四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练：第14讲：幻方(学生版)

幻方与数阵图1.在幻方中．每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中该是____。

2.幻方是将n2个数（不重复）排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上n个数相加的和都相等．请问下图3×3的幻方中丁是多少？3.在下图所示的O内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。

4.下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若“a=4，d=19，l=22，那么6=_______，h=______。

5.在图1、图2的空格中分别填人适当的数，使得横、竖及对角线上的三个数之和都相等，那么“？”处的数字分别为多少？．6．在下图中每个小方格中填人一个数，使每一行每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角小方格内填人的数字，应该是________。

7.下图是一个3×3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★代表的数是__________。

8.下边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的汉字都表示一个数（不同的汉字可表示相同的数），已知其中任意3个连续方格巾的数加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=__________。

9.所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，请将下图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“”所代表的数是___________。

10.将1至8这八个自然数分别填入下图中的正方体的八个顶点处的o内，并使每个面上的四个O内的数字之和都相等，求与填人数字1的O有线段相连的三个O内的数的和的最大值．11.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数之和都相等，中间数共有__________种填法．12.将1--12这十二个自然数分别填人下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为___________。

数阵问题知识要点：一般地来讲在解决数阵图的问题上，我们应先观察好数阵图，找出“公用数”的位置，求出“公用数”是解决数阵问题的关键。

在数阵图中横行有，竖行也有的数，我们把它叫做“公用数”。

如果题中给你的数的个数是奇数个，而“公用数”仅一个，而这个“公用数”又是中心数，这样的数阵图称为辐射型数阵图。

在解决这类数阵图时，就是先找出公用数，每边均剩下两个数，实际上就是在奇数个数中找到和相等的几对数，找的办法有三种，即：去头、去尾、去中间，而数阵图中的“公用数”就是这列数中的头、尾、中间任意一个数。

还有一种数阵图，题中给你的已知数的个数为偶数个，“公用数”不再是一个，而是多个。

这样的数阵图称为封闭型数阵图，在解决此类数阵图时，应分三步走：l、先求出题中给出已知数的总和，2、再求出数阵图中的和，3、用图中和减去已知数的和即为“公用数”的总和。

例题分析：一．辐射型数阵：例1.将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.例2.把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.例3.将1～9这九个数字填在”七一”内,使每一横行,每一竖列的数字的和都是13.二．封闭型数阵：例4.将1~6六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少？例5. 如果将—11这11个自然数填入左下图的圆圈中，使每个菱形上的四个数之和都等于24，那么A等于多少？例6.把10～80八个整十数填入下图的○中，使每个圆上五个数的和为210。

例7.把10～15这6个数字分别填放图中的各个圆圈内，使每边上的三个圆圈内数之和相等。

例8. 图中五个正方形和12个圆圈，将1—12填入圆圈中，使每个正方形四角上圆圈中的数字之和都等于K，那么K等于几?例9. 图中的大三角形被分割成九个小三角形将1—9填入小三角形中，使每条边上的五个小三角形的数字之和都相等，那么这个和的最小值是多少？最大值是多少？例10.图中有10个小三角形和4个大三角形，将1~10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25。

知识要点幻方与数表二、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。

三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。

对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。

四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。

中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。

用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。

五、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。

ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。

（只要构造出一种）一、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nna a a a 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b ca b c⨯+⨯+⨯+⨯+也是n 阶幻方。

数表中心数幻和三阶幻方的性质幻方的构造幻方幻方与数表（本讲）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。

1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。

例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。

例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。

例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。

这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

(★★)在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。

【铺垫】将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等，证明：c＝(a＋b)÷2数阵图与幻方(★★★)在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的三个数的和都等于90。

(★★★★)在一个乘法幻方中，每一行、每一列、对角线上的数之积都相等。

如果在图中的空格中填上正整数，构成一个乘法幻方，那么x的值是多少？(★★★)⑴把10~20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都等于45。

⑵将1~6填入下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于9。

(★★★★)将1~7七个数字填入下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等。

(★★★★)将1~8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈内，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．(★★)在下图的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

x位置应填入的数是A．9 B D．122．(★★★)在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的三个数的和都等于48。

xA．19 B D．223．(★★★★)在一个乘法幻方中，每一行、每一列、对角线上的数之积都相等。

如果在图中的空格中A．1 B．2 D．44．(★★★)将1~11这11个数填入下图的○中，使每条线段上的三个○内的数的和相等。

请问中心数不可能是以下哪一个( )。

A．1 B．6 C．9 D．115．(★★★★)把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和都等于15。

若数1、7位置如图，那x处应填入( )。

A．3 B．4 C．5 D．66．(★★★★)把1~9填入下图中,使每条线段上三个数和及两个圆上的四个数和都相等。

第6讲幻方第一关完全幻方完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等．【例1】在空格内填上数，使每横行、竖行以及对角线上的三个数的和都相等．【答案】【例2】在下表的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等．【答案】【例3】如图所示，一个方格内每行、每列及对角线上的三个整数的和都相等，求X。

【答案】11【例4】如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中星号处代表的数字是多少？【答案】1【例5】“数独”是目前非常流行的一种数字游戏，二阶数独是在一个4×4的方格表内进行的．在此游戏完成时，在4×4方格表内的每一行、每一列及每个在角落上的2×2方格表上的数字都恰好有数字1，2，3，4各一个．当将图中的方格表完成后，在4×4方格表四个角上的数字之和是多少？【答案】10【例6】图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为多少？【答案】12【例7】在幻方中，每行、每列和每条主对角线上的数字的和都相同．那么在如图所示的未完成的幻方中x应该是多少？【答案】12【例8】将数字1-9填在如图中，使横加、竖加、斜加的和都是15.【答案】【例9】请完成如图的三阶幻方【答案】【例10】将1-16（已填上的数除外）分别填入下面空格中，使每一横行、竖行、斜行上4个数的和都等于34【答案】【例11】将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的均相等，这样的方阵称为4阶幻方．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的中国古代数学家，请根据下面已经给出的数字，填出两个不同的4阶幻方。

【答案】；【例12】将1～9九个数字填入“○”内，使每条直线上三个数相加的和是15（数不能重复使用）．【答案】【例13】大禹治水时，从洛水里出来一个乌龟，背上有一个图表每行每列及两条对角线上的三个数字之和都是15，这种图称为三阶幻方．用数1，2，3，4，5，6，8，9，10能否组成一个三阶幻方？试说明理由．【答案】不能，三阶幻方中的9个数字之和必须是9的倍数，而数1，2，3，4，5，6，8，9，10的和为48，不是9的倍数，不满足要求【例14】用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方.【答案】【例15】找出九个连续的自然数，分别填入下图的圈内，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都等于60。

小学奥数练习卷（知识点：幻方）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E 2．如图，请将0、1、2、…、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个．表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是（）A．784B．560C．1232D．528第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共42小题）3．将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入图中的八个圆圈中，使外面大正方形上的四个数之和是里面小正方形上的四个数之和的两倍，且大正方形两条对角线上的四个数之和相等．4．将A、B、C、D填入下面表格的空格处，使每行每列A、B、C、D都有且只有一个（也就是说有些空格可以空着不填字母）．表格外的字母表示从这个方向看进去所看到的第一个字母．等表格填好后，将两条对角线上的字母按照箭头顺序写着横线上，如果碰到空着的格子，用“×”表示（先写箭头1所指的字母串，再写箭头2所指的字母串，中间用逗号分开）：．5．从1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个数中，任取3个不同的数（不分先后）组成一组，使该组的平均数为9，共有种取法．6．如图，在一个4×4方格表内填有1～16这16个自然数，现在从填有“1”的方格出发，每一步可以走到“相邻”的方格中（有一条公共边的方格称为“相邻”的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有“2”的方格，那么所到过的方格中所填之和最大可能是．7．在方格中分别填入1～5的数字，使得每一行、每一列的五个方格中都恰好有1、2、3、4、5这五个数字各一个，并且在每个黑色粗框中所填的数据按照左上角的运算符号进行计算后，所得的结果等于左上角的数字，则图中的三个数字A、B、C组成的三位数等于．8．如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中“”处代表的数字是．9．图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为．10．如图，在小方格内各填一个字，使每行、每列及每条对角线上的四个小方格中均含有“光明磊落”这四个字，则“？”处应填的字是．11．如图，在3×3的九个方框中，填入九个整数，使得每一横行，每一数列，每条对角线上的三个整数之和都相等（和记为A）．如果三个整数2015，1，10已填入三个方框内，那么A=．12．在如图的方格中填入9个数字，使得每行、每列及每条对角线上三个数之和都是12，则图中四个角上的数字之和为．13．图中每一行和每一列都是一个独立的等差数列，那么m×n的值是14．将1﹣9填入表中，每个数字使用一次，每个小方格填入一个数，其中1，2，3，4已经填好了．如果两个小方格有一条公共边，我们就称这两个小方格相邻．如果与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，那么与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为．15．将数字1～6填入空格中，使每行、每列及每个粗线宫内数字不能重复．灰色粗线两侧格内数字之差为1，没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1．16．如图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边．已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有枚棋子．17．数独游戏要求每个小九宫格型只能填上1到9的数字，且不能重复，最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字不重复复．根据九宫格中已经给出的数字，请你写出字母“C”所在的方格内的数字应为．18．把1～5这五个数字分别填入如图的方格中，使得横行三数之和与竖行三数之和都等于9．19．在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是．20．在图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是．21．在如图的9个方格中，每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等，则x+y+a+b+c+d=．22．格里只能填上1到9的数字，且不能重复．最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字都不能重复，根据九宫格中已给出的数字．请你写出字母“B”所在方格内的数字应为．23．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为4阶幻方，下面的幻方是在印度耆那种庙中发现的，请将其补充完整．24．在每个空格中填入数字1﹣4，使得每行和每列的数字都不重复．表格外的数字表示该方向所在行或列里第一个奇数或者第一个偶数，那么，第三行的四个格从左到右所填的数字组成的四位数是．25．如图，请给出一种填法，使每行、每列以及每个由粗线所围成的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个．26．在的圆圈中填入从1到14的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个7阶幻星图，这个相等的数称为7阶幻星图的幻和，那么，7阶幻星图的幻和为，并继续完成以下7阶幻星图．27．在空格里填入数字2、0、1、5，或者空着不填，使得每行和每列都各有一个2、0、1、5，要求相同的数字不能对角相邻，那么第五行前五个位置依次是（空格用9表示）．28．在的圆圈中填入从1到12的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个6阶幻星图，这个相等的数称为6阶幻星图的幻和，那么，6阶幻星图的幻和为，并继续完成以下6阶幻星图：29．格里只能填上1到9的数字，且不能重复．最后填写完成要保证整个大九宫格的每一列、每一行的数字都不能重复．根据九宫格中已给出的数字．请你填写字母“A”所在方格内的数字应为．30．老师将一些数填入如图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个数之和均为30，上下两个闭合回路的四个数之和均为40，若圆圈X内填的数为9，则圆圈Y内填的数为．31．在如图的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，那么D=．32．如图中，我们称粗实线围城的2×3的长方形为一个“宫”．请在途中所有空格里，分别填入1﹣6中的某个数字，使得每行、每列和每个“宫”内，数字1﹣6都不重复出现．其中某两个空格之间的数表示该相邻两格内数字的和或者乘积．33．如图，将3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，填入5×5的表格中，使得相同的数字所在的方格连在一起（相连的两个方格必须有公共边），且已知A，B，C，D，E五个数字各不相同，那么五位数是．34．请将1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，8个8填入如图所示的方格中，使得相同的数字均相连（相连的两个方格必须有公共边），且已知其中A，B，C，D，E，F六个位置上的数字互不相同，那么六位数=．35．将如图4×4方格内的两个数字进行交换，使得交换后每行、每列、每条对角线之和都相等，那么需要交换的两个数字之和为．36．在每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数=．37．在每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数=．38．在下面的6个圆圈中分别填入1，2，3，4，5，6，每个数字只能用一次，使各边上的三个数字和相等，称这个和为三角形边幻和，这样的三角形边幻和可以取到的值分别为．39．在幻方中，每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在如图所示的未完成的幻方中x应是．40．在每个格子中填入1﹣6中的一个，使得每行、每列及每个2×3长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是．41．如图，在4×4的方格中分别填入1﹣4的数字，使这四个数在每行、每列都恰出现一次，且方格中左上角的数及“+、﹣、×、÷、”符号分别表示粗框内所填数字之和、差、积和商．当左上角只有1个数字（无运算符号）时，就将该数字填入此方格中，则★×▲=．42．如图所示的方格中每行、每列及每条对角线上的5个数字之和都等于20，而图中未填数的空格中只能填3个不同的数字（这3个数字可以被多次使用），那这三个数字之和是．43．将1到16的自然数排成4+4的方阵，每行每列以及对角线上数的和都等于34，这样的方阵称为4阶幻方，34称为4阶幻方的幻和．10阶幻方的幻和等于．44．将1到16的自然数排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和都等于34，这样的方阵称为4阶幻方，34称为4阶幻方的幻和．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的数学家．他将幻方命名为纵横图，不仅给出了以下两个两漂亮的4阶幻方，还研究了10阶幻方．10阶幻方的幻和等于．三．解答题（共6小题）45．将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．46．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为4阶幻方．幻方起源于中国，在世界上很多地方也都有发现．下面的4阶幻方是在印度耆那神庙中发现的，请将其补充完整：47．如图是一个标准的九宫数格，那么A、B、C组成的三位数是：．48．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的均相等，这样的方阵称为4阶幻方．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的中国古代数学家，请根据下面已经给出的数字，填出两个不同的4阶幻方．49．在的圆圈中填入1到16的自然数，（每一个只能用一次），连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个8阶幻星图，这个相等的数称为8阶幻星图的和．那么，8阶幻形图的幻和为，并继续完成以下8阶幻星图．50．在空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每个粗线围成的区域里数字都是1～6恰好各一个．表外面的数字表示该行或该列的最近两个数的和．那么，第二列前四个数字按从上到下的顺序依次组成的四位数是．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E 【分析】首先根据排除法和唯一法进行分析，首先根据幻方规律排除法确定第一行第二列的数字是A，跟着这个思路全部填写出来即可．【解答】解：依题意可知：首先根据排除法看第一宫格，第一列不能有A，第二行不能有A．那么A只能在第一行第二列．幻方规律排除法确定第三行第四列也是A；第四行第四列的数字是C；接着第五行第四列就是F；那么第二行的第四列是B；继续推理得：故选：C．【点评】本题是考查对幻方的理解和运用，关键的是运用排除法找到可以确定的位置，然后空填写越多越容易填写．问题解决．2．如图，请将0、1、2、…、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个．表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是（）A．784B．560C．1232D．528【分析】首先分析数字的余数就是满足数独的规律，商也是满足数独的规律．两个格子如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，枚举法即可解题．【解答】解：依题意可知：可将数独拆分成余数数独和商的数独．商的数独注意某两个格子如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，利用这个条件可以填完这两个数独，再合并成原表格．所以7×8×14=784．故选：A．【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到余数和商满足一个相同则另一个不相同的性质．问题解决．二．填空题（共42小题）3．将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入图中的八个圆圈中，使外面大正方形上的四个数之和是里面小正方形上的四个数之和的两倍，且大正方形两条对角线上的四个数之和相等．【分析】1+2+3+4+5+6+7+8=36，里面小正方形上的四个数之和是：36÷（1+2）=12，外面大正方形上的四个数之和是：36﹣12=24，然后把1、2、3、4、5、6、7、8分成得数是12和24的两组，且保证大正方形两条对角线上的四个数之和相等即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8=36里面小正方形上的四个数之和是：36÷（1+2）=12外面大正方形上的四个数之和是：36﹣12=241+2+3+6=124+5+7+8=244+1+6+7=5+2+3+8填图如下：（答案不唯一）【点评】本题关键是根据和倍公式求出内外两个正方形上的四个数之和．4．将A、B、C、D填入下面表格的空格处，使每行每列A、B、C、D都有且只有一个（也就是说有些空格可以空着不填字母）．表格外的字母表示从这个方向看进去所看到的第一个字母．等表格填好后，将两条对角线上的字母按照箭头顺序写着横线上，如果碰到空着的格子，用“×”表示（先写箭头1所指的字母串，再写箭头2所指的字母串，中间用逗号分开）：×DC×××D，CAD ×A×C．【分析】对每行每列进行逻辑分析，把确定的字母逐个填入表格中，将空白不能填入任何字母的位置填入“×”，逐步完成整个表格．【解答】解：如下图，第一步可以确定黑色字符部分，第二步可以确定红色字符部分，最后确定绿色字符部分，完成全表．所以：1表示的字符顺序为：×DC×××D，2表示的字符顺序为：CAD×A×C．故答案为：×DC×××D，CAD×A×C．【点评】逐步通过顺推和反向反证推理，逐步可以确定全表，本题难度较大．5．从1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个数中，任取3个不同的数（不分先后）组成一组，使该组的平均数为9，共有8种取法．【分析】首先分析数字和的平均数是9，那么可以理解为数字和为27，考虑幻和为27的幻方填写规律即可．【解答】解：依题意可知：满足幻和为9×3=27即可．中间数的3倍就是幻和，那么中间数字就是9．因为数字是等差数列可根据1﹣9的填写规律填写即可．共三行三列再加上两条对角线共8种．故答案为：8【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到幻和，根据数字规律填写即可．问题解决．6．如图，在一个4×4方格表内填有1～16这16个自然数，现在从填有“1”的方格出发，每一步可以走到“相邻”的方格中（有一条公共边的方格称为“相邻”的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有“2”的方格，那么所到过的方格中所填之和最大可能是129．【分析】首先分析走竖条线那么数字9走不到，再继续分析有没有比数字9小的数字可以不走．继续尝试即可求解．【解答】解：依题意可知：如果走数列走那么9走不到．但是发现当走路顺序为1﹣14﹣6﹣12﹣3﹣8﹣13﹣4﹣15﹣11﹣5﹣10﹣16﹣9﹣2．只有数字7没有走到．1+2+3+4+5+6+8+9+10+11+12+13+14+15+16=129．故答案为：129．【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到数字9再进行对比．问题解决．7．在方格中分别填入1～5的数字，使得每一行、每一列的五个方格中都恰好有1、2、3、4、5这五个数字各一个，并且在每个黑色粗框中所填的数据按照左上角的运算符号进行计算后，所得的结果等于左上角的数字，则图中的三个数字A、B、C组成的三位数等于455．【分析】首先分析特殊数字的填写方式再根据第三行15×可知只能是3×5．那么2﹣只能是4﹣2．第三行第五列只能是1．推理出9+只能是1+3+5．然后8=3+5．等情况，继续推理可知．【解答】解：依题意可知：①．再根据第三行15×可知只能是3×5．那么2﹣只能是4﹣2．第三行第五列只能是1．推理出9+只能是1+3+5．②如果B是3，那么7+只能是3+4，第一列的3﹣没有数字可以填写，所以B是5，第三行第一列数字是3．③再根据8+只能是3+5，所以第五行的第二列是3，第三列是5．④80×就只能是2×4×2×5，左上角填写5，右下角填写4即可．继续推理可知如图所示：故答案为：455【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是找到题中的特殊情况15作为突破口．问题解决．8．如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中“”处代表的数字是1．【分析】首先填写唯一确定的数字，第三行第三列数字唯一确定是2．即可推理第三行第1列数字是1．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：首先填写唯一确定的数字，第三行第三列数字唯一确定是2．即可推理第三行第一列数字是1．第二行第二列唯一确定是6．即可推理第二行第四列数字是0．继续推理如图所示：故答案为：1【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是找到唯一确定的数字为突破口．问题解决．9．图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为12．【分析】首先分析能唯一确定的是第二行第二列唯一确定只能填写1，第四行第四列唯一确定只能填写1，第一行第三列唯一确定只能填写1．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：①第二行第二列唯一确定只能填写1，第四行第四列唯一确定只能填写1，第一行第三列唯一确定只能填写1．继续推理填写可得如图所示：A+B+C+D=2+4+4+2=12．故答案为：12【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问是找到唯一确定的数字．问题解决．10．如图，在小方格内各填一个字，使每行、每列及每条对角线上的四个小方格中均含有“光明磊落”这四个字，则“？”处应填的字是明．【分析】首先找到唯一确定的填写：第三行第三列唯一确定只能是光．第三行第一列唯一确定只能是落．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：①第三行第三列唯一确定只能是光．②第三行第一列唯一确定只能是落．③第一行第四列唯一确定只能是落．④第四行第四列唯一确定只能是明．继续推理可知：故答案为：明【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到唯一确定的填写即可．11．如图，在3×3的九个方框中，填入九个整数，使得每一横行，每一数列，每条对角线上的三个整数之和都相等（和记为A）．如果三个整数2015，1，10已填入三个方框内，那么A=6018．【分析】首先分析能填写出来的数字，根据比较法可得中间数和右下角数字即可求解．【解答】解：依题意可知：根据比较法可知：a+10=2015+1．所以中间数字a是2006．再根据2006+1=10+b．右下角b就是1997．如图所示：所以和为2015+a+b=2015+2006+1997=6018故答案为：6018【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是使用比较法问题解决．12．在如图的方格中填入9个数字，使得每行、每列及每条对角线上三个数之和都是12，则图中四个角上的数字之和为16．【分析】对角线上三个数之和都是12，所以左下角的数是：12﹣4﹣4=4；那么右下角的数是：12﹣4﹣3=5；左上角的数是：12﹣4﹣5=3；由此求和即可．【解答】解：根据分析可得，左下角的数是：12﹣4﹣4=4；右下角的数是：12﹣4﹣3=5；左上角的数是：12﹣4﹣5=3；则图中四个角上的数字之和为：4+5+4+3=16．故答案为：16．【点评】本题关键是利用幻和12与已知的数，求出图中四个角上的数字．13．图中每一行和每一列都是一个独立的等差数列，那么m×n的值是300【分析】因为每一行和每一列都是一个独立的等差数列，所以可得第一行分别为4、6、8、10，再推出左边第二列为6、9、12、15，可得m=15，然后推最后一列，公差为（25﹣10）÷3=5，n=25﹣5=20，然后求出m×n的值即可．【解答】解：第一行分别为4、6、8、10，左边第二列为6、9、12、15，可得m=15，最后一列，公差为（25﹣10）÷3=5，则n=25﹣5=20，m×n=15×20=300．故答案为：300．【点评】本题考查了等差数列的特征和有关的计算，关键是求出m和n的值．14．将1﹣9填入表中，每个数字使用一次，每个小方格填入一个数，其中1，2，3，4已经填好了．如果两个小方格有一条公共边，我们就称这两个小方格相邻．如果与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，那么与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为18．【分析】考虑9的填法，与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，故9填右边，8填中间，即可求出填8的小方格相邻的小方格内的数之和．【解答】解：考虑9的填法，与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，故9填右边，8填中间，所以与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为5+6+7=18，故答案为18．【点评】本题考查幻方问题，考查学生分析解决问题的能力，确定9，8的填法是关键．15．将数字1～6填入空格中，使每行、每列及每个粗线宫内数字不能重复．灰色粗线两侧格内数字之差为1，没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1．【分析】根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，先填灰色粗线另一侧的数字，再根据没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1，逐步填入数字，可得结论．【解答】解：根据数独规则就是要求在每个区域内出现的数字都为1～6，从左列第二个3×2入手，6右边是5，4右边是3，3右边只能是1，可得填右列第二个3×2，5的左边是6，6的上边是3，可得其它两格的数，可得根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，可得填右上方3×2，根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，可得填右下方3×2，可得填左上方3×2，可得填左下方3×2，可得【点评】本题考查六宫连续数独，考查学生动手动脑能力，属于中档题．16．如图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边．已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有18枚棋子．【分析】突破口是第4行以及第6列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其他行列（先找最大数或最小数比较好填．【解答】解：突破口是第4行以及第6列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其他行列（先找最大数或最小数比较好填，即8→1→7→2→…的顺序：其中灰色的步骤是用到了“同一行或同一列的棋子全部相连”这一条件推导而来的，计数后最后一个途中的白色格的棋子数量，为18枚．故答案为18．【点评】本题考查数独思想，突破口是第4行以及第6列，都是“8”．17．数独游戏要求每个小九宫格型只能填上1到9的数字，且不能重复，最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字不重复复．根据九宫格中已经给出的数字，请你写出字母“C”所在的方格内的数字应为6．。