高二数学类比推理综合测试题

高二数学选修1-2 推理与证明测试题试卷满分150，其中第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共100分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将答案直接填入下列表格内.）1.n A.1845a a a a +<+B. 1845a a a a +=+C.1845a a a a +>+D.1845a a a a =2.下面使用类比推理正确的是 A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x =A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x5.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 A.29 B. 254 C. 602 D. 20046.函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A.18B.14C.12D. 17.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a+≥+∙+.其中不成立的有A.1个B.2个C.3个D.4个8.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 59.设 ()|1|||f x x x =--, 则1[()]2f f =A. 12-B. 0C.12D. 110.已知向量)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 则由x 的值构成的集合是A.{2,3}B. {-1, 6}C. {2}D. {6} 11. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 12.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为A.4()22x f x =+B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+二.解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 13.证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.14.在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状.15.已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，判断直线EF 与平面ABD 的关系，并证明你的结论.16.已知函数x x x f -+=)1ln()(，求)(x f 的最大值.17.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 090<.第Ⅱ卷（共50分）三．填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。

类比推理考试题目及答案一、单选题1. 题目：如果“苹果”是“水果”，那么“橘子”是______。

A. 蔬菜B. 水果C. 肉类D. 谷物答案：B2. 题目：如果“钢笔”是“书写工具”，那么“钢琴”是______。

A. 乐器B. 运动器材C. 办公设备D. 厨房用具答案：A3. 题目：如果“医生”是“治疗”，那么“教师”是______。

A. 诊断B. 教育C. 维修D. 管理答案：B4. 题目：如果“图书馆”是“书籍”，那么“体育馆”是______。

A. 运动B. 阅读C. 学习D. 娱乐答案：A5. 题目：如果“汽车”是“运输”，那么“飞机”是______。

A. 运输B. 通讯C. 导航D. 娱乐答案：A二、多选题1. 题目：如果“太阳”是“恒星”，那么以下哪些是“行星”？A. 地球B. 月亮C. 火星D. 金星答案：ACD2. 题目：如果“河流”是“流动”，那么以下哪些是“静止”？A. 湖泊B. 冰川C. 沙漠D. 海洋答案：ABC3. 题目：如果“电脑”是“电子设备”，那么以下哪些是“机械设备”？A. 打印机B. 汽车C. 洗衣机D. 手机答案：BC4. 题目：如果“音乐”是“艺术”，那么以下哪些是“科学”？A. 数学B. 物理C. 化学D. 绘画答案：ABC5. 题目：如果“蜜蜂”是“授粉”，那么以下哪些是“捕食”？A. 狮子B. 鲨鱼C. 老虎D. 蚂蚁答案：ABCD三、填空题1. 题目：如果“蜜蜂”是“花蜜”，那么“蚂蚁”是______。

答案：昆虫2. 题目：如果“狮子”是“草原”，那么“企鹅”是______。

答案：南极3. 题目：如果“书”是“阅读”，那么“电影”是______。

答案：观看4. 题目：如果“画家”是“画布”，那么“音乐家”是______。

答案：乐器5. 题目：如果“树木”是“森林”，那么“星星”是______。

答案：银河四、判断题1. 题目：如果“苹果”是“水果”，那么“香蕉”也是水果。

2.1.1.2 类比推理一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”．【答案】 中心2．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】 乘积类比和，幂类比积．∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】 1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】 平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】 在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“mn ＝nm”类比得“a·b ＝b·a”；(2)“(m ＋n)t ＝mt ＋nt”，类比得“(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c”；(3)“|m·n|＝|m|·|n|”类比得“|a·b|＝|a|·|b|”；(4)“ac bc ＝a b ”类比得“a·c b·c ＝a b”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________．【解析】 (1)(2)均正确，(3)(4)不正确．【答案】 (1)(2)6．(2013·南通高二检测)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．【解析】 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h. 类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r·S ⇒r ＝14h. 【答案】 正四面体的内切球的半径是高的147．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图2－1－9所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________．图2－1－9【解析】 ，，∴a ＝21，b ＝9，则a ＋b ＝30.【答案】 30图2－1－108．如图2－1－10所示，对于函数y ＝x 2(x ＞0)图象上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，线段AB 必在曲线段AB 的上方，点C 分向量AB →的比为λ(λ＞0)，过C 作x 轴的垂线，交曲线段AB 于C′，则由图象中点C 在点C′的上方可得不等式a 2＋λb 21＋λ＞(a ＋λb 1＋λ)2.请分析函数y ＝ln x(x ＞0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是________．【解析】 y ＝x 2的图象在x ＞0时，图象下凹，且A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，所以点C 的纵坐标是a 2＋λb 21＋λ，点C 与点C′的横坐标都是a ＋λb 1＋λ，而点C′在曲线y ＝x 2上，点C 在点C′上方，所以y C ＝a 2＋λb 21＋λ＞y C′＝(a ＋λb 1＋λ)2.y ＝ln x 的图象如图所示，图象上凸，∴y C ＜y C′，类比可得ln a ＋λln b 1＋λ＜ln a ＋λb 1＋λ(a ＞0，b ＞0)． 【答案】 ln a ＋λln b 1＋λ＜ln a ＋λb 1＋λ(a ＞0，b ＞0) 二、解答题9．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质：(1)通项a n ＝a m ＋(n －m)·d.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p .(4)S n ，S 2n /S n ，S 3n /S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．【解】 设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n .(1)通项a n ＝a m ·q n －m .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．10．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1.请在立体几何中给出四面体性质的猜想．【解】 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝(b c )2＋(a c )2＝a 2＋b 2c2＝1. 于是把结论类比到如图所示的四面体P －A′B′C′中，我们猜想：在三棱锥P －A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.11．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，设P 为底边上任意一点，P 到两腰的距离分别为h 1，h 2，B 到腰AC 的距离为h ，则h 1＋h 2＝h ，类比到空间：在等腰四面体ABCD(对棱分别相等)中，有什么类似的结论？并给出证明．【解】 类比可得到如下结论：在等腰四面体ABCD 中，设P 为底面上任意一点，P 到三个侧面的距离分别为h 1，h 2，h 3，B 到侧面ACD 的距离为h ，则h 1＋h 2＋h 3＝h.证明：连结PA，PB，PC，PD，易知△ABC≌△ACD≌△ABD，记它们的面积都是S，则四面体ABCD的体积V A—BCD＝13Sh1＋13Sh2＋13Sh3＝13Sh.故h1＋h2＋h3＝h.。

类比推理 同步练习1. 将下列平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立。

（1） 如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交。

（2） 如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线相互平行。

2. 根据三角形的性质，推测空间四面体的性质，（3） 三角形的两边之和大于第三边；（4） 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆圆心。

3. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是____________________。

（1）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； （2）各面都是全等的正三角形，相邻两个面所成二面角都相等； （3）各面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

4. 在ABC ∆中，射影定理可以表示为B c C b a cos cos +=，其中c b a ,,依次为角C B A ,,的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想。

5. 在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式),19(*192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++-成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式__________________________成立。

6. 若+∈R a a 21,，则有不等式221222122⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+a a a a 成立，请你类比推广此性质。

参考答案1. （1）如果一个平面和两个平面中的一个相交，则必和另一个相交。

结论是正确的。

（2）如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行。

结论错误。

2. （1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心。

3 （1）（2）（3）。

4. 四面体ABC P -中，S S S S ,,,321分别表示面ABC PAC PBC PAB ∆∆∆∆,,,的面积，γβα,,依次表示面PAB 、面PBC 、面PAC 与底面面ABC 所成的二面角大小，则空间中的射影定理可表示为：γβαcos cos cos 321S S S S ++=。

1、由两类对象具有______________和其他一类对象的_________________，推出另一类对象也具有__________________的推理称为类比推理（简称_________）.简言之，类比推理是由________________的推理.2. 根据_________推演出_______ ____的结论，这样的推理通常称为类比推理. 类比推理的思维过程大致是：3 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。

类比角度 实数的加法实数的乘法运算 结果运算律逆运算圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点00(,)x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为22200()()x x y y r -+-=.类比推理的基本形式： ∵A 类事物具有性质a,b,c,d;B 类事物具有性质a′,b′,c′; 性质a,b,c 与 a′,b′,c′相同或相近； ∵B 类事物具有性质d′.4、 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 三角形的面积为1()2S a b c r =++（r 为三角形内切圆的半径）变式 用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 5．归纳推理定义特征归纳推理由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理归纳推理是由 ，由 的推理6、归纳推理与类比推理都是根据_____________，经过____________、_______________、_______________、__________________，再进行_______________、________________，然后提出_______________的推理，我们把他们统称为合情推理，通俗的说，合情推理是指“________________”的推理.6、演绎推理（1）从__________________出发，推出___________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由___________的推理．（2）演绎推理与合情推理的主要区别与联系（i）合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由________到________、________到________的推理，类比是由________到________的推理；而演绎推理是由________到________的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．（ii）人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．（iii）就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．（3）三段论（i）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的________；②小前提——所研究的________；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________．其一般推理形式为大前提：M是P.小前提：S是M.结论：________.（ii）利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么___________________________.（iii）为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的________作为下一个三段论的前提．7、其他演绎推理形式（1）假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”．（2）关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等．注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．（3）完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．归纳推理是由到的推理；类比推理是由到的推理；演绎推理是由到的推理。

第2课时类比推理一、选择题1.下列说法正确的是（）A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得岀的结论无法判定正误［答案］B［解析］由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合盾推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.2.下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°,四边形内角和是360。

，五边形内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是02 — 2）.180。

A.①②B.©©④C.①②④D.②④［答案］C［解析］①是类比推理;②④都是归纳推理,都是合情推理・3.三角形的面积为S=^a+b+c)-r, a. b、c为三角形的边长, 厂为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( ) 1A.V=^abcB・V=lshc. V=|(51+S2+S3+54)r, (Si、S2> S3、S4分别为四而体四个而的而积，厂为四面体内切球的半径)D. V=ac)h(h为四而体的高)［答案］C［解析］边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径・故应选C.4.类比平而内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四而体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个而都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二而角都相等③各个而都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A.①B.①②C.①②③D.③［答案］C［解析］正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对・5.类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四而体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个而的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个而而积的扌(3)四面体的六个二而角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A.(1)B.⑴⑵C.⑴⑵⑶D.都不对［答案］C［解析］以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不—定正确.6.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：① a mn=mn v 类比得到“a b=b a"；② a (m+n)t=mt+nt ff 类比得到"(a+〃) c=a c+〃 c” ；③ a(m-n)t=m(n ^ 类比得到 “(a b) c=a (b c)” ；④ "fHO, mt=xt=>m=x v 类比得到"pHO, a p=x p=>a=x^ ；⑤ “1加・別=1加l"l”类比得到“0上l = lal ・l 〃l” ；⑥ 类比得到“壯畔” • 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4［答案］B［解析］由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.7. (2010-浙江温州)如图所示,椭圆中心在坐标原点, F为左焦点，当滞丄皿时，其离心率为耳二，此类椭圆 被称为“黄金椭圆”・类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率£等于()C.V5-1D.V5+1 A. 址+1 ~2TB. 逅一 1 2［答案］A［解析］如图所示，设双曲线方程为芋•荒1(6/>0 , Z?>0),则F( - c,0) , B(0, b) , A@,0)/.F& = (c , b) ,AB-(-a, b)又•・•滞丄皿,・= ■心=0/• c2 - t/2 - tzc = 0：•$ ・ e ・ 1 = 0占或占(舍去),故应选A.8.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六而体.如图甲，在平行四边形ABD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙中所示的平行六而体ABCD-AiBiCiDi中，ACy+BDHCA］+DB^于()A.2(/1B2+AD2+A4T)B.3(AB2+AD2+/L4T)C.4(AB2+AD2+/L4T)D.4(AB2+AD2)［答案］C［解析］AC T +BD T +CA T +£>B T=(ACT + CAT)+(BD T +DBb=2(AA T + AC?) + 2(BB? + BD2)=4AA T +2(AC2 + BD1)=4AA T + 4AB2 + 4AD2 ,故C.9.下列说法正确的是()A.类比推理一定是从一般到一般的推理B.类比推理一定是从个别到个别的推理C.类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D.类比推理是从个别到一般的推理［答案］C［解析］由类比推理的定义可知:类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C.10.下而类比推理中恰当的是()A.若““3="3,贝lj a=b ff类比推出“若° 0=b 0,则u=b”B.u{a+b)c=ac+bc>f类比推出“(*b)c=uc・bc”C.a{a+b)c=ac+bc>f类比推出“乎二学+弓⑺工。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作类比推理同步练习【选择题】1、对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为（）”。

A、定值B、变数C、有时为定值、有时为变数D、与正四面体无关的常数2、关于类比推理，下列说法正确的是A、类比推理一定正确B、类比推理一定错误C、类比推理是一般到特殊的推理D、类比推理是特殊到特殊的推理【填空题】3、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC∆的两边AB、AC互相垂直，则2BC22AB=+.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面AC面积与底面面积间的关系，可能得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD”的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则______________4、三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形围成的最简单的封闭图形，三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形，四面体可看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各完成下表：5、已知等式4330sin 30sin 30sin 30sin 22=︒⋅︒+︒+︒ 4340sin 20sin 40sin 20sin 22=︒⋅︒+︒+︒ 请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______________.【解答题】6、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立.（1）如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交。

（2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。

7、找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质：（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；（2）与圆心距离相等的两弦相等； （3）圆的周长d d C (π=是直径)；（4）圆的面积2r S π=.8、在ABC ∆中，射影定理可表示为B c C b a cos cos +=，其中c b a ,,依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想。

卜人入州八九几市潮王学校第四高二数学归纳推理
与类比推理程度测试
一、自学导引
1、在数列{}n a 中，*1121,()2n
n n
a a a n N a +==
∈+试猜想这个数列的通项公式。

2、探求凸多边形的面数F ，顶点数V 和棱数E 之间的关系：
归纳、猜想对于一般的凸n 面体的面数F 、顶点数V 、棱数E 的关系是。

3、对于任意的正整数n ，猜想1
2n -与2
(1)n +的大小关系。

4、类比圆与球的概念与性质：
5、从运算性质的角度，类比实数的加法和乘法：
二、应用探究：
1、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体的猜想。

三边的长分别为三边的关系：试证明你猜想的结论。

三、反响与练习
1、数列{}n a 的前n 项和为n S ，12
3a =-，满足12(2)n n n
S a n S ++=≥，计算1S 、2S 、3S ，并猜想n S 的表达式。

2、在等差数列{}n a 中，假设100a =，那么有
*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=++
+<∈且成立。

类比上述性质，在等比数列
{}n b 中，假设91b =，那么存在怎样的等式？。

1．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则．类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （4,3,2,1=i ），此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （4,3,2,1=i ），若k a a a a ====43214321，则kS h h h h 24324321=+++．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为i S （4,3,2,1=i ），此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i H （4,3,2,1=i ），若K S S S S ====43214321，则4321432H H H H +++等于（ ）A ．2V KB ．2V KC ．3V KD ．3V K3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ）A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．传递性推理4．我们知道，在边长为a a ，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（ ）A 5．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（ ）A ．三棱柱B ．三棱台C ．三棱锥D ．正方体6．平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）A ．3aB ．4aC ．3D ．4a 7．天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理（ ）A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．反证法8．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.联想推理9．下列推理是归纳推理的是（ ）Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由13,11-==n a a n ，求出321,,S S S 猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆222r y x =+的面积π2r ，猜想出椭圆12222=+b y a x 的面积π=S ab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇10．下列正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是由个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤11．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab)c ＝a(bc)”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．13．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点14．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体A BCD -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A ．14B ．18C ．116D ．12715．已知结论:“在正ABC ∆中，BC 中点为D ，若ABC ∆内一点G 到各边的距离都相等,则2=GDAG ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OM AO （ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．416．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比 “若数列{}n b 为等比数列，则有151********b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论A. 只有①正确B. 只有②正确C. 都正确D. 都不正确17．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）A ．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:818．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形19．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）A. 归纳推理B. 类比推理C. 演绎推理D.以上都不是20．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S l ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3V S”； 乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r ＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝3”．这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对C ．甲对、乙错D ．两人都错21．求“方程345x x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程x xx x 1133+=+的解为 ． 22．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．23．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有n n a a a a a a -+++=+++192121)19(*∈<N n n ，且成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则存在的类似等式为________________________．24．半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．25．已知圆的方程是222r y x =+，则经过圆上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+类比上述性质，可以得到椭圆12222=+b y a x 类似的性质为________．26．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r________________________ 27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则4T , ， ，1612T T 成等比数列．28．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=b ，BC=a ，斜边AB 上的高为h ，则有结论h 2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论： ．29．已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为cr 21、ar 21、br 21，由br ar cr S 212121++=得cb a S r ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________30．已知点),(),,(2121x x a x B a x A 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点)sin ,(),sin ,(2211x x B x x A 是函数)),0((sin π∈=x x y 的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．31．如图(1)有面积关系：PA B PAB S S ''∆∆＝PA PB PA PB''⋅⋅，则图(2)有体积关系：P A B C P ABC V V '''--＝________.32．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有222b a c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．33．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．34．在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空间中：（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ；（2）到已知平面相等的点的轨迹是 .35．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ；类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．36．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，且通项为1(1)2n S d a n n =+-⋅．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ．37．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为（-1，2），解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为（-1，2），得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为（-2，1），即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为（-2，1）参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x b x a x k 的解集为（-1， 31-） （21，1），则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为________________ 38．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．39．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．40．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：_____________________．42．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为“半径为R 的球内接六面体中以 的体积为最大，最大值为 ”43．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径CS r 2=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______________________。

§1归纳与类比1．2类比推理双基达标(限时20分钟)1．下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的是()．A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形答案 C2．下面几种推理是类比推理的是()．A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4 －2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除答案 B3．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36 颗珠子应是什么颜色()．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析由图知，三白两黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36 颗珠子的颜色与第1颗珠子的颜色相同，即白色．答案 A4．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题__________________________________________________________________________________________.答案夹在两平行平面间的平行线段相等5．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等．类似地写出空间正四面体的两条性质：①__________________________________________________________；②__________________________________________________________.答案①三个侧面与底面构成的二面角相等②四个面都全等(答案不唯一)6．就任一等差数列{a n}，计算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，可得a7＋a10＝a8＋a9.同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差数列{a n}，若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m＋a n＝a p＋a q成立．类比等差数列，可得等比数列{a n}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m·a n＝a p·a q成立．综合提高(限时25分钟)7．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可推知扇形面积公式S扇等于()．A.r22 B.l22C.lr2D．不可类比解析我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r，∴S扇＝12lr.答案 C8．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()．A．V＝13abcB．V＝1 3ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)解析△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A BCD的内切球球心为O，连结OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案 C9．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝2Sa＋b＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝________.答案3VS1＋S2＋S3＋S410．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．解析 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数52n ，n 为偶数.答案 3 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数52n ，n 为偶数11．观察：①tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1，②tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．解 观察得到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，猜测推广式子为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ均不为k π＋π2，(k ∈Z )，则 tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明：由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ，∵tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－γ＝cot γ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝cot γ(1－tan αtan β)∴tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)cot γ＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.12．(创新拓展)定义一种“”运算，对于n∈N*满足下列运算性质：①2 2 010＝1，②(2n＋2) 2 010＝3·[(2n) 2 010]．试求2 010 2 010的值．解由已知得：(2×1) 2 010＝1，(2×2) 2 010＝(2×1＋2) 2 010＝3[(2×1) 2 010]＝3，(2×3) 2 010＝(2×2＋2) 2 010＝3[(2×2) 2 010]＝32，…(2×n) 2 010＝[2×(n－1)＋2] 2 010＝3[2×(n－1) 2 010]＝3n－1，故2 010 2 010＝(2×1 004＋2) 2 010＝3[(2×1 004) 2 010]＝31 004.。