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论区间B样条曲线的升阶与割角的关系1. 引言- 对B样条曲线的描述- 升阶与割角的重要性2. B样条曲线的基本知识- B样条曲线的定义及性质- B样条基函数的构造方法- B样条曲线的控制顶点和节点矢量3. 升阶操作的理论及算法- 升阶操作的定义- 升阶操作的递推公式和矩阵表示- 升阶操作的几何意义和影响4. 割角及其与升阶的关系- 割角的定义及其几何意义- 割角与B样条曲线的控制顶点、节点矢量的关系- 割角与升阶的关系及其数学证明5. 结论- 总结升阶和割角的关系- 探讨进一步的研究方向注：这是一份提纲，每一章节的具体内容需要根据文献、实际情况和个人知识结合进行细化和调整。
1. 引言B样条曲线是一种高效的计算机图形学中使用的曲线，它具有许多优秀的属性，例如可以表示高度复杂的几何形状、具有局部控制特性、逼近性能良好等。
在实际应用中，经常需要对B 样条曲线进行升阶操作和割角处理，以满足设计和渲染需求。
本论文旨在研究区间B样条曲线的升阶和割角的关系，对于计算机图形学和几何建模等领域的研究人员具有一定的参考意义。
本文将分为以下几部分：第一章为引言，介绍了B样条曲线的基本概念，以及升阶和割角对于B样条曲线的重要性。
第二章为B样条曲线的基础知识，包括定义、性质、基函数的构造方法，以及控制顶点和节点矢量等内容。
这些知识是后面升阶和割角处理的理论基础。
第三章为升阶操作的理论与算法，包括升阶操作的定义、递推公式和矩阵表示，以及升阶操作的几何意义和影响。
第四章为割角及其与升阶的关系，包括割角的定义和几何意义，割角与B样条曲线的控制顶点和节点矢量之间的关系，以及割角与升阶的关系及其数学证明。
第五章为结论，对本文的研究结果进行总结。
同时，对于未来的研究力量，提供进一步探索的方向。
总之，本文将对区间B样条曲线的升阶和割角处理进行探究，增加理论研究成果，并为实际应用提供参考价值。
2. B样条曲线的基础知识2.1 B样条曲线的定义及性质B样条曲线是一种由多段的线性、二次、三次等函数拼接而成的光顺曲线。
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
1、局部支承性：反过来，对每一个区间(u i ,u i+k )，至多只有k 个基函数在其上非零四、B 样条基函数的主要性质=∈≥+otherwise u u u u B k i i k i 0],[0)(,而Bezier 在整个区间非02、权性：3、连续性1)(0,≡∑=ni k i u B ],[11+−∈n k u u u B i,k (u)在r 重节点处的连续阶不低于k-1-r4、分段参数多项式：Bi,k (u)在每个长度非零的区间[ui,ui+1)上都是次数不高于k-1的多项式，它在整个参数轴上是分段多项式五、B样条函数的主要性质1、局部性：k阶B样条曲线上的一点至多与k个控制顶点有关，与其它控制顶点无关，至多影响到定义在区间移动曲线的第i个控制顶点Pi上那部分曲线的形状，对曲线其余部分不发生影响2、变差缩减性：设平面内n+1 个控制顶点构成B样条曲线P(t) 的特征多边形。
在该平面内的任意一条直线与P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数3、几何不变性：B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关4、凸包性：B 样条曲线落在P i 构成的凸包之中。
其凸包区域小于或等于同一组控制顶点定义的Bezier 曲线凸包区域Bezier 曲线的凸包性凸包凸包就是包含右边这6个顶点的最小凸多边形。
凸多边形是把多边形的每条边延长，其它边都在它的同一侧该性质导致顺序k+1个顶点重合时，由这些顶点定义的k 次B样条曲线段退化到这一个重合点；顺序k+1个顶点共线时，由这些顶点定义的k次B样条曲线形状？当节点沿参数轴均匀等距分布，即u i+1-u i = 常数> 0时，表示均匀B 样条函数六、B 样条曲线类型的划分1、均匀B 样条曲线（uniform B-spline curve ）{}6,5,4,3,2,1,0{}1,8.0,6.0,6.0,4.0,2.0,0均匀B 样条的基函数呈周期性。
即给定n 和k ，所有的基函数有相同形状。
NUAT B-样条曲线的升阶与割角关系的研究的开题报告题目：NUAT B-样条曲线的升阶与割角关系的研究一、研究背景和意义B-样条曲线是一种基于局部控制点的参数曲线表示方法，具有非常好的灵活性和几何特性。
在CAD、图形学及计算机辅助设计等领域广泛应用。
而B-样条曲线的升阶和割角问题是B-样条曲线的两个重要问题。
升阶是指在给定的B-样条曲线上插入更多的控制点，一般用于增加曲线的局部细节。
而割角是指在连接相邻曲线段时，使得连接点处的曲线切向方向相同，达到无缝连接的效果。
B-样条曲线的升阶和割角关系影响着其在实际应用中的质量和效果，因此深入研究此问题，对于优化B-样条曲线设计具有重要的意义。
二、研究内容和方法本论文主要研究NUAT B-样条曲线的升阶和割角关系，方法主要包括两个步骤：1. 升阶方法：通过改变B-样条曲线的控制点数量和位置，实现对其升阶的过程。
研究在升阶前后，B-样条曲线的重构和特性变化，分析升阶对曲线的控制和局部性质的影响。
2. 割角方法：通过分析相邻B-样条曲线的切向，设计出不同的割角方案。
比较不同方案下割角后曲线的连续性，研究割角对曲线的平滑性和拟合性的影响。
三、预期成果1.分析NUAT B-样条曲线的升阶和割角问题，探究其原理和关系。
2.设计出不同的升阶和割角方案，对其效果进行比较和分析。
3.对升阶和割角对B-样条曲线的控制和局部特性的影响进行了深入的研究和探讨。
四、论文结构和进度安排第一章：绪论介绍研究背景、意义和论文的研究内容和方法。
第二章：B-样条曲线的基本原理与方法介绍B-样条曲线和其基本原理和计算方法，为后续的升阶和割角研究打下基础。
第三章：B-样条曲线的升阶方法研究B-样条曲线的升阶方法，并对其影响进行分析。
第四章：B-样条曲线的割角方法研究B-样条曲线的割角方法，并对其影响进行比较和分析。
第五章：模拟实验与结果分析设计相应的实验以验证理论分析，采用图形界面的形式展示实验结果。
收稿日期：2008-07-16基金项目：国家自然科学基金资助项目（60773179）；973国家重点基础研究发展资助项目（G2004CB318000）；国家自然科学青年基金资助项目（6）作者简介：朱平（），男，安徽马鞍山人，讲师，博士，主要研究方向为计算机辅助几何设计，计算机图形学。
B-样条具有表示设计自由型曲线曲面的强大功能，是几何形状描述的主流方法之一。
升阶是B-样条曲线经常遇到的问题。
通过升阶，可以增加B-样条曲线的自由度。
同时升阶算法也在B-样条曲线合并、构造张量积曲面有着广泛的应用。
尤其在表示和设计组合曲线，B-样条曲线的升阶是必不可少的手段之一。
两条或若干条不同次数的B-样条曲线要顺序连续成为一条组合2010年工程图学学报2010第1期J OURNAL OF ENG INEERING GRAPHICSNo.1B-样条曲线升阶的几何收敛性朱平1,2，汪国昭1（1.浙江大学数学系计算机图像图形研究所CAD&CG 国家重点实验室，浙江杭州310027；2.东南大学数学系科学计算实验室，江苏南京211189）摘要：B-样条曲线的升阶算法是CAD 系统相互沟通必不可少的手段之一。
B-样条曲线的控制多边形经过不断升阶以后，和B ézier 曲线一样都会收敛到初始B-样条曲线。
根据双次数B-样条的升阶算法，得到了B-样条曲线升阶的收敛性证明。
与以往升阶算法不同的是，双次数B-样条的升阶算法具有割角的性质，这就使B-样条曲线升阶有了鲜明的几何意义。
得到的结论可以使B-样条曲线像B ézier 曲线一样，通过几何割角法生成。
关键词：计算机应用；几何收敛性；积分估计；B-样条曲线；升阶中图分类号：TP 391文献标识码：A文章编号：1003-0158(2010)01-0100-04Geometric C onvergence of Degree Elevation of B-Spline CurvesZHU Ping 1,2,WANG Guo-zhao 1(1.Institute of Computer Graphics and Image Processing,Department of Mathematics,State Key Lab of CAD&CG,Zheji ang Uni versity,HangzhouZhejiang 310027,China;b of Scientific Computi ng,Department of Mathemat ics,Southeast University,Nanjing Jiangsu 211189,China )Abstr act:Degree elevation of B-spline curves is an essential measure for communication between CAD systems.The sequence of B-spline ’s control polygon convergences to initial B-spline curve is similar to the B ézier curve.The convergence proof of B-spline curve is obtained based on the degree elevation algorithm by the bi-degree B-spline.In contrast to traditional methods,degree elevation algorithm by bi-degree B-spline can be interpreted as corner cutting process,so degree elevation of B-spline curve has obvious geometric meaning.The result makes B-spline curve obtained by geometric corner cutting algorithm as B ézier curve.K ey wor ds:computer application;geometric convergence;integral estimation;B-spline curves;degree elevation09040701982-B-样条曲线，用一个统一的方程表示，必须对其升阶，统一其次数。
有鉴于此，很多国内外学者都提出了B-样条曲线的快速升阶算法[1-5]。
在CAGD 中，许多曲线曲面生成都可以解释为割角的过程，这样的好处是提供了一个很简便的几何构造法[6-7]。
但是，除文献[8]外，所有升阶算法都不能解释为几何割角的过程。
文献[8]通过提出双次数B-样条解决了这个问题，使得B-样条的升阶有了几何意义，其方法就是不断嵌入节点，生成双次数B-样条曲线。
那么通过这种方式升阶，其割角的控制多边形是否像B ézier 曲线[9]那样收敛到原始的B-样条曲线呢？本文通过证明给出了答案。
根据本文的结论，B-样条曲线就可以像B ézier 曲线那样割角生成。
1B-样条曲线的升阶割角B-样条曲线的定义如下[10]：,00()(),mi k i ni t N t t t t ==∑≤≤p P 其节点向量为00{,,,,,,,,,,}ini i n n z z z t t t t t t ="""""T 0{}mi i=P 是控制顶点，,0{()}mi k i N t =是定义在T 上k 次B-样条基函数。
0100111101{,,,,,,,,,,,,,}{,,,}nj j j j j j j n n z z z z j j j s t t t t t t t t t t t +++++=="""""""T 01()(0,,1)n s z z z j j n =++++=""定义在j T 上的双次数B-样条定义如下[8]11212,0211if and 0if and 01()1if and 0otherwisejj j ii i j j ji i j j j i j i i j j j i i i j j i i j t t t t t i l t t t t t t t i l N t t tt t t i l ++++++++<<=<>≤≤≤≤≤≤≤这里01j j l z z z j =++++"。
对1k ≥，递归定义,()j i k N t ：,,1,11,11,1()[()()]d tj jj j ji k i k i k i k i k N t N s N s sδδ++∞=∫这里0,1,,1i s k ="以及1,,(()d )jj i ki kN t t δ+∞∞=∫。
如果,()0j i k N t ≡21,,211if (1)or (1)()d 0if (1)or (1)j i k jj ti k j jj i ki kj i k j j i k jt t i l k t t i l k Ns s t t i l k t t i l k δ++++∞++++>=<<>∫≥≥≤≤由双次数B-样条的变换公式[8]，很容易将B-样条升阶解释为一个几何割角的过程。
下面，通过定理说明通过这样的割角形成的控制多边形序列最终收敛到初始的B-样条曲线。
2B-样条曲线升阶的收敛性定理根据文献[8]，将k 次B-样条曲线()t P 升阶至1k +次是通过依次嵌入节点定义的双次数B-样条基函数变换实现的。
同时，这个变换过程也是对控制多边形割角的过程。
下面证明对B-样条初始曲线不断地升阶，其控制多边形最终将收敛到初始B-样条曲线。
为了叙述方便，引入一些记号：（1）,()i k N t 表示定义在T 上的k 次B-样条基函数，1,,(()d )i ki k N t t δ+∞∞=∫；（2）,()i K N t 是升阶后定义在′T 上的K 次B-样条基函数。
′T 是升阶后的节点向量00{,,,,,,,,,,}()ini i n n i i c c c t t t t t t c z K k ′==+"""""T （3）1(,)i i t t +为节点区间，若1i i t t +<，则称为非零节点区间。
2.1基函数的积分估计定理1对k 次B-样条曲线，基函数,()i k N t 的积分有如下估计:1,()d i k U N t t k+∞∞∫≤，其中11max{|0,,1}j j U n t t j n +=="是最大节点区间长度的n 倍，n 是非零区间个数。
证明k 次B-样条基函数,()i k N t 定义在T 上，000011{,,,,,,,,,,}{,,,,}ini i n n s s z z z t t t t t t t t t t ′′′′==""""""T ，首末端点的重数是1k +。
在101{,,,,}s s t t t t +′′′′′="T 上定义1k +次B-样条基函数,1()i k N t +，首末端点重数为2k +。
对定义于′T 上的1k +次B-样条曲线,11()()mj k j j t Nt +==∑p p 求导，得到第1期朱平等：B -样条曲线升阶的几何收敛性101,1011()()()mj k jj j j k j k t N t t t =+++′=′′∑p p p 看出()t ′p 是完全定义在T 上。
这样，令,()()i k N t t ′=p 以及基函数的线性无关性，得到111()0()or 1()jj j k jk j i j i t t +++=≠=′′p p 故有1111,,1i k i i i m i i t t k ++′′=====+""p p p p p p 。
根据,()()i k N t t ′=p ，知道()0()i t t t ′=<p 。
则再由基函数的局部性和线性无关性，得到110i==="p p 。
那么推得1,1()d 1ti k i i k i k t t N t t t t k ++++∞′′′=+∫≥取t =+∞，可知定理成立。
