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6.6 环

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rhel6.6-oracle11R2的RAC安装文档

rhel6.6-oracle11R2的RAC安装文档

Rhel6.6_Oracle11gR2(ASM,UDEV)的RAC搭建安装本次演示是在Rhel6.6环境下Oracle11gR2的RAC搭建安装环境：VM + Rhel6.6 + GI + Oracle11gR2基本信息1)安装包Rhel6 : rhel-server-6.6-x86_64-dvd.isoOracle11gR2：p1*******_112040_Linux-x86-64_1of7.zipp1*******_112040_Linux-x86-64_2of7.zipGrid Infrastructure(GI)：p1*******_112040_Linux-x86-64_3of7.zip2)服务器环境1、两台虚拟机信息：hostname：RAC1 , ip：hostname：RAC2 , ip：72、心跳IP信息：RAC1的心跳IP：192.168.1.106RAC2的心跳IP：192.168.1.1073、VIP/SCANIP信息RAC1的VIP：RAC1的VIP：7ScanIP：8附：关于以上rac的各种ip的详细介绍：3)共享磁盘设置5块2G磁盘，表决磁盘3块5G磁盘，存放数据文件附：虚拟机设置共享磁盘方式：一：安装linux1)linux安装时的选项•Base System > Base•Base System > Client management tools•Base System > Compatibility libraries•Base System > Hardware monitoring utilities•Base System > Large Systems Performance•Base System > Network file system client•Base System > Performance Tools•Base System > Perl Support•Servers > Server Platform•Servers > System administration tools•Desktops > Desktop•Desktops > Desktop Platform•Desktops > Fonts•Desktops > General Purpose Desktop•Desktops > Graphical Administration Tools•Desktops > Input Methods•Desktops > X Window System•Development > Additional Development•Development > Development Tools•Applications > Internet Browser2)linux需要安装的包需要添加以下的包，以确保Oracle的正常安装(暂时不添加也可以，在安装Oracle时会详细提示缺少哪个包的)rpm -Uvh binutils-2.*rpm -Uvh compat-libstdc++-33*rpm -Uvh elfutils-libelf-0.*rpm -Uvh elfutils-libelf-devel-*rpm -Uvh gcc-4.*rpm -Uvh gcc-c++-4.*rpm -Uvh glibc-2.*rpm -Uvh glibc-common-2.*rpm -Uvh glibc-devel-2.*rpm -Uvh glibc-headers-2.*rpm -Uvh pdksh-5*rpm -Uvh libaio-0.*rpm -Uvh libaio-devel-0.*rpm -Uvh libgcc-4.*rpm -Uvh libstdc++-4.*rpm -Uvh libstdc++-devel-4.*rpm -Uvh make-3.*rpm -Uvh sysstat-7.*rpm -Uvh unixODBC-2.*rpm -Uvh unixODBC-devel-2.*二：安装准备注：以下的安装准备都要需要在RAC1和RAC2两个服务器设置。

Windows平台Compaq Visual Fortran 6.6 并行编程环境的配置

Windows平台Compaq Visual Fortran 6.6 并行编程环境的配置

各版本MPICH2下载地址：/research/projects/mpich2/index.php*如果下不来换搜狗浏览器外网加速下。

如果本机上没有安装过Microsoft .NET .Framework，安装mpich2时，会提示安装，2.0版本以上的都行，然后把mpich2-1.2.1装上。

在Windows下安装此程序，其默认安装目录为C:\ProgramFiles\MPICH2。

安装成功后，在此目录下有四个子目录，分别为bin，example，include和lib。

其中bin目录下有两个执行文件：smpd.exe和mpiexec.exe。

在“我的电脑”环境变量设置中将bin目录写入路径path变量，这样就可以在任何地方执行此目录下的文件了。

*1、准备工作(1) 将{MPICH_root} \Include和{MPICH_root} \Lib目录下的所有文件分别拷贝到{Microsoft Visual Studio}\Df98\Include和{Microsoft Visual Studio}\Df98\Lib 目录下；(2) 将{MPICH_root}\Bin加入到系统的PATH环境变量中。

如：将路径C:\Program Files\MPICH2\include添加到环境变量path 中。

右击“我的电脑”->“属性”->“高级”选项卡->环境变量->双击PATH，添加C:\Program Files\MPICH2\include。

(3)打开CVF，在Tools->Options->Directories的Include files和Library files中分别添加mpich2的include和lib路径。

2、编译、链接MPI应用程序为了方便使用Visual Fortran 6.x编译器进行并行程序编译链接，在第一次使用其编译程序前，可以增加一个Fortran项目环境：(1) 点击菜单File->New...；(2) 在Projects标签中选择Fortran Console Application，然后在右侧输入新项目名称，点OK；(3) 在接下来的对话框中选择An empty project，点击Finish；(4) 在接下来的对话框中直接点击OK；(5) 点击菜单Project->Settings...，进行下面操作：I、在setting for中，选择Win32 debug；II、选择Fortran标签，在Category一栏中选择“External Procedures”，在“Argument Passing”一栏中选择“C, By Reference”；在“String Length Argument”一栏中选择“After All Args”；III、在C/C++ 标签，在Category一栏中选择“Preprocessor”，将“C:\mpich2\include”添加到“Additional include directories”中。

离散数学6.6域的特征

离散数学6.6域的特征

6.6.1 域的特征
12、当域F特征为0时，域F中含有的最小子域同构于有理数域R0 证明：现在要把已定义的同态扩大到R0到F内。
规定(m/n)=(me)/(ne) (1)先说明规定的合理性。 设h/k=m/n，则hn=km， 所以(he)(ne)=(ke)(me)， 故(he)/(ke)=(me)/(ne)， 可见规定与有理数表示无关，即规定合理。
6.6.1 域的特征
11、 任意域F中ab=ba，所以 b-1a=ab-1 即用a左乘，右乘一样。 所以：可定义为“分数”的 形式a/b (b0) ，我们验证如 此“分数”运算法则与普通 分数一样。 在域中，若b0， d0 ，则a/b =c/d当且仅当ad=bc
ac adbc b d bd
a•cac, a1b b d bd b a
6.6.1 域的特征
(2)证同态性。 (m/n+h/k)=((km+hn)/nk) =((km+hn)e)/((nk)e) =((km)e+(hn)e)/((nk)e) =((me)(ke)+(he)(ne))/((ne)(ke)) =(me)/(ne)+(he)/(ke) =(m/n)+(h/k)
，则I’=（I）={ne|nI，e是F乘法单位元}，根据环同 态基本定理（定理6.5.6），因I~I’，得I’I/PI，容易证 明I/PI是域，所以I’也为域，所以，I’是F的子域。又因F 的任意子域要含e，因此必含有e的所有倍数，即含有I’ 所以I’是域F的最小子域
6.6.1 域的特征
10、域上同态，或为同构，或所有元素对应0。 事实上体即如此（见新教材P204 习题6）
((m/n)(h/k))=((mh)/(nk)) =((mh)e)/((nk)e) =((me)(he))/((ne)(ke)) =((me)/(ne))((he)/(ke)) =(m/n)(h/k)

Pasteur提出分子旋光性与手性分子所含螺旋结构有关联

Pasteur提出分子旋光性与手性分子所含螺旋结构有关联

Pasteur提出分⼦旋光性与⼿性分⼦所含螺旋结构有关联旋光异构与⼏何异构统称为⽴体异构(stereo isomerism)。

判断分⼦的⽴体异构是为了便于确认结构是怎么回事。

旋光性属于物理性质，需要⽤旋光仪测定才能知道⼀个分⼦到底是左旋还是右旋。

有机化学的分⼦结构⽴体异构，跟实际的旋光性有没有直接的联系？为了向化学家们提供⽤以区分右旋物质和左旋物质的参照物或对⽐标准，德国化学家E．费歇尔选择了⾷糖的近亲，即称之为⽢油醛的简单化合物。

它是当时研究得最为透彻的旋光性化合物之⼀(其实费歇尔没有⽤“旋光仪”）。

费歇尔任意地（指定羟基）将⽢油醛的⼀种形态规定为是左旋的，称之为L-⽢油醛，⽽将它的镜像化合物规定为是右旋的，称之为D-⽢油醛。

任何⼀种化合物，只要能⽤适当的化学⽅法证明（这是⼀项相当细致的⼯作）它具有与L-⽢油醛类似的结构，那么，不管它对偏振光的作⽤是左旋的还是右旋的，都被认为属于L系列，并在它的名称前冠以L。

后来发现，过去认为是左旋形态的酒⽯酸原来属于D系列，⽽不属于L系列。

现在，凡在结构上属于D系列⽽使光向左转动的化合物，我们就在它的名称前⾯冠以D（－）；同样，有些化合物则要冠以D（+）、L（+）和L（－）。

1955年，荷兰化学家⽐杰沃特终于确定了什么样的结构会使偏振光左旋，什么样的结构会使偏振光右旋。

⼈们这才知道，在左旋形态和右旋形态的命名上，E·费歇尔只不过是碰巧运⽤了“左右”术语⽽已。

以1860年Pasteur提出的旋光性与⼿性分⼦所含螺旋结构有关联的设想为模型，许多学者剖析了某些光学活性分⼦。

表明Pasteur的设想是符合实际情况的，即右螺旋呈现右旋光性，左螺旋呈现左旋光性。

同时,通过螺旋模型和旋光⽅向与Brewster 的基团可极化性序列相结合，则可以推导出⼿性碳原⼦的构型。

螺旋理论认为，⼏乎所有的有机化合物结构中都存在螺旋，螺旋结构是导致旋光性的根本原因。

左⼿螺旋左旋；右⼿螺旋右旋。

北师大版数学四年级上册6.6《练习六》教学设计

北师大版数学四年级上册6.6《练习六》教学设计

北师大版数学四年级上册6.6《练习六》教学设计一. 教材分析《北师大版数学四年级上册6.6《练习六》》这一章节主要让学生通过解决实际问题，巩固和提高分数乘整数的计算方法。

本节课的内容包括分数乘整数的运算规则，以及如何将分数乘整数的运算应用到实际问题中。

教材通过例题和练习题的安排，使学生能够逐步理解和掌握分数乘整数的运算方法，并在解决实际问题中灵活运用。

二. 学情分析四年级的学生已经掌握了分数的基本概念和运算规则，对于分数乘整数的运算方法，他们可能已经有一定的了解，但可能在解决实际问题中的应用上还存在困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解分数乘整数的运算规则，并能够熟练进行计算。

2.能够将分数乘整数的运算应用到实际问题中，解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.分数乘整数的运算规则的理解和应用。

2.解决实际问题中分数乘整数运算的灵活运用。

五. 教学方法1.实例教学：通过具体的例题，引导学生理解和掌握分数乘整数的运算方法。

2.问题解决法：让学生通过解决实际问题，提高他们应用分数乘整数运算的能力。

3.分组讨论：让学生分组讨论和解决问题，培养他们的合作能力和逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教材和教辅资料。

2.相关实际问题的案例和练习题。

3.多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何用分数乘整数的运算方法来解决。

例如：小明有2/3千克苹果，他的朋友小华有1千克苹果，他们一共有多少千克苹果？2.呈现（10分钟）讲解分数乘整数的运算规则，并通过例题来展示如何进行计算。

例如：计算2/3乘以3的结果。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，解决一些类似的实际问题。

例如：计算1/4乘以5的结果，并解释其意义。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些分数乘整数的练习题，巩固所学知识。

同构及同态和环3

同构及同态和环3
证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数加法群 ，则对aG，nZ，使得a=gn，则令 f：an。
不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，GZ。
定义6.5.3 设G是一个群，若σ是G到G上的同构 映射，则称σ为自同构映射。
自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为 恒等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每 个元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的 例子。
例6.5.6 设（Z，+）是整数加法群， 令σ：n-n，nZ，
则σ是Z的一个自同构映射。
例6.5.7 设G是一个Abel群，将G的每个元素都映 到其逆元素的映射 σ：aa-1，aG，
是G的一个自同构映射。
此例包含上例为特例。如果G包含元数大于2， 那么该自同构映射不一定是恒等自同构映射。
下面看同态映射下子群的变化。 设G是群，同态映射，G～G’，N是同态核
。 (1) H是G的子群，则H’=(H)是G’的子群
。 (2)设H’是G’的子群,则-1(H’)=H为G的子
群. 证明： H=-1(H’)显然非空。 对任意a，bH，必有(a)，(b)H’，因
H’是子群，所以(a)(b)-1=(ab-1)H’ ，所以ab-1H，故H是G的子群。
即，σ是Z到C*的同态映射，Z～σ（Z）。σ（Z） ={1，-1，i，-i}是C*的一个子群。
6.5.2 同 构 映 射
定义6.5.2 设G是一个群，K是一个乘法系统，σ 是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ（G）
上的1-1映射,则称σ是同构映射。称G与σ（G） 同构，记成GG′。
同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差 别。如果G只和G′同态，则由于G中两个或多个 元素可能变成G′的一个元素，所以不能说是G和 G′构造一样，但因为G中的乘法关系在G′中仍 对应地成立，所以，可以说G′是G的一个缩影。

一、局域网的特点：局域网络是包含低三层功能的通信网络

一、局域网的特点：局域网络是包含低三层功能的通信网络。

连接到局域网的数据通信设备是广义的，包括计算机、终端、各种外设等。

其覆盖的地理范围可以是一个建筑物、一个校园或者大至几十公里直径的区域。

二、局域网的典型特性高数据速率（0．1～100Mbps）短距离（0．1～25km）低误码率（10-8～1O-11）三、局域网分类局域网LAN，是最普遍的一种局域网计算机交换机（CBX或PABX），这是采用线路交换的局域网四、局域网主要技术传输媒体。

拓朴结构。

媒体访问控制方法（MAC）。

其中最重要是媒体访问控制方法，它对网络特性起着十分重要的作用。

将传输媒体的频带有效地分配给网上各站点的方法，称为媒体访问控制协议。

在LAN和WAN之间是城市区域网MAN（Metropolitan Area Network），MAN是一个覆盖整个城市的网络，但它使用LAN的技术。

针对这一目标在IEEE803.6中定义了一种分布式队列双总线DQDB的标准（Distributed Queue Dual Bus）。

五、本章主要内容：局域网的选择。

局域网参考模型。

逻辑键路控制协议。

CSMA/CD媒体访问控制。

令牌环媒体访问控制。

NOVELL网络。

局域网的选择--------------------------------------------------------------------------------在描述不同类型LAN的结构和操作之前，首先要了解选择LAN必须考虑的有关课题，这些课题的有关内容可用关系图概括，如图6.1所示。

下面将详细讨论各个课题。

一、局域网的拓扑局域网常用的拓扑有三种，星型、环型和总线／树型，有关网络拓朴的概念已在第一章中作了介绍，本节针对局域网的拓扑适用范围作一些说明。

星型拓扑局域网的典型实例就是计算机交换机CBX。

环型拓扑局域网的典型实例便是光纤分布数据接口FDD1。

总线／树型拓扑是用来实现LAN的最通用的拓扑，并且在LAN中使用两种传输技术：基带和宽带。

§66 环(离散数学)讲解


即使子环有壹，其壹未必与大环的壹 一致.
见教材224页矩阵环的例子。
消去环

定义. 若R是环，a，b ∈ R，如果a≠0，
b≠0，但ab=0，则称a，b为零因子。如 果R没有这样的元素，则说R无零因子。 无零因子的环称为消去环。

例. 整数环是消去环，矩阵环不是消去环，
0 1 1 0 0 0 有零因子。比如， 0 0 0 0 0 0
1适合对任意a R，
1a = a1 = a
则称R为含壹环。

例. 整数环为含壹环，所有偶数在数 的加法和乘法下作成的环不是含壹环。
含壹环性质

性质9 含壹环R的壹是唯一确定的。 性质10 设环R有1，则1≠0。 性质11 任意环R均可扩充成一个含壹环R+。
证明：若1、1′为R的两个壹，则1′=11′=1。
四元数体--是体但不是域的例

四元数
取三个符号i，j，k，以实数a，b，c，
d为系数而作形式的线性组合 a + bi + cj + dk。

四元数间运算的规定：
（1）加法运算 (a1 + b1i + c1j + d1k)+(a2 + b2i + c2j + d2k) =(a1 + a2)+(b1 + b2)i+(c1 + c2)j+(d1+d2)k。
因此，m=n。
由b的任意性知，在消去环R中，不为0的元素
在加法下的周期都与a的周期相同。
消去环的性质
性质14
在消去环R中，不为0的元素在加法下的
周期或为0或为质数。 证明：设a∈R，a≠0，且a的周期为n，故 na = 0。 (1) 若n=0，则得证。 (2) 否则，只需证n是质数。

环境保护部办公厅关于印发《污染源自动监控设施现场监督检查技术指南》的通知

环境保护部办公厅关于印发《污染源自动监控设施现场监督检查技术指南》的通知文章属性•【制定机关】环境保护部(已撤销)•【公布日期】2012.04.11•【文号】环办[2012]57号•【施行日期】2012.04.11•【效力等级】部门规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】环境保护综合规定正文环境保护部办公厅关于印发《污染源自动监控设施现场监督检查技术指南》的通知（环办[2012]57号）各省、自治区、直辖市环境保护厅（局），新疆生产建设兵团环境保护局，各环境保护督查中心：为规范污染源自动监控设施现场监督检查工作，根据《污染源自动监控设施现场监督检查办法》（环境保护部令第19号）的规定，我部组织编制了《污染源自动监控设施现场监督检查技术指南》，现印发你们，作为现场监督检查的参考依据。

二○一二年四月十一日附件：污染源自动监控设施现场监督检查技术指南（环境保护部2012年三月）目录1适用范围2术语和定义2.1 污染源自动监控设施2.2 水污染源自动监控设施2.3 烟气排放连续监测系统2.4 例行检查2.5 重点检查2.6 不正常运行2.7 弄虚作假2.8 污染源自动监控设施登记备案3监察工作依据4现场检查一般方法5污染源自动监控设施现场检查准备工作5.1 信息资料的收集5.2 现场检查装备配置5.3 现场监督检查人员要求6例行检查6.1 排污口检查6.2 采样点位检查6.3 监测站房检查6.4 擅自拆除、闲置、关停污染源自动监控设施情况检查6.5 污染源自动监控设施变更情况检查6.6 自动监控设施运行状况检查6.7 资质检查6.8 企业生产工况、污染治理设施运行与自动监控数据的相关性检查7自动监控设施不正常运行情形判别7.1 数据异常7.2 仪器参数设置异常7.3 自动监控设施状态异常8废水自动监控设施重点检查8.1 废水采样系统8.2 化学需氧量（CODCR）自动监测仪8.3 总有机碳（TOC）分析仪8.4 紫外（UV）吸收水质自动监测仪8.5 氨氮水质自动监测仪8.6 重金属自动监测仪8.7 流量计8.8 校准和校验检查9固定污染源烟气自动监控设施重点检查9.1 采样单元9.2 分析单元（二氧化硫与氮氧化物）9.3 分析单元（颗粒物）9.4 分析单元（烟气参数）9.5 校准和校验检查10数据采集传输仪器重点检查10.1 仪器参数检查10.2 线路连接检查10.3 数据传输检查11监察报告11.1 基本信息11.2 现场监察情况11.3 处理建议附录A 污染源自动监控设施例行检查表附录B 污染源自动监控设施采样单元重点检查表附录C 化学需氧量（CODCR）污染源自动监控设施重点检查表附录D 总有机碳（TOC）污染源自动监控设施重点检查表附录E 紫外（UV）吸收水质自动监测仪重点检查表附录F 氨氮污染源自动监控设施重点检查表附录G 重金属污染源自动监控设施重点检查表附录H 流量计重点检查表附录I CEMS污染源自动监控设施重点检查表附录J 数据采集传输仪器重点检查表附录K 污染源自动监控设施现场监督检查流程图前言本指南介绍了污染源自动监控设施现场监督检查工作的内容和方法，适用于受各级环境保护行政主管部门委托行使污染源自动监控设施现场监督检查职责的机构对污染源自动监控设施实施的现场监督检查工作。

离散数学6.6域的特征

（）若p|n，则nN， 所以， (n)= ne=0 这表明此时e在加群的周期是P。 对于域F而言，P是唯一确定的，只与域F有关，称为域的 特征
6.6.1 域的特征
6、域F中任意非零元在加群中周期也是P
例：剩余环{ 0,1,2,3,4 }之特征为5 。
因为 111110
2 2 2 2 2 4 4 2 3 2 0 3 3 3 3 3 1 1 3 0
4 4 4 4 4 3 3 4 1 4 0
6.6.1 域的特征
7、(定理6.6.1) 任意域F的特征P是零或一质数。 证：若P0， 往证P是质数。 若不然P=hk， 1<h<p ，1<k<p 则 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中无零因子，则(he)、(ke) 必有一为零，但P为周期，而k<p，h<p，矛盾
§6.6 域的特征 素域
6.6.1 域的特征
2、设有整数环I，任意域F，则(n)=ne，是I到F内映射 ，其中e是F中乘法单位元，因为 (m+n)=(m+n)e=me+ne=(m)+(n) (mn)=mne=(me)(ne)=(m)·(n)
所以是同态映射。
6.6.1 域的特征
3、 考查映射I→F内，有核N是I的一个理想，又已知整数 环I是主理想环，所以核N是主理想，设这理想由整数 P生成，于是N=(P)=PI。
6.6.1 域的特征
8、上述结果对无零因子环即成立
6.6.1 域的特征
子域：域F的子集按F加、乘运算也构成域，称F的子域
最小子域：设I是F的子域，对于F中任意子域F，IF ，则I叫做F的最小子域。
6.6.1 域的特征
9、当域F特征为质数P时，域F中含最小子域同构于I/PI 证明： 为I→F内的同态映射，核为PI，记同态象为I’
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四元数的发现及其应用
1827年，当他才22岁还是大学生时，便被任命为 邓辛克天文台台长及都柏林三一学院天文学教授， 并获皇家天文学家称号。1832年成为爱尔兰科学 院院士，1837~1845年任院长。1832年，哈密顿成 为爱尔兰皇家科学院院士后非常活跃，与学术界 人士广泛交流讨论，包括一些诗人和哲学家．他 从S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到 I．康德(Kant)的哲学，热情地读完康德主要著作 《纯理性批判》。康德哲学观点对哈密顿后期的 工作有很大影响。

子体、子域
定义. 体K的一个子环，若仍为体，则 叫子体；若又为域，则叫K的子域， 同样，对于域F，也可以有F的子环 和子域。
四元数的发现及其应用
说到四元数我们需要介绍一下爱尔兰数学家、物理学家 哈密顿(Hamilton)，我们首先会想起图论中学过的的 Hamilton回路问题的提出者Hamilton，他出生于1805年 8月4日的爱尔兰都柏林。5岁时就能读懂阿拉伯语、希 腊语和希伯来语，14岁已经学会12种语言，那一年因在 都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽 风头 。1823年7月7日，哈密顿以入学考试第一名的成绩 进入著名的三一学院，得到正规的大学训练，后因成绩 优异而多次获得学院的古典文学和科学的最高荣誉奖． 他在1823到1824年间完成了多篇有关几何学和光学的论 文，其中在1924年12月送交爱尔兰皇家科学院会议的有 关焦散曲线(caustics)的论文，引起科学界的重视 。
含壹环性质

性质9 含壹环R的壹是唯一确定的。 性质10 设环R有1，则1≠0。 性质11 任意环R均可扩充成一个含壹环R+。
证明：若1、1′为R的两个壹，则1′=11′=1。

证明：取a∈R,且a≠0,则a0=0,而a1=a,故1≠0。

证明：令R+={a+m| a∈R，m∈Z}。规定： （a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）; （a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。 则R+为环，其壹为0+1。

n个
n个
即an=
aa...a
n个

注意从本章第２节开始规定，今后加法运算就是满足交 换律的二元代数运算。
环的例
所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫
做整数环。 所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环， 叫做矩阵环。 实数域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作 成一个环，叫做多项式环。 整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法 下作成一个环。 所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法与 乘法下都分别作成环，常称为有理数域、实数域、 复数域。
证明续
证法二，可以直接利用环的定义进行证 明如下： a0=a(0+0)=a0+a0,由于R对加法运算是群， 因此元素a0有负元-a0，对等式两端同时 加-a0，得到a0=0,同理可证0a=0。

环的性质
性质4
a（-b）= -（ab），
（-a）b = -（ab），（-a）（-b）=ab。 证明：由性质2，令c=0，即得
加法和乘法下仍是环,则称S是R的子环。

（1） S非空；
（2） 若a∈S，b∈S，则a-b∈S;
（3）若a∈S，b∈S，则ab∈S。
消去环

定义. 若R是环，a，b ∈ R，如果a≠0，
b≠0，但ab=0，则称a，b为零因子。如 果R没有这样的元素，则说R无零因子。 无零因子的环称为消去环。

说明
在本定义中的运算是二元代数运算。 为了叙述和理解上的方便，通常将环中加法的单位元记 为0，而将环中元素a关于加法的逆元称作a的负元，记 作-a。如果环中关于乘法运算有单位元，就把这个单位 元记作1，而将关于乘法的逆元（若存在的话）称为a的 a a ... a 逆元，记作a-1。 类似地，我们可以用a-b表示a+(-b)，na表示a的加法n次 幂，即na= a a ... a 而用an表示a的乘法n次幂，
例. 整数环是消去环，矩阵环不是消去环，
0 1 1 0 0 0 有零因子。比如， 0 0 0 0 0 0 的整数环(Zp,+,*)是无零因子环当且 仅当p为质数。 证明：Zp={0,1,2,…,p-1}。必要性，即 (Zp,+,*)是 无零因子环。分析要证明一个正整数是质数没有 好的直接证明方法，因此我们想到反证法，设p 不是质数p=st,1s,t p。再想到p是模，则有 st(modp)=0，s,t就是Zp中的零因子，矛盾。 充分性， p为质数，从Zp中任取a,b，若有ab=0 ， （若想Zp无零因子，则a,b 中至少需要有一个是0。 为此设a0，必须推出b为0。）有ab=0 从Zp的定 义可推出pab，而p为质数且a p， 有整数的知 识p只能整除b，但b p，因此b只能为0，证毕。
消去环的性质

性质12 R是消去环 iff R中消去律成立。
证明：必要性。如果a≠0,且ab = ac,那么
ab-ac = 0,即 a（b-c）= 0。因环R中无零因子,
而a≠0,故必有 b-c= 0，即b = c，因此，消去
律成立。
充分性。设消去律成立，即由a≠0,ab = ac可
推出b = c。若ab=0,而a≠0,则ab = a0,因而由 消去律可得 b = 0。故R无零因子,R是消去环。
a(-b)= a(0-b)=a0-ab=-(ab)，(-a)b= (0-a)b=0b-ab=-（ab）。 因此，(-a)(-b) = -(a(-b))=-(-(ab))=ab。 证法二：a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0,ab+a(-b)=a(b-b)=a0=0,即
a(-b)是ab的负元。有负元的唯一性得到 a(-b)= -(ab)，同
例子

S4的子群R={1,(12),(34),(12)(34)}是个交换群。 将1,(12),(34),(12)(34)分别记为0,a,b,c。规定R的 两个运算+和*如下表
+ 0 a b 0 0 a b a a 0 c b b c 0 c c b a * 0 a b 0 0 0 0 a 0 a b b 0 0 0 c 0 a b
消去环的性质
性质13
在消去环R中，不为0的元素在加法下的
周期相同。
证明： (1) 证。 若不为0的元素在加法下的周期都为0，则得
(2)否则，任取R中非零元素a，b，设a的周期为m， b的周期为n，故 ma = 0，nb = 0。
消去环的性质(证明续)
则一方面，a(mb) = (ma)b = 0b = 0，又由a≠0，且 R无零因子知，mb=0。而b的周期为n，故 n|m。 另一方面，(na)b=a(nb)=a0= 0，又由b≠0,且R无 零因子知，na=0。而a的周期为m,故 m|n。 因此，m=n。

体 如果去掉0，R的其余元素作成一个乘法群，
则称环R为体。


结论：体有壹而且无零因子，任意非零元素有逆
域 交换体
。
有理数域、实数域、复数域都是域。
在域中，ab-1可以写成 a
b
练习题

下述集合在规定运算下是环、正区、体、域吗？ （1）{a+b 2 a,b Z}关于数的加法和乘法； （2） {a+b 2 a,b Q}关于数的加法和乘法; （3） {a+b 3 2 a,b Z}关于数的加法和乘法； （4）{a+bi a,b Z,i2=-1}关于复数的加法和乘法； （5）n2,所有n阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的 加法和乘法； （6）x的实系数多项式集合关于多项式的加法和 乘法； （7）实数集合R关于加法+和乘法*，其中+是普 通加法，*规定对R中任意a,b,a*b=ab。
n(n 1) 2
(a+b)n =
an +
nan-1b
+
an-2b2 + … + bn。
用数学归纳法证明.
含壹环
如果R不只有一个元素而且有一个元素1
适合对任意a R，
1a = a1 = a
则称R为含壹环。
从这个定义可以看出，含壹环至少有两个元 素构成。如模２的整数环。

例. 整数环为含壹环，所有偶数在数的加 法和乘法下作成的环不是含壹环。
消去环的性质
性质14
在消去环R中，不为0的元素在加法下的
周期或为0或为质数。 证明：设a∈R，a≠0，且a的周期为n，故 na = 0。 (1) 若n=0，则得证。 (2) 否则，只需证n是质数。
消去环的性质
用反证法。设n不是质数，则n = n1n2， 且n1≠1， n2≠1。故1<n1 <n，1<n2<n。显然， n1a， n2a ∈
§6.6

环
6.6.1 环 的 定 义 6.6.2 环 的 性 质
6.6.1 环 的 定 义
设R是一个非空集合，其中有加法乘法两 种二元代数运算，R叫做一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) R中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于R中任意a,有-a,适合a+（-a）=0， 5) a（bc）=（ab）c， 6) a（b+c）=ab+ac，（a+b）c=ac+bc。 注意：环与群一样都可以只有一个元素构成。
环的性质
性质2
a(c-b)=ac-ab，
(c-b)a=ca-ba。
证明：由a(c-b)+ab=a（c-b+b）=ac，