四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练：第14讲：幻方(学生版)

幻方与数阵图1.在幻方中．每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中该是____。

2.幻方是将n2个数（不重复）排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上n个数相加的和都相等．请问下图3×3的幻方中丁是多少？3.在下图所示的O内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。

4.下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若“a=4，d=19，l=22，那么6=_______，h=______。

5.在图1、图2的空格中分别填人适当的数，使得横、竖及对角线上的三个数之和都相等，那么“？”处的数字分别为多少？．6．在下图中每个小方格中填人一个数，使每一行每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角小方格内填人的数字，应该是________。

7.下图是一个3×3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★代表的数是__________。

8.下边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的汉字都表示一个数（不同的汉字可表示相同的数），已知其中任意3个连续方格巾的数加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=__________。

9.所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，请将下图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“”所代表的数是___________。

10.将1至8这八个自然数分别填入下图中的正方体的八个顶点处的o内，并使每个面上的四个O内的数字之和都相等，求与填人数字1的O有线段相连的三个O内的数的和的最大值．11.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数之和都相等，中间数共有__________种填法．12.将1--12这十二个自然数分别填人下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为___________。

数阵问题知识要点：一般地来讲在解决数阵图的问题上，我们应先观察好数阵图，找出“公用数”的位置，求出“公用数”是解决数阵问题的关键。

在数阵图中横行有，竖行也有的数，我们把它叫做“公用数”。

如果题中给你的数的个数是奇数个，而“公用数”仅一个，而这个“公用数”又是中心数，这样的数阵图称为辐射型数阵图。

在解决这类数阵图时，就是先找出公用数，每边均剩下两个数，实际上就是在奇数个数中找到和相等的几对数，找的办法有三种，即：去头、去尾、去中间，而数阵图中的“公用数”就是这列数中的头、尾、中间任意一个数。

还有一种数阵图，题中给你的已知数的个数为偶数个，“公用数”不再是一个，而是多个。

这样的数阵图称为封闭型数阵图，在解决此类数阵图时，应分三步走：l、先求出题中给出已知数的总和，2、再求出数阵图中的和，3、用图中和减去已知数的和即为“公用数”的总和。

例题分析：一．辐射型数阵：例1.将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.例2.把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.例3.将1～9这九个数字填在”七一”内,使每一横行,每一竖列的数字的和都是13.二．封闭型数阵：例4.将1~6六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少？例5. 如果将—11这11个自然数填入左下图的圆圈中，使每个菱形上的四个数之和都等于24，那么A等于多少？例6.把10～80八个整十数填入下图的○中，使每个圆上五个数的和为210。

例7.把10～15这6个数字分别填放图中的各个圆圈内，使每边上的三个圆圈内数之和相等。

例8. 图中五个正方形和12个圆圈，将1—12填入圆圈中，使每个正方形四角上圆圈中的数字之和都等于K，那么K等于几?例9. 图中的大三角形被分割成九个小三角形将1—9填入小三角形中，使每条边上的五个小三角形的数字之和都相等，那么这个和的最小值是多少？最大值是多少？例10.图中有10个小三角形和4个大三角形，将1~10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25。

知识要点幻方与数表二、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。

三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。

对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。

四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。

中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。

用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。

五、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。

ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。

（只要构造出一种）一、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nna a a a 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b ca b c⨯+⨯+⨯+⨯+也是n 阶幻方。

数表中心数幻和三阶幻方的性质幻方的构造幻方幻方与数表（本讲）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。

1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。

例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。

例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。

例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。

这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

(★★)在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。

【铺垫】将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等，证明：c＝(a＋b)÷2数阵图与幻方(★★★)在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的三个数的和都等于90。

(★★★★)在一个乘法幻方中，每一行、每一列、对角线上的数之积都相等。

如果在图中的空格中填上正整数，构成一个乘法幻方，那么x的值是多少？(★★★)⑴把10~20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都等于45。

⑵将1~6填入下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于9。

(★★★★)将1~7七个数字填入下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等。

(★★★★)将1~8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈内，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．(★★)在下图的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

x位置应填入的数是A．9 B D．122．(★★★)在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的三个数的和都等于48。

xA．19 B D．223．(★★★★)在一个乘法幻方中，每一行、每一列、对角线上的数之积都相等。

如果在图中的空格中A．1 B．2 D．44．(★★★)将1~11这11个数填入下图的○中，使每条线段上的三个○内的数的和相等。

请问中心数不可能是以下哪一个( )。

A．1 B．6 C．9 D．115．(★★★★)把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和都等于15。

若数1、7位置如图，那x处应填入( )。

A．3 B．4 C．5 D．66．(★★★★)把1~9填入下图中,使每条线段上三个数和及两个圆上的四个数和都相等。

第6讲幻方第一关完全幻方完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等．【例1】在空格内填上数，使每横行、竖行以及对角线上的三个数的和都相等．【答案】【例2】在下表的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等．【答案】【例3】如图所示，一个方格内每行、每列及对角线上的三个整数的和都相等，求X。

【答案】11【例4】如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中星号处代表的数字是多少？【答案】1【例5】“数独”是目前非常流行的一种数字游戏，二阶数独是在一个4×4的方格表内进行的．在此游戏完成时，在4×4方格表内的每一行、每一列及每个在角落上的2×2方格表上的数字都恰好有数字1，2，3，4各一个．当将图中的方格表完成后，在4×4方格表四个角上的数字之和是多少？【答案】10【例6】图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为多少？【答案】12【例7】在幻方中，每行、每列和每条主对角线上的数字的和都相同．那么在如图所示的未完成的幻方中x应该是多少？【答案】12【例8】将数字1-9填在如图中，使横加、竖加、斜加的和都是15.【答案】【例9】请完成如图的三阶幻方【答案】【例10】将1-16（已填上的数除外）分别填入下面空格中，使每一横行、竖行、斜行上4个数的和都等于34【答案】【例11】将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的均相等，这样的方阵称为4阶幻方．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的中国古代数学家，请根据下面已经给出的数字，填出两个不同的4阶幻方。

【答案】；【例12】将1～9九个数字填入“○”内，使每条直线上三个数相加的和是15（数不能重复使用）．【答案】【例13】大禹治水时，从洛水里出来一个乌龟，背上有一个图表每行每列及两条对角线上的三个数字之和都是15，这种图称为三阶幻方．用数1，2，3，4，5，6，8，9，10能否组成一个三阶幻方？试说明理由．【答案】不能，三阶幻方中的9个数字之和必须是9的倍数，而数1，2，3，4，5，6，8，9，10的和为48，不是9的倍数，不满足要求【例14】用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方.【答案】【例15】找出九个连续的自然数，分别填入下图的圈内，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都等于60。

小学奥数练习卷（知识点：幻方）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E 2．如图，请将0、1、2、…、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个．表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是（）A．784B．560C．1232D．528第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共42小题）3．将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入图中的八个圆圈中，使外面大正方形上的四个数之和是里面小正方形上的四个数之和的两倍，且大正方形两条对角线上的四个数之和相等．4．将A、B、C、D填入下面表格的空格处，使每行每列A、B、C、D都有且只有一个（也就是说有些空格可以空着不填字母）．表格外的字母表示从这个方向看进去所看到的第一个字母．等表格填好后，将两条对角线上的字母按照箭头顺序写着横线上，如果碰到空着的格子，用“×”表示（先写箭头1所指的字母串，再写箭头2所指的字母串，中间用逗号分开）：．5．从1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个数中，任取3个不同的数（不分先后）组成一组，使该组的平均数为9，共有种取法．6．如图，在一个4×4方格表内填有1～16这16个自然数，现在从填有“1”的方格出发，每一步可以走到“相邻”的方格中（有一条公共边的方格称为“相邻”的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有“2”的方格，那么所到过的方格中所填之和最大可能是．7．在方格中分别填入1～5的数字，使得每一行、每一列的五个方格中都恰好有1、2、3、4、5这五个数字各一个，并且在每个黑色粗框中所填的数据按照左上角的运算符号进行计算后，所得的结果等于左上角的数字，则图中的三个数字A、B、C组成的三位数等于．8．如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中“”处代表的数字是．9．图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为．10．如图，在小方格内各填一个字，使每行、每列及每条对角线上的四个小方格中均含有“光明磊落”这四个字，则“？”处应填的字是．11．如图，在3×3的九个方框中，填入九个整数，使得每一横行，每一数列，每条对角线上的三个整数之和都相等（和记为A）．如果三个整数2015，1，10已填入三个方框内，那么A=．12．在如图的方格中填入9个数字，使得每行、每列及每条对角线上三个数之和都是12，则图中四个角上的数字之和为．13．图中每一行和每一列都是一个独立的等差数列，那么m×n的值是14．将1﹣9填入表中，每个数字使用一次，每个小方格填入一个数，其中1，2，3，4已经填好了．如果两个小方格有一条公共边，我们就称这两个小方格相邻．如果与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，那么与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为．15．将数字1～6填入空格中，使每行、每列及每个粗线宫内数字不能重复．灰色粗线两侧格内数字之差为1，没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1．16．如图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边．已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有枚棋子．17．数独游戏要求每个小九宫格型只能填上1到9的数字，且不能重复，最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字不重复复．根据九宫格中已经给出的数字，请你写出字母“C”所在的方格内的数字应为．18．把1～5这五个数字分别填入如图的方格中，使得横行三数之和与竖行三数之和都等于9．19．在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是．20．在图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是．21．在如图的9个方格中，每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等，则x+y+a+b+c+d=．22．格里只能填上1到9的数字，且不能重复．最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字都不能重复，根据九宫格中已给出的数字．请你写出字母“B”所在方格内的数字应为．23．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为4阶幻方，下面的幻方是在印度耆那种庙中发现的，请将其补充完整．24．在每个空格中填入数字1﹣4，使得每行和每列的数字都不重复．表格外的数字表示该方向所在行或列里第一个奇数或者第一个偶数，那么，第三行的四个格从左到右所填的数字组成的四位数是．25．如图，请给出一种填法，使每行、每列以及每个由粗线所围成的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个．26．在的圆圈中填入从1到14的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个7阶幻星图，这个相等的数称为7阶幻星图的幻和，那么，7阶幻星图的幻和为，并继续完成以下7阶幻星图．27．在空格里填入数字2、0、1、5，或者空着不填，使得每行和每列都各有一个2、0、1、5，要求相同的数字不能对角相邻，那么第五行前五个位置依次是（空格用9表示）．28．在的圆圈中填入从1到12的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个6阶幻星图，这个相等的数称为6阶幻星图的幻和，那么，6阶幻星图的幻和为，并继续完成以下6阶幻星图：29．格里只能填上1到9的数字，且不能重复．最后填写完成要保证整个大九宫格的每一列、每一行的数字都不能重复．根据九宫格中已给出的数字．请你填写字母“A”所在方格内的数字应为．30．老师将一些数填入如图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个数之和均为30，上下两个闭合回路的四个数之和均为40，若圆圈X内填的数为9，则圆圈Y内填的数为．31．在如图的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，那么D=．32．如图中，我们称粗实线围城的2×3的长方形为一个“宫”．请在途中所有空格里，分别填入1﹣6中的某个数字，使得每行、每列和每个“宫”内，数字1﹣6都不重复出现．其中某两个空格之间的数表示该相邻两格内数字的和或者乘积．33．如图，将3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，填入5×5的表格中，使得相同的数字所在的方格连在一起（相连的两个方格必须有公共边），且已知A，B，C，D，E五个数字各不相同，那么五位数是．34．请将1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，8个8填入如图所示的方格中，使得相同的数字均相连（相连的两个方格必须有公共边），且已知其中A，B，C，D，E，F六个位置上的数字互不相同，那么六位数=．35．将如图4×4方格内的两个数字进行交换，使得交换后每行、每列、每条对角线之和都相等，那么需要交换的两个数字之和为．36．在每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数=．37．在每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数=．38．在下面的6个圆圈中分别填入1，2，3，4，5，6，每个数字只能用一次，使各边上的三个数字和相等，称这个和为三角形边幻和，这样的三角形边幻和可以取到的值分别为．39．在幻方中，每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在如图所示的未完成的幻方中x应是．40．在每个格子中填入1﹣6中的一个，使得每行、每列及每个2×3长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是．41．如图，在4×4的方格中分别填入1﹣4的数字，使这四个数在每行、每列都恰出现一次，且方格中左上角的数及“+、﹣、×、÷、”符号分别表示粗框内所填数字之和、差、积和商．当左上角只有1个数字（无运算符号）时，就将该数字填入此方格中，则★×▲=．42．如图所示的方格中每行、每列及每条对角线上的5个数字之和都等于20，而图中未填数的空格中只能填3个不同的数字（这3个数字可以被多次使用），那这三个数字之和是．43．将1到16的自然数排成4+4的方阵，每行每列以及对角线上数的和都等于34，这样的方阵称为4阶幻方，34称为4阶幻方的幻和．10阶幻方的幻和等于．44．将1到16的自然数排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和都等于34，这样的方阵称为4阶幻方，34称为4阶幻方的幻和．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的数学家．他将幻方命名为纵横图，不仅给出了以下两个两漂亮的4阶幻方，还研究了10阶幻方．10阶幻方的幻和等于．三．解答题（共6小题）45．将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．46．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为4阶幻方．幻方起源于中国，在世界上很多地方也都有发现．下面的4阶幻方是在印度耆那神庙中发现的，请将其补充完整：47．如图是一个标准的九宫数格，那么A、B、C组成的三位数是：．48．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的均相等，这样的方阵称为4阶幻方．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的中国古代数学家，请根据下面已经给出的数字，填出两个不同的4阶幻方．49．在的圆圈中填入1到16的自然数，（每一个只能用一次），连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个8阶幻星图，这个相等的数称为8阶幻星图的和．那么，8阶幻形图的幻和为，并继续完成以下8阶幻星图．50．在空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每个粗线围成的区域里数字都是1～6恰好各一个．表外面的数字表示该行或该列的最近两个数的和．那么，第二列前四个数字按从上到下的顺序依次组成的四位数是．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E 【分析】首先根据排除法和唯一法进行分析，首先根据幻方规律排除法确定第一行第二列的数字是A，跟着这个思路全部填写出来即可．【解答】解：依题意可知：首先根据排除法看第一宫格，第一列不能有A，第二行不能有A．那么A只能在第一行第二列．幻方规律排除法确定第三行第四列也是A；第四行第四列的数字是C；接着第五行第四列就是F；那么第二行的第四列是B；继续推理得：故选：C．【点评】本题是考查对幻方的理解和运用，关键的是运用排除法找到可以确定的位置，然后空填写越多越容易填写．问题解决．2．如图，请将0、1、2、…、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个．表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是（）A．784B．560C．1232D．528【分析】首先分析数字的余数就是满足数独的规律，商也是满足数独的规律．两个格子如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，枚举法即可解题．【解答】解：依题意可知：可将数独拆分成余数数独和商的数独．商的数独注意某两个格子如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，利用这个条件可以填完这两个数独，再合并成原表格．所以7×8×14=784．故选：A．【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到余数和商满足一个相同则另一个不相同的性质．问题解决．二．填空题（共42小题）3．将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入图中的八个圆圈中，使外面大正方形上的四个数之和是里面小正方形上的四个数之和的两倍，且大正方形两条对角线上的四个数之和相等．【分析】1+2+3+4+5+6+7+8=36，里面小正方形上的四个数之和是：36÷（1+2）=12，外面大正方形上的四个数之和是：36﹣12=24，然后把1、2、3、4、5、6、7、8分成得数是12和24的两组，且保证大正方形两条对角线上的四个数之和相等即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8=36里面小正方形上的四个数之和是：36÷（1+2）=12外面大正方形上的四个数之和是：36﹣12=241+2+3+6=124+5+7+8=244+1+6+7=5+2+3+8填图如下：（答案不唯一）【点评】本题关键是根据和倍公式求出内外两个正方形上的四个数之和．4．将A、B、C、D填入下面表格的空格处，使每行每列A、B、C、D都有且只有一个（也就是说有些空格可以空着不填字母）．表格外的字母表示从这个方向看进去所看到的第一个字母．等表格填好后，将两条对角线上的字母按照箭头顺序写着横线上，如果碰到空着的格子，用“×”表示（先写箭头1所指的字母串，再写箭头2所指的字母串，中间用逗号分开）：×DC×××D，CAD ×A×C．【分析】对每行每列进行逻辑分析，把确定的字母逐个填入表格中，将空白不能填入任何字母的位置填入“×”，逐步完成整个表格．【解答】解：如下图，第一步可以确定黑色字符部分，第二步可以确定红色字符部分，最后确定绿色字符部分，完成全表．所以：1表示的字符顺序为：×DC×××D，2表示的字符顺序为：CAD×A×C．故答案为：×DC×××D，CAD×A×C．【点评】逐步通过顺推和反向反证推理，逐步可以确定全表，本题难度较大．5．从1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个数中，任取3个不同的数（不分先后）组成一组，使该组的平均数为9，共有8种取法．【分析】首先分析数字和的平均数是9，那么可以理解为数字和为27，考虑幻和为27的幻方填写规律即可．【解答】解：依题意可知：满足幻和为9×3=27即可．中间数的3倍就是幻和，那么中间数字就是9．因为数字是等差数列可根据1﹣9的填写规律填写即可．共三行三列再加上两条对角线共8种．故答案为：8【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到幻和，根据数字规律填写即可．问题解决．6．如图，在一个4×4方格表内填有1～16这16个自然数，现在从填有“1”的方格出发，每一步可以走到“相邻”的方格中（有一条公共边的方格称为“相邻”的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有“2”的方格，那么所到过的方格中所填之和最大可能是129．【分析】首先分析走竖条线那么数字9走不到，再继续分析有没有比数字9小的数字可以不走．继续尝试即可求解．【解答】解：依题意可知：如果走数列走那么9走不到．但是发现当走路顺序为1﹣14﹣6﹣12﹣3﹣8﹣13﹣4﹣15﹣11﹣5﹣10﹣16﹣9﹣2．只有数字7没有走到．1+2+3+4+5+6+8+9+10+11+12+13+14+15+16=129．故答案为：129．【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到数字9再进行对比．问题解决．7．在方格中分别填入1～5的数字，使得每一行、每一列的五个方格中都恰好有1、2、3、4、5这五个数字各一个，并且在每个黑色粗框中所填的数据按照左上角的运算符号进行计算后，所得的结果等于左上角的数字，则图中的三个数字A、B、C组成的三位数等于455．【分析】首先分析特殊数字的填写方式再根据第三行15×可知只能是3×5．那么2﹣只能是4﹣2．第三行第五列只能是1．推理出9+只能是1+3+5．然后8=3+5．等情况，继续推理可知．【解答】解：依题意可知：①．再根据第三行15×可知只能是3×5．那么2﹣只能是4﹣2．第三行第五列只能是1．推理出9+只能是1+3+5．②如果B是3，那么7+只能是3+4，第一列的3﹣没有数字可以填写，所以B是5，第三行第一列数字是3．③再根据8+只能是3+5，所以第五行的第二列是3，第三列是5．④80×就只能是2×4×2×5，左上角填写5，右下角填写4即可．继续推理可知如图所示：故答案为：455【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是找到题中的特殊情况15作为突破口．问题解决．8．如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中“”处代表的数字是1．【分析】首先填写唯一确定的数字，第三行第三列数字唯一确定是2．即可推理第三行第1列数字是1．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：首先填写唯一确定的数字，第三行第三列数字唯一确定是2．即可推理第三行第一列数字是1．第二行第二列唯一确定是6．即可推理第二行第四列数字是0．继续推理如图所示：故答案为：1【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是找到唯一确定的数字为突破口．问题解决．9．图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为12．【分析】首先分析能唯一确定的是第二行第二列唯一确定只能填写1，第四行第四列唯一确定只能填写1，第一行第三列唯一确定只能填写1．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：①第二行第二列唯一确定只能填写1，第四行第四列唯一确定只能填写1，第一行第三列唯一确定只能填写1．继续推理填写可得如图所示：A+B+C+D=2+4+4+2=12．故答案为：12【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问是找到唯一确定的数字．问题解决．10．如图，在小方格内各填一个字，使每行、每列及每条对角线上的四个小方格中均含有“光明磊落”这四个字，则“？”处应填的字是明．【分析】首先找到唯一确定的填写：第三行第三列唯一确定只能是光．第三行第一列唯一确定只能是落．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：①第三行第三列唯一确定只能是光．②第三行第一列唯一确定只能是落．③第一行第四列唯一确定只能是落．④第四行第四列唯一确定只能是明．继续推理可知：故答案为：明【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到唯一确定的填写即可．11．如图，在3×3的九个方框中，填入九个整数，使得每一横行，每一数列，每条对角线上的三个整数之和都相等（和记为A）．如果三个整数2015，1，10已填入三个方框内，那么A=6018．【分析】首先分析能填写出来的数字，根据比较法可得中间数和右下角数字即可求解．【解答】解：依题意可知：根据比较法可知：a+10=2015+1．所以中间数字a是2006．再根据2006+1=10+b．右下角b就是1997．如图所示：所以和为2015+a+b=2015+2006+1997=6018故答案为：6018【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是使用比较法问题解决．12．在如图的方格中填入9个数字，使得每行、每列及每条对角线上三个数之和都是12，则图中四个角上的数字之和为16．【分析】对角线上三个数之和都是12，所以左下角的数是：12﹣4﹣4=4；那么右下角的数是：12﹣4﹣3=5；左上角的数是：12﹣4﹣5=3；由此求和即可．【解答】解：根据分析可得，左下角的数是：12﹣4﹣4=4；右下角的数是：12﹣4﹣3=5；左上角的数是：12﹣4﹣5=3；则图中四个角上的数字之和为：4+5+4+3=16．故答案为：16．【点评】本题关键是利用幻和12与已知的数，求出图中四个角上的数字．13．图中每一行和每一列都是一个独立的等差数列，那么m×n的值是300【分析】因为每一行和每一列都是一个独立的等差数列，所以可得第一行分别为4、6、8、10，再推出左边第二列为6、9、12、15，可得m=15，然后推最后一列，公差为（25﹣10）÷3=5，n=25﹣5=20，然后求出m×n的值即可．【解答】解：第一行分别为4、6、8、10，左边第二列为6、9、12、15，可得m=15，最后一列，公差为（25﹣10）÷3=5，则n=25﹣5=20，m×n=15×20=300．故答案为：300．【点评】本题考查了等差数列的特征和有关的计算，关键是求出m和n的值．14．将1﹣9填入表中，每个数字使用一次，每个小方格填入一个数，其中1，2，3，4已经填好了．如果两个小方格有一条公共边，我们就称这两个小方格相邻．如果与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，那么与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为18．【分析】考虑9的填法，与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，故9填右边，8填中间，即可求出填8的小方格相邻的小方格内的数之和．【解答】解：考虑9的填法，与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，故9填右边，8填中间，所以与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为5+6+7=18，故答案为18．【点评】本题考查幻方问题，考查学生分析解决问题的能力，确定9，8的填法是关键．15．将数字1～6填入空格中，使每行、每列及每个粗线宫内数字不能重复．灰色粗线两侧格内数字之差为1，没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1．【分析】根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，先填灰色粗线另一侧的数字，再根据没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1，逐步填入数字，可得结论．【解答】解：根据数独规则就是要求在每个区域内出现的数字都为1～6，从左列第二个3×2入手，6右边是5，4右边是3，3右边只能是1，可得填右列第二个3×2，5的左边是6，6的上边是3，可得其它两格的数，可得根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，可得填右上方3×2，根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，可得填右下方3×2，可得填左上方3×2，可得填左下方3×2，可得【点评】本题考查六宫连续数独，考查学生动手动脑能力，属于中档题．16．如图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边．已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有18枚棋子．【分析】突破口是第4行以及第6列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其他行列（先找最大数或最小数比较好填．【解答】解：突破口是第4行以及第6列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其他行列（先找最大数或最小数比较好填，即8→1→7→2→…的顺序：其中灰色的步骤是用到了“同一行或同一列的棋子全部相连”这一条件推导而来的，计数后最后一个途中的白色格的棋子数量，为18枚．故答案为18．【点评】本题考查数独思想，突破口是第4行以及第6列，都是“8”．17．数独游戏要求每个小九宫格型只能填上1到9的数字，且不能重复，最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字不重复复．根据九宫格中已经给出的数字，请你写出字母“C”所在的方格内的数字应为6．。

考试必考！小学奥数“幻方”常规解法汇总，强烈建议人手一
份！
从教多年，经常有家长在微信上向我咨询孩子的学习问题，有很多家长都在问，孩子小学阶段学习奥数有用吗？作为一名老师，我可以很肯定的回答大家，有用！对于6-12岁的孩子来说，通过奥数训练，不仅可以培养孩子的思维能力，提升孩子的学习兴趣，同时对孩子的智力开发也是很有帮助的。

幻方作为小学奥数中最难的题型之一，由于对孩子的思维能力要求比较高，所以很多孩子都不能很好的掌握。

为了更好的帮助孩子掌握这部分知识，今天老师就将这部分的知识进行了非常详细的归纳和解析，希望可以帮助到孩子的学习。

此外，家长如果在孩子学习方法和记忆方法上还有任何疑问，或者需要任何学习资料的，都可以通过文末的方式直接与我交流，我都将免费为您解答。

今天的分享就先到这了，一个真正的老师，不是叫学生多少知识，而是教给学生好的学习方法。

我专注于记忆力提升、学习方法的研究，帮助孩子找到合适的学习方法，有任何疑问都可以添加“微信”向我咨询，我都将免费您解答。

1.会用罗伯法填奇数阶幻方2.了解偶数阶幻方相关知识点3.深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有：①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

2014年四年级数学思维训练：幻方与数阵图扩展1．把1，2，…，9填入图20﹣1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．2．如图，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．3．如图，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．4．如图所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？5．如图，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．6．请将如图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么？7．请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种？8．请在如图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7．9．将1至5这5个数字填入图中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．10．请在图中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．11．将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的．请问：这个和最小是多少？最大是多少？12．将1，2，3，…，24，25分别填入图20﹣12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？13．请在图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．14．在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95．那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？15．请在图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．16．如图，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．17．将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．18．请将1至10填入如图中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．19．如图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．20．请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图20.20中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数是多少？21．请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在图中的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等．应怎样填？22．将1至9填人图中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16．23．如图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法．24．如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法．25．请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．26．如图是有名的“六角幻方”：将l到19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等，美国数学爱好者阿当斯从l910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填人了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．27．在图中有6个正方形，请你将1至9填人图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．28．在图中的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．29．将1至9分别填人图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少？30．将0，1，2，…，9这10个数分别填人图20﹣30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法．31．在下面的图中有11个空的圆圈，要求把1～13这些数填入各圈内（其中3，4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面两个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面一个圈中的数），并且最下面空着的四圆圈中的数之和等于43．32．图中共有10个圆圈，6条直线．请问：（1）能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等？（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？（3）请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．参考答案1．由以上分析可得：【解析】试题分析：我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出．解：根据题意可得：当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：2+7=3+6=4+5；那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：1+7=2+6=3+5；那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12；由以上分析可得：点评：解答此题的关键是求出中间圆圈的数是多少，然后再进一步解答即可．2．【解析】试题分析：首先根据第1列的三个数为16、11、12，求出幻和为：16+11+12=39；然后根据幻和为39，分别求出空格里的数即可．解：因为第1列的三个数为16、11、12，所以幻和为：16+11+12=39；因此第2行的第2个数为：39﹣11﹣15=13，第1行的第3个数为：39﹣12﹣13=14，第1行的第2个数为：39﹣16﹣14=9，第2列的第3个数为：39﹣9﹣13=17，第3列的第3个数为：39﹣14﹣15=10．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出幻和是多少．3．【解析】试题分析：首先求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：12+9+5+8=34，然后根据这个共同的和为34，分别求出空格里的数即可．解：每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：12+9+5+8=34，所以第3行的第1个数为：34﹣5﹣16﹣3=10，第2列的第1个数为：34﹣4﹣5﹣11=14，第1行的第1个数为：34﹣14﹣7﹣12=1，第2行的第1个数为：34﹣1﹣10﹣8=15，第2行的第4个数为：34﹣15﹣4﹣9=6，第3列的第4个数为：34﹣7﹣9﹣16=2，第4列的第4个数为：34﹣12﹣6﹣3=13．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为34．4．【解析】试题分析：首先根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：2+3+7=12；然后用12减去6，可得第4列的第1个数和第3个数的和是6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；再求出第1行的4个数的和是：2+4+5+5=16，根据各行所填的数之和为16，各列所填的数之和为12，求出其余的空格中的数即可．解：根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：2+3+7=12，所以第4列的第1个数和第3个数的和是：12﹣6=6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；因为第1行的4个数的和是：2+4+5+5=16，所以第2行的第2个数和第3个数的和是：16﹣3﹣6=7，第3行的第2个数和第3个数的和是：16﹣7﹣1=8，第2列的第2个数和第3个数的和是：12﹣4=8，第3列的第2个数和第3个数的和是：12﹣5=7，因此第2行的第2个数和第3个数分别是5、2，第3行的第2个数和第3个数分别是3、5．答：标有符号“*”的方格内所填的数是1．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等”，注意答案不唯一．5．【解析】试题分析：如图，首先根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为14+15+16=45；然后根据幻和为45，分别求出a、c、d、e的值即可．解：如图，根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为：14+15+16=45；因此a=45﹣12﹣14=19，c=45﹣19﹣16=10，d=45﹣10﹣15=20，e=45﹣16﹣11=18．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出幻和是多少．6．△=5，▽=5，○=4．【解析】试题分析：根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；又因为h在第3行中，所以h不能是4；因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；因为d、f 在第2行中，只能从1、3中各取一个，因为d在第1列中，所以d不能是3，只能是1，则f=3；因为k、m在对角线上，只能从1、4中各取一个，因为m在第1列中，所以m不能是1，只能是4，则k=1；因为○、b在第1行中，只能从2、4中各取一个，因为b在第4列中，所以b不能是4，只能是2，则○=4；所以j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5，据此解答即可．解：（1）根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；又因为h在第3行中，所以h不能是4；因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；（2）因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；（3）因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；同理，可得d=1，f=3；m=4，k=1；b=2，○=4；j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5．答：△=5，▽=5，○=4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次”，逐一确定每个方格中的数字．7．2种．【解析】试题分析：首先第一行第二列的数最大，只能是9，第一行的第三列最小只能是1，第一行第一列只能是8，第二行第一列只能是7，第二行第三列只能是2，第三行第三列只能是3，第三行第二列只能是4，中间的数可以是6或5，而第三行第一列可以是6或5，所以满足要求的方法有2种方法．解：答案如下：所以满足要求的填法共有2种．点评：解决此题的关键找出最大最小数的位置，进一步确定固定的数以及可调整的数，得出结论．8．【解析】试题分析：首先根据两个小圆圈内所填的数的差最大是：8﹣1=7，可得当差为7时，只能是8与1的差；剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：7﹣2=5，所以当差为6时，只能是7与1的差；同理，当差为5时，只能是6与1的差；5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；据此可得中间两个圆圈中的数分别为1、5，然后填上其余圆圈中的数即可．解：因为两个小圆圈内所填的数的差最大是：8﹣1=7，所以当差为7时，只能是8与1的差；因为剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：7﹣2=5，所以当差为6时，只能是7与1的差；同理，当差为5时，只能是6与1的差；5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；因此中间两个圆圈中的数分别为1、5，可得点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是判断出中间两个圆圈中的数只能是1和5．9．【解析】试题分析：1+2+3+4+5=15，根据题意，可得计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，圆圈中的每个数均被计算了2次，所以这个共同的和是：15×2÷3=10；然后根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3，据此解答即可．解：1+2+3+4+5=15，根据题意，计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，圆圈中的每个数均被计算了2次，所以这个共同的和是：15×2÷3=10；根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出横线、竖线、大圆周上所填数之和均为10．10．【解析】试题分析：如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，整理，可得A+B=C+D=E+F；因为1+6=2+5=3+4，所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F 可以从3、4中各取一个；最后根据B+C+E=2（A+B）=2×7=14，可得B=6，C=5，E=3，据此解答即可．解：如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，整理，可得A+B=C+D=E+F；因为1+6=2+5=3+4，所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；又因为B+C+E=2（A+B）=2×7=14，所以B=6，C=5，E=3，可得．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，能判断出A+B=C+D=E+F．11．这个和最小是11，最大是16，如图所示：【解析】试题分析：根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；因为每个圆内的三个数之和都是相等的，所以要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4；要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9；据此解答即可．解：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；（1）因为每个圆内的三个数之和都是相等的，所以要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4，这个和最小是：（45+0+1+2+3+4）÷5=11；（2）所以要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9，这个和最大是：（45+5+6+7+8+9）÷5=16．答：这个和最小是11，最大是16．点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是判断出：要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小；要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大．12．4.【解析】试题分析：首先根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，可得g+19+25+13=20+9+23+12，解得g=7；然后根据第4列和第5行的各数之和相等，可得b+25+14+3=i+8+15+24，解得b=i+5…①；根据第1列和第1行的各数之和相等，可得i+12+23+9=a+b+*+13，解得b=i ﹣a﹣*+31…②；再根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，可得j+8+15+24=19+7+25+13，解得j=17；再根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，可得a+*+b+13=c+7+3+24，解得c=b+5；再根据第2列和第3行的各数之和相等，可得a+c+19+8=23+7+14+16，解得a+c=33；再根据第5列和第2行的各数之和相等，可得13+16+10+24=9+c+d+25，解得c+d=29；再根据第3列和第4行的各数之和相等，可得*+d+7+15=12+19+3+10，解得*+d=22；解：根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，可得g+19+25+13=20+9+23+12，解得g=7；根据第4列和第5行的各数之和相等，可得b+25+14+3=i+8+15+24，解得b=i+5…①；根据第1列和第1行的各数之和相等，可得i+12+23+9=a+b+*+13，解得b=i﹣a﹣*+31…②；由①②，可得a+*=26；根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，可得j+8+15+24=19+7+25+13，解得j=17；根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，可得a+*+b+13=c+7+3+24，解得c=b+5；根据第2列和第3行的各数之和相等，可得a+c+19+8=23+7+14+16，解得a+c=33；根据第5列和第2行的各数之和相等，可得13+16+10+24=9+c+d+25，解得c+d=29；根据第3列和第4行的各数之和相等，可得*+d+7+15=12+19+3+10，解得*+d=22；综上，可得a=22，*=4，因此d=22﹣4=18，c=29﹣18=11，b=11﹣5=6，f=b﹣1=5，e=（20+22+4+6）﹣（16+10+24）=52﹣50=2，h=（20+22+4+6+13）﹣（12+19+3+10）=65﹣44=21，i=（20+22+4+6+13）﹣（20+9+23+12）=65﹣64=1，h=（20+22+4+6+13）﹣（1+8+15+24）=65﹣48=17．答：标有符号“*”的方格内所填的数是4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的数的和相等”．13．【解析】试题分析：（1）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得a+95=100+19，解得a=24；然后根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，可得f+19=95+100，解得f=176；再根据第3行和第2列的三个数的和相等，可得b+100=95+176，解得b=171；再求出另一条对角线上的三个数的和，进而求出c、d、e的值是多少即可．（2）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得q+6=5+9，解得q=8；然后根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，可得s+6=9+8，解得s=11；最后根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，求出三个数的和是多少，进而求出n、m、p、r的值是多少即可．解：（1）根据第2行和第1列的各数之和相等，可得a+95=100+19，解得a=24；根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，可得f+19=95+100，解得f=176；根据第3行和第2列的三个数的和相等，可得b+100=95+176，解得b=171；另一条对角线上的三个数的和为：24+100+176=300，所以c=300﹣24﹣171=105，d=300﹣100﹣19=181，e=300﹣95﹣176=29．（2）根据第2行和第1列的各数之和相等，可得q+6=5+9，解得q=8；根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，可得s+6=9+8，解得s=11；根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，可得三个数的和是：5+8+11=24，所以n=24﹣9﹣8=7，m=24﹣5﹣7=12，p=24﹣8﹣6=10，r=24﹣12﹣8=4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等”，逐一确定每个空格中的数即可．14．11.12．【解析】试题分析：首先根据题意，可得c+f=19.95﹣4.33=15.62…①，e+f=19.95﹣8.80=11.15…②；然后根据第1行和第2列的三个数的和相等，可得*=8.80+c﹣4.33=4.47+c；再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得*=4.33+f﹣e，所以4.47+c=4.33+f﹣e，整理，可得f﹣c﹣e=0.14…③；由①②③，求出f、c的值，进而求出*是多少即可．解：根据题意，可得c+f=19.95﹣4.33=15.62…①，e+f=19.95﹣8.80=11.15…②；根据第1行和第2列的三个数的和相等，可得*=8.80+c﹣4.33=4.47+c；根据两条对角线上的三个数的和相等，可得*=4.33+f﹣e，所以4.47+c=4.33+f﹣e，整理，可得f﹣c﹣e=0.14…③；由①+②+③，可得3f=26.91，解得f=8.97，所以c=15.62﹣8.97=6.65，所以*=4.47+c=4.47+6.65=11.12．答：标有“*”的方格内所填的数是11.12．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95”，确定出两条对角线上的数分别是多少．15．【解析】试题分析：首先根据第1行和第1列的三个数的和相等，可得第1行的第3个数为：29+19﹣17=31；然后根据第2行的三个数和对角线上的三个数的和相等，可得第2行的第3个数为：19+31﹣29=21；再根据第2行和第2列的三个数的和相等，可得第2列的第3个数为：29+21﹣17=33；最后根据第1行和第3列的三个数的和相等，可得第1行的第1个数比第3列的第3个数多：21﹣17=4，再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得第1行的第1个数和第3列的第3个数的和为：19+31=50，据此求出第1行的第1个数和第3列的第3个数分别是多少，进而求出中心方格的数是多少即可．解：第1行的第3个数为：29+19﹣17=31；第2行的第3个数为：19+31﹣29=21；第2列的第3个数为：29+21﹣17=33；第1行的第1个数比第3列的第3个数多：21﹣17=4，第1行的第1个数和第3列的第3个数的和为：19+31=50，所以第1行的第1个数为：50÷2+2=27，第3列的第3个数为：50÷2﹣2=23；中心方格的数为：（27+17+31）﹣（29+21）=75﹣50=25．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等”，逐一判断出每个方格中的数是多少．16．【解析】试题分析：首先在0﹣9这10个数字中，找出0、1、6、8、9这5个数字倒过来是0、1、9、8、6；本题中用了1、6、8、9这4个数字，并且对角线上的数的个位相加都是7，所以本题用不上数字0，所以中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9；然后分析确定出相应的数字即可．解：在0﹣9这10个数字中，有0、1、6、8、9这5个数字倒过来是0、1、9、8、6；本题中用了1、6、8、9这4个数字，并且对角线上的数的个位相加都是7，所以本题用不上数字0，所以中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9；左下右上的圆圈里已经有了91、86，所以最简单的方法只需要在这条对角线里圈里的两个圆圈里填上19、68即可；左上右下的圆圈里已经有了19、68，所以只需要在这条对角线里圈里的两个圆圈里填上91、86即可．答：左上、左下、右上、右下的圆圈里应分别填上：91、68、19、86．实际上，还有很多种方法，例如：点评：此题主要考查了学生的分析推理能力，分析确定出中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9是解答本题的关键．17．【解析】试题分析：如图，根据每条直线上各数之和都相等，可得a﹣b=9﹣1=8，除1、3、9之外的8个数中只有10、2两个数相差8，所以a=10，b=2；然后根据a+b=c+d，可得c+d=10+2=12，而且c ﹣d=3﹣1=2，解得c=7，d=5；最后求出每条直线上的和是多少，进而求出e、f的值是多少即可．解：根据每条直线上各数之和都相等，可得a﹣b=9﹣1=8，除1、3、9之外的8个数中只有10、2两个数相差8，所以a=10，b=2；因为a+b=c+d，可得c+d=10+2=12，而且c﹣d=3﹣1=2，解得c=7，d=5；因此每条直线上的和为：10+3+5=18，所以e=18﹣5﹣7=6，f=18﹣5﹣2=11．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先根据题意，分别求出四个角上的数分别是多少．18．【解析】试题分析：首先根据b、c的差是9，可得b、c只能是10、1各一个；然后根据c是1时，d、f的差是1，所以d、f是两个相邻的自然数，而且d=f+1；b是10时，a、b的差是e，所以a、e只能是2、8或3、7或4、6；（1）当a=2，e=8时，g=9﹣8=1，与c=1矛盾，因此e=2，则g=9﹣2=7；d、f、h、i从3、4、5、6中各取一个，经验证，可得d=6，f=5，h=4，i=3．（2）当a、e是6、4时，g=9﹣4=5，d、f、h、i从2、3、7、8中各取一个，经验证，可得d=8，f=7，h=2，i=3．（3）经验证，当a、e是3、7时，不符合题意．解：根据b、c的差是9，可得b、c只能是10、1各一个；当c是1时，d、f的差是1，所以d、f是两个相邻的自然数，而且d=f+1；当b是10时，a、b的差是e，所以a、e只能是2、8或3、7或4、6；（1）当a=2，e=8时，g=9﹣8=1，与c=1矛盾，因此e=2，则g=9﹣2=7；d、f、h、i从3、4、5、6中各取一个，经验证，可得d=6，f=5，h=4，i=3．，根据对称性，可得满足题意的还有：（2）当a、e是6、4时，g=9﹣4=5，d、f、h、i从2、3、7、8中各取一个，经验证，可得d=8，f=7，h=2，i=3．根据对称性，可得满足题意的还有：（3）经验证，当a、e是3、7时，不符合题意．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差”，逐一确定出每个圆圈中的数字即可．19．【解析】试题分析：如图，根据题意，可得a=（13+17）÷2=15，然后根据13+c=15+d=17+e=2f，可得c=d+2，d=e+2，再根据d+13=2e，可得e+2+13=2e，解得e=15，所以d=15+2=17，c=17+2=19，f=（19+13）÷2=16，据此解答即可．解：如图，根据题意，可得a=（13+17）÷2=15，因为13+c=15+d=17+e=2f，所以c=d+2，d=e+2，又因为d+13=2e，所以e+2+13=2e，解得e=15，所以d=15+2=17，c=17+2=19，f=（19+13）÷2=16．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出a的值，并灵活应用“居中的数是旁边两个数的平均数”这一条件．20．6732489．【解析】试题分析：首先根据题意，可得A、B、C、D、E、F、G中不可能有1，也不可能有5，因此A、B、C、D、E、F、G只能是2、3、4、6、7、8、9各一个；然后根据C的正下方第二个数是3，D的正下方第一个数是2，所以C=3，D=2；根据图示，可得最下面一行中一定没有6，最下面一行中或者左边两个都不是9，或者右边两格都不是9，最下面一行中不可能有2个8，因此最下面一行中必有5，而且只能是A=9，B=8，或者G=9，F=8，经推理，可得G=9，F=8，E=4，A=6，B=7，所以七位数是6732489，据此解答即可．解：因为只有1个1，而且D的正下方第二个数是1，所以A、B、C、D、E、F、G中不可能有1，因为相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），所以A、B、C、D、E、F、G中也不可能有5，因此A、B、C、D、E、F、G只能是2、3、4、6、7、8、9各一个；因为C的正下方第二个数是3，D的正下方第一个数是2，所以C=3，D=2；根据图示，可得最下面一行中一定没有6，最下面一行中或者左边两个都不是9，或者右边两格都不是9，最下面一行中不可能有2个8，因此最下面一行中必有5，而且只能是A=9，B=8，或者G=9，F=8，经推理，可得G=9，F=8，E=4，A=6，B=7，所以七位数是6732489．答：七位数是6732489．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是灵活应用“相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）”，逐一确定出每个字母代表的数是多少即可．21．由以上分析可得：．【解析】试题分析：我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出．解：根据题意可得：当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：2+7=3+6=4+5；那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：1+7=2+6=3+5；那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12；由以上分析可得：。

小学数学《幻方与数阵图》练习题（含答案）1. 把1~8这8个数,分别填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.解：2. 把1~11这11个数分别填入如下图11个○内,使每条虚线上三个○内数的和相等,一共有几种不同的和?解：3. 在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,解：4. 在图的每个圆圈内填上适当的质数(不得重复),使每条直线上三个数的和相等,且均为偶数.解：5. 图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2.3.4.5.6.7.9七个数,使每圆内的和都等于15.解：6. 把1~16这16个数,填入图中的16个○内,使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等.解：7. 将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26. 解：8. 在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等.解：9. 把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.解：10. 将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等.解：作业：1. 10个连续的自然数中第三个的数是9,把这10个数填入图中的10个方格内,每格填一个数,要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是______.答案： 24.2. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.答案：4 7 1 3 82 9 5 6 11 1 63 9 2 10 5 84 73. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.答案：4. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.答案：5. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.答案：。

幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。

大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。

宋代数学家杨辉称之为纵横图。

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。

相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。

后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。

把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。

幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。

通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。

注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。

四、 掌握好3阶幻方中的规律。

本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。

数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。

其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。

专题 幻方如果每行、每列以及每条对角线上三个数字之和都等于一个固定的数，像这样行和、列和以及对角线和都相等的方形数阵图就称为幻方，这些相等的和我们就称为幻和。

幻方有大有小，如果幻方是三行三列的，也叫作三阶幻方，如果幻方是四行四列的我们就称为四阶幻方，至于五阶、六阶幻方的含义，依次类推。

任意一个三级幻方都是可以由基本幻方变化而来的，比如用2到10构建一个三阶幻方，那么只需要把基本三级幻方中的每一个数都加1即可。

又如用2，4，6，8，……，16，18构建一个三阶幻方，那么只需要把基本三阶幻方中的每一个数都乘2即可。

因此，学会构建一个三阶幻方的方法，我们就可以很轻松的构建无数个三阶幻方。

咱们先来介绍一个很快构建三阶幻方的方法——“九子斜排法”。

我国古代的数学家概括其构建方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，思维突出”。

有些题目一开始幻和是求不出来的，这个时候需要利用一些基本的数学思想——比较法来推导。

我们取出有公共格的一行一列，如果“行和”与“列和”相同，因此去掉公共格的数后，剩下数的和仍然相同，这种方法我们称为比较法，通过对有公共格的两条直线进行比较分析，可以确定一些未知的空格。

比较法是解决幻方问题非常重要的一种方法。

1．在如图的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。

A 是 、B 是 。

C 是 。

2．在如方格中，每行每列都有1﹣4这四个数，并且每个数在每行每列都只出现一次 。

1 3 B 4 A13．在如图方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次 ，B 应该是 。

能力巩固提升4．在图中的方格中，每行、每列都有1一4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次B 是。

5．在如图所示的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。

23B4A2A应该是，B应该是。

6．小游戏：如图，九宫格中左上角为“开”，其余8格分别写着下一步的移动方法，就按照这格上的指示要求移动（如“左2”，即左移2格；“下1”，即下移1格）；如果要把每一格都跳一遍（不重复），则第一次要放在第列第行的那一格。

第十四讲幻方------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。

宋代数学家杨辉称之为纵横图。

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。

相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。

后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。

把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。

二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。

通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。