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等差数列的前n项和·例题解析一、等差数列前n项和公式推导：1〕Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=〔a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n〔a1+an〕]/2〔公式一〕〔2〕如果等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，那么an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+[n(n+1)d]/2〔公式二〕二、对于等差数列前n项和公式的应用【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得10a1＋10(101)d=140∴2∴a1＋a3＋a5＋a7＋a9=5a1＋20d=125∴解得a1=113，d=－22．∴∴其通项公式为∴a n=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135a6=－22×6＋135＝3说明此题上边给出的解法是先求出根本元素a1、d，再求其他的．种先求出根本元素，再用它去构成其他元素的方法，是常用到的一种方法．在本中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求a6，所列方程组化简后可得2a1＋9d=28相减即得a1＋5d=3，a1＋4d=25即a6＝3．可，在做的候，要注意运算的合理性．当然要做到一点，必以知的熟掌握前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，⋯，197与2，7，12，⋯，197中，求它相同的和．解由，第一个数列的通a n＝3n－1；第二个数列的通b N=5N－3 假设a＝b，有3n－1＝5N－3mN即n＝N＋2(N1)3假设足n正整数，必有N＝3k＋1(k非整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，⋯，40 n=1，6，11，⋯，66∴两数列相同的和2＋17＋32＋⋯＋197=1393【例3】：数a，b，5a，7，3b，⋯，c成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋⋯＋c＝2500，a，b，c的分[ ]A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，3，99 D．1，3，9 解C由题设2b=a＋5a b=3a 又∵14＝5a＋3b，a＝1，b＝3∴首项为1，公差为2又S n=na1＋n(n1)d22500=n＋n(n1)·2∴n＝502a50=c=1＋(50－1)·2=99a＝1，b＝3，c＝99【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，假设这个数列的前半局部的和同后半局部的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解依题意2＝1＋(2n＋2－1)d①前半局部的和S n+1＝(n＋1)＋(n1)n d②2后半局部的和S′n+1＝(n＋1)·2＋(n1)n·(－d)2S n1(n1)(1nd)92由，有n d1 3S′n1(n1)(2)2nd1化简，得29nd 1322解之，得nd=5④11由①，有(2n＋1)d=1⑤由④，⑤，解得d=1，n=511∴共插入10个数．【例5】在等差数列{a}中，设前nm项和为Sm，前n项和为S，且nSm＝Sn，m≠n，求Sm+n．解∵S m+n＝(m＋n)a1＋1(m＋n)(m＋n－1)d 2＝(m＋n)[a1＋2(m＋n－1)d]∴且Sm＝Sn，m≠n∴ma1＋1m(m－1)d＝na1＋1n(n－1)d22d整理得(m－n)a1＋(m－n)(m＋n－1)=0即(m－n)[a1＋1(m＋n－1)d]=021由m≠n，知a1＋2(m＋n－1)d＝0∴S＝0m+n【例6】等差数列{a n}中，S3=21，S6=64，求数列｛|a n|｝的前n项和T n．分析等差数列前n项和S=na＋n(n1)d，含有两个未知数a121d，S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前假设干项的正负性进行判断，那么可求出T n来．解设公差为d，由公式S＝na＋n(n)d123a1＋3d=21得ba1＋15d=24解方程组得：d＝－2，a1＝9a n＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋1111由a n＝－2n＋11＞0得n＜=，故数列{a n}的前5项为正，2其余各项为负．数列{a n}的前n项和为：n(n1)2S n＝9n＋(－2)=－n＋10n∴当n≤5时，T n＝－n2＋10n当n＞6时，T n＝S5＋|S n－S5|＝S5－(S n－S5)＝2S5－S nT n＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50T=－n2＋n≤5n10n即－10n＋50n∈N*2n＞6说明根据数列{a n}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n|｝的前n项和．【例7】在等差数列{a n}中，a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34又S20＝20a1＋20×19d2＝20a1＋190d5(4a1＋38d)=5×34=170( a1+a20)×21＋a20)解法二S20==10(a2由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝170【例8】等差数列{a n}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{a n}的公差为d，那么d＞0，由可得(a1＋2d)(a1＋bd)＝－12①a1＋3d＋a1＋5d=－4②由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2 ∴a1=－10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2 d＞0∴{a n}是递增数列∴a3＝－6，a7=2d=a7a3=2，a1＝－10，S20＝18073【例9】等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，假设S n2n，那么a100等于T n 3n1b10[]A．1B．23C．199D．2002 993 01分析该题是将a100与S n2n发生联系，可用等差数列的前n项b100Tn3n1n(a1+an)和公式S n= 把前n项和的值与项的值进行联系．解法一∵S n n(a1a n)，Tnn(b1b n )22∴S na1an∴a1an2nT nb1bn b1bn3n1∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199 a100a1a1992×199199∴=b199=×199+1=选C．b 100b13299解法二利用数列{a n}为等差数列的充要条件：S n＝an2＋bnSn2nT n3n1可设S n＝2n2k，T n＝n(3n＋1)ka n SnSn12n2k2(n1)2k∴T n Tn1n(3n1)k(n1)[3(n1)1]kb n4 n2n16 n3n1∴a 100×100199 2b100×100299 3说明该解法涉及数列{a n}为等差数列的充要条件S n=an2＋bn，由S n2n，将S n和T n写成什么？假设写成S n=2nk，T n=(3n＋1)k，Tn3n1(1)是常数，就不对了．(2)【例10】解答以下各题：(3)：等差数列{a n}中a2＝3，a6＝－17，求a9；在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(5)：等差数列{a n}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；(6)：等差数列{a n}中，a n=33－3n，求S n的最大值．分析与解答(1)a6 =a2＋(6－2)d173d＝=－54a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32 (2)a1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵S n+2(a1+a n+2)(n+2)=2∴＋2=2×1350n=25n=2319+8935 an+2=a25=a1＋24dd=12故这几个数为首项是2111，末项是861，公差为35的23个数．121212(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21a4＋a17=a6＋a15=25( a1+a20)×2S20=10×(a4a17)2502(4)∵a n=33－3n ∴a1＝30S n(a1+a n)·n(633n)n363 =2n2223212×23212(n2)8n∈N，∴当n=10或n=11时，S n取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n－1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1〞这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n∈N，a n＝2na＋b－a且a n－a n-1=2na＋(b－a)－2(n－1)a－b＋a 2a(常数)∴{a n}是等差数列．假设{a n}是等差数列，那么S n＝na1＋n(n1)d 2= d·(1n)·n－d)2＋n(a1d2d=2 nn(a12)假设令d=a，那么a1－d=b，即22S n=an2＋bn综上所述，S n=an2＋bn是{a n}成等差数列的充要条件．说明由此题的结果，进而可以得到下面的结论：前n项和为S n=an2＋bn＋c的数列是等差数列的充分必要条件是c＝0．事实上，设数列为{u n}，那么：充分性必要性c=0 Sn＝an2＋bn {un}是等差数列．{un}是等差数列Sn＝an2＋bn c＝0．【例13】等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n(m＞n)，求前m＋n项和Sm+n．解法一设{a n}的公差d 按题意，那么有S n ＝na 1＋n(n1)d ＝m①2S m ＝ma 1＋m(m) d ＝n②2①－②，得(m －n)·a 1＋(mn)(mn1)·d=n－m2即a 1＋mn1d=－12(mn)(mn1)·d∴S mn (mn)a 12(mn )(a 1mn1·d)2=－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x∈N)Am 2＋Bm ＝n An 2＋Bn ＝m①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m m≠n∴A(m＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S ＝－(m ＋n)m+n说明a 1，d 是等差数列的根本元素，通常是先求出基 本元素，再解决其它问题，但此题关键在于求出了a1＋mn1d＝－1，这种设而不2解的“整体化〞思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x=Ax2＋Bx．(x ∈N)【例14】在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，那么n之值是多少？解∵S偶项－S奇项=ndnd=90－75=15又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27nd＝15∴n=5(2n－1)d＝27【例15】在等差数列{a n}中，a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立S n关于n的函数，运用函数思想，求最大值．17169×8根据题意：S17=17a1＋d，S9＝9a1＋d∴a1=25，S17＝S9解得d＝－2S n＝25n＋n(n1)(－2)=－n2＋26n=－(n－13)2＋1692∴当n=13时，S n最大，最大值S13＝169解法二因为a1=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{a n}是递减等差数列，假设使前an≥，可解出n．n项和最大，只需解a n+1≤0∵a1＝25，S9＝S17∴∴9×25＋9×8d=17×25＋17×16d，解得d=－22 2a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27－2n＋27≥0n≤∴∴n=13－2(n＋1)＋27≥0n≥即前13和最大，由等差数列的前n和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17找相的关系．由意S9=S17得a10＋a11＋a12＋⋯＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0S13=169最大．解法四根据等差数列前n和的函数像，确定取最大的n．{a n}是等差数列∴可S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的像原点，如3．2－1所示∵∵∵∵∵∵∵∵S9＝S17，9+17∴对称轴x= =13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。
其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。
一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。
通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。
这种方法适用于数列项数较多的情况。
2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。
这种方法适用于数列项数较少的情况。
三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。
考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。
根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。
因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。
等差数列前n项求和公式方法等差数列是数学中常见的一种数列。
其中，首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
要求等差数列前n项求和的公式，可以通过以下几种方法来推导。
一、首项与末项求和法首项与末项求和法是最常见的一种方法。
设首项为a₁，末项为aₙ，则数列的项数为n。
1.求首项与末项首项a₁为数列的第一项，末项aₙ为数列的第n项。
可以根据等差数列的通项公式推导得到，通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d其中，d表示公差。
2.求和公式根据等差数列的性质，首项与末项之和等于各项的平均数乘以项数，可以得到求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2其中，Sₙ表示前n项的和。
二、差法差法是一种较为简便的求和公式推导方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.推导公式将数列分为两组，一组从首项开始，另一组从末项开始。
则两组数列的和相等，可以得到以下等式：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁+aₙ)×(n/2)+(a₁+aₙ)×(n/2)化简可得：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁×n+aₙ×n)/2再次化简可得：(a₁+aₙ)×n=a₁×n+aₙ×n进一步化简可得：Sₙ=(a₁+aₙ)×(n/2)其中，Sₙ表示前n项的和。
三、差分法差分法是另一种可以用于推导等差数列前n项求和公式的方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.构造数列构造一个新数列b₁、b₂、b₃、..，其中，b₁为a₁，b₂为a₁+(a₁+d)，b₃为a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)，以此类推。
3.求和求这个新数列的和S₁，其中S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ。
4.推导公式可以得到以下等式：S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ=(n/2)×(2a₁+(n-1)d)将b₁展开，可以得到：S₁ = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d)再次化简可得：S₁ = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d) = (n / 2) × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。
等差数列前n项和性质等差数列是数学中经常遇到的一类数列，它的每一项与前一项之差相等。
在研究等差数列时，我们经常关注它的前n项和性质。
本文将探讨等差数列前n项和的计算方法，以及相关的重要性质。
首先，我们来介绍等差数列前n项和的计算公式。
设等差数列的首项为a_1，公差为d，前n项的和为S_n。
根据数列的性质，我们可以得到如下计算公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)其中，n表示数列的项数。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们知道等差数列的第一项是a_1，最后一项是a_n= a_1 + (n-1)d。
根据等差数列的性质，我们可以将S_n分为两部分：前n-1项和加上最后一项。
根据等差数列的求和公式，前n-1项的和为n/2 * [2a_1 + (n-2)d]，最后一项为a_n。
将两部分相加，得到公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)。
通过这个公式，我们可以方便地计算等差数列前n项的和。
接下来，我们来研究一些关于等差数列前n项和的重要性质。
首先，等差数列前n项和的性质之一是与项数n的关系。
从等差数列前n项和的计算公式中可以看出，当项数n增加时，前n项的和也会随之增加。
特别地，当n为正整数时，前n项和是一个关于n的递增函数。
这说明等差数列的前n项和是随着项数的增加而增加的。
其次，等差数列前n项和的性质之二是与首项a_1和公差d的关系。
从公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)可以看出，首项a_1和公差d都会对前n项和产生影响。
首项a_1的大小决定了等差数列的起点，而公差d的大小则决定了等差数列的增量。
当首项a_1增加或者公差d增加时，前n项和也会相应地增加。
这说明等差数列前n项和与首项和公差之间存在着一定的关系。
此外，等差数列前n项和的性质之三是与项数n的奇偶性相关。
当项数n为奇数时，前n项和的计算公式中的2a_1 + (n-1)d中的n-1是一个偶数，所以前n项的和是一个关于n的奇数倍。
等差数列前N 项和及性质1、等差数列的前n 项和公式： ①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-==+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）当11a s =也符合n ≥2时那么n a 不需要分类2 ①当项数为偶数n 2时，则 ()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶 ②当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）3{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--。
4等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m n +项和()m n S m n +=-+ 5若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --，…也成等差数列6m p =则0m p +=例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn 取最大值例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为例3一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为例4.设等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9={)1()2(11=≥--=n S n S S n n n a一、选择题1．(2011年杭州质检)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝1，a3＝3，则S4＝( ) A．12 B．10 C．8 D．62．在等差数列{a n}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝( )A．24 B．27 C．29 D．483．在等差数列{a n}中，S10＝120，则a2＋a9＝( )A．12 B．24 C．36 D．484．已知等差数列{a n}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( ) A．99 B．66 C．33 D．05．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( ) A．9 B．10 C．11 D．127．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A．360 B．370 C．380 D．3908．已知a1＝1，a8＝6，则S8等于( )A．25 B．26 C．27 D．289、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1019、等差数列{}na的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 260二、填空题1．设数列{a n}的首项a1＝－7，且满足a n＋1＝a n＋2(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________. 2．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝__________. 3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则{a n}的通项a n＝________.5．在等差数列{a n}中，已知a5＝14，a7＝20，求S5.三、解答题10．已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝n2－23n－2(n∈N*)．(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．11设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知数列{a n}是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)S n＝20，S2n＝38，求S3n.。
等差数列前n项和的性质及其推导过程等差数列前n项和的性质及其推导过程：1. 性质等差数列前n项和即等差数列 S 的前 n 项之和，表达式为：S = a1 + a2 + a3 + …… + an，即求前 n 项之和，其中 a1 为等差数列的首项，an 为等差数列的第 n 项。
等差数列的前 n 项之和具有以下性质：（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d ;（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）a1 s = Sn - nd；2. 推导过程（1）当 n 是正整数时，等差数列的前 n 项之和 Sn = a1 + a2 + a3+ …… + an = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d，其中 a1 为等差数列的首项，d 为等差数列的公差。
将上面的式子进行合并可得：Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d = na1 + d + d + d + …… + d = na1 + n(n - 1)d，因此，等差数列的前 n 项之和 Sn = na1 + n(n - 1)d；（2）等差数列的前 n 项之和 S n = n a1 + n(n - 1)d，只需要将 n 移到后面 T n = (n - 1) a1 + n(n - 1)d，不难看出 Sn - Tn = a1，Tn - Tn-1 = a1，由此可知，等差数列的前 n 项之和 S n 和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）令 Tn = S n - nd，由上可知 Tn = (n - 1) a1 + n(n - 1)d ，可以得到另外一个式子：a1 s = Sn - nd 。
综上所述，等差数列的前 n 项之和的性质及其推导过程主要有三点：（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d；（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）a1 s = Sn - nd。
等差数列的性质和前n 项和[概念与规律]1．等差数列}a {n 具有如下性质： （1）通项公式：dn a a n )1(1-+=，)N m ,n (d )m n (a a m n*∈-+=；（2）若qp mn +=+，则q p m n a a a a +=+（其中m 、n 、p 、*∈Nq ）。
反之未必成立；（3）公差d 的计算方法：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a m n --2．在等差数列}a {n 中，序号成等差的项又组成一个等差数列，即l a ，k l a +，k l a 2+，…，1)k -(m +l a ，mkl a +，…是等差数列，公差为kd 。
3．在等差数列}a {n 中，依次k 个项之和仍组成一个等差数列。
即k S ，kkS S -2，kkS S 23-，…，k)l (lk S S 1--，…（2≥k ，*∈N k ）成等差数列。
4．等差数列的判断方法：①定义法：1+n a －n a =d （d 为常数），②),(为常数q p q pn a n +=⇔数列}a {n 是首项为p+q ，公差为p 的等差数列；③等差中项的定义；④前n 项和Sn=An 2+Bn （A ，B 为常数）⇔数列}a {n 是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列。
（附：求n a 和n S 都可用待定系数法）[讲解设计]·重点与难点例1 （1）已知}a {n 是等差数列，且21512841=+-+-a a a a a ，求133a a +的值。
（2）已知在等差数列}a {n 中，若80a 49=，100a 59=，求79a 。
解 ：点评 若由已知去求首项1a 与公差d ，则运算量较大。
例2 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证：数列{b n }是等差数列.练习：{a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列.例3 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，且100S 10=，10100=S ，试求110S 。
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
等差数列公式及记忆口诀等差数列公式：等差数列前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。
等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。
等差数列口诀等差数列有特点，相邻两数差不变。
欲求公差位值减，除以位差才算完。
求和首尾和一半，乘以位数再运算。
混合数列求和难，错位相消巧转换；高斯算法补长短，单独运算和相连。
特殊说明：相邻两数之间的差为公差公差=（末位数-首位数）/（位数-1），且“位前”就是“位数-1”和=“首位+末尾”Х位数/2“位值”指等差数列位数上的值。
“位值减”等差数列位数上的值相减；位差指等差数列的位数相减，也就是等差数列数值的序号等差数列公式公式：an=a1+(n-1)d前n项和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2=n(a1+an)/2通项公式：首项+[公差×（项数-1）]第n项的值an=首项+（项数-1）×公差an=am+(n-m)d ，若已知某一项am，可列出与d有关的式子求解an例如a10=a4+6d或者a3=a7-4d前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2公差d=(an-a1)÷（n-1）（其中n大于或等于2，n属于正整数）项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+（项数-1）×公差当数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数数列为偶数项，前n项的和=（首尾项相加×项数）÷2等差数列中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2。
等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
以下是店铺为大家收集的'等差数列的前n项和的数学知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
（1），（2），（3），（4）
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。
等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列；
（2）｛an｝有2k项时，＝kd；
（3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平，S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a 平；
解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d，S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧,时间管理，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）；
(2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q ＝0，此时公差d＜0。
【等差数列的前n项和的数学知识点】。
我们都知道等差数列的前n 项和公式有2个，你都记住了吗？有没有巧妙的记忆方法？等差数列的前n 项和S n 有哪些我们必须知道的性质呢？问题2：
问题1：课前提示
目录
1. 等差数列的前n项和公式S n的巧记方法
2. 等差数列的前n项和公式S n的性质及其应用
等差数列的前n项和公式S n的巧记方法
对一般的等差数列{a n } ，则有
S n =a n +a n -1+…+a 12S n =(a 1+a 2+…+a n )+(a n +a n -1+…+a 1)=(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a n +a 1)S n =a 1+a 2+…+a n
=n (a 1+a n
)
等差数列的前n项和
将a n用首项a1和公差d 表示，可得
等差数列的前n项和
已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和
公式S n＝S n＝
1
a n
n
a 1a n n a S n 与梯形面积
1a n a 12
()n n a a n
S +⋅=n 补成平形四边形
n a 1a n S S n
与梯形面积
1a 112()n n n d S n a -=+分割成一个平行四边形和一个三角形n 1a a n =a 1+(n -1)d
(n -1)d n S S n 与梯形面积
例1 已知数列{a n}是等差数列，
(1)若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；
(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
(3)若S10＝310，S20＝1 220，求S n.
(1) 若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；
还有更简单的
方法吗？
(2) 若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
(3) 若S10＝310，S20＝1 220，求S n.
[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，a n ，S n中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
1. 在等差数列{a n}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.
(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；
(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值．
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.
(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；
(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值
a n=a10+(n－10)d
1．等差数列{a n}中，d＝2，a n＝11，S n＝35，则a1等于( )
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
2．已知等差数列{a n}，a1＝50，d＝－2，S n＝0，则n等于( )
A．51 B．50
C．49 D．48
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a17＝10，则S19的值为________．
4．已知{a n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．
等差数列的前n项和公式S n的性质
等差数列的S n
最值问题2122
()n d d S n a n =+-S n 是一个关于n 的二次函数. 因此我们可以借助二次函数的图像 和性质来研究等差数列前n 项和的有关问题.
等差数列的S n 最值问题2122()n d d S n a n =+-2
A B n S n n =+若某个数列的前n 项和S n 可以表示成 ，则这个数列是等差数列.
2
A B n S n n =+
等差数列的S n 的性质2122()n d d S n a n =+-122
()n S d d n a n =+- 是一个等差数列，公差为 .2d {}n S n
例2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．
由题目可获取以下主要信息：
①{a n}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9.
解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使a n≥0，a n＋1<0或利用性质求出大于或等于零的项．
方法三：先求出d＝－2(同方法一)，
由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, 故a13＋a14＝0.
∵d＝－2<0，a1>0.
∴a13>0，a14<0，
故n＝13时，S n有最大值169.
已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，
(1)求公差d 的值；
(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．
已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；
(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．
n117
{|a n|}的前n项和．
由题目可获取以下主要信息：
①数列{a n}为等差数列；
②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d.
先分清哪些项是负的，再分段求出前n项的绝对值之和．
n117 {|a n|}的前n项和．
已知等差数列{a n}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和A n.
{}n S n 是等差数列282=S 464=S 公差－1
2．等差数列的前n项和公式的应用
(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
(2)两个公式共涉及a1、d、n、a n及S n五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．。
