矩估计和极大似然估计的求解步骤

数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。

今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。

对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。

实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。

⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。

形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。

容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。

特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。

点估计中两种常用方法的比较与分析楚尚坤河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级3班摘要：本文首先介绍矩估计法和极大似然估计法，然后对于同一分布和同一参数，用这两种不同的方法求出矩估计量和极大似然估计量，利用估计量的三条评选标准：无偏性、有效性和一致性来判断哪个估计量在这种情况下与该参数的真实值更相近，从而选择相应的点估计法。

关键词：矩估计极大似然估计无偏性有效性一致性§ 1引言当我们碰到这样的问题：假设总体分布函数的形式已知（它可由理论分析和过去经验得到，或者从抽样数据的直方图和概率纸描点初步估计出），但它的一个或多个参数未知，借助于总体的一个样本值，构造适当的样本函数来估计总体未知参数的问题，我们称之为点估计问题。

点估计是数理统计学中内容很丰富的一个分支，其中两种最常用的构造的估计量的方法是矩估计法和极大似然估计法。

当对于同一分布和同一参数时，先用矩估计法和极大似然估计法分别求得矩估计量和极大似然估计量，然后用无偏性、有效性和一致性对这两个估计量进行衡量，当样本容量足够大时，从而选出一个估计量使得这个估计量既在未知参数的真实值附近，又与未知参数真实值的偏离程度很小，而且随着样本容量n的增大估计量与被估计参数的偏差越来越小，进而选择相应的点估计法。

§ 2相关概念2.1参数估计所谓参数估计，是指从样本（X l,X2，…，X n）中提取有关总体X的信息，即构造样本的函数一一统计量g（X l,X2，…，X n），然后用样本值代入，求出统计量的观测值g（X l, X2」I （ , X n），用该值来作为相应待估参数的值。

此时，把统计量g（X1,X2，…，XQ称为参数的估计量，把9（人也凡）称为参数的估计值。

2.2参数估计的类型参数估计问题常有两类：点估计和区间估计。

（1）点估计：指对总体分布中的参数r ,根据样本（X「X2，…,X n）及样本值（X1，X2，…,X n），构造一统计量g（X i,X2，…,X n），将9（旨公2,…儿）作为二的估计值，则称g （X「X2，…，X n）为二的点估计量，简称点估计，记为A"g（X1,X2, ,X n）。

参数估计公式最大似然估计贝叶斯估计矩估计参数估计是统计学中的一个重要问题，它的目标是通过已经观测到的样本数据来估计未知参数的值。

在参数估计中，最大似然估计、贝叶斯估计和矩估计是常用的方法。

下面将分别介绍这三种估计方法及其公式。

一、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的观测结果，通过寻找参数值使得观测样本出现的概率最大化来估计未知参数的值。

最大似然估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MLE} = \arg \max_{\theta} P(X|\theta)$$其中，$\hat{\theta}_{MLE}$表示最大似然估计得到的参数值，$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率。

二、贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，通过在先验分布和观测数据的基础上更新参数的后验分布来进行参数估计。

贝叶斯估计的公式如下所示：$$P(\theta|X) = \frac{P(X|\theta)P(\theta)}{P(X)}$$其中，$P(\theta|X)$表示给定观测样本$X$后，参数$\theta$的后验分布；$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率；$P(\theta)$表示参数$\theta$的先验分布；$P(X)$表示观测样本$X$的边缘概率。

三、矩估计矩估计是一种基于样本矩的无偏估计方法，它通过样本矩与理论矩之间的差异来估计未知参数的值。

矩估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MME} = g(\overline{X}_n)$$其中，$\hat{\theta}_{MME}$表示矩估计得到的参数值，$g(\cdot)$表示由样本矩计算得到参数的函数，$\overline{X}_n$表示样本的均值。

在实际应用中，最大似然估计常用于样本量较大、参数唯一可估情况下的参数估计；贝叶斯估计常用于样本量较小、先验分布已知情况下的参数估计；矩估计常用于样本量较大、参数个数较多时的参数估计。

一、概述矩估计和极大似然估计是统计学中常用的两种参数估计方法，它们在众多领域中都有着重要的应用。

本文将对均匀分布的矩估计和极大似然估计进行深入探讨，分析它们的特点和适用范围，并对两种方法的优缺点进行比较和总结。

二、均匀分布的矩估计1. 均匀分布的概念和特点均匀分布是概率论中常见的一种离散型随机变量分布，它具有概率密度函数f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为分布的起始值和终止值。

均匀分布的特点是在[a, b]区间内各个数值出现的概率相等。

2. 均匀分布的矩估计方法均匀分布的参数估计通常采用矩估计方法。

矩估计是利用样本矩来估计总体矩，其基本思想是将样本矩与总体矩相等，通过方程求解得到参数的估计值。

对于均匀分布而言，可以通过样本均值和样本方差来进行参数估计，具体的计算过程可以通过数学推导来进行详细阐述。

三、均匀分布的极大似然估计1. 极大似然估计的基本原理极大似然估计是统计学中另一种常用的参数估计方法，其基本思想是在给定样本条件下，寻找最大化似然函数的参数值作为估计值。

对于均匀分布而言，可以通过求解似然函数的一阶导数为0的方程来得到参数的极大似然估计值，具体的推导过程也需要进行详细的分析和阐述。

2. 极大似然估计与矩估计的比较极大似然估计与矩估计在参数估计的方法和理论基础上存在着一定的差异，它们在不同情况下各有优劣。

通过比较两种方法在均匀分布参数估计中的应用，可以得出它们在精确度、稳定性和有效性等方面的优缺点，为使用者提供更多的参考依据。

四、实例分析通过实际的数据样本和模拟实验，可以对均匀分布的矩估计和极大似然估计进行对比分析。

选择适当的参数和样本规模，比较两种方法得到的参数估计值与真实值之间的偏差情况，从而验证两种方法的可靠性和有效性。

五、结论通过对均匀分布的矩估计和极大似然估计的深入研究和分析，可以得出它们在不同情况下各有优劣，适用范围也有所不同。

在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的参数估计方法，以保证估计结果的准确性和可靠性。

总体参数的点估计一 矩估计法如果总体中的未知参数θ恰好就是某个总体矩，那么相应的样本矩就是它的矩估计。

但是当总体中的未知参数θ不是某个总体矩时，通常按下面的步骤来求未知参数θ的矩估计。

问题：设总体X 中含有k 个参数k θθθ ,,21，n X X X ,,21是来自总体的样本，求k θθθ ,,21的矩估计。

不管未知参数k θθθ ,,21是不是总体矩，我们都可以按以下步骤来求它们的矩估计。

①求出总体X 的一阶直到k 阶原点矩()()()k X E X E X E ,,,2 （也可以是总体中心距），并且把它们表示成未知参数k θθθ ,,21的函数。

设求得：()()k a X E θθθ,,,211 =()()k a X E θθθ,,,2122 =………………………………()()k k k a X E θθθ,,,21 =②用样本矩替换相应的总体矩，即()k ni i a X n θθθ,,,12111=∑= ()k ni i a X n θθθ,,,121212 =∑=………………………()k k n i ki a X n θθθ,,,1211=∑= 这是k 个关于未知参数k θθθ ,,21的方程。

③解由这k 个方程构成的方程组，得到k θθθ ,,21的解k θθθˆ,ˆ,ˆ21 ，这k 个解就是相应的未知参数的矩估计。

注意：（1）在上面的第一个步骤中，如果计算总体中心矩比较方便，也可以把部分总体原点矩换成总体中心矩。

（2）在上面的三个步骤中，把步骤②和③颠倒也可以。

二 最大似然估计法求总体中的未知参数k θθθ ,,21的最大似然估计可以归结为求似然函数的最大值点。

一般情况下可以按照以下三个步骤来做：①求似然函数()k n x x x L θθθ ,,;,,,2121 ②对似然函数取自然对数，并列似然方程()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂0,,,;,,,ln 0,,,;,,,ln 0,,,;,,,ln 21212212112121k k n k n k n x x x L x x x L x x x L θθθθθθθθθθθθ ②解似然方程，得到k θθθ ,,21的解k θθθˆ,ˆ,ˆ21 ，这k 个解就是未知参数k θθθ ,,21的最大似然估计值。

分别用矩估计和极大似然比估计法求的估计量分别用矩估计和极大似然比估计法求估计量一、引言估计量是统计学中常用的概念，用于估计总体参数。

其中，矩估计和极大似然估计是两种常见的估计方法。

本文将以“分别用矩估计和极大似然比估计法求估计量”为中心，详细阐述这两种方法的原理、步骤和应用。

二、矩估计法矩估计法是由卡尔·皮尔逊于1894年提出的。

它是一种基于样本矩的方法，通过样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。

具体步骤如下：1.确定总体分布类型：首先，根据问题的背景和数据的特征，确定总体的分布类型，如正态分布、均匀分布等。

2.确定矩条件：根据总体分布类型的特点，确定需要估计的总体参数的矩条件。

例如，对于正态分布，需要估计均值和方差，因此需要确定一阶矩和二阶矩条件。

3.计算样本矩：从样本中计算出与所确定的矩条件对应的样本矩。

4.建立矩方程组：利用样本矩与总体矩的对应关系，建立矩方程组。

5.求解矩方程组：解矩方程组，得到参数的估计值。

矩估计法的优点是计算简单、易于理解，但其估计结果可能存在偏差。

同时，矩估计法对分布类型的选择比较敏感，如果选取的分布类型不准确，估计结果可能会失真。

三、极大似然估计法极大似然估计法是由拉夫·费歇尔于1922年提出的。

它是一种基于样本似然函数的方法，通过寻找使样本观测值出现的概率最大的参数值来估计总体参数。

具体步骤如下：1.建立似然函数：根据总体分布类型的假设，建立样本的似然函数。

似然函数是参数的函数，表示给定参数值时样本观测值出现的概率。

2.构造对数似然函数：为了方便计算，通常将似然函数取对数，得到对数似然函数。

3.求解极大化问题：将对数似然函数最大化，得到参数的极大似然估计值。

极大似然估计法的优点是估计结果具有一致性、渐进正态性和最大效率性等良好的性质。

但在实际应用中，由于似然函数的复杂性和求解问题的难度，常常需要使用数值优化方法进行求解。

四、应用示例为了更好地理解矩估计和极大似然估计的应用，下面以正态分布为例进行说明。

指数分布的矩估计和极大似然估计指数分布是概率统计中一个重要的分布类型，它被广泛用于时间，距离，速率等方面的计算。

在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地对数据进行分析和预测。

本文将针对指数分布的矩估计和极大似然估计进行介绍。

一、矩估计矩估计是一种基于数据的估计方法。

首先，我们通过实际观测数据计算出样本的一阶矩和二阶矩，然后将其代入概率分布函数，得到参数估计值。

对于指数分布而言，其概率密度函数为：f(x|θ) = θe^-θx其中，θ为指数分布的参数。

我们可以通过计算样本的一阶矩和二阶矩来估计θ的值。

样本的一阶矩为：E(X) = 1/θ样本的二阶矩为：E(X^2) = 2/θ^2将计算出的一阶矩和二阶矩代入上述概率密度函数中，得到θ的矩估计值为：θ = 1/（2E(X^2) - E(X)^2）二、极大似然估计极大似然估计是一种基于概率的估计方法。

它假设已知观测数据的分布类型，通过最大化似然函数来估计参数值。

对于指数分布而言，其似然函数为：L(θ|x) = ∏ i=1^n θe^-θxi其中，n为样本个数，x1，x2，...，xn为样本数据。

我们可以通过计算该似然函数的对数，将乘积转换为求和。

即：ln(L(θ|x)) = nln(θ) - θ∑ xi通过求导，令导数等于0，求出使似然函数最大的θ，即为θ的极大似然估计值：θ = n/∑ xi三、矩估计和极大似然估计的比较矩估计和极大似然估计都是常见的参数估计方法。

它们的区别在于矩估计基于统计量而极大似然估计基于似然函数。

从估计结果的准确性和稳定性来看，极大似然估计更加优越，因为它是最大化整个概率函数，利用了全部的数据信息。

而矩估计则只是利用了一阶和二阶矩作为参数的估计依据，忽略了其他高阶矩的信息。

但是，在样本容量较小的情况下，矩估计可能更为可靠，因为极大似然估计会受到极端值和样本大小的影响，而矩估计则更加稳定。

因此，在不同的数据分析和预测应用中，需要根据实际情况选择适合的参数估计方法。

如何求解参数的矩估与极大似然估计一、矩估计若统计量Ｔ作为总体参数θ（或g(θ )）的估计时，Ｔ就称为θ（或g(θ )）的估计量。

定义 6.1矩估计量 设n X X X ,,,21 是总体Ｘ的样本，Ｘ的分布函数),,:(1k x F θθ 依赖于参数k θθ,,1 ，假定X 的r 阶矩为),,,(1k r r EX θθα =,,,1k r =（或r 阶中心矩）相应的样本矩记为),,,(1n r X X A 如下的k 个议程k r a X X A k r n r ,,1),,,(),,(11 ==θθ （6.1） 的解，称为未知参数k θθ,,:1 的矩估计。

二、最（极）大似然估计设总体Ｘ的密度函数θθ),,(x f 是参数或参数向量，n X X X ,,,21 是该总体的样本，对给定的一组观测值n x x x ,,,21 ，其联合密度是θ的函数，又称似然函数，记为：其中Θ为参数集，若存在,),,(ˆˆ1Θθθ∈=n x x 使Θθθθ∈≥),()ˆ(L L 就称 ),,(ˆ1n x x θ是θ的最大似然估计值，而),,(ˆ1nX X θ是θ的最大似然估计量。

注：１）对给定的观测值，)(θL 是θ的函数，最大似然估计的原理是选择使观测值n x x x ,,,21 出现的“概率”达到最大的θˆ作为θ的估计。

２）最大似然估计具有不变性，即若θˆ是θ的最大似然估计，则)(θg 的最大似然估计为)ˆ(θg 。

但是，矩估计不具有不变性，例如假定θ是X 的矩估计，一般情形下，2θ的矩估计不是2X 。

1. 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=-001)(1x x ex f x θθ，（θ>0）试求参数θ的矩估计和极大似然估计.解：ξ的概率密度为()1,0;,00,0xe xf x x θθθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩似然函数为： ()11i x n i L eθθθ-=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∏而 令得到：11ˆn i i x n θ==∑=X 因此得到参数θ的极大似然估计量为：11ˆn i i X n θ==∑矩估计求法如下： 因为1E μξθ==令111ni i A x n θ===∑则11ˆn i i x n θ==∑从而θ的矩估计量为11ˆn i i X n θ==∑=X2. 设母体ξ具有指数分布，密度函数为⎩⎨⎧<≤=-00),(x xe xf xλλλ，（λ>0） 试求参数λ的矩估计和极大似然估计. 解：参数λ的矩估计求法为：因为令：则λ的矩估计量为：111ˆnii nA Xλ===∑极大似然估计求法如下：ξ的概率密度为(),0,0,0x e x f x x λλλ-⎧≥=⎨<⎩似然函数为： 而1ln ln nii L n xλλ==-∑令1ln 0ni i d L n x d λλ==-=∑解得λ的极大似然估计量为：1ˆnii nxλ==∑3. 设总体X ～N(μ,1), ),,(1n X X 为来自X 的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计.解：矩估计求法为：令111ni i A x n μ===∑则11ˆni i x n μ==∑ 极大似然估计求法为： X 的概率密度为： 似然函数为： 而 令 即解得μ的极大似然估计量为：11ˆni i x n μ==∑。

矩估计量和矩估计值
求矩估计量、矩估计值和极大似然估计值的详细过程：
1、根据题目给出的概率密度函数，计算总体的原点矩（如果只有一个参数只要计算一阶原点矩，如果有两个参数要计算一阶和二阶）。

由于有参数这里得到的都是带有参数的式子。

如果题目给的是某一个常见的分布，就直接列出相应的原点矩（E(x)）。

2、根据题目给出的样本。

按照计算样本的原点矩，让总体的原点矩与样本的原点矩相等，解出参数。

所得结果即为参数的矩估计值。

矩估计量的背景知识：
简单的讲，概率密度函数表示的就是随机变量X在某点的概率（所有点的概率和为1）。

对于连续型的随机变量，其图像通常为一个连续的曲线，离散型的随机变量的图像一般是一个一个点组成。

“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。

似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

这里类似于“贝叶斯方法”的思路。