【配套K12】[学习](全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1

(四)函数与导数(2) 1．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知f(x)＝e x，g(x)＝x2＋ax－2x sin x＋1.(1)证明：1＋x≤e x≤11－x(x∈[0,1))；(2)若x∈[0,1)时，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明设h(x)＝e x－1－x，则h′(x)＝e x－1，故h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．从而h(x)≥h(0)＝0，即e x≥1＋x.而当x∈[0,1)时，e－x≥1－x，即e x≤11－x.(2)解设F(x)＝f(x)－g(x)＝e x－(x2＋ax－2x sin x＋1)，则F(0)＝0，F′(x)＝e x－(2x＋a－2x cos x－2sin x)．要求F(x)≥0在[0,1)上恒成立，必须有F′(0)≥0.即a≤1.以下证明：当a≤1时，f(x)≥g(x)．只要证1＋x≥x2＋x－2x sin x＋1，只要证2sin x≥x在[0,1)上恒成立．令φ(x)＝2sin x－x，则φ′(x)＝2cos x－1>0对x∈[0,1)恒成立，又φ(0)＝0，所以2sin x≥x，从而不等式得证．2．(2018·宿州质检)设函数f(x)＝x＋ax ln x(a∈R)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )的极大值点为x ＝1，证明：f (x )≤e －x＋x 2. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋a ln x ＋a ， 当a ＝0时，f (x )＝x ，则函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，由f ′(x )>0得x >1e a a+-，由f ′(x )<0得0<x <1ea a+-.所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1ea a+-上单调递减， 在区间⎝⎛⎭⎫1ea a+-，＋∞上单调递增；当a <0时，由f ′(x )>0得0<x <1e a a+-，由f ′(x )<0得x >1ea a+-，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e a a+-上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫1e a a +-，＋∞上单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e a a +-上单调递减， 在区间⎝⎛⎭⎫1ea a+-，＋∞上单调递增；当a <0时，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e a a +-上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫1ea a+-，＋∞上单调递减．(2)证明 由(1)知a <0且1ea a+-＝1，解得a ＝－1，f (x )＝x －x ln x . 要证f (x )≤e －x＋x 2， 即证x －x ln x ≤e －x＋x 2， 即证1－ln x ≤e－x x＋x .令F (x )＝ln x ＋e－xx＋x －1(x >0)，则F ′(x )＝1x ＋－e －x x －e－xx2＋1 ＝(x ＋1)(x －e －x)x2. 令g (x )＝x －e －x，得函数g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 而g (1)＝1－1e>0，g (0)＝－1<0，所以在区间(0，＋∞)上存在唯一的实数x 0， 使得g (x 0)＝x 0－0e x －＝0，即x 0＝0ex －，且x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0. 故F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． ∴F (x )min ＝F (x 0)＝ln x 0 ＋0e x －x 0＋x 0－1.又0ex －＝x 0，∴F (x )min ＝ln x 0＋e x －x 0＋x 0－1＝－x 0＋1＋x 0－1＝0. ∴F (x )≥F (x 0)＝0成立， 即f (x )≤e －x＋x 2成立．3．(2018·皖江八校联考)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋a2ex.(1)若a ≥0，函数f (x )的极大值为52e ，求实数a 的值；(2)若对任意的a ≤0，f (x )≤b ln (x ＋1)2在x ∈[0，＋∞)上恒成立，求实数b 的取值范围．解 (1)由题意，f ′(x )＝12[(2ax ＋1)e －x －(ax 2＋x ＋a )e －x ]＝－12e －x [ax 2＋(1－2a )x ＋a －1]＝－12e －x(x －1)(ax ＋1－a )．①当a ＝0时，f ′(x )＝－12e －x(x －1)，令f ′(x )>0，得x <1；令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以f (x )的极大值为f (1)＝12e ≠52e，不合题意． ②当a >0时，1－1a<1，令f ′(x )>0，得1－1a<x <1；令f ′(x )<0，得x <1－1a或x >1，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1－1a，1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1a ，(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )的极大值为f (1)＝2a ＋12e ＝52e，得a ＝2. 综上所述a ＝2.(2)令g (a )＝(x 2＋1)a 2e x＋x2e x ，a ∈(－∞，0]， 当x ∈[0，＋∞)时，x 2＋12ex>0，则g (a )≤b ln (x ＋1)2对∀a ∈(－∞，0]恒成立等价于g (a )≤g (0)≤b ln (x ＋1)2，即xex ≤b ln(x ＋1)对x ∈[0，＋∞)恒成立．①当b ＝0时，显然xe x ≤b ln(x ＋1)在[0，＋∞)上不恒成立．②当b <0时，∀x ∈(0，＋∞)，b ln(x ＋1)<0，xe x >0，此时xex >b ln(x ＋1)，不合题意．③当b >0时，令h (x )＝b ln(x ＋1)－xex ，x ∈[0，＋∞)，则h ′(x )＝bx ＋1－(e －x－x e －x)＝b e x ＋x 2－1(x ＋1)ex ，其中(x ＋1)e x>0，∀x ∈[0，＋∞)， 令p (x )＝b e x＋x 2－1，x ∈[0，＋∞)， 则p (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，b ≥1时，p (x )≥p (0)＝b －1≥0，所以对∀x ∈[0，＋∞)，h ′(x )≥0，从而h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以对任意x ∈[0，＋∞)，h (x )≥h (0)＝0， 即不等式b ln(x ＋1)≥x e －x在[0，＋∞)上恒成立． 0<b <1时，由p (0)＝b －1<0，p (1)＝b e>0及p (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以存在唯一的x 0∈(0,1)，使得p (x 0)＝0， 且x ∈(0，x 0)时，p (x )<0. 从而x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间(0，x 0)上单调递减， 则x ∈(0，x 0)时，h (x )<h (0)＝0， 即b ln(x ＋1)<x e －x，不符合题意． 综上所述，b 的取值范围为[1，＋∞)．4．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝ln xx－ax .(1)讨论函数f (x )的零点个数； (2)已知g (x )＝(2－x )e x，证明：当x ∈(0,1)时，g (x )－f (x )－ax －2>0.(1)解xf (x )＝ln x －a x ·x .令x 32＝t ，∴x ＝23t (t >0)．令h (t )＝ln t －32at ，则函数y ＝h (t )与y ＝f (x )的零点个数情况一致．h ′(t )＝1t －32a .(ⅰ)当a ≤0时，h ′(t )>0， ∴h (t )在(0，＋∞)上单调递增． 又h (1)＝－32a ≥0，1e a a h +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a ＋1a －32a e 1a a +≤a ＋1a －32a ·1e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32e 2a ＋1a <0，∴此时有1个零点．(ⅱ)当a >0时，h (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫23a ，＋∞上单调递减．∴h (t )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝ln 23a －1.①当ln 23a <1即a >23e 时，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a <0，无零点．②当ln 23a ＝1即a ＝23e 时，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝0,1个零点． ③当ln23a >1即0<a <23e 时，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a >0， 又23a >e>1，h (1)＝－32a <0. 又23a －49a 2＝23a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23a <23a(1－e)<0， h ⎝⎛⎭⎪⎫49a 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－32a ·49a 2＝2ln 23a －23a ，令φ(a )＝2ln 23a －23a，φ′(a )＝2·3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－23·1a 2＋23a 2＝2－6a3a 2>0，∴φ(a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23e 上单调递增， ∴φ(a )<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫23e ＝2－e<0，∴此时有两个零点． 综上，当a ≤0或a ＝23e 时，有1个零点；当0<a <23e 时，有2个零点；当a >23e时，无零点．(2)要证g (x )－f (x )－ax －2>0， 只需证ln x x＋2<(2－x )ex.令x ＝m ∈(0,1)，只需证2ln m m＋2<(2－m 2)e m .令l (m )＝(2－m 2)e m ，l ′(m )＝(－m 2－2m ＋2)e m，∴l (m )在(0，3－1)上单调递增，在(3－1,1)上单调递减， 又∵l (1)＝e ，l (0)＝2，∴l (m )>2.令t (m )＝ln m m ，t ′(m )＝1－ln mm2>0， ∴t (m )在(0,1)上单调递增， ∴t (m )<t (1)＝0，∴2ln m m＋2<2，故g (x )－f (x )－ax －2>0.5．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝(x －1)e x－t2x 2，其中t ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当t ＝3时，证明：不等式f (x 1＋x 2)－f (x 1－x 2)>－2x 2恒成立(其中x 1∈R ，x 2>0)． (1)解 由于f ′(x )＝x e x－tx ＝x (e x－t )． (ⅰ)当t ≤0时，e x－t >0，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；(ⅱ)当t >0时，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝ln t . ①当0<t <1时，ln t <0，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当ln t <x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x <ln t 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； ②当t ＝1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ③当t >1时，ln t >0.当x >ln t 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当0<x <ln t 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上，当t ≤0时，f (x )在(－∞，0)上是减函数， 在(0，＋∞)上是增函数；当0<t <1时，f (x )在(－∞，ln t )，(0，＋∞)上是增函数， 在(ln t,0)上是减函数；当t ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数；当t >1时，f (x )在(－∞，0)，(ln t ，＋∞)上是增函数， 在(0，ln t )上是减函数．(2)证明 依题意f (x 1＋x 2)－f (x 1－x 2)>(x 1－x 2)－(x 1＋x 2)⇔f (x 1＋x 2)＋(x 1＋x 2)>f (x 1－x 2)＋(x 1－x 2)恒成立． 设g (x )＝f (x )＋x ，则上式等价于g (x 1＋x 2)>g (x 1－x 2)，要证明g (x 1＋x 2)>g (x 1－x 2)对任意x 1∈R ，x 2∈(0，＋∞)恒成立，即证明g (x )＝(x －1)e x－32x 2＋x 在R 上单调递增，又g ′(x )＝x e x－3x ＋1， 只需证明x e x－3x ＋1≥0即可． 令h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x－1， 当x <0时，h ′(x )<0，当x >0时，h ′(x )>0， ∴h (x )min ＝h (0)＝0， 即∀x ∈R ，e x≥x ＋1，那么，当x ≥0时，x e x ≥x 2＋x ，∴x e x－3x ＋1≥ x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0； 当x <0时，e x <1，x e x－3x ＋1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －3＋1x >0，∴x e x－3x ＋1>0恒成立．从而原不等式成立．。

考前强化练2 客观题综合练(B)一、选择题1.复数z满足(1+i)z=i+2,则z的虚部为()A.B.C.-D.-i2.已知集合A={-2,-1,1,2},集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数},则A∩B的子集个数为()A.1B.2C.3D.43.若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则有如下结论:P(|X-μ|<σ)=0.682 6,P(|X-μ|<2σ)=0.954 4,P(|X-μ|<3σ)=0.9974.高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上在130分以上人数约为()A.19B.12C.6D.54.执行如图所示的程序框图,则输出的S等于()A. B.C.D.5.(2018山东潍坊一模,理10)甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的,则获得第一名的同学为()A.甲B.乙C.丙D.丁6.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足=0,||·||=2,则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为()A.3B.C.D.17.已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=+1,则h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2 016)+h(-2 017)+h(-2 018)=()A.0B.2 018C.4 036D.4 0378.今年“五一”期间,某公园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去,到上午11时公园内的人数是()A.212-57B.211-47C.210-38D.29-309.(2018湖南衡阳二模,理8)在△ABC中,∠A=120°,=-3,点G是△ABC的重心,则||的最小值是()A. B. C. D.10.函数y=的图象大致为()11.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=x2-ax+b ln x存在极大值点x0,且对于a的任意可能取值,恒有极大值f(x0)<0,则下列结论中正确的是()A.存在x0=,使得f(x0)<-B.存在x0=,使得f(x0)>-e2C.b的最大值为e3D.b的最大值为2e2二、填空题12.(2018福建厦门外国语学校一模,理13)锐角△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=4,b=3,且△ABC的面积为3,则c=.13.(2018山东潍坊三模,理14)若(3x-1)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018x2 018,则+…+=.14.设0<m≤1,在约束条件下,目标函数z=3x-2y的最小值为-5,则m的值为.15.(2018河北保定一模,理16)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,b=6,且a cosB=a2-b2+bc,O为△ABC内一点,且满足=0,∠BAO=30°,则||=.参考答案考前强化练2客观题综合练(B)1.C解析∵(1+i)z=i+2,∴(1-i)(1+i)z=(i+2)(1-i),∴2z=3-i,∴z=i.则z的虚部为-,故选C.2.D解析B={k∈A|y=kx在R上为增函数}={k|k>0,k∈{-2,-1,1,2}}={1,2},所以A∩B={1,2},其子集个数为22=4,选D.3.C解析μ=120,σ==10,∴P=0.682 6,∴P(R>130)=(1-P)=0.317 4=0.158 7,∴130分以上的人数约为40×0.158 7≈6.故选C.4.C解析模拟执行程序,可得S=600,i=1,执行循环体,S=600,i=2,不满足条件S<1,执行循环体,S=300,i=3,不满足条件S<1,执行循环体,S=100,i=4,不满足条件S<1,执行循环体,S=25,i=5,不满足条件S<1,执行循环体,S=5,i=6,不满足条件S<1,执行循环体,S=,i=7,满足条件S<1,退出循环,输出S的值为故选C.5.A解析当甲获得第一名时,甲、乙、丙说的都是错的,丁说的是对的,符合条件;当乙获得第一名时,甲、丙、丁说的都是对的,乙说的是错的,不符合条件;当丙获得第一名时,甲和丁说的都是对的,乙、丙说的是错的,不符合条件;当丁获得第一名时,甲和乙说的都是对的,丙、丁说的是错的,不符合条件,故选A.6.D解析=0,∴MF1⊥MF2.∴|MF1|2+|MF2|2=40,∴(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36,∴||MF1|-|MF2||=6=2a,a=3.又c=,∴b2=c2-a2=1,∴b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.∴双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为=1.故答案为D.7.D解析∵函数f(x)既是二次函数又是幂函数,∴f(x)=x2,h(x)=+1,因此h(x)+h(-x)=+1++1=2,h(0)=+1=1,因此h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2 016)+h(-2 017)+h(-2 018)=2 018×2+1=4 037,选D.8.B解析设每个30分钟进去的人数构成数列{a n},则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,…,所以a n=2n-(n-1),设数列{a n}的前n项和为S n,依题意,S10=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(210-9)=(2+22+23+…+210)-(1+2+…+9)=211-47,故选B. 9.B解析设△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.=-3,∴-bc=-3,bc=6),∴||2=)2=(b2+c2-6)(2bc-6)=,∴||10.D解析函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)==-=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称,故A错误.由于分子中cos 3x的符号呈周期性变化,故函数的符号也呈周期性变化,故C错误;当x时,f(x)>0,故B错误,故选D.11.C解析函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-a+,∵函数存在极大值点x0,∴f'(x)=0有解,即x2-ax+b=0有两个不等的正根,解得a>2,b>0.由f'(x)=0,得x1=,x2=,分析易得函数f(x)的极大值点x0=x1.∵a>2,b>0,∴x0=x1=(0,).则f(x)max=f(x0)=-ax0+b ln x0,∵x2-ax+b=0,∴ax=x2+b.∴f(x)max=-+b ln x0-b,令g(x)=b ln x-x2-b,x∈(0,),∵g'(x)=-x=>0,∴g(x)在(0,)上单调递增,故g(x)<g()=b ln b≤0,得b ln b,即b≤e3,故b的最大值为e3,故选C.12解析由题意得3ab sin C,故sin C=又△ABC是锐角三角形,所以C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C=25-12=13,c=13.-1解析由(3x-1)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018x2 018,取x=0,可得a0=1,取x=,可得0=a0++…+,+…+=-a0=-1.14.1解析作出不等式组对应的平面区域如图所示,由z=3x-2y,得y=x-z,∵0<m≤1,直线x+2y≤m是斜率为-的一组平行线,由图可知当直线y=x-z经过点A时,直线的截距最大,此时z的最小值为-5,即3x-2y=-5.由解得即A,∵点A在直线3x-2y=-5上,∴3-2=-5,解得m=1.15.3解析∵a cos B=a2-b2+bc,(a2+c2-b2)=a2-b2+bc.∴b2+c2-a2=bc.∴cos A=,∴sin A=因为=0,所以O为三角形ABC重心.设AC中点为M,则B,O,M三点共线,由面积关系得AO=3.即||=1.。

小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.优解：设m 2＋i 1＋m i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D. 3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B ．54 C.43D ．53解析：选D.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ，所以根据一条渐近线经过点(3，－4)，可知3b ＝4a ∴b a ＝43.∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. 5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c 通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x为增函数，y ＝2－x为减函数，所以y ＝2x －2－x为增函数，又y ＝2x－2－x为奇函数，所以选C.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33π B ．12π C.33π D ．36π 解析：选D.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，其中圆锥的底面半圆的半径为1，母线长为2，所以圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13×12π×12× 3＝36π，故选D.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－3 3πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B. 10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则g (x＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x 2，则l AM ∶y －y A ＝x A 2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM ：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x Ax －y A，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A＋x B2，x A·x B4.设lAB为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x ，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故 2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a 与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，2 2)，所以直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－ 2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝5 3，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos∠ADC ＝－cos∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5.答案：5。

考前强化练3 客观题综合练(C)一、选择题1.(2018浙江卷,1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=()A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.(2018宁夏银川一中一模,理1)已知复数z=-2i(其中i为虚数单位),则|z|=()A.3B.3C.2D.23.(2018河北唐山二模,理3)设m∈R,则“m=1”是“f(x)=m·2x+2-x为偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,则其公差d=()A.-B.C.-D.5.2019年高考考前第二次适应性训练考试结束后,市教育局对全市的英语成绩进行统计,发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此估计:在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是()A. B. C. D.6.(2018山东济南二模,理7)记不等式组的解集为D,若∀(x,y)∈D,不等式a≤2x+y 恒成立,则a的取值范围是()A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,8]7.(2018河南濮阳二模,理8)设{a n}是公比为q的等比数列,|q|>1,令b n=a n+1,若数列{b n}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q的值为()A.-B.-C.-2D.-8.执行如图所示的程序框图,若输入的x=-10,则输出的y=()A.0B.1C.8D.279.(2018河北唐山三模,理11)抛物线C:y2=4x的焦点为F,N为准线上一点,M为y轴上一点,∠MNF 为直角,若线段MF的中点E在抛物线C上,则△MNF的面积为()A. B.C. D.310.(2018全国高考必刷模拟一,理12)Rt△AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,△AOB的面积是16,抛物线的焦点为F,若M是抛物线上的动点,则的最大值为()A. B.C. D.11.已知函数f(x)=x2-2x cos x,则下列关于f(x)的表述正确的是()A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的最小值为-1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个极值点12.(2018晋豫名校第四次调研,理12)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x+3)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,若不等式f(x)-k<0的解集中恰有两个整数,则实数k的取值范围是()A.-,0B.-,0C.-,0D.-,0二、填空题13.(2018湖南长郡中学一模,理13)n(a>0)的展开式中,若第三项为28x2,则此展开式中的第六项为.14.(2018山东济南二模,理15)已知△ABC中,AB=4,AC=5,点O为△ABC所在平面内一点,满足||=||=||,则=.15.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若4≤SC≤4,则四棱锥S-ABCD体积的取值范围为.参考答案考前强化练3客观题综合练(C)1.C解析∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.2.B解析z=-2i=-2i=3-i-2i=3-3i,则|z|=3,故选B.3.C解析如果f(x)=m·2x+2-x为偶函数,则f(-x)=f(x),∴m·2-x+2x=m·2x+2-x,∴m(2-x-2x)=2-x-2x,∴(m-1)(2-x-2x)=0.∴m=1.所以“m=1”是“f(x)=m·2x+2-x为偶函数”的充要条件.故选C.4.D解析∵数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,解得故选D.5.D解析由题意,英语成绩超过95分的概率是,∴在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是,故选D.6.C解析若∀(x,y)∈D,不等式a≤2x+y恒成立,即求z=2x+y的最小值,作出不等式组对应的可行域,如图所示:当y=-2x+z经过点A(1,4)时,截距最小,此时z=2×1+4=6,∴a≤6,故选C.7.B解析∵数列{b n}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,且a n=b n-1,∴数列{a n}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中.∵{a n}是等比数列,等比数列中有负数项,则q<0,且负数项为相隔两项,∴等比数列各项的绝对值递增或递减,按绝对值的顺序排列上述数值{18,-24,36,-54,81}, 相邻两项相除=-=-=-=-,则可得-24,36,-54,81是{a n}中连续的四项,q=-或q=-(|q|>1,故负值应舍去).∴q=-8.C解析模拟程序的运行,可得x=-10,满足条件x≤0,x=-7,满足条件x≤0,x=-4,满足条件x≤0,x=-1,满足条件x≤0,x=2,不满足条件x≤0,不满足条件x>3,y=23=8.输出y的值为8.故选C.9.C解析抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),不妨设N在第三象限,∵∠MNF为直角,E是MF的中点,∴NE=MF=EF,∴NE∥x轴,又∵E为MF的中点,E在抛物线y2=4x上,∴E,-,∴N(-1,-),M(0,-2),∴NF=,MN=,∴S△MNF=MN·NF=10.C解析因抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,由题意点A,B关于x轴对称,S△AOB=OA2=16,∴OA=4,点A的坐标为(4,4),代入抛物线方程得p=2,焦点F(1,0),设M(m,n),则n2=4m,m>0,设M到准线x=-1的距离等于d,则令m+1=t,t>1,则(当且仅当t=3时,等号成立).故的最大值为11.D解析对于A,f(-x)≠f(x),故A错误;对于B,问题转化为x2+1=2x cos x有解,即x+=2cos x有解,x+min=2,当x=1时,2cos 1<2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于x=2cos x有三个解,画出y=x,y=2cos x的图象,两图象只有一个交点,故C错;对于D,f'(x)=2x-2(cos x-x sinx)=2x(1+sin x)-2cos x,结合题意2x(1+sin x)-2cos x=0,即x=,而=tan,∴f(x)有无数个极值点,故选D.12.C解析当k=0时,即解f(x)<0,构造函数g(x)=,g'(x)==2x+3,可令g(x)=x2+3x+c,∴f(x)=(x2+3x+c)e x,由f(0)=c=1,得f(x)=(x2+3x+1)e x,由f(x)<0,得x2+3x+1<0,解得<x<,其中恰有两个整数-2和-1,∴k=0时成立,排除A、D.当k=-时,f(x)=(x2+3x+1)e x<-,令h(x)=(x2+3x+1)e x+2<-1,h'(x)=e x+2(x2+5x+4),得函数在(-4,-1)上递减,在(-∞,-4),(-1,+∞)上递增,此时(x2+3x+1)e x+2<-1的解至少有-4,-2,-3和-1,不合题意,∴k≠-,排除B,故选C.13解析二项式的展开式的通项为T k+1=a k,第三项是当k=2时,项为28x2,故n-2=2,解得n=8.又a2=28,故a=1.所以展开式中的第六项为14解析∵||=||=||,∴点O为△ABC的外心,设D为AC的中点,则OD⊥AC,如图,,==|2=,同理|2=8,()=-8=15.解析如图,由题意得AD⊥SA,AD⊥AB,∴平面SAB⊥平面ABCD,当SC=4时,过S作SO⊥AB,垂足为O,连接AC,OC,设OA=x,在△OAC中,由余弦定理,得OC2=x2+(4)2-2×4x=x2-8x+32,在Rt△SOA中,OS2=SA2-x2=16-x2,在Rt△SOC中,OS2+OC2=SC2,即16-x2+x2-8x+32=32,解得x=2.∴OS==2,此时(V S-ABCD)min=16×2;当SC=4时,∵SA2+AC2=SC2,可知SA⊥AC,结合SA⊥AD,可得SA⊥平面ABCD,则(V S-ABCD)max=16×4=四棱锥S-ABCD的体积的取值范围为.。

(四)函数与导数(2)1．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)已知函数f(x)＝x3－3x2－m，g(x)＝3e x－6(1－m)x －3(m∈R，e为自然对数的底数)．(1)试讨论函数f(x)的零点个数；(2)证明：当m>0且x>0时，总有g(x)>f′(x)．(1)解f(x)＝x3－3x2－m的零点个数即为方程x3－3x2＝m的根的个数．记h(x)＝x3－3x2，则h′(x)＝3x(x－2)，令h′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：故可画出h(x)的草图如图所示．由图象知，当m<－4或m>0时，函数f(x)有一个零点；当m＝－4或m＝0时，函数f(x)有两个零点；当－4<m<0时，函数f(x)有三个零点．(2)证明f′(x)＝3x2－6x，记函数u(x)＝g(x)－f′(x)＝3e x－3x2＋6mx－3(x>0)，则u′(x)＝3(e x－2x＋2m)，记v(x)＝e x－2x＋2m，则v′(x)＝e x－2，当x变化时，v′(x)，v(x)的变化情况如下表：由上表可知，v(x)≥v(ln 2)，而v(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2m＝2－2ln 2＋2m ＝2(m －ln 2＋1)，由m >0知，m >ln 2－1.所以v (ln 2)>0，所以v (x )>0，即u ′(x )>0，所以u (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，所以当x >0时，u (x )>u (0)＝0.即当m >0且x >0时，g (x )>f ′(x )．2．(2017届江苏省南通、扬州、泰州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋cos x (a ∈R )，记f (x )的导函数为g (x )．(1)证明：当a ＝12时，g (x )在R 上为单调函数； (2)若f (x )在x ＝0处取得极小值，求a 的取值范围；(3)设函数h (x )的定义域为D ，区间(m ，＋∞)⊆D .若h (x )在(m ，＋∞)上是单调函数，则称h (x )在D 上广义单调．试证明函数y ＝f (x )－x ln x 在(0，＋∞)上广义单调．(1)证明 当a ＝12时，f (x )＝12x 2＋cos x ， 所以f ′(x )＝x －sin x ，即g (x )＝x －sin x ，所以g ′(x )＝1－cos x ≥0，所以g (x )在R 上单调递增．(2)解 因为g (x )＝f ′(x )＝2ax －sin x ，所以g ′(x )＝2a －cos x .①当a ≥12时，g ′(x )≥1－cos x ≥0， 所以函数f ′(x )在R 上单调递增．若x >0，则f ′(x )>f ′(0)＝0；若x <0，则f ′(x )<f ′(0)＝0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，所以f (x )在x ＝0处取得极小值，符合题意．②当a ≤－12时，g ′(x )≤－1－cos x ≤0， 所以函数f ′(x )在R 上单调递减．若x >0，则f ′(x )<f ′(0)＝0；若x <0，则f ′(x )>f ′(0)＝0，所以f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，单调递增区间是(－∞，0)，所以f (x )在x ＝0处取得极大值，不符合题意．③当－12<a <12时，∃x 0∈(0，π)，使得cos x 0＝2a ，即g ′(x 0)＝0，但当x ∈(0，x 0)时，cos x >2a ，即g ′(x )<0，所以函数f ′(x )在(0，x 0)上单调递减，所以f ′(x )<f ′(0)＝0，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(3)证明 记h (x )＝ax 2＋cos x －x ln x (x >0)．①若a >0，注意到ln x <x ，则ln x 12<x 12，即ln x <2x ，h ′(x )＝2ax －sin x －1－ln x >2ax －2x －2＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－4a ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4a ＋12a .当x >⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a ＋12a 2时，h ′(x )>0，所以当m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a ＋12a 2时，函数h (x )在(m ，＋∞)上单调递增．②若a ≤0，当x >1时，h ′(x )＝2ax －sin x －1－ln x ≤－sin x －1－ln x <0，所以当m ＝1时，函数h (x )在(m ，＋∞)上单调递减．综上所述，函数y ＝f (x )－x ln x 在区间(0，＋∞)上广义单调．3．(2017届天津市耀华中学模拟)已知f (x )＝2x ＋1－e ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若x 1，x 2为方程f (x )＝1的两个相异的实根，求证：x 1＋x 2>2a .(1)解 f ′(x )＝2－a e ax .当a ≤0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 2a ，＋∞上单调递减．(2)证明 x 1，x 2为方程f (x )＝1的两个相异的实根，则x 1，x 2为方程2x －e ax＝0的两个相异的实根，即x 1，x 2为方程ax ＝ln(2x )的两个相异的实根，所以ax 1＝ln(2x 1)，ax 2＝ln(2x 2)．不妨设x 1>x 2>0，则a >0，所以a (x 1－x 2)＝ln x 1x 2，即a ＝lnx 1x 2x 1－x 2， 要证明x 1＋x 2>2a ⇔a >2x 1＋x 2， 只需证明lnx 1x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2， 即证明ln x 1x 2>2(x 1－x 2)x 1＋x 2， 令x 1x 2＝t >1， g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1>0 (t >1)，g (1)＝0. g ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， 所以函数g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝0，所以ln x 1x 2>2(x 1－x 2)x 1＋x 2成立， 即x 1＋x 2>2a .4．(2017届福建省厦门第一中学模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝e x ＋32x 2. (1)讨论f (x )的极值点的个数；(2)若对于∀x >0，总有f (x )≤g (x )．①求实数a 的取值范围；②求证：对于∀x >0，不等式e x ＋x 2－(e ＋1)x ＋e x>2成立． (1)解 由题意得f ′(x )＝x ＋1x＋a ＝x 2＋ax ＋1x(x >0)， 令Δ＝a 2－4， 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，x 2＋ax ＋1≥0对x >0恒成立，即f ′(x )＝x 2＋ax ＋1x ≥0对x >0恒成立，此时f (x )没有极值点．当Δ＝a 2－4>0，即a <－2或a >2，①当a <－2时，设方程x 2＋ax ＋1＝0两个不同实根为x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，故x 2>x 1>0，∴当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，故x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点．②当a >2时，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两个不同实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－a <0，x 1x 2＝1>0， 故x 2<0，x 1<0，∴当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )没有极值点．综上，当a <－2时，函数f (x )有两个极值点．当a ≥－2时，函数f (x )没有极值点．(2)①解 由题意可知，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋x 2－ln x x min ，设φ(x )＝e x ＋x 2－ln x x ，易知φ(x )＝e x ＋x 2－ln x x 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝e ＋1，a ≤e＋1.∴a 的取值范围为(－∞，e ＋1]．②证明 ∵e x ＋x 2－(e ＋1)x ≥ln x ，当且仅当x ＝1时取等号， ∴只需证明ln x ＋e x ≥2，设θ(x )＝ln x ＋e x ，易得θ(x )＝ln x ＋e x 在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，θ(x )≥θ(e)＝2，即ln x ＋e x ≥2，当x ＝e 时取等号．综上，两式不同时取等号，故e x ＋x 2－(e ＋1)x ＋e x >2成立．。

[80分] 12＋4标准练21．复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋i D ．i 答案 D解析 根据题意可得，z ＝a －i ， 所以|z |＝a 2＋1＝1，解得a ＝0， 所以复数z ＝i.2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪12<sin θ≤1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫φ⎪⎪⎪π4<φ<1，则集合A ∩B 等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π4<θ<π2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6<θ<1 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<π2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<1 答案 D解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪12<sin θ≤1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<5π6， ∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<1. 3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.34 答案 C解析 分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ，a ，另一对短鼻子野生小鼠为B ，b ，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3＝12，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为()A ，a ，()a ，A ，()B ，b ，()b ，B ，共4种， 所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为 1－412＝23. 4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，则φ的可能值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π12答案 A解析 将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，所以φ＝0.5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1 000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2 000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱共有( ) A ．2×106枚 B ．2.02×106枚 C ．2.025×106枚 D ．2.05×106枚答案 B解析 由题意可知，可构成一个首项为70，末项为31，项数为40，公差为1的等差数列，则和为S ＝40×()70＋312＝2 020，这一堆铜钱共有2 020×1 000＝2.02×106(枚)．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2＋πB ．1＋πC ．2＋2πD ．1＋2π答案 A解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成， 则V ＝1×1×2＋12×π×12×2＝2＋π.7．如图所示的程序框图，当输出y ＝15后，程序结束，则判断框内应该填( )A ．x ≤1? B．x ≤2? C．x ≤3? D．x ≤4? 答案 C解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0； 当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8； 当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束．所以y 的最大值为15，可知x ≤3？符合题意．8.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )A ．y ＝x2|x |B ．y ＝2|x |－2 C ．y ＝e |x |－|x | D ．y ＝2|x |－x 2答案 D解析 对于A ，函数y ＝x2|x |，当x >0时，y >0，当x <0时，y <0，不满足题意； 对于B ，当x ≥0时，y ＝f (x )单调递增，不满足题意； 对于C ，当x ≥0时，y >0，不满足题意．9．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被抛物线y ＝4x 2所截得的弦长为32，则双曲线C 的离心率为( ) A.14 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 不妨设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋ay ＝0，y ＝4x 2，消去y ，得4ax 2＋bx ＝0，Δ＝b 2>0，设两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b 4a ，x 1x 2＝0，所以x 1，x 2中有一个为0，一个为－b4a ，所以所截得的弦长为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2×b 216a 2＝32， 化简可得bc 4a 2＝32，bc ＝23a 2，(c 2－a 2)c 2＝12a 4，e 4－e 2－12＝0，得e 2＝4或－3(舍)， 所以双曲线C 的离心率e ＝2.10．若x ＝2是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x的极值点，则函数f (x )的最小值为( ) A ．(2＋22)e －2B ．0C ．(2－22)e 2D ．－e答案 C解析 ∵f (x )＝(x 2－2ax )e x， ∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x， 由已知得，f ′(2)＝0，∴2＋22－2a －22a ＝0，解得a ＝1， ∴f (x )＝(x 2－2x )e x， ∴f ′(x )＝(x 2－2)e x，∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x＝0，得x ＝－2或x ＝2， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(－2，2)上是减函数，当x ∈()－∞，－2或x ∈()2，＋∞时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数． 又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x >0，f (x )>0， 当x ∈(0,2)时，x 2－2x <0，f (x )<0， ∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈()0，2时，函数f (x )单调递减， 当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f ()2＝()2－22e2.11．点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b 为正实数，则1a ＋1＋1b的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0可化为(x －2)2＋y 2＝25，表示圆心为C (2,0)，半径为5的圆，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，(x ＋6)2＋(y －6)2可以看作点M 到点N (－6,6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|CN |＋5，即点M 是直线CN 与圆C 距N 较远的交点，所以直线CN 的方程为y ＝－34(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34(x －2)，(x －2)2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝6，y 1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3(舍去)，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3时，t 取得最大值，则t max ＝(6＋6)2＋(－3－6)2－222－a ＝b ， 所以a ＋b ＝3， 所以(a ＋1)＋b ＝4，1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [](a ＋1)＋b＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1， 当且仅当ba ＋1＝a ＋1b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2时取等号．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且在R 上单调递增，函数g (x )＝f (x －5)＋x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( )A ．45B ．15C ．10D ．0 答案 A解析 因为函数g (x )＝f (x －5)＋x ， 所以g (x )－5＝f (x －5)＋x －5，当x ＝5时，g (5)－5＝f (5－5)＋5－5＝f (0)， 而y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 所以f (0)＝0，所以g (5)－5＝0. 由g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，得[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]＝0， 由y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 且在R 上单调递增，可知y ＝g (x )－5关于(5,0)对称， 且在R 上是单调递增函数， 由对称性猜想g (a 5)－5＝0，下面用反证法证明g (a 5)－5＝0. 假设g (a 5)－5<0，知a 5<5， 则a 1＋a 9<10，a 2＋a 8<10，…，由对称性可知[g (a 1)－5]＋[g (a 9)－5]<0， [g (a 2)－5]＋[g (a 8)－5]<0，…，则[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]<0与题意不符， 故g (a 5)－5<0不成立； 同理g (a 5)－5>0也不成立， 所以g (a 5)－5＝0，所以a 5＝5，根据等差数列的性质，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45. 13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.14．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则sin 2αsin (β－α)的最大值为________．答案2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β， 所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α， 即sin(β－α)＝sin α， 则sin 2αsin (β－α)＝sin 2αsin α＝2sin αcos αsin α＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，所以2cos α∈[]1，2，所以sin 2αsin (β－α)的最大值为 2.15．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为________． 答案 －1解析 以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)， 设P (x ，y )，则PA →＝(－x,1－y )，PB →＝(－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，PD →＝(1－x,1－y )，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(－2x,1－2y )·(2(1－x )，1－2y )＝(1－2y )2－4(1－x )x ＝(1－2y )2＋(2x －1)2－1， 当x ＝12，y ＝12时，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)取得最小值－1.16．如图，在四边形ABCD 中，△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形，AB ＝2，∠BAD ＝π2，∠CBD ＝π2，沿BD 把△ABD 翻折起来，形成二面角A －BD －C ，且二面角A －BD －C 为5π6，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案2053π 解析 由题意可知BC ＝BD ＝2，△BCD ，△ABD 的外接圆圆心分别为CD ，BD 的中点E ，F ，分别过E ，F 作△BCD ，△ABD 所在平面的垂线，垂线的交点O 即为球心，连接AF ，EF ，由题意可知∠AFE 即为二面角A －BD －C 的平面角， 所以∠AFE ＝5π6.又∠OFA ＝π2，所以∠OFE ＝π3，EF ＝12BC ＝1，所以OE ＝EF ·tan π3＝3，所以R ＝OC ＝OE 2＋CE 2＝5， 所以V ＝43πR 3＝2053π.。

专题突破练17 5.1~5.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2018河北衡水中学考前仿真,文3)已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为()2.(2018宁夏银川一中一模,理4)已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()A.B.C.D.34.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示,记A为此几何体所有棱的长度构成的集合,则()A.3∈AB.5∈AC.2∈AD.4∈A6.(2018河北唐山三模,理7)某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为()A.4B.8C.D.7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.8.(2018河南濮阳一模,理7)已知三棱锥A-BCD中,△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为()A. B.5π C.6π D.9.(2018山西吕梁一模,文12)已知点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,AC=2,若四面体ABCD的体积为,球心O恰好在棱DA上,则这个球的表面积为()A. B.4π C.8π D.16π二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2018江苏卷,10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.11.(2018天津卷,文11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.12.已知三棱锥A-BCD,AB=AC=BC=2,BD=CD=,点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,则该三棱锥外接球的表面积为.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2018江苏南京、盐城一模,15)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证:BN∥平面A1MC;(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.14.(2018河南六市联考一,文19)如图,已知四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,SA=SD=,SB=,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且=λ,SA∥平面BEF.(1)求实数λ的值;(2)求三棱锥F-EBC的体积.15.如图1,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点.将△AED,△DCF 分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A',连接EF,A'B,如图2.(1)求异面直线A'D与EF所成角的大小;(2)求三棱锥D-A'EF的体积.参考答案专题突破练175.1~5.3组合练1.A解析四棱锥的正视图和俯视图可知几何体的直观图如图所示,其侧视图为选项A.2.D解析如图①②所示的平面图形和直观图.由②可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于D',则C'D'=O'C'= a.∴S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.3.B解析由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE 的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×,S△ACD=×1×,故选B.4.C解析由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm3),原来毛坯体积V2=π×32×6=54π(cm3).故所求比值为.5.D解析根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥,如图所示,四边形ABCD是一个边长为4的正方形,且AF⊥面ABCD,DE∥AF,DE=4,AF=2,∴AF⊥AB,DE⊥DC,DE⊥BD,∴EC==4,EF=FB==2,BE==4.∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合,∴A={2,4,4,4,2}.6.C解析由三棱锥的三视图得其直观图如下:几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥A-BCD,BC=CD=2,三棱锥的高为2,所以三棱锥的体积为V=×2×2×2=.7.C解析∵D是等边三角形ABC的边BC的中点,∴AD⊥BC.又ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴AD⊥平面BB1C1C.∵四边形BB1C1C为矩形,∴×2×.又AD=2×,∴·AD==1.故选C.8.D解析如图所示.△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形,且二面角A-BD-C为直二面角,设F,E分别为△ABD和△BCD的中心,则球心O为△ABD和△BCD的过中心的垂线的交点,所以OF=OE=FG=×2=.ED=×2=,则球半径r=,则S=4π×.9.D解析如图所示,设AC的中点为M,由已知得AB⊥BC,所以底面三角形ABC外接圆的圆心为M,所以OM⊥平面ABC,又OM∥DC,所以DC⊥平面ABC,由四面体的体积为,得DC=2.所以DA=4,球的半径为2,由球的表面积公式得球的表面积为16π.选D.10.解析由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体,且正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为,所以该多面体的体积为2××()2×1=.11.解析∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,∴=V正方体-=1-×1×1×1-×1×1×1=.12.解析由题意,得△BCD为等腰直角三角形,E是外接圆的圆心.∵点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,∴BF=,∴AF=.设球心O到平面BCD的距离为h,则1+h2=,解得h=,r=,故该三棱锥外接球的表面积为4π×.13.证明 (1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1,又点M,N分别是AB,A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥面A1MC.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M,MC⊂平面A1MC,且A1M∩MC=M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB1⊥A1C.14.解 (1)连接AC,设AC∩BE=G,则平面SAC∩平面EFB=FG,∵△GEA∽△GBC,∴.∴.∴SF=SC,∴λ=.(2)连接SE,∵SA=SD=,∴SE⊥AD,SE=2.∵AB=AD=2,∠BAD=60°,∴BE=.∵SE2+BE2=SB2,∴SE⊥BE.∴SE⊥平面ABCD.所以V F-BCE=V S-EBC=V S-ABCD=×2×2sin 60°×2=.15.解 (1)在正方形ABCD中,∵AD⊥AE,CD⊥CF,∴A'D⊥A'E,A'D⊥A'F.∵A'E∩A'F=A',A'E,A'F⊂平面A'EF,∴A'D⊥平面A'EF.而EF⊂平面A'EF,∴A'D⊥EF,∴异面直线A'D与EF所成角的大小为90°.(2)∵正方形ABCD的边长为2,点E是AB的中点,点F是BC的中点,∴在Rt△BEF 中,BE=BF=1,得EF=,而A'E=A'F=1,∴A'E2+A'F2=EF2,∴A'E⊥A'F,∴S△A'EF=×1×1=.由(1)得A'D⊥平面A'EF,且A'D=2,∴V D-A'EF=S△A'EF·A'D=×2=.。

考前强化练4 客观题综合练(D)一、选择题1.(2018宁夏银川一中一模,理2)设集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是()A.4B.3C.2D.12.(2018河北衡水中学十模,理2)在复平面内,复数+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2018山东济南二模,理6)中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示,则该“堑堵”的侧视图的面积为()A.18B.18C.18D.4.(2018河北唐山三模,理8)函数f(x)=(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()5.若数列{a n}是正项数列,且+…+=n2+n,则a1++…+等于()A.2n2+2nB.n2+2nC.2n2+nD.2(n2+2n)6.(2018河南商丘二模,理10)将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,上为增函数,则ω的最大值为()A.2B.4C.6D.87.(2018湖南长郡中学一模,理9)已知以原点为中心,实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=x,焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=18.(2018河南六市联考一,文11)如图是计算函数y=的值的程序框图,则在①②③处应分别填入的是()A.y=-x,y=0,y=x2B.y=-x,y=x2,y=0C.y=0,y=x2,y=-xD.y=0,y=-x,y=x29.设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=9,a2为整数,且S n≤S5,则数列的前9项和为()A.-B.-C.-9D.810.(2018山东潍坊一模,理9)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)φ>0,|φ|<的最小正周期为4π,其图象关于直线x=π对称.给出下面四个结论:①函数f(x)在区间0,π上先增后减;②将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称;③点-,0是函数f(x)图象的一个对称中心;④函数f(x)在[π,2π]上的最大值为1.其中正确的是()A.①②B.③④C.①③D.②④11.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.+112.若关于x的方程+m=0有3个不相等的实数解x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3,其中m∈R,e=2.718 28,则-12-1-1的值为()A.1B.1-mC.1+mD.e二、填空题13.(2018江西南昌三模,文15)已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在m-n方向上的投影为.14.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是.15.(2018浙江卷,12)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是,最大值是.16.已知函数f(x)=,g(x)=,若函数y=f[g(x)]+a有三个不同的零点x1,x2,x3(其中x1<x2<x3),则2g(x1)+g(x2)+g(x3)的取值范围为.参考答案考前强化练4客观题综合练(D)1.A解析∵圆x2+y2=1和指数函数y=3x的图象有两个不同交点,记为A1,A2,则A∩B的子集应为⌀,{A1},{A2},{A1,A2}共四种,故选A.2.D解析设z=x+y i(x,y∈R),+z=+x+y i=-i+x+y i=x+(y-1)i,∴x=2,y=-1,∴z 在复平面内对应的点位于第四象限,故选D.3.C解析由三视图可知,该几何体为直三棱柱,底面直角三角形斜边的高为=3,该“堑堵”的侧视图的面积为36=18,故选C.4.A解析∵f(-x)==f(x),∴函数f(x)是偶函数,故排除选项B,D;当x>0且增大时,f(x)的值减小,故选A.5.A解析+…+=n2+n,∴n=1时,=2,解得a1=4.n≥2时,+…+=(n-1)2+n-1,相减可得=2n,∴a n=4n2.n=1时也满足=4n.则a1++…+=4(1+2+…+n)=4=2n2+2n.故选A.6.C解析f(x)=cos2sin-2cos+=sin ωx-2=sin ωx-cos ωx=2sinωx-,f(x)的图象向左平移个单位长度,得y=2sinωx+-的图象,∴函数y=g(x)=2sin ωx.又y=g(x)在0,上为增函数,,即,解得ω≤6,所以ω的最大值为6.7.C解析∵双曲线的一条渐近线方程是y=x,=6,∴c=10.∵c2=a2+b2,∴a2=64,b2=36.∴双曲线方程为=1,故选C.8.B解析由题意及框图可知,在①应填“y=-x”;在②应填“y=x2”;在③应填“y=0”.9.A解析由题意S n=n2+a1-n=n2+9-n,d<0,d∈Z,对称轴n=,当d=-1时,对称轴n=,不满足S n≤S5,若d=-2,对称轴n=5满足题意,∴d=-2,a n=a1+(n-1)×(-2)=11-2n,而=-,∴前9项和为+…+=-++…+=-=---=-10.C解析由题意,=4π,ω=+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin x+.对于①,∵x∈0,,x+,故①正确;对于②,平移后的函数为f(x)=2sin x-=2sin x+,显然其图象不关于原点对称;对于③,将点-,0代入f(x)=2sin x+,得f-=0,③正确.因此选C.11.D解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线方程为x=-,∵准线经过双曲线的左焦点,∴c=点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,∴M的横坐标为,代入抛物线方程,可得M 的纵坐标为±p.将M的坐标代入双曲线方程,可得=1,∴a=p,∴e=1+故选D.12.A解析+m=0,+m=0,令-1=t,原方程变为t++m+1=0,即t2+(m+1)t+1=0,设该方程有两个不相等的实根为t1,t2, 由t=-1,得t'=,当x<1时,t'>0,函数递增,当x>1时,t'<0,函数递减,∴x=1时,函数t=-1有最大值,最大值为-1,函数t=-1的大致图象如图,∴t1=-1,t2=-1=-1,则-12-1-1==1.13.-解析∵向量m=(1,2),n=(2,3),∴m-n=(-1,-1).∴m·(m-n)=-1-2=-3,则m在m-n方向上的投影为=-14.丙解析如果甲是冠军,则爸爸与妈妈均猜对,不符合;如果乙是冠军,则三人均未猜对,不符合;如果丙是冠军,则只有爸爸猜对,符合;如果丁是冠军,则妈妈与孩子均猜对,不符合;如果戊是冠军,则妈妈与孩子均猜对,不符合.故答案为:丙.15.-28解析由约束条件画出可行域,如图所示的阴影部分.由z=x+3y,可知y=-x+由题意可知,当目标函数的图象经过点B时,z取得最大值,当目标函数的图象经过点C时,z取得最小值.由此时z最大=2+3×2=8,由此时z最小=4+3×(-2)=-2.16.-,0解析∵g'(x)=,∴当0<x<e时,g'(x)>0,当x>e时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)≤g(e)=作出g(x)的图象如图所示:令g(x)=t,则当t≤0或t=时,g(x)=t只有1个解,当0<t<时,g(x)=t有2个解. f'(x)=,∴当x<0时,f'(x)>0,当0<x<时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在0,上单调递减.∴当x=0时,f(x)取得极大值f(0)=-1,又f=,作出f(x)在-∞,上的大致函数图象如图所示.∵y=f(g(x))+a有三个不同的零点x1,x2,x3,∴关于t的方程f(t)=-a在(-∞,0)和0,上各有1解,不妨设为t1,t2,<-a<-1,且g(x1)=t1,g(x2)=g(x3)=t2,又f(t)==-a,即t2+(a-1)t+1-a=0,∴t1+t2=1-a,∴2g(x1)+g(x2)+g(x3)=2t1+2t2=2(1-a)∈,0.。

压轴提升卷(四)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1．(本题满分12分)(2018·陕西省黄陵中学二模)设动圆P (圆心为P )经过定点(0，2)，被x 轴截得的弦长为4，P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设不经过坐标原点O 的直线l 与C 交于A 、B 两点，O 在以线段AB 为直径的圆上，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．解：(1)设动圆P 圆心为(x ，y )，半径为r ，被x 轴截得的弦为|AB |.依题意得：⎩⎨⎧x 2＋（y －2）2＝r ，|y |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2， 化简整理得：x 2＝4y .所以，点P 的轨迹C 的方程x 2＝4y .(2)设不经过坐标原点O 的直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，解得：x 2－4kx －4b ＝0，x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4b 又∵O 在以线段AB 为直径的圆上， ∴OA →·OB →＝0即x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b .x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0. x 1x 2＋k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝0，－4b －4k 2b ＋4k 2b ＋b 2＝0，b 2－4b ＝0，b ＝4或b ＝0(舍去)．所以直线l 经过定点(0，4)．2．(本题满分12分)(2018·淄博市高三诊断)已知函数g (x )＝x 4，x ∈R ，在点(1，g (1))处的切线方程记为y ＝m (x )，令f (x )＝m (x )－g (x )＋3.(1)设函数f (x )的图象与x 轴正半轴相交于P ，f (x )在点P 处的切线为l ，证明：曲线y ＝f (x )上的点都不在直线l 的上方；(2)关于x 的方程f (x )＝a (a 为正实数)有两个实根x 1，x 2，求证：|x 2－x 1|＜2－a3.证明：(1)g ′(x )＝4x 3，切线斜率k ＝g ′(1)＝4，可得m (x )＝4x －3， 所以f (x )＝4x －x 4，f ′(x )＝4(1－x 3)，由f (x )＝4x －x 4＝0，得x ＝0或x ＝413，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫413，0 由f ′(x )＝4(1－x 3)，得：f ′(413)＝－12，所以曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －413设φ(x )＝－12(x －413)，令F (x )＝f (x )－φ(x )，即F (x )＝4x －x 4＋12(x －413)则F ′(x )＝4－4x 3＋12＝4(4－x 3)， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，413时，F ′(x )＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫413，＋∞时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，413内单调递增，在(413，＋∞)内单调递减， 所以对任意实数x 都有F (x )≤F (413)＝0，即φ(x )≥f (x )． 所以曲线y ＝f (x )上的点都不在直线l 的上方．(2)解法一：不妨设x 1≤x 2，设方程φ(x )＝a 的根为x ′2，可得x 2′＝423－a12，显然φ(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以φ(x 2)≥f (x 2)＝a ＝φ(x 2′)，可得x 2≤x 2′.设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )，可得h (x )＝4x . 则f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即对任意x ∈R ，都有h (x )≥f (x )，设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4，因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，所以h (x 1)≥f (x 1)＝a ＝h (x 1′)，可得x 1≥x 1′，由此可得|x 2－x 1|≤x 2′－x 1′＝413－a 12－a 4＝413－a 3＜2－a3，所以|x 2－x 1|＜2－a3.解法二：不妨设x 1≤x 2，显然有f (x )≤h (x )，方程4x ＝a 的根是x 1′＝a4，所以4x 1′＝a ＝f (x 1)≤4x 1，即：x 1≥x 1′，所以|x 2－x 1|≤x 2－x 1′，所以欲证明|x 2－x 1|＜2－a 3，只需证明x 2－x ′＜2－a3，即证x 2－a 4＜2－a 3，即x 2＜2－a12，又f (x 2)＝a ＝4x 2－x 42.所以即证：x 42－16x 2＋24＞0令F (x )＝x 4－16x ＋24，则F ′(x )＝4x 3－16＝4(x 3－4)，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，413时，F ′(x )＜0，当x ∈(413，＋∞)时，F ′(x 0)＞0. 所以F (x )在(－∞，413)内单调递减，在(413，＋∞)内单调递增， 所以对任意实数x 都有F (x )≥F (413)＝12(2－34)＞0， 所以不等式x 42－16x 2＋24＞0成立，所以|x 2－x 1|＜2－a3成立．。

压轴大题突破练——函数与导数(二)1． 设函数f(x)＝ae x＋1aex ＋b(a>0)． (1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解 (1)f′(x)＝ae x－1ae x ，当f′(x)>0，即x>－ln a 时，f(x)在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f′(x)<0，即x<－ln a 时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减．①当0<a<1时，－ln a>0，f(x)在[0，－ln a)上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b ；②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞) 内的最小值为f(0)＝a ＋1a ＋b.(2)依题意f′(2)＝ae 2－1ae 2＝32， 解得ae 2＝2或ae 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.2． 已知函数f(x)＝aln x －bx 2.(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f(x)在[1e，e]上的最大值；(2)当b ＝0时，若不等式f(x)≥m＋x 对所有的a∈[0，32]，x∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题知，f(x)＝2ln x －12x 2，f′(x)＝2x －x ＝2－x2x ，当1e≤x≤e 时， 令f′(x)>0得1e≤x<2；令f′(x)<0，得2<x≤e，∴f(x)在[1e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f(x)max ＝f(2)＝ln 2－1.(2)当b ＝0时，f(x)＝aln x ，若不等式f(x)≥m＋x 对所有的a∈[0，32]，x∈(1，e 2]都成立，则aln x≥m＋x 对所有的a∈[0，32]，x∈(1，e 2]都成立，即m≤aln x－x ，对所有的a∈[0，32]，x∈(1，e 2]都成立，令h(a)＝aln x －x ，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min . ∵x∈(1，e 2]，∴ln x>0，∴h(a)在[0，32]上单调递增，∴h(a)min ＝h(0)＝－x ，∴m≤－x 对所有的x∈(1，e 2]都成立． ∵1<x≤e 2，∴－e 2≤－x<－1， ∴m≤(－x)min ＝－e 2.3． 已知函数f(x)＝x 3－2x ＋1，g(x)＝ln x.(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实常数k 和m ，使得x>0时，f(x)≥kx＋m 且g(x)≤kx＋m ？若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由F(x)＝x 3－2x ＋1－ln x(x>0)，得F′(x)＝3x 3－2x －1x(x>0)，令F′(x)＝0得x ＝1，易知F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)的极小值为F(1)＝0.(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0)，而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，下面只需验证⎩⎪⎨⎪⎧－1－1都成立即可．设h(x)＝x 3－2x ＋1－(x －1)(x>0)， 则h′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)(x>0)．易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)＝0，所以f(x)≥x－1恒成立．设k(x)＝ln x －(x －1)，则k′(x)＝1－xx(x>0)． 易知k(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k(x)的最大值为k(1)＝0，所以g(x)≤x－1恒成立．故存在这样的实常数k ＝1和m ＝－1，使得x>0时，f(x)≥kx＋m 且g(x)≤kx＋m.4． 已知函数f(x)＝x －aln xx，其中a 为常数．(1)证明：对任意x∈R，函数y ＝f(x)的图象恒过定点；(2)当a ＝1时，不等式f(x)＋2b≤0在x∈(0，＋∞)上有解，求实数b 的取值范围； (3)若对任意a∈[m,0)，函数y ＝f(x)在定义域上单调递增，求m 的最小值．解 (1)令ln x ＝0，得x ＝1，且f(1)＝1，所以函数y ＝f(x)的图象恒过定点(1,1)．(2)当a ＝1时，f(x)＝x －ln x x ，所以f′(x)＝1－1－ln x x 2，即f′(x)＝x 2＋ln x －1x 2. 令f′(x)＝0，得x ＝1所以[f(x)]min ＝f(1)＝1.因为f(x)＋2b≤0在x∈(0，＋∞)上有解，所以－2b≥[f(x)]min ，即b≤－12，所以实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. (3)f′(x)＝1－a －aln x x 2，即f′(x)＝x 2＋aln x －ax2.令h(x)＝x 2＋aln x －a.由题意可知，对任意a∈[m,0)，f′(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，即h(x)＝x 2＋aln x －a≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立．因为h′(x)＝2x ＋a x ＝2x 2＋a x ，令h′(x)＝0，得x ＝－－a2(舍)或x ＝ －a 2. h′(x)，所以[h(x)]解得a≥－2e 3.所以m 的最小值为－2e 3.。