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小学幻方试卷### 小学幻方试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 幻方是一个由数字组成的方阵，其中每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等，这个相等的和被称为什么？A. 幻和B. 幻数C. 幻线D. 幻根2. 以下哪个不是幻方的特点？A. 所有数字都是正整数B. 行、列和对角线数字之和相等C. 数字可以重复D. 必须是正方形3. 一个3x3的幻方中，最小的数字是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 一个4x4的幻方中，幻和是多少？A. 34B. 40C. 46D. 505. 以下哪个是构造幻方的常用方法？A. 随机填数法B. 顺序填数法C. 斯普劳特法D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）6. 一个n阶幻方的幻和可以用公式\( S = \frac{n(n+1)}{2} \)来计算，其中n代表______。
7. 一个3x3的幻方中，中心数字通常是______。
8. 一个5x5的幻方中，幻和是______。
9. 一个6x6的幻方中，最小的数字是______。
10. 一个幻方的构造方法之一是斯普劳特法，这种方法适用于______阶幻方。
三、简答题（每题10分，共30分）11. 请简述如何构造一个3x3的幻方。
12. 请解释为什么幻方中的数字不能重复。
13. 请描述斯普劳特法的基本原理，并给出一个4x4幻方的构造示例。
四、计算题（每题15分，共30分）14. 给定一个4x4的幻方，其幻和为70，请计算出幻方的四个角的数字。
15. 假设你有一个5x5的幻方，幻和为130，且知道中心数字为13，请计算出其余所有数字。
五、综合题（共20分）16. 假设你有一个6x6的幻方，幻和为111。
请构造这个幻方，并解释你的构造过程。
注意：请在答题时保持字迹清晰，确保答案准确无误。
祝你考试顺利！。
传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案,（如图1），后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
许多人产生了这样的问题,图中的九个数字，有没有别的填法?如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏?预备：请你将1-—9各数填到这个表格中，使得横行、竖行、斜行的和都是15。
一、幻方基本概念在33⨯(三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1-9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几(几行几列)的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数,（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格,且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
要点：1、幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的3×3 的数阵称作三阶幻方，4×4 的数阵称作四阶幻方,5×5 的称作五阶幻方……2、幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和。
幻和=总和÷阶数二、幻方的特征:1、对称性2、轮换性二、幻方的构造方法1、杨辉口诀法(仅仅适用于三阶幻方)九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出2、罗伯法适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。
口诀：1居下行正中央，依次斜填切莫忘；下出框时往上写,左出框时往右放;排重便往上格填,左下排重一个样。
3、巴舍法（平移补空法）(适合奇数阶幻方）要点,构造五阶具体操作：(1)画图:构造楼梯(2)按顺序填数（数字按顺序斜排)(3)平移补空：把幻方外的数字平移进幻方——上到下,下到上，左到右,右到左，注意：几阶幻方就平移几个格。
三阶幻方二同学们：我们今天继续学习三阶幻方,通过上次学习,同学们初步掌握了求三阶幻方的方法;下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方;一学习指导与解答例1. 在下图的33⨯的阵列中填入了1～9的自然数,构成了大家熟悉的三阶幻方;现在另有一个33⨯的阵列,请选择九个不同的自然数填入九个方格中,使其中最大者为20,最小者大于5,且每一横行,每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等;492357816152013141618191217图1 图2分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数,其中最大的为9,最小的为1,要使新编制的幻方中最大数为20,而91120+=,因此,如果在所给幻方中各数都增加11,就能构成一个新幻方,并且满足最大数为20,最小数大于5;见图;例2. 在33⨯的阵列中,第一行第三列的位置上填5,第二行第一列的位置上填6,如图3,请你在其它方格中填上适当的数,使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36;56A B C D E FG56 图3图4分析：为了叙述方便,我们将其余空格的数字用字母表示,如图4;因为幻和为36,所以可求出中心数为：36312÷=,即C =12从第二行可求出D =-+=3612618() 从对角线中可求出E =-+=3612519() 从第一列可求出A =-+=3661911() 从第一行可求出B =-+=3651120() 从第二列可求出F =-+=3620124() 从第三列可求出G =-+=3651813() 得到三阶幻方如下：112056121819413从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方,中心数起着至关重要的作用;利用幻和＝中心数×3这个关系式,在已知幻和的情况下,可先求出中心数,在已知中心数的情况下,可求出幻和,以便其它数的求出;例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中,使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数,并且相邻上下或左右的两个数奇偶性不同;分析：由于1、5已填好,按照奇偶相间的要求,五个奇数应在四个角及中心,如图2;例4. 写出一个三阶幻方,使其幻和为24;因为三阶幻方,幻和为24,所以其9个数的和为24372⨯=,假设这9个数为n n n n n n n n n----++++43211234，，，，，，，，,所以9728n n==，,这9个数为4、5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方,如图：512710869411例5. 从1～13这13个数中挑出12个数,填入图1中的方格中,使每一横行,四数之和相等,每一竖列三个数之和相等;如图：1 11 91310423126851335141012112869图1 图2分析：在1～13这13个数中,因为1231391++++=……,911277÷=……,所以1～13中去掉7,由()()917328917421-÷=-÷=，,所以要求横行和为28,竖列和为21,先将除7外的12个数分为4组,每组中3个数之和为21,然后再调整,使每横行四个数的和为28,这样可得出解,如图1、2;答题时间：30分钟 二认真审题,独立完成 1将121314162334112512712，，，，，，，，这九个数分别填入图1中,使每一横行,每一竖行,两条对角线中三个数的和都相等;2将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中,使每一横行,每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45;3将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中,使每一横行,每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等;试题答案二认真审题,独立完成1将121314162334112512712，，，，，，，，这九个数分别填入图1中,使每一横行,每一竖行,两条对角线中三个数的和都相等;由于2、3、4、6、12的最小公倍数为12,所以将9个分数分别扩大12倍,得到6、4、3、2、8、9、1、5、7,而33⨯的幻方是熟知的,如图,再将图中的每个数除以12就是所求;2将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中,使每一横行,每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45;根据幻和为45,可知中心数为45315÷=,又由于141630171330+=+=，,121830191130+=+=，;经验证,可排出三阶幻方;1413181915111217163将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中,使每一横行,每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等;把1～9填在幻方中的每个数乘以2再减1,就得到1～17这九个奇数所填的三阶幻方是：492 357 8167173 5913 15111图1 图2。
简单幻方幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.幻和：是指每行或每列或每条对角线上所有数字之和。
2.解题方法：三阶幻方的性质1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.如右图所示，在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加都为21.1.1.如右图所示，在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问第三行的三个数字从左到右组成的数为_______.2.2.在空格里填数，使横行、竖行、以及对角线上的三个数相加得30。
问四个角数字之和为_______.如图所示，在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都等于34.1.1.在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行以及对角线上的四个数相加都等于34.问四个角数字之和为_______.2.2.在下图的方格里填上适当的数，使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问四角上的数字之和为________.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。
1.1.八戒巡山，遇到一块大石头挡路，上面写着：在方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等，填写正确才能过去，聪明的小朋友你会填吗？问最后一行的三位数为_________.2.2.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。
问四角上的数字之和为________.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。
1.1.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。
拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。
例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。
例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。
例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。
拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。
这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。
拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
小学数学幻方练习题幻方是一种古老而神秘的数学游戏，通过填充数字使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这不仅是一种锻炼逻辑思维和数学能力的好方法，还能培养孩子的耐心和观察力。
本文将为小学生提供几个幻方练习题，帮助他们提高数学技能。
一、3阶幻方练习题要求：填写1-9这9个数字，每个数字只能用一次1 2 34 5 67 8 9二、4阶幻方练习题要求：填写1-16这16个数字，每个数字只能用一次1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16三、5阶幻方练习题要求：填写1-25这25个数字，每个数字只能用一次1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 25四、幻方解法及技巧1. 对于3阶幻方，首先填写中间的数字为5，然后按照顺序填写其它数字即可。
2. 对于4阶幻方，填写数字时可以采取以下方法：- 将1填在第一行的中间，则16必定填在第一行的另一边。
然后将2填在第一行的最左边，15必填在第一行的最右边，以此类推。
3. 对于5阶幻方，填写数字时可以采取以下方法：- 将13填在第一行的中间，则在第一行填数字时可对称填写。
例如，将19填在第一行的最左边，5必填在第一行的最右边。
然后填写第二行时，直接填充与第一行对称的数字即可。
- 填写第一列时，也可以采取对称填写的方法。
通过这些练习题和技巧的学习，小学生可以更好地理解和应用幻方的规律。
同时，这也是培养孩子数学思维和逻辑能力的有效方式。
鼓励孩子们多加练习，逐渐掌握幻方的解题方法，并享受其中的乐趣。
小结：本文为小学生提供了几个幻方练习题，通过填写数字来构成满足要求的幻方。
幻方不仅能够锻炼孩子们的数学能力，还可以培养他们的观察力和耐心。
此外，我们还分享了一些针对不同阶数幻方的解题技巧，帮助孩子们更好地理解和掌握幻方的规律。
希望这些练习题和技巧能够帮助小学生更好地学习数学。
三年级幻方题目
# 一、幻方的概念
幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。
（一）题目
把1 - 9这九个数字填入下面的九宫格中，使每行、每列以及每条对角线上的三个数字之和都相等。
（二）解析
1. 确定幻和
- 1+2 + 3+4+5+6+7+8 + 9=(1 + 9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5 = 45。
- 因为幻方中三行数字之和相等，所以幻和（每行、每列、每条对角线数字之和）为45÷3 = 15。
2. 确定中心数
- 考虑到经过中心数的行、列、对角线共有四条，这四条线上的数字之和为幻和×4。
- 设中心数为x，四条线上的数字之和可以表示为1+2+3+…+9+3x（因为中心数加了4次，多算了3次）。
- 即45+3x = 15×4，45+3x = 60，3x = 15，解得x = 5。
所以中心数是5。
3. 填写其他数字
- 然后根据幻和是15来凑数。
例如，与5在一条对角线上的两个数之和为10，可以是1和9、2和8、3和7、4和6。
- 先尝试一种，第一行可以是8、1、6（因为8 + 1+6 = 15），第二行3、5、7（因为3+5 + 7 = 15），第三行4、9、2（因为4+9+2 = 15）。
并且要保证每列的和也是15。
经检验，这样的填法满足要求。
拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。
例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。
例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。
例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。
拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。
这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。
拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
《小学奥数教程：幻方》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.在下面的方格中，每行、每列都有1—4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。
A是（）A. 1B. 2C. 42.如图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是（）A. 9B. 16C. 21D. 233.把、、、、、、、、九个分数填在下面的九个空格内，使横竖对角线上的三个分数之和都相等，那么这个相等的值是（）A. B. C. D.4.在如图方格表中的每个方格中填入一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是（）A. AB. BC. CD. D5.九宫图的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么x等于（）A. 47B. 48C. 50D. 516.把、、、、、、、、九个分数填在右面的九个空格内，使横竖对角线上的三个分数之和都相等，那么这个相等的值是（）A. B. C. D.7.在如图方格表中的每个方格中填人一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是（）A. AB. BC. CD. D8.将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A和B两个圆圈中所填的数之和最大是（）A. 8B. 10C. 12D. 149.将1，2，3，4，5，6分别填入6×6的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是（）（左图是一个3×3的例子）A. 5B. 4C. 3D. 2二、判断题10.在图的小圆圈里分别填入1、2、3、4、5、6、7、8这八个数，使得每个大圆上五个数的和都相等．那么，每个大圆上五个数的和有6种不同的可能．．（判断对错）三、填空题11.在如图的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次．那么A是________，B是________．12.在下面的方格中，每行、每列都有1~4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。
第6讲幻方第一关完全幻方完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等．【例1】在空格内填上数，使每横行、竖行以及对角线上的三个数的和都相等．【答案】【例2】在下表的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等．【答案】【例3】如图所示，一个方格内每行、每列及对角线上的三个整数的和都相等，求X。
【答案】11【例4】如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中星号处代表的数字是多少？【答案】1【例5】“数独”是目前非常流行的一种数字游戏，二阶数独是在一个4×4的方格表内进行的．在此游戏完成时，在4×4方格表内的每一行、每一列及每个在角落上的2×2方格表上的数字都恰好有数字1，2，3，4各一个．当将图中的方格表完成后，在4×4方格表四个角上的数字之和是多少？【答案】10【例6】图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为多少？【答案】12【例7】在幻方中，每行、每列和每条主对角线上的数字的和都相同．那么在如图所示的未完成的幻方中x应该是多少？【答案】12【例8】将数字1-9填在如图中，使横加、竖加、斜加的和都是15.【答案】【例9】请完成如图的三阶幻方【答案】【例10】将1-16（已填上的数除外）分别填入下面空格中，使每一横行、竖行、斜行上4个数的和都等于34【答案】【例11】将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的均相等，这样的方阵称为4阶幻方．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的中国古代数学家，请根据下面已经给出的数字，填出两个不同的4阶幻方。
【答案】；【例12】将1～9九个数字填入“○”内，使每条直线上三个数相加的和是15（数不能重复使用）．【答案】【例13】大禹治水时，从洛水里出来一个乌龟，背上有一个图表每行每列及两条对角线上的三个数字之和都是15，这种图称为三阶幻方．用数1，2，3，4，5，6，8，9，10能否组成一个三阶幻方？试说明理由．【答案】不能，三阶幻方中的9个数字之和必须是9的倍数，而数1，2，3，4，5，6，8，9，10的和为48，不是9的倍数，不满足要求【例14】用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方.【答案】【例15】找出九个连续的自然数，分别填入下图的圈内，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都等于60。
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有：①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
如今数独的雏型首先于1970年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为Number Place。
现今流行的数独于1984年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称。
数独本是“独立的数字”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数。
数独可以简单的数为：让行与列及单元格的数字成规律性变换的一类数字谜问题解题技巧：数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。
总结4个小技巧：1、巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制。
2、相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。
举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不可能出现1或者2.3、相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。
举例说明，A行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。
4、假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。
举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理，如果推出违反规则的情况出现，那么这个假设就是错误的，我们回到假设点重新开始。
例题精讲模块一、构造幻方【例1】33⨯的正方形中，在每个格子里分别填入1~9的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．【例2】33⨯的正方形格子中，在每个格子里分别填入2~10的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．【例3】用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。
【例4】如下图的33⨯的阵列中填入了1~9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方．现在另有一个33⨯的阵列，请选择9个不同自然数填入9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等．9876 54 321【例5】从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入3×3的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
这个9个数中最多有_______个质数。
【例6】请你将1~25这二十五个自然数填入55⨯的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等．模块二、幻方性质【例7】将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为3k÷．【例 8】 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24．【巩固】 将九个连续自然数填入下图的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60．242322212019181716【例 9】 将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等，证明：2c a b =+÷（）ba c*a 2a-cbd 2d-b c【例 10】 在下图中的A 、B 、C 、D 处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方．CD B A 1511201612【巩固】 在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N = 。
121668N【巩固】 在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21．8484【巩固】 在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等。
那么标有“★”的方格内应填入的数是_______.☆743【例 11】 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图．请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27．56GFE65C D B A 1410613951284【巩固】 在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的上的三个数的和都等于90．235747340233037205713【巩固】 右图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
问：图中左上角的数是多少?1319【巩固】 图中是一个33⨯幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★”代表的数是__________．108★2【巩固】 图中A =______,B =______,C =______，D =______时，它才能构成一个三阶幻方？2225231926A B C D【巩固】 在如图所示的九宫图中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等。
已知中＝21，学＝9，欢＝12，则希，望，杯的和是__________ 。
迎受杯望希小中欢学【例 12】 在下面的44 方格中填入0～9中的数字，使得每行每列的和等于每行的右端及每列的下端所写的数字．其中，所有的0都已经填好，而且同一行或者同一列中不允许出现相同的非零数字．则对角线上的四个数字所组成的四位数ABCD 是 ．D CB A 129207423174000000【巩固】 方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号代表相同的数，如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别是36，50，41，37，则第三行的四个数的和为？37415036◇◇◇☆○◇○○○◇△☆◇☆△○【例 13】 将2、4、6、8、12、18、24、36、72填入右边的九宫格， 使每行每列及两条对角线上三数的积都相等．每行的三个数的积是______．【例 14】 请将1～9这9个数填入右图3×3表格中，使得第1,2行三数的乘积分别是70，24，第l,2列三数的乘积分别是 21．72．7024 2172。
