，C 的大小，结合正弦定理进行求解即可．【解答】解：∵ A、B、C 依次成等差数列，且A＜B＜C，第5 页（共18 页）∴A+C＝2B，即 A+B+C＝3B＝π，即 B＝，∵三角形是Rt△ABC，∴C＝，A＝，则 a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝sin ：sin ：sin ＝：：1＝1：：2，故答案为：1：：2【点评】本题主要考查正弦定理的应用，解等差数列以及条件求出A，B，C 的大小是解决本题的关键．6．（3 分）设等比数列{ an} 的公比 q＝2，前 n 项和为S n，则＝．【分析】根据等比数列的通项公式与前n 项和的公式表示出S4 与 a4，进行比值计算再结合 q 的数值即可得到答案．【解答】解：因为数列{ a n} 是等比数列，3 所以由等比数列的前n 项和公式与通项公式可得，a4＝a1q，所以．又因为 q＝2，所以．故答案为．【点评】解决此类问题的关键的是数列掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式，并且进行正确的运算．7．（3 分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4），若存在实数λ，使得，则实数 a＝ 4 ．【分析】求出的坐标，列方程组求出 a 的值．【解答】解：＝（a﹣2，﹣2），＝（﹣ a，4），第6 页（共18 页）∵ ，∴，解得 a ＝ 4．故答案为： 4．【点评】 本体考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．8．（ 3 分）已知 （n ∈N* ），则＝ 19 ． 【分析】 根据 an 的解析式可知，数列 {an} 的前 8 项是首项为 ，公差为 的等差数列， 后 n ﹣8 项是首项为，公比为的等比数列，从而根据等差数列和等比数列的前n 项和公式即可得出： ＝ ＝19．【解答】解： ＝ ＝18+1＝19．故答案为： 19．【点评】 考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，数列极限的计算．9．（ 3 分）已知等差数列 { an} 的公差不为零，且a 5+a n ＝a 10+a20﹣m（m ，n ∈N * ），则m n 的最 大值是 156* 【分析】 等差数列 { an}的公差 d ≠ 0，由 a5+an ＝a10+a20﹣m （m ，n ∈N），利用通项公式可 得： m+ n ＝25．再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】 解：等差数列 { an} 的公差 d ≠0，∵ a5+an ＝a10+a20﹣m（m ，n ∈N* ），∴2a 1+（n+3）d ＝2a1+（28﹣m ）d ， 化为： m+ n ＝25． 则mn ＝n （ 25﹣n ）＝﹣+，当 n ＝12 或 13 时， mn 取得最大值＝ 12×13＝156． 故答案为： 156．【点评】 本题考查了等差数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．第 7 页（共18 页）10．（3 分）设向量，满足| |＝2，| |＝1 且，的夹角为，若向量 2t +7 与+t 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．【分析】由题意可得? ＝1，（2t +7 ）（? +t ）＜0，且向量2t +7 与+t 不共线．由（2t +7 ）（? +t ）＜0 求得 t 的范围；由，解得t 的范围，再把这 2 个t 的范围取交集，即得所求．【解答】解：由题意可得? ＝2×1×cos ＝1，由于向量2t +7 与+t 的夹角为钝角，可得（2t +7 ）?（+t ）＜0，且向量 2t +7 与+t 不共线．2由（2t +7 ）（? +t ）＜0 可得2t+15 t+7＜0，解得﹣ 7＜t＜﹣．再由向量2t +7 与+t 不共线，可得，解得t≠±．综上可得，实数t 的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣），故答案为：（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．11（．3 分）设、、都是非零向量，其中任意两个都不平行，已知∥，∥，则关于 x 的方程的解 x＝﹣1 ．【分析】根据∥，∥即可得出，存在实数s ， t ，使得，①﹣②即可得出，从而可求出s＝t＝﹣1，这样即可得出，③﹣④即可得出，带入即可得出，从而求出x＝﹣1．【解答】解：∵，且、、都是非零向量，其中任意两个都不平行；∴根据共线向量基本定理得，存在实数s，t，使：；第8 页（共18 页）∴①﹣②得：；∴根据平面向量基本定理得，t＝﹣1，s＝﹣1；∴③，④；∴③+④得：；∴；∴由得：；∴﹣x＝1；∴x＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】考查共线向量和平面向量基本定理．12．（3 分）给定平面上四点O，A，B，C 满足 OA＝4，OB＝3，OC＝2，＝3，则△ABC 面积的最大值为．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BOC ＝60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得 O 到BC 的距离，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】解：∵ OB＝3，OC＝2，＝3，∴∠BOC＝60°，∴BC＝＝，设 O 到 BC 的距离为h，则由等面积可得，∴h＝，∴△ABC 面积的最大值为? （?+4）＝．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O 到BC 的距离是关键．二.选择题13．（3 分）已知﹣1、a、x、b、﹣9 依次成等比数列，则实数x 的值为（）第9 页（共18 页）A ．3B ．﹣3C ．3 或﹣3D ．不确定【分析】 由﹣1、a 、x 、b 、﹣9 依次成等比数列，奇数项的符合相同，即可得出． 【解答】 解：﹣1、 a 、x 、b 、﹣9 依次成等比数列，奇数项的符合相同， 则 x ＝﹣＝﹣3． 故选： B ．【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题．14．（3 分）下列等式中不恒成立的是（ ） A ． B ． C ．D ．【分析】 利用平面向量数量积的运算律进行判断． 【解答】 解：根据数量积的满足的交换律，可知 A 项恒成立；由数量积与实数运算的结合律可知 B 项恒成立； 对于 C 项，，只有时， C项才能成立，即 C 项不恒成立； 对于 D 项，由平方差公式可知， D 项恒成立；故选： C ．【点评】 本题考查了平面向量数量积的运算律，属于基础题目． 15．（3 分）在数列 { an} 中每相邻两项间插入3 个数，使它们与原数列构成一个新数列，则 新数列的第 41 项（ ）A ．不是原数列的项B ．是原数列的第 10 项C ．是原数列的第 11 项D ．是原数列的第 12 项【分析】 根据题意，把新数列，每隔4 个作为一组，据此分析可得新数列的第 41 项为第11 组的第一个数，即a 11，即可得答案．【解答】 解：根据题意，在数列 {a n } 中每相邻两项间插入3 个数，使它们与原数列构成一个新数列，设新数列为{ b n } ，则有 b1＝ a1，b5＝a2，⋯ ⋯将数列 { bn}从 b1 开始的连续4 项作为 1 组，则 an 为第 n 组的第一个数， 又由 41＝ 4×10+1，则新数列的第 41 项为第 11 组的第一个数，即 a 11，第 10 页（共18 页）新数列的第41 项是原数列的第11 项；故选： C．【点评】本题考查数列的表示方法，注意将新数列分组，分析原数列与新数列的关系．a n+1＝pa n+2（p≠0），a1∈R，则下列命题中的真命题是（）16．（3 分）已知数列{ an} 满足A ．p＝﹣2，则数列{an+2} 一定是等比数列B．p＞1，a1≠0，数列 { a n}不存在极限C．p≠1，数列一定是等比数列D．0＜|p|＜1，则数列{an} 的极限为求一步行分析，进【分析】利用数列的关系式的变换和极限的应用分别对每一个选项进出结果．【解答】解：①对于选项A：当p＝2 时，，则数列{ a n+2} 一定是等比数列故：选项 A 错误．②对于选项： B当q＞1 或q＜﹣1时，数列{ an} 不存在极限．故选项 B 错误③当对于选项C：由已知数列{a n} 满足a n+1＝pa n+2（p≠0），可得，即（常数），所以p≠1，数列一定是等比数列，④对于选项：D，当0＜|p |＜1，，则数列{ an}的极限为故选项 D 错误．第11 页（共18 页）故选： C ．【点评】 本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列的极限，主要考察学生的运算能力 和转换能力，属于综合题． 三.解答题 17．已知向量和 的夹角为60°，且 | |＝3，，（1）求向量 在 方向上的投影； （2）若，求实数 k 的取值范围．【分析】（1）根据向量投影的定义进行求解即可．（2）练习向量模长公式与向量数量积的关系，利用平方法进行求解即可． 【解答】 解：（1）向量 在 方向上的投影为| |cos ＜ ＞＝ 4× ＝2．（2）若， 则平方得 k2 ﹣ 2k ? +2 ≥ 13，2即 9k ﹣2k ×3×4× +16≥ 13， 2即 9k ﹣12k+3≥ 0， 2即 3k ﹣4k+1≥ 0，得或 k ≥ 1．【点评】 本题主要考查向量投影以及向量模长公式的应用，结合向量数量积的应用是解 决本题的关键． 18．已知，，且向量 、 不平行，，，其中k 、t 是正实数． （1）若，且，求向量、 的夹角；（2）若 ∥ ，试求 k+2t 的最小值．【分析】（1）根据向量数量积以及向量模长与数量积的关系进行求解即可． （2）根据向量关系，建立系数之间的关系，利用基本不等式的性质进行求解． 【解答】 解：（1）∵ ，且 ，∴ ＝﹣（ + ），第 12 页（共18 页）则| |＝|﹣（ + ）|＝2， 即2 + 2 +2 ? ＝4， 即 2 ? +4+1＝ 4， 则? ＝﹣ ，即 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∵＜ ， ＞∈[0，π]， ∴＜ ， ＞＝ arccos （）＝；（2）若 ∥ ，设 ＝x ， 即 ，消去 x 得 ＝ ，k ， t 都是正实数，则k ＝＝1+，且 t ＞3，2t ＞6， 则k+2t ＝1+ +2t ＝+2（t ﹣3） +7≥ 7+2＝7+2＝7+8＝15，当且仅当＝2（ t ﹣3），即 t ＝5 时，取等号，即 k+2t 的最小值是 15．【点评】 本题主要考查向量数量积的应用，结合向量数量积与模长关系，以及基本不等 式的应用进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算能力． 2，x 轴以及直线x ＝ 1 所围成的区域的面积S ，可用 x 轴上的19．我们要计算由抛物线y ＝x 分点 0、 、 、⋯ 、 、1 将区间 [0，1]分成 n 个小区间，在每个小区间上做一个小2 矩形， 使矩形的左端点在抛物线y ＝ x 上，这些矩形的高分别为 0、、、⋯ 、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为Sn ，为求 S ，只须令分割的份数 n 无限增大， S n 就无限趋近于S ，即 ．（1）求数列 S n 的通项公式，并求出S ； 2（2）利用相同的思想方法，探求由函数 y ＝ x （ 1≤ x ≤ 2）的图象， x 轴以及直线x ＝ 1 和x ＝2 所围成的区域的面积T ．【分析】 本题第（ 1）题要在理解题意的基础上列出S n 的表达式然后进行计算，这里要18 页）第13 页（共2 2 2 2用到公式 1 ＝ n （n+1）（ 2n+1）/6，计算出 S n 之后就很容易得到 S ；第（2） +2 +3 +⋯ +n 题先根据题干中分割区间[0，1]一样的分割法去分割区间[1，2]，得到各个矩形的底边长2 2 和高，列出 T n 的表达式，这里也要用到公式 1 +2 +3 2 2 ＝n （n+1）（2n+1）/6，计+⋯ +n 算出 T n 之后就很容易得到 T ． 【解答】 解：（1）由题意，可知：＝＝ ＝＝ ．∴ ＝ ．（2）仿照题干中思想，可用 x 轴上的分点 1、1+ 、1+ 、⋯ 、 1+ 、2 将区间 [1，2]分成 n 个小区间，2在每个小区间上做一个小矩形，使矩形的左端点在抛物线 y ＝x （ 1≤ x ≤ 2）上．∴矩形的底边长都是 ． 这些矩形的高分别为1， ．可设所有这些矩形面积的总和为T n ． 则Tn ．＝＝＝（2n ﹣1） 2]＝18 页）第14 页（共＝＝＝．∴．【点评】本题第（1）题主要考查理解对区间进行分割求和求极限法去求曲边矩形的面积；档中第（2）题是模仿题干的分割法自己去分割求和求极限求出曲边矩形的面积；本题属题．*n∈N，点都在的图象20．设数列{ an}的前n 项和为Sn，对一切上．*1）；（1）证明：当n≥2，n∈N 时， a n+an﹣1＝2（2n﹣（2）求数列{ a n} 的通项公式；*n∈N （3）设T n 为数列前n 项积，若不等式对一切恒成立，求实数 a 的取值范围．【分析】（1）利用数列的通项公式和求和公式的关系可以证明；；（2）利用等差数列的通项公式可得结果*）对一切n∈N （3）化简不等式得（ 1﹣都成立．设g（n）＝，则只需|g（n）|max ，判断g（n）的单调性，即可得到最大值，再解不等式，即可得到 a 的范围．*【解答】解：（1）证明：对一切n∈N，点都在的图象上．2∴＝n+ ，化为：S n＝n + an．* 21）+ an﹣1．当n≥2， n∈N 时， S n＝（ n﹣相减可得：an＝2n﹣1+ an﹣a n﹣1．∴a n+an﹣1＝2（ 2n﹣1）．（2）由（ 1）可得a n+1+a n＝4n+2，a n+2+a n+1＝4n+6，18 页）第15 页（共相减可得an+2﹣a n＝4，又a1＝2，a2＝4，则{a n} 奇数项与偶数项分别成等差数列，当n 取奇数时，a n＝2n，当n 取偶数时，a n＝2n，故a n＝2n；（3）因为，故，所以＝，又f（ a）﹣＝a+ ＝a﹣＞（1﹣）对一切n∈N *都成立．设g（n）＝，则只需|g（n）|max ，由于＝＜1，所以g（n+1）＜ g（n），故g（n）是单调减函数，于是．令，即，解得 a ．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，同时考查不等式恒成立问题，注意运用数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．定义向量＝（a，b）的“相伴函数”为f（x）＝asin x+ bcosx，函数f（x）＝asinx+ bcosx 的“相伴向量”为＝（a，b）（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．第16 页（共18 页）（1）设g（x）＝ 3sin（x+ ）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）＝ cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；2 22）＝1 上一点，向量的“相伴函数” fC：（x﹣（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆+y（x）在x＝x0 处取得最大值．当点M 在圆C上运动时，求tan2x0 的取值范围．【分析】（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；变量x0；再结合几何意义求出的自（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．【解答】解：（1）g（x）＝ 3sin（x+ ） +4sinx＝4sinx+3cosx，其‘相伴向量’＝（ 4，3），g（x）∈S．（2）h（x）＝ cos（x+α）+2cosx＝（ cosxcosα﹣s inxsinα）+2cosxs inαsinx+（cosα+2）cosx＝﹣∴函数h（x）的‘相伴向量’＝（﹣s inα，cosα+2）．则||＝＝．（3）的‘相伴函数’f（x）＝ asinx+bcosx＝sin（x+φ），其中cosφ＝，sinφ＝．φ，k∈Z．当x+φ＝2kπ+ ， k∈Z 时， f（ x）取到最大值，故x0＝2kπ+﹣∴tanx0＝tan（2kπ+﹣φ）＝ cotφ＝，tan2x0＝＝＝．， 0）∪（0，]．为直线OM 的斜率，由几何意义知：∈[﹣令m＝，则t an2x0＝，m∈[﹣，0）∪（ 0，}．第17 页（共18 页）WORD 格式专业资料整理 当﹣≤ m ＜0 时，函数 tan2x0＝ 单调递减，∴0＜tan2x0≤ ； 当 0＜m ≤ 时，函数 tan2x 0＝ 单调递减，∴﹣ ≤ tan2x 0＜0． 综上所述， tan2x 0∈[﹣，0）∪（ 0， ]．【点评】本题主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识．是 对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功．第 18 页（共18 页）。

闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 理试 卷考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2．本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。

3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3log (1)y x =-的定义域是 .2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则 A B 等于 . 3．若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 . 4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f -= .5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，1a = ，(3,0)b =，则2a b += .7．已知ABC △的周长为4，且sin sin 3sin A B C +=，则AB 边的长为 .8．若6x ⎛+ ⎝的展开式中的3x 项大于15，且x 为等比数列{}n a 的公比，则1234limnn na a a a a a →∞+++=+++ .9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = . 10．若以x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数，则圆2220x y x +-=的参数方程为 .1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π） 11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 ．12．在极坐标系中，从四条曲线1:1C ρ=，2:C θπ=3（0ρ≥），3:c o s C ρθ=，4:sin 1C ρθ=中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .14． (理科）若两函数y x a =+与y =A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A)11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 16．若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件17．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）. （A ）π3 (B) π6 （C ）π3或2π3 (D) π6或5π6三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）ABC DPPABCD P ABCD复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=． （1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB +为定值； （3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-． （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2；4．9； 5．3； 6 7．1； 8．1； 9．4； 10．1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）、 11．8； 12．113．12016 14．⎝⎭、 二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分． 15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C 三、解答题（第19题至23题） 19.（本题满分12分）解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分 当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分PA BCD综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．解：理:（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =- ,(1,2,0)BD =-……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅= (5)分 故异面直线PC 与BD 所成角为arccos 10．…7分（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⋅⋅⋅⋅⋅，sin 2θ∴=……………………12分 4πθ∴=或34π． ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人） …………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）（理）当0)()(≥-n g n f 时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当3229≤≤n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当4533≤≤n 时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 解：（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -…7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解： （1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………………18分2016年闵行区高考数学二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】(1,)+∞【试题分析】依题意可知，10x ->，即1x >，所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞，故答案为[1,)+∞.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式（组）的解法、含有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】(2,3)-【试题分析】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 所以{|23}A B x x =-<< ，故答案为(2,3)-.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. 【参考答案】2【试题分析】复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+，因为复数的实部与虚部相等，则有112b =，解得2b =，故答案为2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】9【试题分析】函数33log 1()log 221x f x x ==-，令()0f x =，解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f -=，故答案为9.5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，依题意有，3l r =，则圆锥的底面积为2πS r =底，圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧，所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底，故答案为3. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】因为(3,0)b = ，所以||3b = ，又因为||1a = ，||a 与||b的夹角为60°，所以3||||cos 602a b a b ⋅=⋅=.因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=，所以|2|a b +7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】1【试题分析】因为sin sin 3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4，即4a b c ++=，所以43,1c AB c -===.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】1【试题分析】6x ⎛+ ⎝的展开式中第r 项为3662166C C rr r r rr T x x --+⎛=⋅=，令3632r -=得2r =，所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>，1x >，因为x 为等比数列{}n a 的公比，所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a xa x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11nn x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】4【试题分析】因为1m n +=，所以11()()11t t nt mm n t t m n m n m n+=++=+++++≥=211)t ++=，当22m nt =时，取等号，又因为1t m n +的最小值为9，即21)9=，所以4t =，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤【试题分析】圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为(1cos,sin )θθ+，(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1， 因为AB 是圆的任意一条直径，不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径，则1(0,)A y ，2(0,)B y ，所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y == ，又因为当0x =时，122,4y y ==，所以128OA OB y y ==，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标:数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】1【试题分析】曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=，y =(0)x ≥，2211()24x y -+=，1y =，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1;34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==. 13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】12016【试题分析】因为22224032,120162|2016|24032,2017n n an a n S n a n n an a n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥，所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥，所以1n n n a S S -=-= 212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立，所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a +-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-，又0a >，所以102016a <≤，故答案为12016. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】 【试题分析】函数y =[22-，值域为[0,)+∞，联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩x 得2234210y ay a -+-=，23a y ±=,因为两函数的图像有两个交点，所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得[22），设1122(,),(,)A x y B x y ，则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形，所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩ 即222320,32313a a ⎧->⎪⎪⎨-⎪+>⎪⎭⎝⎩,解得33a <<,所以a的取值范围为(33，故答案为(33. 二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明. 【正确选项】D【试题分析】选项A 中，若a b ＞＞1，则有11a b＜，所以A 不正确；选项B 中，若0a b ＞＞，且||||a b ＜，则22a b ＜，所以B 不正确；同理选项C 也不正确，选项D 中，函数是R 上的增函数，所以有22ab＞，所以D 正确，故答案为D.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C. 17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【正确选项】B【试题分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=，所以1tan tan DPD EPD ∠=∠，即1D DAE AP DP=,因为E 为1A A 的中点，所以2DPAP=,设正方体边长为2，以DA 方向为x 轴，线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0),(1,0)D A -,因为2DPAP=，所以=22525()39x y -+=，所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【正确选项】C【试题分析】函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像，则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++，所以12sin()=1x x ϕ-++，因为12π||6x x -=，所以12π6x x -=±，当12π6x x -=时，πsin()16ϕ-=，22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<，所以2π=3ϕ，同理，可得12π6x x -=-时，π=3ϕ，所以2π3ϕ=或π3，故答案为C.三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x =, ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==. ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-. ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =- ,(1,2,0)BD =-……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅=………………5分 故异面直线PC 与BD所成角为arccos10．…7分MHLD1第19题图（1）（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯，sin 2θ∴= ……………………12分π4θ∴=或3π4． ……………………………14分MHLD2第19题图（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义. 【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. （2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. 【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++131415161212121236033]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）当()()0f n g n -≥时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当2932n ≤≤时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当3345n ≤≤时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题. 【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分（2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -………7分 ∴2222200021111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y=+=+++ 2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明. 【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. （2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =由条件，()0k f x =两根x =则kc ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。

七宝中学2019-2020学年高二上10月月考数学卷一、填空题(本大题共12题，满分54分)只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值为________.【答案】6【解析】【分析】利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值为：328(1)(1824)639-=--=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.2.计算10140223⎛⎫⎛⎫⨯=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭__________.【答案】14 46⎛⎫ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】根据二阶矩阵乘法法则进行计算,即可得到结论【详解】10140223⎛⎫⎛⎫⨯=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()11+021403140122042346⨯⨯-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⨯+⨯-⨯+⨯-⎝⎭⎝⎭故答案为：14 46⎛⎫ ⎪-⎝⎭【点睛】本题考查二阶矩阵的乘法,考查运算能力3.已知向量a =(-2，2)，b =(5，k )，若5a b +≤，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】[-6，2] 【解析】 【分析】先得到()3,2a b k +=+,根据模的定义代入不等式,解出k 即可【详解】由题,()3,2a b k +=+, (235a b +=+≤,62k ∴-≤≤,即[]6,2k ∈-故答案：[]6,2-【点睛】本题考查向量加法的坐标运算,考查模的定义,考查运算能力 4.若1,2,a b c a b ===+，且c a⊥，则向量a 与b 的夹角为 【答案】120 【解析】依题意()212cos 0a c a a b a a b θ⋅=⋅+=+⋅=+=，故1cos ,1202θ=-=. 5.已知43a i j =+，2b mi j =-，3c i j =-+，若a ，b ，c 可构成三角形，则m =____________. 【答案】-7 【解析】 【分析】若a ，b ，c 可构成三角形,则可得0a b c +-=,代入求解即可【详解】若a 、b 、c 可构成三角形,则0a b c +-=,即()()()43230i j mi j i j ++---+=()()433210m i j ∴+++--=430m ∴++=7m ∴=-故答案为：7-【点睛】本题考查向量法判断三角形,考查向量的加减法,考查运算能力,考查平面向量基本定理的应用6.己知行列式123456789n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++中的元素n i a +(j =1，2，3，...，9)是等比数列{}n a 的第n +j 项，则此行列式的值是___________. 【答案】0【解析】 【分析】由题意,得到每两行元素成比例,进一步得到结果【详解】由题可知元素n i a +(j =1，2，3，...，9)是等比数列{}n a 的第n +j 项,则该行列式的两行元素成比例,故行列式为0 故答案为：0【点睛】本题考查行列式的运算,考查行列式的性质,考查等比数列的定义7.已知向量a =(1，2)，b =(2，3)，则“4λ-＜”是“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”成立的___________条件. 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】根据“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”求出λ的范围,进而判断是何种条件【详解】由题, ()2,23m a b λλλ=+=++,若m 与()3,1n =-的夹角为钝角,则0m n ⋅<且m 与n 不是共线且反向的向量,即()()322330λλλ+-+=+<且22331λλ++≠-,即3λ<- ∴“4λ-＜”是“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”的充分非必要条件.故答案为：充分非必要【点睛】本题考查向量法求夹角,考查充分非必要条件,考查数量积的应用,考查运算能力8.若平面向量i a 满足1(1,2,3,4)i a i ==且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++可能的值有____________个. 【答案】3 【解析】试题分析：因为1223340,0,0a a a a a a ⋅=⋅=⋅=，所以122334,,a a a a a a ⊥⊥⊥，所以1324//,//a a a a ，设3142,a xa a y a ==，因为1i a =1,1x y =±=±，123412(1)(1)a a a a x a y a +++=+++，所以 22221234(1)2(1)(1)(1)(1a a a a x a x y a a y a +++=++++⋅++=+1,1x y =±=±，所以当1,1x y ==时，1234(1a a a a +++===当1,1x y =-=-，时1234(10a a a a +++===，当1,1x y ==-，时1234(12a a a a +++===，当1,1x y =-=，时1234(12a a a a +++===，综上1234a a a a +++可能的值有3个。

绝密★启用前上海市闵行区七宝中学2016-2017学年高三上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．函数()f x sin2x =的最小正周期为( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．已知()y f x =是周期为2π的函数，当[)02x π∈，时，()sin 2xf x =，则1()2f x =的解集为（ ） A ．|2,3x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．5|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D ．3|2(1),k x x k k z ππ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭3．“1132x <<”是“不等式||11x -＜成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()xxxf x a b c =+-，其中0c a >>，0a b >>，若a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ） ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈，使x a ，x b ，x c 不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()1,2x ∈，使()0f x =； A ．①②； B ．①③；C ．②③；D ．①②③；第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知集合{|2}A x x =≤，5|01x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I _________． 6．已知()()125,0cos sin Acos Aθθθϕ=+-＞，则tan ϕ=_________． 7．已知函数()()arcsin 2110y x x =+-≤≤，则16f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭_____________.8．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．9．已知函数()()23121xf xg x x x ==﹣，﹣﹣，若存在实数a 、b 使得()()f a g b =，则b 是取值范围是_________．10．已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________.11．已知θ为锐角，且1cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos θ=_________． 12．已知00a b ＞，＞且1a b +=，则()()2222a b +++的最小值是_________．13．已知偶函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f +=﹣，则(2014)f =_________．14．已知()()()2,0f x sin x ωω=＞在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是_________．15．若定义在[,](0)m m m ->上的函数()42cos (0,1)1x xa f x x x a a a ⋅+=+>≠+的最大值和最小值分别是M 、N ，则M N +=_________．16．在某一个圆中，长度为2、3、4的平行弦分别对应于圆心角αβαβ+、、，其中αβπ+＜，则这个圆的半径是_________．17．若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 三、解答题18．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3sinCcosB sinBcosC sinAcosB +=；（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=uu r uu u r，且b =a c +的值． 19．已知函数1(),,,0,0,(1)2x f x a b R a b f ax b =∈≠≠=+，且方程()f x x =有且仅有一个实数解； （1）求a 、b 的值； （2）当11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，不等式()()()11x f x m m x +⋅＞--恒成立，求实数m 的范围． 20．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的周期为π，图象的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所有图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）当1a ≥，求实数a 与正整数n ，使()()()F x f x a g x =+⋅在()0,n π恰有2019个零点．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1a a a R =∈，*13,3,2,3n n n n n a a a n N a a +->⎧=∈⎨⎩…； （1）若06n a ≤＜，求证：106n a +≤＜； （2）若5a =，求2016S ；（3）若()*321ma m N =∈-，求42m S +的值． 22．已知函数2()5bf x ax x=++(常数,a b R ∈）满足(1)(1)14f f +-=. （1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性； （2）若()f x 在区间-∞（，上单调递减，求b 的最小值； （3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++++L L 成立.参考答案1．C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的周期公式即可求值得解． 【详解】解：()sin22sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭Q ， ∴最小正周期22T ππ==． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】先求出[0,2)π上的x 的取值,再由周期性得到全体定义域中的解集. 【详解】 解：1()sin,[0,2)22x f x x π==∈Q , [0,)2x π∴∈.26x π∴=或56π.3x π∴=或53π. f x Q （）是周期为2π的周期函数,1()2f x ∴=的解集为|2,3x x k k z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭.故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性以及函数值的求法.属于中等题型. 3．A 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法化简条件“不等式||11x﹣＜成立”,判断出两个集合的包含关系,根据小范围成立大范围内就成立,判断出前者是后者的充分不必要条件. 【详解】解：因为111110||2xx x ⇔⇔﹣＜﹣＜﹣＜＜＜, 因为11{|}{|02}32x x x x <<⊆<<, 所以“1132x <<”是“不等式|1|1x -<成立”的充分不必要条件,故选：A 【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断. 4．D 【解析】 【分析】①利用指数函数的性质以a ，b ，c 构成三角形的条件进行证明；②可以举反例进行判断；③利用函数零点的存在性定理进行判断； 【详解】①Q a ，b ，c 是ABC ∆的三条边，a b c ∴+>，0c a >>Q ，0c b >>，01ac ∴<<，01b c<<， 当(),1x ∈-∞时，()1xx x xxxa f x abc c b c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣+⎦=-10x x a b a b c c c c c c +-⎛⎫>⋅+-=⋅> ⎪⎝⎭，∴①正确；②令2,3,4a b c ===，则a ，b ，c 可以构成三角形，但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，∴②正确；③0c a >>Q ，0c b >>，若ABC ∆为钝角三角形，则2220a b c +-<，()10f a b c =+->Q ，()22220f a b c =+-<，∴根据函数零点的存在性定理可知在区间()1,2上存在零点，即存在()1,2x ∈，使()0f x =，故③正确； 故选：D 【点睛】本题考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理、考查指数函数的性质以及余弦定理的应用，属于中档题.5．1{|}2x x ≤﹣＜ 【解析】 【分析】求出集合A 中绝对值不等式的解集确定出集合A ；把集合B 中的不等式转化为两个不等式组,求出不等式组的解集确定出集合B ,然后把求出的两集合的解集表示在数轴上,根据图形即可得到两集合的交集. 【详解】解：由集合A 中的不等式2x ≤,解得22x ≤≤﹣,∴集合22{|}A x x =≤≤﹣； 由集合B 中的不等式501x x +≤-, 可化为：5010x x +>⎧⎨-<⎩或5010x x +≤⎧⎨->⎩,,解得：51x ≤﹣＜,∴集合51{|}B x x =≤﹣＜, 把两集合的解集表示在数轴上,如图所示：根据图形得：{|1}2A B x x ⋂=≤﹣＜.故答案为：1{|}2x x ≤﹣＜. 【点睛】本题主要考查了交集及其运算.属于基础题型. 6．512． 【解析】 【分析】利用辅助角和两角和与差的余弦函数对已知函数式进行变形,求得sin cos ϕϕ、的值.然后根据同角三角函数关系进行解答. 【详解】()12512cos 5sin 13cos sin ,cos()(cos cos sin sin )01313A A A θθθθθϕϕθϕθ⎛⎫-=-+=-> ⎪⎝⎭Q ,125,1313cos sin ϕϕ∴==, 5sin 512tan 12cos 1213ϕϕϕ∴===.故答案为：512.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式化简求值.属于中等题型. 7．14-【解析】 【分析】先由函数解析式，求出逆函数解析()111sin 22-=-f x x ，代入求解，即可得出结果. 【详解】由()()arcsin 2110y x x =+-≤≤得21sin +=x y ，即11sin 22=-x y ， 所以()111sin 22-=-fx x ，因此1111sin 62624ππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f .故答案为14- 【点睛】本题主要考查求逆函数的值，会求逆函数的解析式即可，属于常考题型. 8．(]1,2 【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.9．(,0)(2,)-∞+∞U ． 【解析】 【分析】若存在实数a 、b 使得()()f a g b =,则()g b 属于函数()f x 的值域,进而得到答案. 【详解】解：函数()()311,xf x =-∈-+∞,若存在实数a 、b 使得()()f a g b =, 则2()211g b b b =-->-, 解得：()(),02,b ∈-∞⋃+∞, 故答案为：()(),02,-∞+∞U 【点睛】本题主要考查了二次函数与指数函数的值域方法等.属于基础题型. 10．(2,1)- 【解析】 【分析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数，并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<. 故答案为:(2,1)- 【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.11．【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,再利用两角和差的余弦公式求得cos cos 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值.【详解】解：∵θ为锐角,且1cos ,454ππθθ⎛⎫+=∴+ ⎪⎝⎭为锐角,故sin 4πθ⎛⎫+==⎪⎝⎭, 则cos cos cos cos sin sin 444444ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦15==故答案为：10.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数.需要凑角求解对应的三角函数值,属于中等题型. 12．252． 【解析】 【分析】利用几何意义,转化求解即可. 【详解】解：00a b ＞，＞且1a b +=,则2222a b +++（）（）的最小值就是22（-，-）到直线1a b +=的距离的平方,依题意可得：2252=. 故答案为：252. 【点睛】本题主要考查了直线和圆的方程的应用,需要数形结合求解,属于中等题型. 13．0 【解析】 【分析】先根据函数性质求解(2)f ,进而得到函数周期为4.再求解 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的偶函数,(2)(2)f f ∴-=,∵对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f +=﹣, 令2x =-,则(2)(2)2(2)f f f =-+,(2)0(4)()f f x f x ∴=∴+=，,即函数()f x 是最小正周期为4的函数,(2014)(2)0f f ∴==.故答案为：0.14．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．【解析】 【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得2,()3242ππππωω⋅≤⋅-≥-,由此求得正数ω的范围. 【详解】解：()()2sin (0)f x x ωω=>在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则2,()3242ππππωω⋅≤⋅-≥-, 304ω∴<≤故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象的性质,需要根据ω的变化分析函数的单调区间情况,属于中等题型. 15．6． 【解析】 【分析】()f x 可化为13cos 1x x a x x a -+++,令1()cos 1x x a g x x x a -=++,则3f x g x =+（）（）,根据函数的奇偶性可得g x （）在[11]﹣，上关于原点对称,再根据函数的单调性可得. 【详解】解：函数42()cos (11)1x x a f x x x x a ⋅+=+-+剟131x x a xcosx a -=+++,令1cos 1x x a g x x x a -=++（）,则3f x g x =+（）（）, 因为11()cos()cos ()11x x x xa a g x x x x x g x a a -----=--=-=-++,且[1,1]x ∈-,所以g x （）在[11]﹣，上关于原点对称,即为奇函数, 因为f x （）和g x （）单调性相同,所以f x （）取到最大值M 时,相对应的x 下的g x （）也取最大值3M ﹣, 同理f x （）有最小值m 时,g x （）也取最小值3N ﹣,g x （）最大值'3M M =﹣,最小值'3N N =﹣, 因为g x （）关于坐标原点对称可得所以330M N +=（﹣）（﹣）, 所以6M N +=. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了函数的性质及其几何意义.属于中等题型.16．15【解析】 【分析】由题意,将平行弦绕着圆心旋转组成三角形,再设圆的半径为r ,则根据正弦函数的求解以及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半结合余弦定理可得cos 191647sin ,222348r αα+-===⨯⨯,平方相加即可求出圆的半径.【详解】解：由题意,将平行弦绕着圆心旋转组成如图三角形,设圆的半径为r ,则根据正弦函数的求解以及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,结合余弦定理可得cos 191647sin,222348r αα+-===⨯⨯, 平方相加2149164r +=, r ∴=.故答案为：15. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及余弦定理解三角形的运用,需要找到关系列出对应的方程求解,属于中等题型. 17．(]5,3,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：设2t x y =+则0t >，44t xy +=，t ≥2442t xy t ≥=+∴4t ≥，不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立可化为223202tta a ++-≥恒成立，即232212a t a -≥+恒成立，故2322412aa -≤+∴(]5,3,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 考点：均值不等式及恒成立问题18．（1）1cos 3B =（2）a c +=【解析】 【分析】（1）由条件得3sin B C sinAcosB +=（）,再由0sin B C sinA +=≠（）,可得1cos 3B =. （2）由两个向量的数量积的定义得到6ac =,再由余弦定理可得2212a c +=,解方程组可求得a 和c 的值. 【详解】解：（1）由3sinCcosB sinBcosC sinAcosB +=,得3sin B C sinAcosB +=（）, 因为A 、B 、C 是ABC V 的三内角,所以0sin B C sinA +=≠（）, 因此1cos 3B =. （2）1BA BC |BA ||BC |cos ac 23B ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,即6ac =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,所以2212a c +=, 解方程组22612ac a c =⎧⎨+=⎩,得a c ==所以a c +=【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算.属于中等题型. 19．（1）1,1b a ==（2）51,4m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）根据题意,直接带入1f （）,同时考虑f x x =（）有且仅有一个实数解,故可求出a .b 值； （2）当11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,不等式(1)()()1x f x m m x +⋅>--恒成立,即可转化为：11x f x m m x +（）（）＞（﹣）﹣恒成立211m x m ⇔+（）＞﹣；【详解】 解：（1）()x f x ax b=+Q ,且1(1)2f =；∴112a b =+,即2a b +=； 又xx ax b=+只有一个实数解；∴10ax b x ax b --⎛⎫=⎪+⎝⎭有且仅有一个实数解为0；1,1b a ∴==； ()1xf x x ∴=+. （2）11,42x ⎛⎤∴∈⎥⎝⎦； 10x ∴+>；(1)()()1x f x m m x ∴+>--恒成立2(1)1m x m ⇔+>-；当10m +＞时,即1m ＞﹣时,有1m x ﹣＜恒成立11min m x m x ⇔+⇔+＜＜（）514m ∴-<…； 当10＜m +,即1m ＜﹣时,同理可得3(1)2max m x >+=； ∴此时m 不存在.综上：5m 1,4⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法.属于中等题型. 20．（1）()cos 2f x x =；()sin g x x =（2）1a =，1346n = 【解析】 【分析】（1）依题意，可求得2ω=，2ϕπ=，利用三角函数的图象变换可求得()sin g x x =； （2）将()sin cos 20(sin 0)F x a x x x =+=≠转化为cos 2sin x a x =-，设()2cos xsin xm x -=，通过判断导数的增减性，确定()m x a =所对应交点个数，推出a 值，再通过()()()F x f x a g x =+⋅在()0,n π恰有2019个零点反推出n 值即可【详解】(1)Q 函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，22Tπω∴==， 又曲线()y f x =的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，(0,)ϕπ∈， 故sin 2044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2ϕπ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象， 再将cos y x =的图象向右平移12π个单位长度后得到函数1()cos()2g x x π=-的图象， ()sin g x x ∴=(2)由于cos 2()sin cos 20sin 0sin x F x a x x x a x=+=≠∴=-Q ，设()2cos xsin xm x -= ，可得cos 21()2sin sin sin x m x x x x -==-，可得()m x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭与3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，根据图像可知1a =时，()m x a =在(0,)(,2)πππ⋃有3解， 1a >时()m x a =在(0,)(,2)πππ⋃有2解（舍），而20193673÷=，得67321346n =⨯=，从而存在1a =，1346n =时，()F x 有2019个零点 【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换，化简求解析式，函数与方程的转化，利用导数来研究函数的增减性，零点问题的转化，属于难题 21．（1）证明见解析（2）20164708S =（3）13921221m m-⨯--【解析】 【分析】（1）分当03]n a ∈（，时和当36]n a ∈（，时,分别求出1n a +的范围,得到要证的不等式. （2）根据递推公式得到,数列{}5241241241n a ⋯，，，，，，，，，，,从2项起,以3为周期的数列,即可求出答案.（3）通过解不等式判断出项的取值范围,从而判断出项之间的关系,选择合适的求和方法求出和. 【详解】解：（1）当03]n a ∈（，时,则120]6n n a a +=∈（，, 当36]n a ∈（，时,则1303]n n a a +=∈﹣（，, 故16]0n a +∈（，, 所以当06n a ≤＜时,总有106n a +≤＜. （2）15a a ==时,213243546576322431222431a a a a a a a a a a a a ============﹣，，﹣，，，﹣, ∴数列{}5241241241n a ⋯，，，，，，，，，，, ∴从2项起,以3为周期的数列,其和为2417++=,201657671244708S ∴=+⨯++=（3）由*m N ∈,可得211m -≥,故3321ma =≤-, 当1k m ≤＜时,111111132323223212212m m m k m m m m a -------⨯⨯⨯=<=-+-….故12k k a a =﹣且12mm a a +=.又132321mm m a +⨯=-＞,所以2133232321m mm m m a a aa ++====-⋅﹣﹣﹣. 故142414344121422m m m m m m m S S a a a a a a +++++==++⋯++﹣（）﹣﹣（）﹣（）11141223242132m m m m a a a a +=++⋯+⨯=⨯﹣﹣（）﹣（﹣）﹣13139212243221m m m ma -+⨯-=⨯=-﹣（﹣﹣）. 【点睛】本题主要考查了数列递推式；数列的求和.属于中等题型.22．（1）2a =，0b =时是偶函数，0b ≠时，非奇非偶函数；（2）2-；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）直接代入已知(1)(1)14f f +-=可求得2a =，根据奇偶函数的定义可说明函数是奇（偶）函数，如果要说明它不是奇（偶）函数，可举例说明，即()()f m f m ≠--或()()f m f m ≠-；（2）据题意，即当12x x <<12()()0f x f x ->成立，变形整理可得1212122()0x x x x bx x -++>，由于分母120x x >，故12122()0x x x x b -++>，即12122()b x x x x >+，注意到212x x >，122x x +<-从而12122()2x x x x +<-，因此有2b ≥-；（3）在（2）的条件下，22()25f x x x=-+，理论上讲应用求出零点q ，由函数表达式可看出，当0x <时，无零点，当0x >时，函数()f x 是递增函数，如有零点，只有一个，解方程()0f q =，即22250q q -+=，根据零点存在定理确定出1(,1)4q ∈，这个三次方程具体的解求不出，但可变形为3251qq =-，想到无穷递缩等比数列的和，有471031q q q q q q=++++-L ，因此可取32n a n =-.证毕. （1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2()25bf x x x=++，定义域为00-∞⋃+∞（，）（，）当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数 2分当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶. 4分（2）对于任意的12x x <<12()()0f x f x ->恒成立，即22121225250b b x x x x ++-++>（）（），得1212122()0x x x x b x x -++>. 6分Q 12x x <<212x x Q >，122x x +<-12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，∴2b ≥-，b 的最小值等于2-. 10分 （3）在（2）的条件下，22()25f x x x=-+. 当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点. 12分当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0+∞（，）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>，∴()f x 在114（，）是有一个零点q .综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈15分22()250f q q q =-+=，得3251q q =-， 又473231n q q q q q q -=+++++-L L ，故473225n q q q q -=+++++L L ， 取32n a n =-18分考点：（1）函数的奇偶性；（2）函数的单调性与参数取值范围问题；（3）函数的零点存在定理，与无穷弟缩等比数列的和.。

2016届高三10月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1、若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则A B = ． 2、命题“R x ∃∈，20x x +>”的否定是“ ”． 3、函数()2sin f x x =的最小正周期为 ．4、若幂函数()f x x α=（Q α∈）的图象过点⎛ ⎝⎭，则α= ．5、若等差数列{}n a 满足23a =，49a =，则6a = ．6、若a ，b 均为单位向量，且()2a a b ⊥- ，则a，b 的夹角大小为 ．7、若函数()1221x x mf x ++=-是奇函数，则m = ．8、已知点P 是函数()cos f x x =（03x π≤≤）图象上一点，则曲线()y f x =在点P 处的切线斜率的最小值为 ．9、已知函数()ln 2x f x x =+，若()()223f x f x +<，则实数x 的取值范围是 ．10、在C ∆A B 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若4a =，3b =，2A =B ，则sin B = ．11、若直线:l y x a =+被圆()2221x y -+=截得的弦长为2，则a = ．12、已知正实数x ，y ，z 满足112x x yz y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则11x x y z ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 ．13、已知{}n a ，{}n b 均为等比数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的n *∈N ，总有314n n n S +=T ，则33a b = ． 14、设点P ，M ，N 分别在函数22y x =+，y =3y x =+的图象上，且2MN =PN，则点P 横坐标的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分14分）已知()sin cos f x x a x =+．()1若a =()f x 的最大值及对应的x 的值；()2若04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()15f x =（0x π<<），求tan x 的值．16、（本小题满分14分）已知三棱锥C P -AB 中，PA ⊥平面C AB ，C AB ⊥B ，D 为PB 中点，E 为C P 的中点．()1求证：C//B 平面D A E ；()2求证：平面D AE ⊥平面PAB ．17、（本小题满分14分）清中校园生活区内建有一块矩形休闲区域CD AB ，100AB =米，C B =块区域内铺设三条小路OE 、F E 和F O ，考虑到学校的整体规划，要求O 是AB 的中点，点E 在边C B 上，点F 在边D A 上，且F OE ⊥O ，如图所示．()1设α∠BOE =，试将F ∆OE 的周长L 表示成α的函数关系式，并求定义域；()2经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．18、（本小题满分16分）如图，椭圆的中心在原点O ，已知右准线l 的方程为4x =，右焦点F 到它的距离为2． ()1求椭圆的标准方程；()2设圆C 经过点F ，且被直线l 截得的弦长为4，求使C O 长最小时圆C 的方程．19、（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，11a =，且点()1,n n a a +P （n *∈N ）在直线10x y -+=上．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若函数()1231111nf n n a n a n a n a =+++⋅⋅⋅+++++（n ∈N ，且2n ≥），求函数()f n 的最小值；()3设1n n b a =，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得()()12311n n S S S S S g n -+++⋅⋅⋅+=-⋅对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．20、（本小题满分16分）已知函数()ln f x x a x =-，()1ag x x+=-（R a ∈）．()1若1a =，求函数()f x 在()()2,2f 处的切线方程；()2设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；()3若在[]1,e （ 2.718e =⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．2016届高三10月月考 数学试题参考答案一、填空题1、{}0,1,1-2、R x ∀∈，20x x +≤3、π4、12- 5、156、3π7、28、-9、()1,2 1011、2- 12 13、9 14、53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、解答题解：（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣lnx ，，（2分）()211222f -'==，()22ln 2f =- 所以函数()f x 在()()2,2f 处的切线方程是()()12ln 222y x --=- 即222ln 20x y -+-=（4分） （2），（6分）①当a+1＞0时，即a ＞﹣1时，在（0，1+a ）上h'（x ）＜0，在（1+a ，+∞）上h'（x ）＞0，所以h （x ）在（0，1+a ）上单调递减，在（1+a ，+∞）上单调递增；（8分） ②当1+a ≤0，即a ≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x ）＞0， 所以，函数h （x ）在（0，+∞）上单调递增．（10分）（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零．（11分）由（2）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（13分）②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（14分）③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时，h（1+a）＜0不成立．（15分）综上讨论可得所求a的范围是：或a＜﹣2．（16分）。