九年级数学上册271反比例函数正比例和反比例的异同及典例一题素材冀教版.

反比例函数图象及性质的应用一、求字母的值【例1】已知函数y ＝（m 2 －1）x －1是反比例函数，求m 的取值范围？若当x=1时，y ＝3，试确定此反比例函数的表达式.【思考与分析】反比例函数的表达式y=x k 中的比例系数k ≠0，我们看到本题中的比例系数是用字母表示的，注意m 2 －1≠0时满足条件.解：由m 2 －1＝0解得m ＝1或m=－1.所以当m ≠1且m ≠－1时，函数y ＝（m 2 －1）x －1是反比例函数.此反比例函数式可写成y=x m 12-.把x=1时，y ＝3代入解析式，得3＝m 2 －1，解得m ＝2或m ＝－2．所以此反比例函数的表达式是y=3x －1=x3 【小结】反比例函数的表达式是y=xk （k 为常数，k ≠0），当反比例函数的比例系数用字母来表示时，注意不要忽略了比例系数不为零这一条件.求解此类问题时，要考虑全面二、巧用函数的增减性1.利用增减性求“k ”的取值范围【例2】 反比例函数y=xk 22-的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可为 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2【分析与解】反比例函数当k ＞0时，图象在第一、三象限，并且在每个象限内图象呈下降趋势，即在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图象在第二、四象限，并且在每个象限内图象呈上升趋势，即在每个象限内y 随x 的增大而增大.因为题中y 随x 的增大而减小，则2k －2＞0，解得k ＞1.故选D.2.利用增减性比较大小【例3】若A （－3，y 1），B （－2，y 2）， C （－1，y 3）三点都在函数y=－x1的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 1＝y 2＝y 3D ．y 1＜y 3＜y 2【分析与解】因为k ＝－1＜0，所以反比例函数在第二、四象限内，在每个象限内y 随x 的增大而增大.又因为－3＜－2＜－1，所以y 1＜y 2＜y 3，故选B.另外此题还可用图象法直接求解如图所示．从图象上可直接看出y 1＜y 2＜y 3.三、如何判定函数判定两个变量间的函数关系是不是反比例函数，有两种常用方法：1.若两个变量的积是一个不等于0的常数，则为反比例函数；2.若有式子x k y =的形式（k 为非零常数），则为反比例函数.下面举例说明.【例4】下列各题中的两个变量之间哪些是反比例函数，哪些不是？（1）2=xy 中的y 和x ； （2）积为非零常数的两个乘数x 与y ；（3）除数一定时，被除数和商；（4）被除数一定时，除数和商；（5）多边形的边数n 与它的内角和y.【分析与解】（1）∵2=xy ，∴x y 2=， 即y 是x 的正比例函数，比例系数是2（2）∵xy ＝k （k ≠0，k 为常数），∴ 根据方法1，积为非零常数的两个乘数是反比例函数关系.（3）设除数为a （定值），被除数为b ，商为c ，则ab ＝c （a ≠0），即b ＝ac.因为是y ＝kx （k ≠0，k 为常数）的形式，所以是正比例函数关系，不是反比例函数关系.（4）设被除数为b （定值），除数为a ，商为c ，则a b c =当b ≠0时，是xk y =的形式，因此，是反比例函数关系； 当b ＝0时，总有c ＝0，既不是正比例函数关系，也不是反比例函数关系.（5）∵y ＝（n －2）·180°，即y ＝180°n －360°，∴多边形的边数n 和它的内角和y 的函数既不是正比例函数，也不是反比例函数，而是一次函数.四、求实际中的解析式1、根据概念求解析式【例5】已知y ＝（2－k ）x 3－k 是反比例函数，求它的解析式．【思考与分析】反比例函数的概念要满足的两个必备条件：1.自变量的指数是－1；2.比例系数k ≠0.故可求得k 的值，从而得到解析式.解：由反比例函数的概念可得：∴它的解析式是xy 4=或y ＝4x －1. 【反思】由自变量指数为－1可得k=±2，不能急于下结论，还要检验反比例系数“２－k ≠0”，只有同时具备才可确定本题中k 的值.2、利用隐含的反比例关系求解析式【例6】（1）已知当V=40m 3时，ρ＝2kg/m 3，试确定ρ与V 之间的函数关系式；（2）一个矩形的面积是40mm 2，相邻两边长分别为xmm ，ymm ．写出y 与x 之间的函数关系式.（3）甲、乙两地相距72km ，写出汽车行驶时间t （h ）与平均速度v （km/h ）之间的函数关系式．【思考与分析】通过读题我们会发现上述各题中的两个变量都存在反比例函数关系，我们根据各个量之间的关系建立等式，就可以得到反比例函数的解析式.解：（1）因为ρ与V 存在反比例函数关系，所以设V m =ρ（m ≠0，且m 为常数），因为V=40m 3时，ρ＝2kg/m 3，所以2＝40m .解得m=80. 所以ρ与V 之间的函数关系式为：V80=ρ （2）因为矩形面积是相邻两边的积，即y ×x ＝40，所以y 与x 之间的函数关系式是：y=x40 （3）因为汽车行驶时间t （h ）×平均速度v （km/h ）＝两地的距离，所以汽车行驶时间t （h ）与平均速度v （km/h ）之间的函数关系式是:t=v 72.。

例析反比例函数的易错点反比例函数是数学中的重要内容之一，更是历年中考的热点。

但初学者由于概念理解上的偏差、研究增减性时不分象限（笼统地说：当0>k 时，y 随x 的增大而减小，或当0<k 时，y 随x 的增大而增大）和数形分离（不会在函数图像中发现并采集相关信息）等现象，经常会出现一些不必要的错误，不知你是否也犯过下面的错误： 一、忽视反比例函数xk y =成立的条件“k 是常数，且0≠k ” 例1．若函数322)(--+=k k x k k y 是反比例函数，则k 的值为（ ）A ．2=mB ．1-=mC ．2=m 或1-=mD ．2-=m 或1-=m错解：∵322)(--+=k k x k k y 是反比例函数，∴132-=--k k ，解得21=k ，12-=k ．故选C ． 剖析：根据反比例函数定义可知，反比例函数xk y =（或1-=kx y ）中存在着隐含条件“0≠k ”．本题的错误原因是只考虑到反比例满足132-=--k k 这一条件，而忽视了隐含条件“02≠+k k ”．正解：由题意得，132-=--k k ，解得21=k ，12-=k ．当21=k 时，062222≠=+=+k k （符合题意）当12-=k 时，0)1()1(22=-+-=+k k （不符合题意，舍去）所以2=k 时，322)(--+=k kx k k y 是反比例函数，故选C ． 二、数形分离，顾此失彼例2．如图（1），P 是反比例函数x k y =的图象上一点，过P 向x 轴，y 轴引垂线，若S阴影=5，则此函数图象的解析式为 ．错解：设P 点的坐标为（x 0，y 0），则500===k y x S 阴影，解得5±=k ． ∴x y 5=或xy 5-=． 剖析：上述解题过程中没有考虑到图像信息而导致错误．仔细观察图像，不难发现双曲线在第二、四象限，所以0 k ．正解：由阴影部分的面积等于5，得500===k y x S 阴影，解得5±=k ．∵x k y =的图像在第二、四象限，∴0 k ，即xy 5-=． 三、实际问题中忽视自变量的取值范围例3．甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t （小时）表示汽车速度v （千米/时）的函数，并画出图象。

冀教版数学九年级上册《27.1 反比例函数》说课稿一. 教材分析冀教版数学九年级上册《27.1 反比例函数》这一节的内容，是在学生已经学习了正比例函数的基础上进行授课的。

本节课的主要内容是引导学生认识反比例函数的概念，理解反比例函数的性质，以及掌握反比例函数的图像和解析式。

教材中通过丰富的实例，引导学生探究反比例函数的定义和性质，并通过问题串的形式，引导学生深入理解反比例函数的概念。

同时，教材还配备了大量的练习题，帮助学生巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，他们对于正比例函数的概念和性质已经有了一定的了解。

但是，反比例函数的概念和性质与正比例函数有很大的不同，学生可能会有困惑。

因此，在教学过程中，我需要引导学生通过对比正比例函数，深入理解反比例函数的概念和性质。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，能够写出反比例函数的解析式。

2.过程与方法：通过实例引导学生探究反比例函数的定义和性质，培养学生独立思考和合作交流的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的趣味性和实用性。

四. 说教学重难点1.反比例函数的概念和性质。

2.反比例函数的图像特点。

3.反比例函数的解析式的求法。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过问题串的形式，引导学生深入理解反比例函数的概念和性质。

2.使用多媒体教学手段，展示反比例函数的图像，帮助学生直观地理解反比例函数的特点。

3.学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考反比例函数的概念。

2.新课导入：介绍反比例函数的定义和性质，引导学生通过实例理解反比例函数的概念。

3.图像展示：使用多媒体展示反比例函数的图像，帮助学生直观地理解反比例函数的特点。

4.解析式的求法：引导学生通过图像和性质，推导出反比例函数的解析式。

对照正比学反比甲：怎样才能学好反比例函数？乙：对照正比例函数来学习．甲：反比例函数不是与正比例函数唱反调的吗？乙：表面上听起来似乎是这样没错，可它们实际上却是一对好姐妹．甲：我原以为一正一反犹如正义与邪恶是水火不相容的．那怎么个对比法呢？ 乙：先从定义开始吧．甲：我知道正比例函数的定义是：形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，那反比例函数呢？乙：形如()0k y k x=≠的函数叫做反比例函数．你看它们是不是长得很相像？ 甲：的确长得有点像，可它们的性格类似吗？乙：有些类似，有些恰恰相反．你喜欢先听什么样的？甲：既然叫做反比例，那就先说说相反的吧，让我看看它们究竟反在哪里？乙：首先你看它们的函数式，一个是整式，一个是分式，两者不是有相反的味道吗？ 甲：这一点我已看出来了，我问的是在其它方面．乙：那好，我问你：正比例函数的图象是什么？甲：一条经过原点的直线．乙：反比函数的图象是两条不经过原点的曲线．你看，一直一曲，一个经过一个不经过，一个一条一个两条，够反了吧？甲：的确有些反，除此之外还有吗？乙：有．你说当k >0时，正比例函数y kx =的y 与x 之间的变化关系怎么样？ 甲：y 随x 增大而增大．乙：反比例函数恰好与此相反，也就是说k >0时，不论是0x >还是0x <，y 都随x 增大而减小．甲：如此说来，当k >0时，正比例函数y 随x 增大而减小，而反比例函数却是y 随x 增大而增大了？乙：应该补充说：在每个象限内．甲：为什么要这样呢？乙：因为正比例函数自变量x 的取值是连续的，而反比例函数却是0x ≠，是不连续的．比如6y x=，这里的6k =>0，你如果说y 随x 增大而减小，那就错了． 甲：难道是应该说：y 随x 增大而增大？乙：错得更厉害了．甲：为什么呢？乙：你看，当1x =时，6y =；2x =时，3y =，x 从1增大到2，y 却从6减小到3，你说y 随x 增大而增大能是正确的吗？甲：那为什么不能说y 随x 增大而减小呢？乙：你看，当1x =-时，6y =-；1x =时，6y =，此时x 从1-增大到1，y 从6-增大到6，能说y 随x 增大而减小吗？甲：我终于明白了为什么要说在每个象限内了．那还有其它相反的吗？乙：有．还有一个更为有意思的相反．甲：哪一个？乙：我问你：当m 为何值时，函数my x =是正比例函数？甲：不就是1吗？乙：对．而当1m =-时，m y x =是反比例函数．你看，自变量x 的指数为1时是正比例函数，为1-时是反比例函数，这里的1和1-不就是互为相反数吗？甲：的确有意思．那两者类似的是什么？乙：首先是它们的外貌、长相犹如一对同父异母的姐妹，这一点我们已经说过了，更重要的一点是它们的图象所在的象限与k 的符号关系几乎一模一样．我问你：当k >0时，正比例函数y kx =的图象在什么象限？甲：第一、三象限，难道反比例函数的图象也是在第一、三象限吗？乙：正是．而且当0k <时，两者的图象也都是在第二、四象限．甲：还有其它关系吗？乙：有．不论是正比例函数还是反比例函数，它们都是存在于形如a bc =这种关系的三个量．甲：此话怎讲？中，当b一定时，a与c成正比例，当a一定时，b与c成反比例．乙：你看，在a bc甲：原来如此，我明白了，谢谢．。

第二十七章 反比例函数（典型题汇总）一、单选题1. 下列函数中，y 与x 之间是反比例关系的是 （ ） A. 2x =y B. 023x =+y C. x k =y D. 12y +=x 2. 若()21--=m xm y 是反比例函数，则m 的值为 （ ）A. 2B. -1C. 1D. 0 3. 若函数()1323---=k kx k y 是反比例函数，则k 的值是 （ ）A. 0B. 3C. 0或3D. 不能确定 4. 若()221-+=ax a y 是反比例函数，则a 的取值为 （ ）A. 1B. -1C. ±1D. 任意实数5. 定义：[]b a ,为反比例函数bx a =y （ab ≠0，a,b 为实数）的“关联数”.反比例函数xky 1=的“关联数”为[]2,+m m ，反比例函数xk y 2=的“关联数”为[]3,1++m m ，若m >0，则 （ ） A. 21k k = B. 21k k ＞ C. 21k k ＜ D. 无法比较 6. 如图，以原点为圆心的圆与反比例函数xy 3-=的图像交于A,B,C,D 四点，已知点A 的横坐标为-1，则点C 的的横坐标为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1（第6题图）7. 如图，已知点P 是双曲线xy 3=上的一个动点，连接OP ，若将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得到线段OQ ，则经过点Q 的双曲线的表达式为 （ ） A. x y 3=B. x y 31-=C. x y 31=D. xy 3-= （第7题图）8. 在反比例函数xky -=1的每一条曲线上，y 都随着x 的增大而减小，则k 的值可以是 （ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 9. 函数xk=y 与k kx y +-=（k ≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图像是 （ ）10. 在同一平面直角坐标系中，函数xk=y 与1+=kx y （k 为常数，k ≠0）的大致图像是 （ ）11. 在第一象限内各反比例函数的图像分别如图中①②③所示，则相应各反比例函数的比例系数321k k k ，，的大小关系是 （ ） A. 321k k k ＜＜ B. 231k k k ＜＜ C. 123k k k ＜＜ D. 312k k k ＜＜（第11题图）12. 如图，在平面直角坐标系中，函数kx y =与x y 1-=的图像交于A,B 两点，过点A 作y 轴的垂线，交函数x2y =（x ＞0）的图像于点C ，连接BC ，则ΔABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（第12题图）13. 已知点A ()11y ，，B ()22y ，在函数xk y 1-=的图像上，且21y y ＜，则k 的取值范围是 （ ） A. k ＞1 B. k ＜1 C. k ≠1 D. k 为任意实数 14. 如图所示，A 是反比例函数xk=y 图像上的一点，过点A 作AB ⟂x 轴于点B ，点C 为y 轴上一点，连接AC,BC ，若ΔABC 的面积为5，则k 的值为 （ ） A. 5 B. -5 C. 10 D. -10（第14题图）15. 已知反比例函数xy 10=，当1＜x ＜2时，y 的最小整数值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 1016. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数xk =y （x ＞0）的图像与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且ΔODE 的面积是12，则k 的值为 （ ） A. 6 B. 9 C.528 D. 532 （第16题图）17. 如图，一次函数5+=kx y （k 为常数，且k ≠0）与反比例函数xy 8-=的图像交于A （-2，b ）、B 两点.若将直线AB 向下平移m （m ＞0）个单位长度后与反比例函数的图像只有一个公共点，则m 的值为 （ ） A. 1 B. 1或8 C. 2或8 D. 1或9（第17题图）18. 如图，过点A （4，5）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线6+-=x y 于B 、C 两点，若函数xk=y （x ＞0）的图像与∆ABC 的边有交点，则k 的取值范围是 （ ） A. 205≤≤k B. 208≤≤k C. 85≤≤k D. 209≤≤k-（第18题图）二、填空题 1. 若函数2-=k kxy 是反比例函数，则k= .2. 反比例函数()122+-=m x m y 的函数值为31时，自变量x 的值是 . 3. 将32=x 代入反比例函数x y 1-=中，所得函数值记为1y ，又将11+=y x 代入函数xy 1-=中，所得函数值记为2y ，再将12+=y x 带入函数xy 1-=中，所得函数值记为3y ，…，如此继续下去，则2021y = .4. 如图，过原点的一条直线与反比例函数xk=y （k ≠0）的图像分别交于A,B 两点.若A 点的坐标为()b a ,，则B 点的坐标为 .（第4题图）5. 已知A （-1，m ）与B （2，m -3）是反比例函数xk=y 图像上的两个点，则m 的值为 . 6. 如图，直线x y 3=交双曲线xk=y （x ＞0）于点D ，点A 在直线上，且OD=AD ，过点A 作AC ∥y 轴，交双曲线xk =y （x ＞0）于点C ，交x 轴于点B ，且21=OBCD S 四边形，则k= .（第6题图）7. 反比例函数x k y 1=，x ky 2=，xk y 3=在x 轴上方的图像如图所示，则321k k k ，，按从小到大排列依次为 .（第7题图）8. 如图，直线AB 经过原点O ，于双曲线xk=y （k ≠0）交于A,B 两点，AC ⟂y 轴于点C ，且ΔABC 的面积是3，则k 的值是 .（第8题图）9. 如图，在平面直角坐标系中，直线2+-=x y 与反比例函数xy 1=的图像有唯一交点，若直线b x y +-=与反比例函数xy 1=的图像没有公共点，则b 的取值范围是 . （第9题图）三、解答题1. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数xk =y （x ＞0）的图像上，点D 的坐标为（4，3）. （1）求k 的值；（2）若将菱形ABCD 向右平移，使菱形的顶点D 落在反比例函数xk=y （x ＞0）的图像上，求菱形ABCD 平移的距离.（第1题图）2. 如图，一次函数)0(111≠+=k b x k y 的图像分别与x 轴,y 轴相交于点A,B ，与反比例函数()0222≠=k xk y 的图像相交于点C （-4，-2），D （2，4）.（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x 为何值时，01＞y ？（3）当x 为何值时，21y y ＜？请直接写出x 的取值范围.（第2题图）3. 如图，直线n mx y +=与双曲线xky =相交于A （-1，2）B （2，b ）两点，与y 轴相交于点C. （1）求m ，n 的值；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求∆ABD 的面积.（第3题图）4. 如图，一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像交于C （2，n ），D 两点，与x 轴、y 轴分别交于A 、B （0，2）两点，若∆AOC 的面积为6. （1）求点A 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的表达式.（第4题图）5. 研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB,BC 为分别为线段，CD 为双曲线的一部分）.（1）分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式；（2）开始上课后第5分钟与第30分钟相比较，何时学生的注意力更集中？（第5题图）。

冀教版数学九年级上册《27.1 反比例函数》教学设计6一. 教材分析冀教版数学九年级上册《27.1 反比例函数》是本册教材的重要内容，它主要介绍了反比例函数的定义、性质和图象。

本节内容是在学生已经掌握了函数概念和正比例函数的基础上进行学习的，对于学生来说，反比例函数是一个比较难以理解的概念。

因此，在教学设计中，我们需要通过实例引入反比例函数的概念，让学生通过观察、思考、探究，逐步理解和掌握反比例函数的性质和图象。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于正比例函数的概念和性质有一定的了解。

但是，反比例函数的概念和性质与正比例函数有很大的不同，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，我们需要关注学生的认知困惑，通过实例和图象，帮助学生理解和掌握反比例函数的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质和图象，能够运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。

2.反比例函数的图象。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入反比例函数的概念，让学生在实际情境中理解和掌握反比例函数。

2.数形结合法：通过图象和性质的结合，帮助学生更好地理解和掌握反比例函数。

3.小组合作学习：引导学生进行团队合作，共同解决问题，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

六. 教学准备1.PPT课件：制作反比例函数的PPT课件，包括实例、图象、性质等内容。

2.教学素材：准备一些与反比例函数相关的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入反比例函数的概念。

例如，假设有一辆汽车，它的速度保持不变，行驶的路程与时间成反比。

让学生思考，如何表示这个关系。