2014海淀区高二第二学期期中考试数学文科

2014海淀区高二（下）期中数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，共32分.1．（4分）已知复数z=1﹣i，那么|z|=（）A．0 B．1 C．D．22．（4分）下列推理正确的是（）A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．已知三个不同的平面α，β，γ，如果α⊥β，β⊥γ，那么α⊥γC．已知非零向量，，，如果?=?，那么=D．如果复数z满足z2＞0，则z∈R3．（4分）如图结构图中，框①，②处分别填入（）A．l?α，l⊥αB．l?α，l与α相交C．l?α，l⊥αD．l?α，l与α相交4．（4分）下面是一段“三段论”推理过程：若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f′（x）＞0恒成立．因为f（x）=x3在（﹣1，1）内可导且单调递增，所以在（﹣1，1）内，f′（x）=3x2＞0恒成立．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．结论正确D．推理形式错误5．（4分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数6．（4分）在独立性检验中，统计量Χ2有两个临界值：3.841和6.635；当Χ2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ2≤3.841时，认为两个事件无关．调查者通过询问50名男女大学生在选修课程时是否选择“统计学”课程，得到数据如下表：不选统计学选统计学男1310女720根据表中的数据，得到Χ2=≈4.844．根据这一数据分析，认为大学生的性别和是否选修“统计学”课程之间（）A．有95%的把握认为两者有关B．约有95%的选修“统计学”课程的学生是女性C．有99%的把握认为两者有关D．约有99%的选修“统计学”课程的学生是女性7．（4分）若定义运算：；，例如2?3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a?b=b?a B．（a?b）?c=a?（b?c）C．（a?b）2=a2?b2D．c?（a?b）=（c?a）?（c?b）（c＞0）8．（4分）已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2a n=39（n∈N*），那么数列{a n}的前50项和S50的最小值为（）A．637 B．559 C．481+25D．492+24二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）在复平面内，复数i（1﹣i）对应的点的坐标是．10．（4分）观察下列等式：+i=cos+isin，（+i）2=cos+isin，（+i）3=cosπ+isiπ，（+i）4=cos+isin，…照此规律，可以推测对于任意的n∈N*，（+i）n=．11．（4分）在平面直角坐标系中，若向量=（x1，y1），=（x2，y2）且⊥，则x1x2+y1y2=0．把上述结论类比推广到空间：在空间直角坐标系中，若向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），且⊥，则．12．（4分）已知+2=bi（a，b∈R，i为虚数单位），那么a+bi的共轭复数为．。

数 学（文科）学校___________ 班级 姓名 成绩 ___本试卷共100分,考试时间90分钟.一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中，其导数值在其定义域上恒小于零的是（） A. xy e = B. 2y x =- C. 1y x=D. 2log y x = 2.曲线1)(2--=x x x f 在点))0(,0(f 处的切线的斜率为（）A. 1B. 0C. 2D.1-3.某车站旁的小卖部为了了解热茶销售量与日均气温之间的关系，随机抽取了6天的记录数据（日均气温在[1,20]-内），获得回归直线方程为 2.0160y x =-+，则下列说法中不正确的是（）A ．日均气温为7C 时，预估售出热茶的杯数约为46杯B ．日均气温每上升1C ，售出热茶的杯数平均减少2杯 C ．日均气温每上升1C ，售出热茶的杯数平均增加2杯D ．以该回归方程得到的售出热茶杯数的预估值与实际值也可能存在较大偏差 4.函数)(x f的图象可能为（）5.观察下列各等式：312555=，1562556=，7812557=，…，则20135的末四位数字是（）A. 3125B. 5625C. 8125D. 06256.已知下列命题： <②三角形ABC 的三个内角满足sin sin sin A B C +>； ③存在等比数列{}n a 满足1322a a a +=成立. 其中所有正确命题的序号是（）AA.①B.①②C.②③D. ①②③7.若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入右图的容器，则容器中水的高度h 与时间t 的函数关系的图象是（）8.若函数b ax x x f ++=3)(有三个零点，分别为123,,x x x ,且满足11<x ,12=x ,13>x ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(,2)-∞-D ．(,3)-∞- 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.某路口的红绿灯设定如下：红灯的时间为40秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒.假如你到达路口的时刻是随机的，则当你到达路口恰逢黄灯的概率是_________.10.曲线32()f x x x =-过点．．（1,0）的切线有__________条. 11.右图是依据1981～2001年我国出口贸易量E x （亿美元）的原始数据画的散点图.给出下列经验公式：①y ax b =+②2y ax b =+③bxe a y ⋅=请依据该散点图的特征，指出拟合程度最不好．．．的经验公式的序号：__________.12.函数sin y ax x =-是单调递增函数，则实数a 的取值范围_____________.13.函数ln xy x=在点x e =处的瞬时变化率为__________. 14.已知函数()3xf x x =+,构造如下函数序列()n f x :()()1[]n n f x f f x -=（*∈N n ，且2≥n ）,其中()1()f x f x =，()0>x ，则3()f x =_______________，函数()n f x =_______________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题共10分)t hO A t h O B t h O C thOD已知函数32()f x x ax bx c =-++在0x =处取得极大值．．．1.求实数b ,c 的值和实数a 的取值范围.16.（本小题共10分）已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝2，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，…， （I ）写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；（II ）设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．17.(本小题共12分)已知四面体ABCD 中，DC BD ⊥，22AB AD DC ===.AD ⊥平面EFGH ，且//AB 截面EFGH ，//CD 截面EFGH .（I ）求证：//GF CD ，//AB GH ； （II ）求证：GF ⊥平面ABD ；（III ）设GD x =，求四棱锥D EFGH -的体积()V x 的最大值.18.（本小题共12分）已知函数2()()xf x x kx k e =++，（I ）若函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，求实数k 的取值范围； （II ）求函数()f x 的单调区间.海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4BD一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9． 11710．2 11．① 12．1a ≥13．0 14．()31327xf x x =+； ()3132n n nx f x x =-+ (每空2分)三、解答题：本大题共4小题，共44分.15.解：2'()32f x x ax b =-+ …………………………..2分.()f x 在0x =处取得极大值1(0)1'(0)0f f =⎧∴⎨=⎩，所以1,0c b == …………………………..5分 2'()32(32)f x x ax x x a ∴=-=-令'()0f x =得203或ax x == …………………………..6分①若0a >，则()f x 和'()f x 情况如下：②若0a <，则()f x 和'()f x 情况如下：分 综上讨论可得0a >满足题意. 16.解：（I ）12(3)2n n n x x x n --+=≥ .....................................2分（II ）10x =，22x =，3211()12x x x =+=，43213()22x x x =+=1212a x x ∴=-=，2321a x x =-=-，34312a x x =-= (4)分推测12(2)n n a -=- (6)证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=-121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=-………………………….9分{}n a ∴是以2为首项，以12-为公比的等比数列.故11122()2(2)n n n a --=⋅-=- ………………10分17.（I ） //CD 截面EFGH 且CD ⊂平面ADC ，平面ADC 截面EFGH GF =∴ //GF CD ………………………2分 同理可证//AB GH ………………………3分（II ）DC BD ⊥，//GF CD GF BD ∴⊥ ………………………4分 AD ⊥截面EFGH ，AD GF ∴⊥ ………………………5分 又BD AD D = GF ∴⊥平面ABD ……………………….7分 （III ） 由（I ）知//GF CD ，//AB GH同（I ）的证明方法可得，//AB EF ，//HE CD ∴//GH EF ，//HE GF∴ EFGH 是平行四边形 ……………………….8分 又GF ⊥平面ABD ，GF GH ∴⊥∴ EFGH 是矩形 …………………………9分在ABD ∆中，GH GDAB AD =，∴GH GD x == 在ACD ∆中，GF AG DC AD=，∴22xGF -= ∴2=2矩形EFGH xS GH GF x -⋅=⋅AD ⊥平面EFGH ∴GD 是四棱锥D EFGH -的高∴ 四棱锥D EFGH -的体积()V x 32121(2)3326矩形EFGH x x GD S x x x -=⋅=⋅⋅=-+，(0,2)x ∈ ……………..10分则21'()(34)6V x x x =-+令'()0V x =得0x =（舍）43或x =………………………11分 当403x <<时，'()0V x >，()V x 在4(0,)3上单调递增；当423x <<时，'()0V x <，()V x 在4(,2)3上单调递减，∴max 41641616()()(2)3627981V x V ==-+⨯= …………………….12分18.解：22'()(2)()(22)x x xf x x k e x kx k e x kx x k e =++++=+++……………....2分整理得'()()(2)xf x x k x e =++ ……………………………..3分（1）若函数()f x 在(0,1)上单调递减，则在(0,1)x ∈上'()0f x ≤， 由于0x e >∴当(0,1)x ∈时，有()(2)0x k x ++≤由二次函数()(2)y x k x =++的图像可知，1k -≥，即1k ≤-时满足题意………5分 （2）若2k >，有2k -<-，则当(,)x k ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 当(,2)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(2,)x ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； ………………………………8分 若2k =，则2'()(2)0xf x x e =+≥，且仅当2x =-时'()0f x =，所以函数()f x 单调递增； ..…………………………9分 若2k <，有2k ->-，则当(,2)x ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 当(2,)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(,)x k ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； (12)分综上，当2k >时，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(2,)-+∞，单调递减区间是(,2)k --；当2k =时，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2k <时，函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(,)k -+∞，单调递减区间是(2,)k --.。

参考答案卷Ⅰ1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．B 8．C 9．1 1 10．ln2－1 11．n+(n+1)+(n+2)+…+(3n―2)=(2n―1)212．②13．解：（1）121111131314a a a a +====++；232114331714a a a ===++ 3431173311017a a a ===++ （2）猜想：132n a n =- 证明：①当n=1时，11132n a a ===-，成立。

②假设当n=k （k ＞1且k ∈N*）时，132k a k =-成立。

则n=k+1时，11113233132331132k k k a k a a k k k +-====+-+++- 又∵111313(1)2k a k k +==++- 当n=k+1时也成立。

∴由①②得，N*n ∀∈，132n a n =-成立。

14．解：（1）当a=3时，3211()632f x x x x =-++，∴D ：x ∈R ∴2'()6(3)(2)f x x x x x =-++=-++ 令'()0f x >，则－2＜x ＜3则：x ，'()f x ，()f x 变化如下表：∴()f x 在（－∞，－2），（3，+∞）上递减，在（－2，3）上递增。

（2）2'()2f x x x a =-++∴若令2'()20f x x a a =-++= 则Δ=b2－4ac=1+8a ；a ∈（0，2），则Δ＞0 ∴x ==∵a ∈（0，2），则1+8a ∈（1，17）1(2∴若4<，则()f x 在[1，4]上单调增，min 1116()(1)2323f x f a ==-++=- ∴此时114a =-，不合题意，舍。

∴14<<，即()f x 在上单增，在4]上单减。

∴min 1116()(4)64168323f x f a ==-⨯+⨯+=- ∴a=12=，符合条件。

北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高二文科数学试卷(考试时间：100分钟 总分：100分) 2015．4．本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共60分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-2． “1a >”是“函数()2(01)x f x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3.已知命题p :(0,),32x x x ∀∈+∞>；命题q :(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝4．若10<<x ，则函数()()x x x f -=1的最大值为A. 1 B ．41 C ．21 D ．2 5．若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为A ．27-B ．2-C ．1D ． 25 6．设212=a ，313=b ，3log 2c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= A ．1 B ．2 C ．i - D ．i8．函数2()log (6)f x x -的定义域是A ． {}|6x x >B ． {}|36x x -<<C ． {}|3x x >-D ． {}|36x x -<≤9．奇函数()x f 在(,0)-∞上单调递增，若()01=-f ,则不等式()0<x f 的解集是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,0)(1,)-+∞ 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()1f a =，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第二部分（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡上.11．半径为r 的圆的面积()2r r S ⋅=π，周长()r r C ⋅=π2．若将r 看作()+∞,0上的变量，则有()r r ⋅=⋅ππ2'2①，①式可用语言叙述为“圆的面积函数的导数等于圆的周长函数”．对于半径为R 的球，若将R 看作()+∞,0上的变量，请你写出类似于13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .14．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．15．复数(2i)i z =-的虚部是 .16．已知()()()()221log 1a x a x f x x x a +-=⎧<⎨⎩≥是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（本小题满分8分）已知函数()()3122--+=x a x x f ． ()1当2=a ，[]3,2-∈x 时，求函数()x f 的值域；()2如函数()x f 在[]3,1-上的最大值为1，求实数a 的值．18．（本小题满分6分）给定函数()xx x f 1lg 2+=，完成下列问题：()1指出函数的奇偶性；（必须说明理由）()2指出函数的单调区间；（必须说明理由）()3该函数是否存在最值？如存在，求出该最值．19．（本小题满分10分）已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g . （I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值；（II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1(、F 20)的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线l ：y kx =C 交于不同的两点P 和Q ． （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在常数k ，使0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）2014.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.B2.B3.C4.C5.A6.D7. C8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 1 10. 方案三11. 35,712. ③,2()817f x x x=-+13. 15214.π[0,)2{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成π(0,)2不扣分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.解：（Ⅰ）ππππ()sin sin()6663f=-----------------------------------1分ππsin sin()66=-----------------------------------2分ππsin sin66=+---------------------------------3分π2sin16==---------------------------------4分（Ⅱ）1()sin sin22f x x x x=-+---------------------------------6分1sin2x x=+sin()3xπ=+--------------------------------8分因为ππ22x-≤≤所以ππ5π636x-≤+≤--------------------------------10分所以1πsin()123x -≤+≤ --------------------------------12分所以()f x 的取值范围是1[,1]2- --------------------------------13分16.解：(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A55()10.45100P A =-= --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机 ，选出两人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 共7种.记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M ，则7()0.710P M == --------------------------------13分 17.解：（Ⅰ）因为D ,M 分别为,AC BD 中点，所以DM //EF ---------------------2分 又1EF A EF ⊂平面，1DM A EF ⊄平面所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分 （Ⅱ）因为1A E BD ⊥，EF BD ⊥且1A EEF E =所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分 又11A F A EF ⊂平面所以1BD A F ⊥ ------------------------9分（Ⅲ）直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A BDBCD BD =平面平面,EF BD ⊥,EF CBD ⊂平面，所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分 因为11A B A BD ⊂平面，所以1A B EF ⊥， 又因为//EF DM ，所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥，因为1A B DM ⊥，CDDM D =，所以1A B BCD ⊥平面， ------------------------------------------13分 所以1A B BD ⊥，这与1A BD ∠为锐角矛盾所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分18.解：(Ⅰ) 定义域为()0,+∞ ------------------------------------1分'()ln 1f x x =+ ------------------------------------2分令'()0f x =，得 1ex =------------------------------------3分 '()f x 与()f x 的情况如下：分所以()f x 的单调减区间为1(0,)e ，单调增区间为1(,)e+∞--------------------------6分 (Ⅱ) 证明1：设1()ln g x x x=+，0x > ------------------------------------7分 22111'()x g x x x x-=-= -------------------------------8分 '()g x 与()g x 的情况如下：所以()(1)1g x g ≥=，即 1ln 1x x+≥在0x >时恒成立， ----------------------10分 所以，当1k ≤时，1ln x k x+≥， 所以ln 1x x kx +≥，即ln 1x x kx ≥-，所以，当1k ≤时，有()1f x kx ≥-. ------------------------13分 证明2：令()()(1)ln 1g x f x kx x x kx =--=-+ ----------------------------------7分'()ln 1g x x k =+- -----------------------------------8分令'()0g x =，得1e k x -= -----------------------------------9分'()g x 与()g x 的情况如下：分()g x 的最小值为11(e )1e k k g --=- -------------------11分当1k ≤时，1e 1k -≤，所以11e 0k --≥故()0g x ≥ -----------------------------12分 即当1k ≤时，()1f x kx ≥-. ------------------------------------13分 19.解：（Ⅰ）证明：因为,A B 在椭圆上，所以2211222224,2 4.x y x y ②①ìï+=ïíï+=ïî -----------------------------------1分 因为,A B 关于点(1,0)M 对称，所以12122,0x x y y +=+=， --------------------------------2分将21212,x x y y =-=-代入②得2211(2)24x y -+= ③，由①和③消1y 解得11x =， ------------------------------------------4分 所以 121x x ==. ------------------------------------------5分 （Ⅱ）当直线AB不存在斜率时，(0,A B -，可得AB MA ==∆ABM 不是等边三角形. -----------------------6分当直线AB 存在斜率时，显然斜率不为0.设直线AB ：3y kx =+，AB 中点为00(,)N x y ，联立2224,3,x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)12140k x kx +++=， ------------------7分2221444(12)143256k k k ∆=-+⋅=-由0∆>，得到274k >① -----------------------------------8分 又1221212kx x k -+=+, 1221412x x k⋅=+ 所以0002263,31212k x y kx k k -==+=++， 所以 2263(,)1212k N k k-++ -------------------------------------------10分 假设∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， 又因为(1,0)M ，所以1MNk k ⨯=-， 即2231216112k k kk +⨯=---+， ---------------------11分 化简 22310k k ++=，解得1=-k 或12k =----------------12分 这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意k 不能使得⊥MN AB ,故∆ABM 不能为等边三角形. ------------14分 20.解：（Ⅰ）有序整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列.-------------------------1分理由如下：由题设可知 1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(2,3)(33)B B B B ==-，，, 因为 12120=A A B B ,23230=A A B B 所以 12122323⊥⊥A A B B A A B B ，.所以整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列. ----------------------------3分 （Ⅱ）证明 ：由题意可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B B B B B B λλλ=-==-，,123λλλ∈，，Z 因为1144,与与A B A B 相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9①3+3+3=1②因为λλλ∈123，，Z ，方程②不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列.----------8分 （Ⅲ）存在无正交点列的整点列(5)A . -------------------------------------------9分当5n =时，设1(,),,,i i i i i i A A a b a b +=∈Z 其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,4i = 若有序整点列12345,,,,B B B B B 是点列12345,,,,A A A A A 的正交点列, 则1(,),1,2,3,4i i i i i B B b a i λ+=-= ，由441i+1=11+==∑∑i i i i i A AB B得44=1144=11,.i i i i i i i i i i b a a b λλ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①②取1,(0,0)A =3,1,2,3,4i a i =,12342,1,1,1b b b b ==-==- 由于12345,,,,B B B B B 是整点列，所以有,1,2,3,4i i λ∈=Z .等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列(5)A . -----------------------------------13分。

北京四中2014年下学期高二期中考试数学试卷（文） 有答案试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（Ⅰ）《选修1－1》一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线x 2=－8y 的焦点坐标为A. （0，－4）B. （0，－2）C. 1(0,)16-D. 1(0,)32- 2．下列函数求导运算正确的个数为 ①(21)'2x -=；②21(log )'ln 2x x =⋅；③()'x x e e =；④(cos )'sin x x = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．函数()2cos f x x x =+在[0，π]上的极大值点为 A.12π B. 6π C. 3π D. 2π4．下列命题中，是假命题的是A ．如果x<2，则x<3B ．3+6=8或3+6=9C ．2,0x R x ∀∈> D. *x N ∃∈，使x 既是质数又是偶数5．若偶函数f （x ）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，f （x ）在（0,+∞）上的图象如图所示，则不等式f （x ）f'（x ）>0的解集是A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)-+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (1,0)(0,1)-6．若ln (),3xf x a b x=<<，则 A ．()()f a f b > B ．()()f a f b = C ．()()f a f b < D ．()()1f a f b >7. 已知抛物线22y x =上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，若1212x x =-，则m 的值为A.23 B. 2 C. 52 D. 328. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致可能为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 若命题2:,2p x N x x ∃∈=+，则p ⌝为： 。

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）2014.04学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数i(i 2)z =+的虚部是 ( ) （A ）2- （B ）2 （C ）2i - （D ）2i （2）计算e 11d x x⎰的结果是 （ ）（A ）e （B ）21e -- （C ）1 （D ）e 1-（3）已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，那么下面判断正确的是 ( )（A ）在(3,1)-内()f x 是增函数 （B ）在(1,3)内()f x 是减函数 （C ）在(4,5)内()f x 是增函数 （D ）当2x =时，()f x 取得极小值（4）已知函数()f x 和()g x 在区间[,]a b 上的图象如图所示，则下列说法正确的是 （ ） （A ）()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率（B ）()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b 之间的平均变化率 （C ）对于任意0(,)x a b ∈，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率 总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率（D ）存在0(,)x a b ∈，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率（5）用反证法证明命题“已知,,,A B C D 是空间中的四点，直线AB 与CD 是异面直线，则直线AC 和BD 也是异面直线．”应假设 （ ） （A ）直线AC 和BD 是平行直线 （B ）直线AB 和CD 是平行直线 （C ）直线AC 和BD 是共面直线 （D ）直线AB 和CD 是共面直线（6）已知函数()sin f x x x =，记1()2m f =-，1()3n f =，则下列关系正确的是（ ）（A ）0m n << （B ）0n m << （C ）0m n << （D ）0n m <<（7）已知曲线在点处的切线方程为，设函数()(21)f x g x =-，则曲线在点处切线方程为 （ ） （A ）21y x =+ （B ）41y x =- （C ）21y x =- （D ）41y x =+（8）已知定义在R 上的函数f x ()的导函数为f x '()，且满足f x f x '>()()，则下列结论正确的是 （ ） （A ）f f >(1)e (0)（B ）f f <(1)e (0) （C ）f f >(1)(0) （D ）()()10<f f 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）函数()2ln f x x x =-的单调递增区间是______________.（10）已知复数z 满足2z ≤，则复数z 在复平面内对应的点Z 的集合构成的图形的面积是_______.（11）曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积是____________.（12）设正三棱柱（底面为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为 . （13）观察不等式：111223++<，11113237++++<，111142315++++<，111152331++++<，…，由此归纳第n 个不等式为______________________________，要用数学归纳法证明该不等式，由(1)n k k =≥时不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数为___________.（14）根据“已知点0(,0)A a 是圆22122:1x y C R R+=外一定点，设不垂直于x 轴的直线l 与圆1C 交于,P Q 两点，若x 轴是PAQ Ð的平分线，则直线l 过定点20'(,0)R A a ”，通过类比可推知“已知点0(,0)B b 是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>外一定点，设不垂直于x 轴的直()y g x =(1,(1))g 21y x =+()y f x =(1,(1))f线'l 与椭圆2C 交于','P Q 两点，若x 轴是''P BQ Ð的平分线，则直线'l 过定点'B ”.（将点'B 的坐标填入前面的横线上）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E是棱P A 的中点，PD BC ^. 求证：（Ⅰ）PC ∥平面BED ； （Ⅱ）PBC ∆是直角三角形.(16)（本小题共11分）已知函数()332()f x ax x a R =++?的一个极值点是1. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[2,3]-上的最大值和最小值. (17)（本小题共12分）已知函数()e a x f x -=，其中e 是自然对数的底数，. （Ⅰ）求函数()()g x xf x =的单调区间；（Ⅱ）试确定函数()()h x f x x =+的零点个数，并说明理由. (18)（本小题共11分）在平面直角坐标系中，有一条折线12n C A A A ---：，若能再作出折线1231'n n C A B B B A ------：，使得1212232311,,,n n n n A B A A B B A A B A A A --⊥⊥⊥，（其中123231,,,,,,,,n n A A A A B B B -都是整点），则称折线C ＇是折线C 的一条共轭折线.（说明：横、纵坐标均为整数的点称为整点） （Ⅰ）请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条共轭折线；a ∈R AEB CDP（1） （2） （Ⅱ）试判断命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”的真假，并举例说明；备用图（Ⅲ）如图，折线1234C A A A A ---：，其中，12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A .求证：折线C 无共轭折线.。

北京市海淀区2012-2013学年高二数学下学期期中试题文（扫描版）海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9． 11710．2 11．① 12．1a ≥ 13．0 14．()31327x f x x =+； ()3132n n nx f x x =-+ (每空2分)三、解答题：本大题共4小题，共44分. 15.解：2'()32f x x ax b =-+ …………………………..2分.()f x 在0x =处取得极大值1(0)1'(0)0f f =⎧∴⎨=⎩，所以1,0c b == …………………………..5分 2'()32(32)f x x ax x x a ∴=-=-令'()0f x =得203或a x x == …………………………..6分 ①若0a >，则()f x 和'()f x 情况如下：②若0a <，则()f x 和'()f x 情况如下：分 综上讨论可得0a >满足题意.16.解：（I ）12(3)2n n n x x x n --+=≥ .....................................2分 （II ）10x =，22x =，3211()12x x x =+=，43213()22x x x =+= 1212a x x ∴=-=，2321a x x =-=-，34312a x x =-= ………………4分 推测12(2)n n a -=- (6)分证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=- 121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=-………………………….9分{}n a ∴是以2为首项，以12-为公比的等比数列. 故11122()2(2)n n n a --=⋅-=- ………………10分17.（I ） //CD 截面EFGH 且CD ⊂平面ADC ，平面ADC 截面EFGH GF =∴ //GF CD ………………………2分 同理可证//AB GH ………………………3分 （II ）DC BD ⊥，//GF CD GF BD ∴⊥ ………………………4分AD ⊥截面EFGH ，AD GF ∴⊥ ………………………5分又BD AD D = GF ∴⊥平面ABD ……………………….7分 （III ） 由（I ）知//GF CD ，//AB GH同（I ）的证明方法可得，//AB EF ，//HE CD∴//GH EF ，//HE GF∴ EFGH 是平行四边形 ……………………….8分 又GF ⊥平面ABD ，GF GH ∴⊥∴ EFGH 是矩形 …………………………9分在ABD ∆中，GH GD AB AD=，∴GH GD x == 在ACD ∆中，GF AG DC AD =，∴22x GF -= ∴2=2矩形EFGH x S GH GF x -⋅=⋅ AD ⊥平面EFGH ∴GD 是四棱锥D EFGH -的高∴ 四棱锥D EFGH -的体积 ()V x 32121(2)3326矩形EFGH x x GD S x x x -=⋅=⋅⋅=-+，(0,2)x ∈ ……………..10分 则21'()(34)6V x x x =-+ 令'()0V x =得0x =（舍）43或x =………………………11分 当403x <<时，'()0V x >，()V x 在4(0,)3上单调递增； 当423x <<时，'()0V x <，()V x 在4(,2)3上单调递减， ∴max 41641616()()(2)3627981V x V ==-+⨯= …………………….12分 18.解：22'()(2)()(22)x x x f x x k e x kx k e x kx x k e =++++=+++……………....2分整理得'()()(2)xf x x k x e =++ ……………………………..3分（1）若函数()f x 在(0,1)上单调递减，则在(0,1)x ∈上'()0f x ≤，由于0x e >∴当(0,1)x ∈时，有()(2)0x k x ++≤由二次函数()(2)y x k x =++的图像可知，1k -≥，即1k ≤-时满足题意………5分（2）若2k >，有2k -<-，则当(,)x k ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 当(,2)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；………………………………8分 若2k =，则2'()(2)0x f x x e =+≥，且仅当2x =-时'()0f x =，所以函数()f x 单调递增； ..…………………………9分 若2k <，有2k ->-，则当(,2)x ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 当(2,)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(,)x k ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；………………………..12分综上，当2k >时，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(2,)-+∞，单调递减区间是(,2)k --；当2k =时，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2k <时，函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(,)k -+∞，单调递减区间是(2,)k --.。

北京101中学2013－2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题单选 共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos x x +=则下列判断正确的是（ ）A. p ⌝是假命题B. q 是假命题C. p q ∨⌝是真命题D. ()p q ⌝∧是真命题 2. 若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =（ ）A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 3. 已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 函数()f x = （ ）A. 在ππ(,)22-上递增 B . 在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减 C. 在ππ(,)22-上递减 D . 在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增 5. 已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为 （ ）A. 2或7-B. 2或8-C. 1或7-D. 1或8-6. 函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A. 2sin(2)4y x π=-B. 2sin(2)4y x π=+C. 32sin()8y x π=+D. 72sin()216x y π=+7. 如果函数()=y f x 图象上任意一点的坐标(,)x y 都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是 （ ）A. ()=y f x 是区间（0，+∞）上的减函数，且x y +4≤B. ()=y f x 是区间（1，+∞）上的增函数，且x y +4≥C. ()=y f x 是区间（1，+∞）上的减函数，且x y +4≥D. ()=y f x 是区间（1，+∞）上的减函数，且x y +4≤8. 若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()=y f x 的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对[,P Q ]是函数()=y f x 的一对“友好点对”（注：点对[,P Q ]与[,Q P ]看作同一对“友好点对”）。

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2014．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）(1,1) （10）ππcosisin33n n + （11）1212120x x y y z z ++= （12）53i -+ （13）66 （14）1(,1)2，2014注：（12）若填i a b -给1分；（14）题每空2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ， 所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^.因为 PD BC ^，CD PD D =，PD Ì平面PDC ，DC Ì平面PDC ，所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ，所以 BC PC ^. ………………………10分OAEBCDP（16）（本小题满分10分）证明：充分性：假设方程()0f x =至少有一个整数根0x .则 2000x bx c ++=. ………………………2分 若0x 是奇数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾；………………………4分若0x 是偶数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾.所以 方程()0f x =无整数根.所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分条件. ……………………6分 不必要性：令1,2b c ==，方程()0f x =即220x x ++=显然无整数根，但此时c 为偶数.所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的不必要条件.综上所述，“,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分而不必要条件.………………………10分（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如图所示. ………………………2分（Ⅱ）因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是（2，3），（6，6.2）， 所以 直线l 的方程是： 6.233(2)62y x --=--，即4570x y -+=. …………………5分 （Ⅲ）由题意可设直线l 的方程为(4)5y k x =-+. ………………………6分 则维修费用的每一个观察值与直线l 上对应点的纵坐标的差的绝对值之和()3(25) 4.4(5) 5.6(5) 6.2(25)S k k k k k =--++--++-++-+2140.6k k =-+- 4.46, 020.4, 0.61, 6 4.4, 1.k k k k k k -≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩………………………9分因为 函数()S k 的单调递增区间是(0.6,)+∞，单调递减区间是(,0.6)-∞，所以 当0.6k =时，()S k 取得最小值0.8，此时直线l 的方程是35130x y -+=.………………………12分（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直；（2）是，符合定义. ………………………2分 （Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A --- ：有共轭折线”是真命题.理由如下：当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,n k k =-= ，取折线1221k C A A A ---- ：.其中(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =- ，满足2121(1,2,,21),0(1,2,,),1(1,2,,1)i i i a i i k b i k b i k -=-=-====- .则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k == ，取折线122k C A A A --- ：.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k = ，满足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-===== .折线C的共轭折线为折线122'k C B B B --- ：.其中(,)(1,2,,2)i i i B x y i k = 满足22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-= .如图所示. ………………………7分注：本题答案不唯一.（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，44B A =），设1(,)t t t t B B x y +=(1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥，得：11223312312330, 30, 30, 9, 1. x y x y x y x x x y y y +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①②③④⑤由①②③式得11223,,.3333y x y x y x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩这与⑤式矛盾，因此，折线C 无共轭折线. ………………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。