高考数学（理科）模拟试题（含答案）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22- D ．22+ 2. 已知集合12x X x e ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，2}6{|0Y x x x =+-≤，则()R C X Y ⋂=（ ） A ．[)3,2ln -- B ．[]2,2ln -- C ．[]3,2ln -- D ．[]2,2ln - 3. 已知等差数列{}n a 的前项n 和为n S ，且314,,3S a a 成公比为q 的等比数列，则q 等于（ ） A.1或2 B ．2 C ．1 D ．2或4 4. 若365sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则26sin πθ+⎛⎫⎪⎝⎭=（ ） A ．2425-B ．2425 C.725- D ．7255. 已知0,0x y >>，且191x y+=，则x y +的最小值为（ ） A ．12 B ．16 C.20 D ．246. 若函数()x sinx f =在区间[],a b 上是减函数，且()()22a f f b ==-，则函数()g x cosx =在区间[],a b 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数 C. 可以取得最大值2 D ．可以取得最小值-2 7. 已知0.320.20.3,3,0.2a log b log c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B.b a c >> C.c a b >> D ．a c b >>8. 已知曲线()3:3C f x x x =-，直线:l y ax =-，则6a =是直线l 与曲线C 相切的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9. 鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的機卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下、左右、前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一.根正四棱柱状的木条挖-些凹槽而成若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个圆柱形容器内，使鲁班锁最高的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底面内，则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．1354π B ．652π C.135π D ．1254π 10. 已知()f x 是定义在R 上的函数()'f x 是函数()f x 的导函数，且(),'1x R f x ∀∈>，且()10f =，则（ ） A ．()1f e e <- B ．()01f >- C.() 01f <- D ．()()0f e f e <+11. 如图， ,M N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC CD 、的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论错误的是（ ）A ．//MN 平面ABDB ．异面直线AC 与BD 所成的角为定值C. 存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．三棱锥M ACN -体积的最大值为24812. 已知函数()x sinx n f si x =⋅，给出下列结论: ①()f x 是周期函数；②()f x 是奇函数:③,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间；④若()()12f x f x =-，则()12x x k k Z π+=∈；⑤不等式22cos2cos2sin x sin x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88k x k k Z x ⎧⎫⎨+<+∈⎩<⎬⎭，则正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．①②③④ C.②③ D ．①②③⑤ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若向量,a b r r 满足()2,a b a a b =⊥+r r r r r ，则向量,a b r r的夹角为．14. 已知实数,x y 满足2302501x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围为 ．15. 已知函数()1,0,0x x mx x xex e mx x xf ⎧-<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若函数()f x 有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ．16. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且*n N ∀∈，33332123...2n n n a a a S S ++++=+a ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，设32nn n S b n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭g ，则2n b 的最大值为_ ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC V 中，角A B C 、、所对边的长分别为a b c 、、，且cos cos sin A B Ca b c+=(1)求sinCsinA sinBg 的值；(2)若ABC V 的面积14S =，ABC V 的外接圆的直径为1，求ABC V 的周长L .18. 已知数列{}n a 和2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列112a =， (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足()()4111n nn a b n n =+-+g，求数列{}n b 的前n 项和n S .19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，M N 、分别是棱AB PD 、的中点，,PA PB AD PB =⊥，直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为23(1) 证明://MN 平面PBC ；(2) 求二面角C MN D --的余弦值.20. “双十一”期，某电商店铺A 的活动为:全场商品每满60元返5元的优惠券(例如:买130元的商品，可用两张优惠券，只需付13013051305212060⎡⎤⎢-⨯=⨯⎥=⎣⎦-(元).其中[]x 表示不大于x 的最大整数).此外，在店铺优惠后，电商平台全场还提供每满400元减40元的优惠(例如:店铺A 原价880元的一单，最终价格是880514402730-⨯-⨯=(元)，店铺优惠后不满400元则不能享受全场每满400元减40元的优惠活动(1)小明打算在店铺A 买一款250元的耳机和一款650元的音箱，是下两单(即耳机、音箱分两次购买) 划算?还是下一单(即耳机、音箱一起购买)划算?(2)小明打算趁“双十一”囤积某生活日用品若干，预算不超过700元，该生活日用品在店铺A 的售价为30元/件试计算购买多少件该生活日用品平均价格最低？最低平均价格是多少? 21. 已知函数()()20()f x ln ax ax x a =-+≠.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若函数()f x 有且只有一个极值点o x ，且()00f x ≤，求实数a 的取值集合. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为，415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(24)sin πρθ=-.(1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试求,A B 两点间的距离. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()20f x x a x a a =-++>. (1)当2a =时，求函数()f x 的最小值； (2)若关于x 的不等式()1f x a x <+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1. C解析:)()())1111111222i i izi i i i---=====-+++-2. C解析:集合{}2,X x x ln=>-，2,3{}{|2}RC X x x ln Y x x=≤-=-≤≤所以()3{}2RC X Y x x ln⋂=-≤≤-3. A解析:314,,3Sa aQ,成公比为q的等比数列，23143Sa a⎛⎫∴=⋅⎪⎝⎭，又{}n aQ为等差数列，()()1112.3a d a a d∴+=+即()1d d a-=，即0d=或1d a=.公比2111a aqa a∴==或1121aa=或24. D解析: 2226266sin sin cosππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝+=--=⎭⎣⎦-=2187122162525sinπθ⎛⎫=-⎪⎭=⎝--【命题意图】基本量的简单运算.5. B解法一:由题得()199191916y xx y x yx y x y⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，取等条件为1919xyx yy xx y>⎧⎪>⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，即412xy=⎧⎨=⎩，故选B解法二:由191x y+=得90x y xy+-=即()()199x y--=，又1,9x y>>Q.()()1190x y x y∴+=-++-1016≥=，取等条件为191193xyx yx y>⎧⎪>⎪⎪⎨+=⎪⎪-=-=⎪⎩，即412xy=⎧⎨=⎩，故选B6. D 解析:()23f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭，()22323g x cos x sin x πππ=+=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+ ⎝+⎪⎭，()g x 的图像由()f x 的图像向左平移2π所得.()f x 在区间[],a b 上是减函数，且()()2, 2f a f b ==-.令3x t π+=，则可取3,22t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向左平移2π，即14个周期，可得在3,22t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 可以取得最小值2-. 7. A 解析:220.30.51a log log =<=-，0.20.2351b log log =>=-且00b c <>，，所以, , a b c 的大小关系为c b a >>.【命题意图】利用对数函数的单调性进行估算.8. A 解析:()2 '33f x x =-，直线:3l y ax a =-过定点()3,0，且曲线C 也过点()3,0.若直线l 与曲线C 相切，设切点横坐标为o x ，则切线为()2300332y x x x =--，则20303323x a x a⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解之036x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩或03234x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以6a =是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件.9. B c 解析:设圆柱的底面半径为r ，用平行于圆柱的底面的平面截圆柱和中间横向最长，木条的截面图如图所示，则2221513222r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴圆柱体积为2652V r h ππ==g10. C 解析:令()() g x f x x =-，则()()''10g x f x =->，所以()g x 在R 上单调递增.由()()1g e g >可得()()111f e e f ->-=-，得()1f e e >-，故选项A 不正确.由()()0 1g g <可得()()0111f f <-=-，故选项B不正确选项C 正确，同理可判断选项D 不正确.11. C 解析:选项A ，因为// MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故选项A 正确；选项B ，取AC 中点O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，且AC OD ⊥，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为90︒，为定值，故选项B 正确；选项,C 若直线AD 与直线BC 垂直，因为直线AB 与直线BC 也垂直，则直线BC ⊥平面ABD ，所以直线BC ⊥直线BD ，又因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥而OBD V 为等腰三角形，这显然不可能，故选项C 不正确；选项D ，M ACN N ACM V V --=，当平面DAC ⊥平面ABC 时取最大值，()max 1134448N ACM V -=⋅⋅=，故选项D 正确. 12. D 解析:因为()()2f x f x π+=，所以2π是()f x 的一个周期，选项①正确:因为()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，选项②正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21cos 22x f x sin x -==单调递增，又因为()f x 是奇函数且过原点，所以,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间，选项③正确；由②③可画出函数()f x 在上的图像，又因为 22f x f x ππ+=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于2x π=对称，可画出函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像，即得到函数()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，即一个周期的图像，在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的对称中心为()0,0和(),0π，所以在整个定义域上对称中心为()(,0)k k Z π∈，即若()()12f x f x =-，则12()2x x k k Z π+=∈，选项④不正确；先求不等式||2222sin x sin x cos x cos x ππππ>g g 在一个周期内的解集，取区间[]0,2π，因为2222sin x sin x cos x cos x ππππ>g g ()222f x f x πππ⎛⎫⇔>+ ⎪⎝⎭，则247224x x πππππ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，在整个定义域上则22472224x k x k πππππππ⎧>+⎪⎪⎨⎪+<+⎪⎩，解得15,88k x k k Z +<<+∈，故选项⑤正确，综上，①②③⑤正确.. 【命题意图】三角函数是高中阶段周期函数的代表，与其他函数研究的方法也不太一样.本题旨在考查学生的思想方法，如何运用研究正弦函数、余弦函数的哪种方法，去研究新的、没见过的周期函数，考查学生是否真的理解、能否学以致用，只靠刷题或者死记硬背不行.为了降低难度，①②③引导学生先画出一个周期的函数图像，进而得到整个函数图像，为④⑤服务.选项的设置实际上告诉了学生②的正确性，同时引导学生重点需要判断④⑤，④⑤只需要准确判断其中一个，就能选出正确答案，降低了难度. 二、填空题 13.o120解析：由()a a b ⊥+r r r 得()20a a b a a b ⋅+=+=r r r r r r g，所以2,a b a ⋅=r r r 1,22a b a cos a b a b a a-<>===-r r rr r g r r r r g g ，向量,a b r r 的夹角为o 120 14.70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:画出可行域，z =(),x y 到直线0x y -=的距离的最值，观察可最小值为0，最大值为230x y -+≥与250x y +-≤的交点(1,42)到直线的距离，为72，故取值范围为70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】目标函数加了一个绝对值，不同的学生就会有不同的做法，好学生转化成点到直线的距离，直接可以观察最小值是0，只用求最大值，算一个交点就可以了；一般的学生可以先求z x y =-的范围，再求绝对值的范围，那就要多算一个交点的坐标；当然，也可以分两类确定z x y =-的符号后再求具体范围， 工作量就要大一些了.15.24e m >解析:() f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数()1,0,0xx x g x e e x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点，即2xe mx =有两个不等正根，即2xe m x=有两个不等正根.令()2xe h x x=，则()()32x e x h x x -'=，它在()0,2内为负，在(2,)+∞内为正，()h x ∴在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又Q 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞24e m ∴>16.6332解析:由333321232n n n a a a a S S ++++=+g g g 得()3333212311122n n n a a a a S S n ---++++=+≥g g g两式相减得()()3221112222n n n n n n n n n a S S S a S S a n S ---=+--=+≥+，()1222n n n S S a n -∴++=≥()211223n n n a S S n ---∴=++≥，两式相减有()12213n n n n a a a n a --+-=≥Q 数列{}n a 各项均为正数，13(1)n n a a n --=≥∴，而21321a a -=-=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，()2111n a n n ∴=+-=+⨯，()32n n n S +∴=2222232323n n n n S n b n ⎛⎛⎫+∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g，令2222251232n n b n b n +⎛⎫+=⋅> ⎪ ⎪+⎝⎭，解得32n < 24468,b b b b b ∴<>>>⋅⋅⋅，2n b ∴的最大值46332b ==【命题意图】本题常规题，考查知识点有:递推数列、等差数列通项、求和公式、数列单调性和最值，虽然都是常规知识点，但融合到一起要想顺利解决，需要对这些知识点深刻理解、熟练掌握. 三、解答题17.解：()1cos cos sin A B C a b c +=Q，由正弦定理可得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=即cos sin cos sin 1sin sin A B B A A B +=，即sin 1sin sin C A B=⋅(2)ABC QV 外接圆直径为1，,,a sinA b sinB c sinC ∴===，又由(1)得sinC sinA sinB c ab =∴=g ，∴ABC V 的面积211112224S absinC csinC c ====，sin 2c C ∴== 由余弦定理得2222222222a b abcosC c ccosC c sinCcosC c sin C c +=+=+=+=+2312c =±+=或12-（12-舍） ()()222212121a b c ab c c c +=++=++=+∴ABC V 的周长.211L a b c c =++=+=18.解：()1Q 数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，2223212213a a a ∴⋅=+ 又Q 数列{}n a 为等差数列，()()12121223a d a d a ++=+∴即()210a d -=即1a d =又112a =Q ，()111222n n a n ∴=+-⋅= ()2由(1)及题设得()()()()211111111111nn nn n n b n n n n +⎛⎫=+=-+=--+-⋅ ⎪++⎝⎭g g ()()11111111111112233411n n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+++-++⋅⋅⋅+-+=-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注:第(2)问如果学生n 分为奇数还是偶数进行讨论，只要结果正确也给满分，如果学生归纳猜想，结果正确，但没有证明，只得3分.【命题意图】本题重点考查裂项相消求和，但又不是学生通常几乎都会背的那种裂项相消，考查学生对裂项相消求和方法的理解.19. 解法一(非向量法): (1)方法一:在平面ABCD 内延长DM 交CB 的延长线于FM Q 是正方形ABCD 中AB 边的中点，M ∴是DF 的中点又N Q 是PD 的中点，// MN PF ∴又MN ⊄Q 平面, PBC PF ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC . 方法二:取PC 的中点G,N G Q 分别是PD PC 、的中点，//12NG CD ∴=又M Q 是正方形ABCD 中边AB 的中点，//12BM CD ∴=，//12GN BM ∴=BMNG ∴是平行四边形，// MN BG ∴又MN ⊄Q 平面PBC ，BG ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC .方法三:取PA 中点,E E N Q ，分别是PA PD 、的中点，// EN AD ∴ 同理// EM PB底面是正方形，//AD BC ∴，又// EN AD Q ，// EN BC ∴ 又EN ⊄Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，//EN ∴平面PBC .同理//EM 平面PBC ，又,EN EM E EN ⋂=⊂Q 平面,EMN EM ⊂平面EMN∴平面//EMN 平面PBC .又MN ⊂Q 平面EMN .∴//MN 平面PBC(2),,AD PB AD AB PB AB B ⊥⊥⋂=Q ，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AD ∴⊥平面PAB又//EN AD Q ，EN ∴⊥平面PAB ，EMN ∴∠为直线MN 与平面PAB 所成的角.23EN sin EMN MN ∴∠==，又E M N Q 、、分别为PA AB PD 、、的中点，底面边长为2，PA PB =3,2MN ME PM AB ∴==⊥.且2PM === AD ⊥Q 平面PAB ，AD ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB又PM AB ⊥Q ，且PM ⊂平面PAB ，PM ∴⊥平面ABCD在平面ABCD 内作CH MD ⊥于点H ，则CH PM ⊥又MD PM M ⋂=Q ，MD ⊂平面MND ，PM ⊂平面MND ，CH ∴⊥平面MND再作HI MN ⊥于点I ，则CIH ∠是二面角D MN C --的一个平面角在正方形ABCD中可求得CH MH ==，23HI MHsin DMN MHsin MDN =∠=∠== ∴二面角的余弦值5IH IC ===. 解法三(向量法):AD PB ⊥Q ， AD AB ⊥，PB AB B ⋂=，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB .AD ∴⊥平面PAB ，又PM ⊂Q 平面PAB ，AD PM ∴⊥ ①,PA PB M =Q 是AB 的中点，PM AB ∴⊥，设J 为BD 的中点，则同①得PM MJ ⊥则MJ MA MP 、、两两垂直，∴可分别以MJ MA MP 、、为轴,,x y z 建立空间直角坐标系设()0,0,P p()1()()112,1,00,0,1,,222p MN p ⎛⎫=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭u u u u r Q ()()()0,0,0,1,00,1,BP p p =--=u u u r()()()2,1,00,1,02,0,0BC =---=u u u r1122MN BP BC ∴=+u u u u r u u u r u u u r 在平面PBC 内作1122BK BP BC =+u u u r u u u r u u u r ，则BK MN =u u u r u u u u r // , BK MN MN ∴⊄平面PBC ，BK ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC()211,,22p MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r Q ，()2,0,0MJ =u u u r 是平面PAB 的一个法向量 22221120022,)51122(2p MN MJ cos MN MJ MN MJ p p ⨯+⨯+⨯⋅∴===⋅+⎛⎫⎛⎫++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 又Q 直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为23，2235p =+2p =±即(负舍) 11,,12MN ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,1,0MD =u u u u r ，()2,1,0MC =-u u u u r 设(), , a x y z =⊥r 平面DMN ，则10220a MN x y z a MD x y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩r u u u u r r u u u u r 即20y x z =-⎧⎨=⎩，令1x =得()1,2,0a =-r 设(), , b r s t =⊥r 平面CMN ，则10220b MN r s t b MC r s ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=-=⎩r u u u u r r u u u u r 即22s r t r =⎧⎨=-⎩，令1r =得()1,2,2b =-r ()()2222221122025,)5120122(a b cos a b a b ⨯+-⨯+⨯-⋅∴===-⋅+-+⋅++-r r r r r r又a r Q 指向二面角，b r 指向二面角，∴20. 解: (1)若下两单，耳机优惠后实际付款为25054230-⨯= (元)音响优惠后实际付款为650510401560-⨯-⨯=(元)耳机和音响优惠后一共实际付款230560790+=元若下一单，耳机和音响优惠后一共实际付款()250650515402745+-⨯-⨯= (元)∴下一单划算（2）方法一:假设购买*()x x N ∈件，平均价格为y 元/件由于不能超过700元预算，最多只能购买26件，且当114x ≤≤时不能享受满400元减40元的优惠，当1526x ≤≤时能享受一次每满400元减40元的优惠 1︒当114x ≤≤时不能享受每满400元减40元的优惠， 则130530530602x x y x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯=-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭530,22,530,2121n x n n n N n x n n ⎧-⨯=⎪⎪∈⎨⎪-⨯=+⎪+⎩当2x n =时，1272y =. 当21x n =+时，()551302722212y k =-+>+ ∴当114x ≤≤时购买偶数件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为27.5元/件.2°当1526x ≤≤时能享受一次每满400元减40元的优惠， 则1305403054030602x x y x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯-=-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭54030,222,54030,212121n x n n n k N n x n n n ⎧-⨯-=⎪⎪∈⎨⎪-⨯-=+⎪++⎩当2x n =时，120272y n=-.当8,16n x ==时，25min y = 当21x n =+时，()()5405753030212221n y n n +=-=--++，当7,15n x ==时，25min y = 综上，购买15件或16件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.方法二:设购买*()x x N ∈件应付款为y 元，平均价格为z 元/件则30305,0400603030540,36070060x x y y x x y ⎧⎡⎤-<<⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-⨯-≤≤⎢⎥⎪⎣⎦⎩552,04005530,21,0400=5540,2,3607005510,21360700n x n y n x n y n x n y n x n y =<<⎧⎪+=+<<⎪⎨-=≤≤⎪⎪-=+≤≤⎩，，，552,1,2,,75530,21,1,2,,65540,2,8,9,,135510,217,8,,12n x n n n x n n n N n x n n n x n n ==⋅⋅⋅⎧⎪+=+=⋅⋅⋅⎪∈=⎨-==⋅⋅⋅⎪⎪-=+=⋅⋅⋅⎩，，()()27.5,2,1,2,,7527.5,21,1,2,,62212027.5,2,8,9,,137527.5,217,8,,12221x n n x n n n y z x x n n n x n n n ==⋅⋅⋅⎧⎪⎪+=+=⋅⋅⋅+⎪⎪∴=⎨-==⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=+=⋅⋅⋅⎪+⎩， 第一段: 27.5；第二段:大于 27.5第三段:当8n =时，取最小值25=；第四段:当7n =时，取最小值25=综上，购买15件或16件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.说明:对用列举法的评分，若列举完整、计算正确，则不扣分.21. 解: (1)由题得()()2121210ax x f x a ax ax ax x-++'=⋅-+=> 1︒若0a <，则函数定义域为(0),-∞① 810a =+≤V 即18a ≤-时则在(0),-∞内()'0f x ≤且不连续取0，()f x 在(0),-∞单调递减此时()f x 在定义域(0),-∞内没有极值点..② 810a =+>V 即108a -<< 则2210ax x ++=-在(0),-∞内有两个根()1212,0x x x x <<当1),(x x ∈-∞时，()()'0,f x f x <∴单调递减，当()12,x x x ∈时，()'0f x >，() f x ∴单调递增当()2,0x x ∈时，()'0f x <，() f x ∴单调递减∴当108a -<<时()f x 在(0),-∞内有且只有2个极值点.2︒若0a >，则函数定义域为(0),-∞二次函数()221g x ax x =-++的开口向下，对称轴104x a=>，()010g =>，判别式810a =+>V ()0g x ∴=在(0),-∞只有一个根0x 当0(0),x x ∈时，()()'0,f x f x <∴单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，() f x ∴单调递减 综上，当18a ≤-时()f x 在(0),-∞内没有极值点，当108a -<<时()f x 在(0),-∞内有且只有2个极值点. 当0a >时()f x 在(0,)+∞内有且只有1个极值点.(2)方法一:若函数()f x 有且只有一个极值点o x则由(1)知0a >，且00(),x ∈+∞且200210ax x -++=即02012x a x += 由()00f x ≤得()()200000002011ln 22x x f x ln ax ax x x x ++=-+=-+002011ln 022x x x +-=-≤① 令()()211ln 022x x h x x x +-=->，则()()()()12'21x x h x x x -+=+ ∴当()0,1x ∈时，()()'0,h x h x <∴单调递减，当,()1x ∈+∞时，()() '0,h x h x >∴单调递增∴()()010h x h ≥=.又由知()00,1h x x ≤∴=，020112x a x +∴== ∴实数a 的取值集合为{}1.方法二: 若函数()f x 有且只有一个极值点o x则由(1)知0a >，且00(),x ∈+∞且200210ax x -++=即()0104x a a=> 由()00f x ≤得()()20000f x ln ax ax x =-+0000011ln ln 22x x ax x ax +-=-+=-141048a a a=-≤ ①令t =， ()()22111132ln ln 141421(t)t t t t t i t t t ---++-=-=->--则()()()()()()()2211313411142111t t t t i t t t t ⋅---⋅-=⋅-=+-+-在(1)3，内为负，在(3)+∞，内为正 ()i t ∴在(1)3，内单调递减，在(3)+∞，内单调递增，()min [(3]0t)i i ==∴()00f x i ∴=≥又Q 由①得()00f x i =≤3=，即1a =，∴实数a 的取值集合为{}1.【命题意图】本题主要考查分类讨论、导数的应用，中偏难，与21题一起双压轴.第一问的亮点是0a >和0a <时定义城不一样，确定定义城是研究函数的第一步，这对不喜欢考虑定义城的学生是一个教训.第一问题讨论的侧重点放在了对二次函数正负的讨论，需要从开口、对称轴、判别式、端点函数值符号四个方面控制，是二次函数研究的重点，同时也是学生比较熟悉的函数类型，所有学生都能上手，但不一定都能做对.第二问也不难，解二元的不等式，先消元，利用单调性解不等式，再代回两个元之间的关系式求出a 的取值集合.22. 解: (1)直线11:4355x y l +-=-，即3410x y +-=即3410cos sin ρθρθ+-= 曲线:C sin cos ρθθ=-即2sin cos ρρθρθ=- (原式中ρ可以为θ，故两边乘以ρ不扩大范围)即22x y y x +=-即2211()2212y x ⎛⎫+-= +⎪⎝⎭ 直线l 的极坐标方程为3410cos sin ρθρθ+-=，曲线C 的普通方程为220x y x y ++-= 说明:后者写成22 0x y x y ++-=和2211()2212y x ⎛⎫+-= +⎪⎝⎭中的任何一个都给全分. （2）方法一:将直线l 的参数方程415315x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程22 0x y x y ++-=得2705t t += 即0t =或75- A B ∴、两点间的距离1275AB t t =-=方法二:由(1) 知曲线C 是一个圆，其圆心到直线l的距离110d == A B ∴、两点间的距离75AB ===23. 解: (1)当2a =时，()3,1 2224,213,2x x f x x x x x x x ≥⎧⎪=-++=--≤<⎨⎪-<-⎩[]()min 1()3f x f =-∴（2）方法一:当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0a >时，原不等式可化为12x a x a a x -++<+. 即12x a x x -<-即112x x a x x x ⎛⎫--<-<- ⎪⎝⎭即113x a x x x -<<+. ∴题设等价于1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，113x a x x x -<<+且0a > 令132113x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩得112x ≤<∴题设等价于1,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，113x a x x x -<<+且0a > 即min max 113x a x x x ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且0a > 即a 的取值范围50,2⎛=⎫ ⎪⎝⎭. 方法二: 6分处同方法一如图，画出函数()13g x x x =-和()1h x x x =+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象.可知a 的取值范围50,2⎛=⎫ ⎪⎝⎭方法三:当1,32x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0a>时，原不等式可化为12x a x a ax-++<+即12x a xx-<-令132113xx xx x⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩得112x≤<∴题设等价于1,12x⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，113x a xx x-<<+且0a>即a的取值范围50,2⎛=⎫ ⎪⎝⎭.说明: (1)三种方法中的“6分”档处的“2分”做到了的一定要给到.(2)答案为15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭扣1分；答案为(100,3)扣2分；答案为110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭扣3分。
