洛阳市2019-2020高二下学期期中考试文科数学试卷及其答案

2019-2020年高二下学期期中考试数学（文）试题 含答案(V)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果复数(,)a bi a b R +∈在复平面内的对应点在第二象限，则 A.0,0a b >< 0,0a b >> 0,0a b << 0,0a b <>2. 在ABC ∆中，3,2a b c ===，那么B 等于 A.030 B. 045 C. 060 D.01203. 设有一个回归方程为2 2.5y x =-，变量x 增加一个单位时，则 A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少2个单位4. 下列说法中正确的是A.合情推理就是正确的推理B. 归纳推理是从一般到特殊的推理过程 C ．合情推理就是归纳推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程 5. 某自动化仪表公司组织结构如下表，其中采购部的直接领导是A ．副总经理（甲）B ．副总经理（乙）C ．总经理D ．董事会6．下列推理过程是类比推理的为A.人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼12C ．通过检验溶液的值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数7. 用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”，下列条件假设中正确的是A.假设,,a b c 都不是偶数B. 假设,,a b c 都是偶数 C ．假设,,a b c 中至多有一个偶数 D.假设,,a b c 中至多有两个偶数 8. 曲线3231y x x =-+在点()1,1P -处的切线方程是A.34y x =- B 、32y x =-+ C ．43y x =-+ D.45y x =-9．不等式212x x <++的解集是（ ） A.(3,2)(0,)--+∞ B.(,3)(2,0)-∞-- C ．(3,0)-D.(,3)(0,)-∞-+∞10．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2006个圆中有（ ）个实心圆。

2019-2020年高二年级第二学期期中考试数学（文）试卷 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2、设集合{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I AC B 等于（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 3、下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是（ ） A.1+=x y B.2)1(-=x y C.x y -=2 D.)1(log 5.0+x4、已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则( )A.4-B.3-C.-2D.-15、设n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α//m ,α//n ,则n m // B ．若α//m ,β//m ,则βα// C ．若n m //,α⊥m ,则α⊥nD ．若α//m ,βα⊥,则β⊥m6、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 ( ). A ．3 B ．4 C ．6 D ．87、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A.1a b +＞B.1a b -＞C.22a b ＞D.33a b ＞8、已知曲()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A.9B.6C.-9D.-6 9、在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为（ ） A.41 B.43 C.94 D.169 10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0,1p q ==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2③若1,2p q ==，则“距离坐标”为()1,2的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11. 如图2，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD ）的面积为12．若实数,x y 满足2221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则22(1)x y -+的最小值为 ．13．已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在不同的两项m a 和n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值是__________. （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .15．（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O 的半径是__________.PB =三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分），q ）已知函数()cos2cos f x x x x =-⋅． (1)求()f x 最小正周期及最值； (2)若2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且()2f α=，求()3f πα+的值.17.（本小题满分12分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（1）写出M 、N 、p 、q （直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（2）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数； （3）现从第（Ⅱ）问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.18．（本题满分14分）如图，圆O 为三棱锥P-ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点． （1）求证 BC ⊥PB ；（2）设PA ⊥AC ，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P －MBC 的体积；（3）在∆ABC 内是否存在点N ，使得MN ∥平面PBC ？请证明你的结论.欢迎访问“高中试卷网”—— 19、（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a满足214n n n a a a +++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．（1）证明：数列是等差数列；（2）设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．20． (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=.（1）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数xax f x h ++=1)()(，求函数()h x 的单调区间； （3）若xax g +-=1)(，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，求a 的取值范围.C2014-2015学年高二年级第二学期期中考试文科数学参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11.【答案】2 12.【答案】1/5 13.【答案】3/214.【答案】1 15.【答案】216．（本小题满分12分）解：（1）1()cos2cos=2sin2cos2=2sin226f x x x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…3分所以2=2Tππ=．………………………………………………………………4分()max2f x=⎡⎤⎣⎦;()min2f x=-⎡⎤⎣⎦………………………………………………6分（2）由（1）得，()2sin2=26fπαα⎛⎫=--⎪⎝⎭，得：sin2=16πα⎛⎫--⎪⎝⎭，即32=2,62k k Zππαπ-+∈．得：5=,6k k Zπαπ+∈…8分又因为2παπ<<，所以5=6πα.……………………………………………10分577()()=()=2sin 2363666f f f ππππππα⎛⎫+=+-⋅- ⎪⎝⎭=132sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭=2sin6π-=12=12-⋅-……………………………………………………………………12分 17.【解析】（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，=0.04， …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为604.0150=⨯（人）……7分 （Ⅲ）记获一等奖的6人为E D C B A A ,,,,,21，其中21,A A 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：()21,A A ，()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，()C B ,，()D B ,， ()E B ,， ()D C ,， ()E C ,， ()E D ,， ………9分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，0.000.010.020.030.040.010.020.020.030.00所以恰有1名女生接受采访的概率158=P ………12分 18、（Ⅰ）证明：如图，因为，AC 是圆O 的直径，所以BC ⊥AB......1分因为，BC ⊥PA ，又PA 、AB ⊂平面PAB ，且PA AB=A....2分所以，BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB....3分 所以，BC ⊥PB....4分（Ⅱ）如图，在Rt ∆ABC 中，AC=2，AB=1所以，ABC S ∆=....6分 因为，PA ⊥BC ，PA ⊥AC ，所以PA ⊥平面ABC所以，112133P MBC P ABC M ABC V V V ---=-=-= (9)（Ⅲ）如图，取AB 得中点D ，连接OD 、MD 、OM ，则N 为线段OD （除端点O 、D 外）上任意一点即可，理由如下： ········································································· ··············· 10分 因为，M 、O 、D 分别是PA 、AC 、AB 的中点 所以，MD ∥PB,MO ∥PC因为，MD ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC 所以，MD ∥平面PBC ······················································································· ············· 12分 同理可得，MO ∥平面PBC因为，MD 、MO ⊂平面MDO ，MD MO=M 所以，平面MDO ∥平面PBC ············································································ ············· 13分 因为，MN ⊂平面MDO 故，MN ∥平面PBC ． ······················································································· ············· 14分 19.（Ⅰ）2124n n n a a a +++=且0n a >22∴= = …………3分 ∴1=的等差数列 ………… 5分21(1)1,n n n a n =+-⨯== …………8分()()2222211111n n b n n n n +∴==-++ ……………………10分 2221111223n S ∴=-+-+…()22111n n +-+ ……………………12分 ()21111n =-<+ ……………………14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分C∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．-------14分20.解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分xx f 21)('-=∴，121)1('-=-==∴f k ， ……3分 ∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=. ……4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=-+，定义域为),0(+∞， 2222')]1()[1()1(11)(xa x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--= ……5分 ①当01>+a ，即1->a 时，令0)('>x h ，a x x +>∴>1,0令0)('<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分 ②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ， 即函数1()ln ah x x a x x+=-+在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，01)()]([min≤-++==∴a e ae e h x h ，112-+≥∴e e a ，1112->-+e e e ，112-+≥∴e e a ； ……10分②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分③当e a <+<11，即10-<<e a 时，0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……13分综上可得所求a 的范围是：112-+≥e e a 或2-≤a ． ………………14分。

2019-2020年高二（下）期中数学试卷（文科）含解析(II)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．“＞0”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判定即可．解答：解：由＞0⇔x＞0，是充要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次根式的性质，是一道基础题．2．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合法．分析：先判断函数f（x）的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案．解答：解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．3．的导数是（）A．B．C．D．考点：导数的乘法与除法法则．专题：计算题．分析：利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解答：解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题4．复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．﹣D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部．解答：解：化简可得z=====﹣i，∴复数的虚部为：故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．5．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A． 2 B．﹣2 C． D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．6．对于命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx＞1；q：∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，则下列判断正确的是（）A．p假q真B．p真q假C．p假q假D． p真q真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案．解答：解：命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx=sin（x+）＞1；p真，命题q：∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，q假，故选：B．点评：本题考查了复合命题的判断，考查三角函数的性质，是一道基础题．7．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A． 2 B． 3 C． 6 D．9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式．专题：计算题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解答：解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．8．函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数的一个充分不必要条件是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m≤1 D． m＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：问题转化为只需f′（x）≤0即可，结合二次函数的性质，从而求出m的范围．解答：解：∵f′（x）=3mx2﹣1，若函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数，则只需f′（x）≤0即可，若m=0，则f′（x）=﹣1＜0，成立，若m＜0，则函数f′（x）是二次函数，根据二次函数的性质得m＜0，∴当m≤0时，f′（x）＜0，而m＜0是m≤0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．9．在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；导数的概念及应用；空间位置关系与距离．分析：设这个圆柱的高为h，可得这个圆柱的体积V=π（﹣h3+R2h）．利用导数研究函数的单调性，得V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数，由此可得当h=R 时，圆柱的体积的最大值是πR3．解答：解：设这个圆柱的高为h，底面半径为r，可得h2+r2=R2，所以r=∴这个圆柱的体积V=πr2h=π（﹣h3+R2h）∵V'=π（﹣3h2+R2）=﹣3π（h+R）（h﹣R）V'＞0，得h＜R；V'＜0，得h＞R∴V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数因此，当h=R时，圆柱的体积的最大值V max=π[﹣（R）3+R2×R）=πR3故选：A点评：本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．10．函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）A．（，e）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．解答：解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故选：B．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．考点：点到直线的距离公式．专题：转化思想．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．12．函数f（x）=x4﹣x3﹣6的极值点是x=2．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，从而求出函数的极值点．解答：解：f′（x）=x3﹣2x2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴x=2是函数的极值点，故答案为：x=2．点评：本题考查了函数的极值点的问题，考查导数的应用，要注意x=0不是函数的极值点，本题是一道基础题．13．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则=3﹣5i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则z的共轭复数可求．解答：解：由z（2﹣i）=11+7i，得，∴．故答案为：3﹣5i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．14．已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t的取值范围为t≥5．考点：平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用；平面向量及应用．分析：由数量积可得f（x），求导数可化问题为t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论．解答：解：∵=（x2，x+1），=（1﹣x，t），∴f（x）=•=x2（1﹣x）+t（x+1）=﹣x3+x2+tx+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t，∵函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t≥0在（﹣1，1）上恒成立，∴t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，而函数y=3x2﹣2x，x∈（﹣1，1）的值域为[，5）∴t≥5故答案为：t≥5点评：本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题．15．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a ＜1＜10﹣a2；从而解得．解答：解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（Ⅰ）计算（）2（Ⅱ）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．考点：复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（Ⅰ）根据复数的基本运算即可求解即可计算（）2（Ⅱ）利用待定系数法先求出z，然后进行化简．解答：解：（Ⅰ）（）2==﹣1．（Ⅱ）设z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i﹣z即则，则，即z=﹣4+3i，则====3+4i．点评：本题主要考查复数的基本运算，考查学生的运算能力．分母实数化是解决复数除法的基本方法．17．已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m．（1）由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．（2）由“非P”是“非Q”的充分不必要条件，知由此能求出实数m的取值范围．解答：解：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m（1）∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．∴∴m≥9．∴实数m的取值范围为m≥9．（2）∵“非P”是“非Q”的充分不必要条件，∴Q是P的充分不必要条件．∴∴0＜m≤3．∴实数m的取值范围为0＜m≤3．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．18．已知函数f（x）=ax3+bx2，在x=1时有极大值3；（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数的导数，得到方程组，解出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出极值，结合函数的端点值，进而求出函数的最值．解答：解：f′（x）=3ax2+2bx，（1）由题意得：，解得：a=﹣6，b=9 …（6分）（2）由（1）得：f（x）=﹣6x3+9x2，∴f′（x）=﹣18x2+18x，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，∴函数f（x）在[﹣1，0），（1，2]递减，在（0，1）递增，∴f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（1）=3，而f（﹣1）=15，f（2）=﹣12，∴函数f（x）的最大值f（﹣1）=15，最小值f（2）=﹣12．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．19．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，求实数b的值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（Ⅱ）利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，得到关于b的方程，从而求实数b的值．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f′（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得x＞或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间为（﹣1，）；（Ⅱ）因为函数f（x）的图象与直线y=ax恰有2个不同的公共点，所以方程x3+x2+ax+b﹣ax=0恰有2个不同的解，即函数g（x）x3+x2+b的图象与x轴恰有2个交点，g′（x）=3x2+2x，令g′（x）=3x2+2x=0，所以x1=0，x2=﹣，可列表：∴g（x）在x1=0处取得极小值b，在x2=﹣取得极大值+b，要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，只需g（x）极小值=0，或g（x）极大值=0，∴b=0或b=﹣．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想20．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（I）做出辅助线，连接OE，由条件可得SA∥OE．根据因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，得到SA∥平面BDE．（II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直．（III）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置．解答：解：（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE．因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，则O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）．所以=（﹣20，0），=（0，，0）．设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．所以E（﹣+a，0，a），=（﹣+，﹣，）．设平面BDE法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量．因为n•=（，0，1）•（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（8分）（Ⅲ）设CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为n=（，0，1）．因为SO⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面BDC的一个法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1．所以点E是SC的中点．点评：本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对．21．已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx，其中p∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，0）点的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式方程求出切线方程并化为一般式方程；（Ⅱ）由导数与函数单调性的关系将条件转化为：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再分离常数p，利用基本不等式求出p的范围；（Ⅲ）将条件转化为：不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，再构造函数F（x）=f （x）﹣g（x），求出F′（x）化简后利用已知条件判断出符号，得到F（x）的单调性，求出F（x）在[1，e]的最大值，即可求出实数p的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=p+=，∴在（1，0）点的切线d斜率k=2p﹣2，∴在（1，0）点的切线方程是：y=（2p﹣2）（x﹣1）…（Ⅱ）由（I）得f′（x）=，且定义域是（0，+∞），∵f（x）在其定义域内的单调递增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立即可，∵=≤=1，当且仅当，即x=1时取等号，∴p≥1，∴实数p的取值范围是[1，+∞）…（9分）（Ⅲ）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵p＞0，x∈[1，e]，∴F′（x）=p++=＞0，∴F（x）在[1，e]上的增函数，F（x）的最大值是F（e）=，依题意需＞0，解得p＞，∴实数p的取值范围是（，+∞）…点评：本题考查了导数的几何意义及切线方程，利用导数研究函数的单调性、最值，考查构造函数法，分离常数法，转化思想，以及化简、计算能力，属于中档题．。

洛阳市高二年级质量检测数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若i 为虚数单位，,a b R ∈且2a ib i i+=+，则ab = A. -1 B. 1 C. -2 D.2 2. 设0x >，由不等式2314272,3,4,x x x x x x +≥+≥+≥L ，类比推广到1n ax n x+≥+，则a = A. n n B. 2n C. 2n D. n3.设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线为320x y ±=，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.用反证法证明“,a b N *∈，如果,a b 能被2017整除，那么,a b 中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是A. a 不能被2017整除B. a 不能被2017整除C. ,a b 都不能被2017整除D. ,a b 中至多有一个能被2017整除 5.为了考查某种中成药预防流感的效果，抽样调查了40人，得到如下数据：6.已知函数()ln 3f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A. 1 B.12 C. 14 D.187.若圆的方程为12cos 32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆为位置关系是A. 相交且过圆心B.相交但不过圆心C. 相切D.相离 8.下列命题中正确的是A. 命题“00,sin 1x R x ∃∈>”的否定是“,sin 1x R x ∀∈>”B.“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是 “若0x ≠或0y ≠，则0xy ≠”C. 在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的充分不必要条件D.若()p q ∧⌝为假，()p q ∨⌝为真，则,p q 同真或同假 9.若0ab >，且直线20ax by +-=过点()2,1，则12a b+的最小值为 A.92 B. 4 C.72D.310. 已知抛物线2y =的焦点为F,A,B 为抛物线上两点，若3AF FB =u u u r u u u r，O 为坐标原点，则ABO ∆的面积为A. 11.设等差数列{}n a 满足()()5100810081201611,a a -+-=()()5100910091201611a a -+-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则A. 2016100810092016,S a a =>B. 2016100810092016,S a a =->C. 2016100810092016,S a a =<D.2016100810092016,S a a =-<12.若函数()22f x x ax b =++在区间()0,1和区间()1,2上各有一个零点，则31a b a +--的取值范围是A. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭B.33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.将点P 的极坐标34π⎫⎪⎭化为直角坐标为 . 14.设A,B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的两点，O 为坐标原点，若1212z z z z +=-，则AOB ∠的大小为 .15.某企业想通过做广告来提高销售额，经预测可知本企业产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中数据得线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，其中ˆ 6.5b =，由此可预测等广告费为7百万元时，销售额为 （百万元）.16.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，124F F =，P 是双曲线右支上一点，直线2PF 交y 轴于点A ，2APF ∆的内切圆的切1PF 边于点Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，直线1C 的参数方程为11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为()2212sin 3ρθ+=（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若直线1C 与曲线2C 相交于A,B 两点，点()1,0M ，求MA MB -的值.18.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos 14cos cos .B C B C +-= （1）求A ； （2）若7,a ABC =∆的面积为332，求b c +19.（本题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，且1,.21nn n a a n N a *+=∈+（1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T .20.（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABD ∆是正三角形，,.CB CD SC BD =⊥ （1）求证：SA BD ⊥;（2）若120,BCD M ∠=o为棱SA 的中点，求证：//DM 平面SBC .21.（本题满分12分）设函数()()()2,ln 0.x x af xg x x a e x==+>（1）求函数()f x 的极值；（2）若()12,0,x x ∃∈+∞，使得()()12g x f x ≤成立，求a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的角为30o ，且双曲线的焦距为4 2. （1）求椭圆C 的方程；的面积为1S ，（2）过右焦点F 的直线l 交椭圆于A,B 两点，记AOF∆BOF ∆的面积为2S ，当122S S =时，求OA OB ⋅u u u r u u u r的值.。