部编人教版七年级数学上册课本答案参考

4.1几何图形同步练习一、单选题1.下列图形中不是正方体的平面展开图的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】：A、是正方体的展开图，不合题意； B、是正方体的展开图，不合题意；C、不能围成正方体，故此选项正确；D、是正方体的展开图，不合题意．故选：C．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．2.一个几何体的边面全部展开后铺在平面上，不可能是（）A. 一个三角形B. 一个圆 C. 三个正方形 D. 一个小圆和半个大圆【答案】B【解析】：正四面体展开是个3角形；顶角为90度，底角为45度的两个正三棱锥对起来的那个6面体展开可以是3个正方形；一个圆锥展开可以是一个小圆+半个大圆．故选B．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．3.将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是（）A. B.C.D.【答案】B【解析】：观察图形可知，将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的选项B．故选：B．【分析】立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．4.下列几何体：①球；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤正方体，用一个平面去截上面的几何体，其中能截出圆的几何体有（）A. 4个B. 3个C. 2个 D. 1个【答案】B【解析】：长方体、正方体不可能截出圆，球、圆柱、圆锥都可截出圆，故选：B．【分析】根据几何体的形状，可得答案．5.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】：由分析知：四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形．故选：A．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．6.下面现象能说明“面动成体”的是（）A. 旋转一扇门，门运动的痕迹 B. 扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线C. 天空划过一道流星D. 时钟秒针旋转时扫过的痕迹【答案】A【解析】：A、旋转一扇门，门运动的痕迹说明“面动成体”，故本选项正确；B、扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，故本选项错误；C、天空划过一道流星说明“点动成线”，故本选项错误；D、时钟秒针旋转时扫过的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误．故选A．【分析】根据点、线、面、体之间的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．7.如图，将正方体沿面AB′C剪下，则截下的几何体为（）A. 三棱锥B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱【答案】A【解析】：∵截下的几何体的底面为三角形，且AB、CB、B′B交于一点B，∴该几何体为三棱锥．故选A．【分析】找出截下几何体的底面形状，由此即可得出结论．8.下列说法：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形；③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱；④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个球体．其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【答案】B【解析】：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段是正确的；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形是正确的；③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱是正确的；④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个圆柱，原来的说法错误．故选：B．【分析】根据点动成线，可以判断①；根据线动成面，可以判断②；根据面动成体，可以判断③；根据平移的性质，可以判断④．二、填空题9.薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去象球，这说明了________．【答案】面动成体【解析】：从运动的观点可知，薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去象球，这种现象说明面动成体．故答案为：面动成体．【分析】薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去象球，这是面动成体的原理在现实中的具体表现．10.将如图所示的平面展开图折叠成正方体，则a相对面的数字是________．【答案】-1【解析】：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上a相对面的数字是﹣1．故答案为：﹣1．【分析】在正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，得到在此正方体上a相对面的数字是﹣1．11.六棱柱有________个顶点，________个面，________条棱．【答案】12；8；18【解析】：六棱柱上下两个底面是6边形，侧面是6个长方形．所以共有12个顶点；8个面；18条棱．故答案为．【分析】根据六棱柱的概念和定义即解．12.一个棱柱的棱数是18，则这个棱柱的面数是________．【答案】8【解析】：一个棱柱的棱数是18，这是一个六棱柱，它有6+2=8个面．故答案为：8．【分析】根据棱柱的概念和定义，可知有18条棱的棱柱是六棱柱，据此解答．13.将如图几何体分类，柱体有________，锥体有________，球体有________（填序号）．【答案】（1）、（2）、（3）；（5）、（6）；（4）【解析】：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：（1）、（2）、（3）；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）、（6）；球属于单独的一类：球体（4）．故答案为：（1）、（2）、（3）；（5）、（6）；（4）【分析】首先要明确柱体，椎体、球体的概念和定义，然后根据图示进行解答．14.如图是棱长为2cm的正方体，过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为________cm2．【答案】24【解析】：过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为2×2×6=24cm2．故答案为：24．【分析】由于是在正方体的顶点上截取一个小正方体，去掉小正方形的三个面的面积，同时又多出小正方形的三个面的面积，表面积没变，由此求得答案即可．三、解答题15.如图所示，A、B、C、D、E五个城市，它们之间原有道路相通，现在打算在C、E两城市之间沿直线再修建一条公路，这条公路与原公路的交叉处必须设立交桥，问怎样确定立交桥的位置？应架设几座立交桥？【答案】解：连接CE，与BD的交点处架立交桥；1座．【解析】【分析】连接CE时只与BD有一个交点，所以只有一座立交桥.16.如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求x的值．【答案】解：根据题意得，x﹣3=3x﹣2，解得：x=﹣【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，列出方程x﹣3=3x﹣2解答即可．17.如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积乘高）【答案】解：如图所示：根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，三棱柱的体积= =5．【解析】【分析】根据题意可知正方体被截取的一部分为一个直三棱柱，由正方体的棱长相等求出三棱柱各个边的长，求出三棱柱的体积.18.将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现有一个长是5cm、宽是6cm的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱几何体，它们的体积分别是多大？【答案】解：①绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×52×6=150π（cm3）；②绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×62×5=180π（cm3）．答：它们的体积分别是150π（cm3）和180π（cm3）【解析】【分析】根据圆柱体的体积=底面积×高求解，注意底面半径和高互换得圆柱体的两种情况．。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.5去括号【名师点睛】去括号与添括号（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．【典例剖析】【知识点1】去括号与整式的加减【例1】先去括号，再合并同类项：﹣2n﹣（3n﹣1）；a﹣（5a﹣3b）+（2b﹣a）；﹣3（2a﹣5）+6a；1﹣（2a﹣1）﹣（3a+3）；3（﹣ab+2a）﹣（3a﹣b）；14（abc﹣2a）+3（6a﹣2abc）．【分析】先去括号，再合并同类项即可．【解析】﹣2n﹣（3n﹣1）＝﹣2n﹣3n+1＝﹣5n+1；a﹣（5a﹣3b）+（2b﹣a）＝a﹣5a+3b+2b﹣a＝﹣5a+5b；﹣3（2a﹣5）+6a＝﹣6a+15+6a＝15；1﹣（2a﹣1）﹣（3a+3）＝1﹣2a+1﹣3a﹣3＝﹣5a﹣1；3（﹣ab+2a）﹣（3a﹣b）＝﹣3ab+6a﹣3a+b＝﹣3ab+3a+b；14（abc﹣2a）+3（6a﹣2abc）＝14abc﹣28a+18a﹣6abc＝8abc﹣10a．【变式1】．将下列各式去括号，并合并同类项．（1）（7y﹣2x）﹣（7x﹣4y）（2）（﹣b+3a）﹣（a﹣b）（3）（2x﹣5y）﹣（3x﹣5y+1）（4）2（2﹣7x）﹣3（6x+5）（5）（﹣8x2+6x）﹣5（x2―45x+15）（6）（3a2+2a﹣1）﹣2（a2﹣3a﹣5）【分析】原式各项去括号合并即可得到结果．【解析】（1）原式＝7y﹣2x﹣7x+4y＝11y﹣9x；（2）原式＝﹣b+3a﹣a+b＝2a；（3）原式＝2x﹣5y﹣3x+5y﹣1＝﹣x﹣1；（4）原式＝4﹣14x﹣18x﹣15＝﹣32x﹣11；（5）原式＝﹣8x2+6x﹣5x2+4x﹣1＝﹣13x2+10x﹣1；（6）原式＝3a2+2a﹣1﹣2a2+6a+10＝a2+8a+9．【知识点2】整式的化简【例2】（2021•拱墅区二模）已知多项式M＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2+x+yx+1）．（1）当x＝1，y＝2，求M的值；（2）若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；（2）M化简的结果变形后，根据M与字母x的取值无关，确定出y的值即可．【解析】（1）M＝2x2+3xy+2y﹣2x2﹣2x﹣2yx﹣2＝xy﹣2x+2y﹣2，当x＝1，y＝2时，原式＝2﹣2+4﹣2＝2；（2）∵M＝xy﹣2x+2y﹣2＝（y﹣2）x+2y﹣2，且M与字母x的取值无关，∴y﹣2＝0，解得：y＝2．【知识点3】整体思想在整式的加减中的应用【例3】（2020秋•浦东新区校级期中）多项式A＝x3+mx2+2x﹣8、B＝3x﹣n，A与B的乘积中不含有x3和x项．（1）试确定m和n的值；（2）求3A﹣2B．【分析】（1）直接利用多项式乘法计算进而得出n，m的值；（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．【解析】（1）（x3+mx2+2x﹣8）（3x﹣n）＝3x4+3mx3+6x2﹣24x﹣nx3﹣mnx2﹣2nx+8n＝3x4+（3m﹣n）x3+（6﹣mn）x2+（﹣2n﹣24）x+8n，∵多项式A＝x3+mx2+2x﹣8、B＝3x﹣n，A与B的乘积中不含有x3和x项，∴3m﹣n＝0，﹣2n﹣24＝0，解得：n＝﹣12，m＝﹣4；（2）由（1）得：3A﹣2B＝3（x3+mx2+2x﹣8）﹣2（3x﹣n）＝3（x3﹣4x2+2x﹣8）﹣2（3x+12）＝3x3﹣12x2+6x﹣24﹣6x﹣24＝3x3﹣12x2﹣48．【变式3】（2020秋•铜陵期中）已知多项式A和B，A＝（5m+1）x2+（3n+2）xy﹣3x+y，B ＝6x2+5xy﹣2x﹣1，当A与B的差不含二次项时，求（﹣1）m+n•[﹣m+n﹣（﹣n）3m]的值．【分析】把A与B代入A﹣B中，去括号合并后根据差不含二次项确定出m与n的值，代入原式计算即可得到结果．【解析】∵A＝（5m+1）x2+（3n+2）xy﹣3x+y，B＝6x2+5xy﹣2x﹣1，∴A﹣B＝（5m+1）x2+（3n+2）xy﹣3x+y﹣6x2﹣5xy+2x+1＝（5m﹣5）x2+（3n﹣3）xy﹣x+y+1，由结果不含二次项，得到5m﹣5＝0，3n﹣3＝0，解得：m＝n＝1，则原式＝1．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021•三元区校级开学）化简﹣（x﹣2y）的结果是（ ）A．﹣x﹣2y B．﹣x+2y C．x﹣2y D．x+2y【分析】根据去括号法则解答即可．【解析】﹣（x﹣2y）＝﹣x+2y．故选：B．2．（2020秋•七星关区期末）下列去括号正确的是（ ）A．a+（b﹣c）＝a+b+c B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣cC．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c D．a+（b﹣c）＝a﹣b+c【分析】利用去括号添括号法则，逐项判断即可得出正确答案．【解析】A、D、a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故A和D都错误；B、C、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故B错误，C正确；故选：C．3．（2020秋•金塔县期末）化简﹣2（m﹣n）的结果为（ ）A．﹣2m﹣n B．﹣2m+n C．2m﹣2n D．﹣2m+2n 【分析】利用分配律把括号内的2乘到括号内，然后利用去括号法则求解．【解析】﹣2（m﹣n）＝﹣（2m﹣2n）＝﹣2m+2n．故选：D．4．（2020秋•江津区期末）下列各题去括号错误的是（ ）A．x﹣（3y―12）＝x﹣3y+12B．m+（﹣n+a﹣b）＝m﹣n+a﹣bC．―12（4x﹣6y+3）＝﹣2x+3y+3D．（a+12b）﹣（―13c+27）＝a+12b+13c―27【分析】根据去括号与添括号的法则逐一计算即可．【解析】A、x﹣（3y―12）＝x﹣3y+12，正确；B、m+（﹣n+a﹣b）＝m﹣n+a﹣b，正确；C、―12（4x﹣6y+3）＝﹣2x+3y―32，故错误；D、（a+12b）﹣（―13c+27）＝a+12b+13c―27，正确．故选：C．5．（2021秋•上思县期中）不改变代数式a﹣（b﹣3c）的值，把代数式中括号前的“﹣”号变成“+”号，结果是（ ）A．a+（b﹣3c）B．a+（﹣b﹣3c）C．a+（b+3c）D．a+（﹣b+3c）【分析】根据添括号的方法和括号前面的符号，即可得出答案．【解析】根据题意得a﹣（b﹣3c）＝a+（﹣b+3c），故选：D．6．（2021秋•阆中市校级期中）下面去括号错误的是（ ）A．a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a+b﹣cB．5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+5C．3a―13(3a2―2a)=3a―a2+23aD．a3﹣[a2﹣（﹣b）]＝a3﹣a2﹣b【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．结合各选项进行判断即可．【解析】A、a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a+b﹣c，去括号正确，不符合题意；B、5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+10，去括号错误，符合题意；C、3a―13(3a2―2a)=3a―a2+23a，去括号正确，不符合题意；D、a3﹣[a2﹣（﹣b）]＝a3﹣a2﹣b，去括号正确，不符合题意；故选：B．7．（2021秋•龙沙区期末）下列各式由等号左边变到右边变错的有（ ）①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2③﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据去括号的方法逐一化简即可．【解析】根据去括号的法则：①应为a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，错误；②应为（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+2y2，错误；③应为﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a﹣b+x﹣y，错误；④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x+3y+a﹣b，错误．故选：D．8．（2021春•渝北区期末）已知，a﹣b＝3，a﹣c＝1，则（b﹣c）2﹣2 （b﹣c）+94的值为（ ）A．274B．412C．272D．414【分析】根据整式的加减运算求出b﹣c的值，然后代入原式即可求出答案．【解析】∵a﹣b＝3，a﹣c＝1，∴（a﹣c）﹣（a﹣b）＝1﹣3，∴b﹣c＝﹣2，∴原式＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+9 4＝4+4+9 4，=41 4，故选：D．9．（2020秋•北碚区校级期中）若代数式2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）的值与x的取值无关，则m2019n2020的值为（ ）A．﹣32019B．32019C．32020D．﹣32020【分析】根据关于字母x的代数式2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）的值与x的取值无关，可得x2、x的系数都为零，可得答案．【解析】2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）＝（2m+6）x2+（4+4n）x﹣2y2+6y﹣2．由代数式的值与x值无关，得x2及x的系数均为0，2m+6＝0，4+4n＝0，解得m＝﹣3，n＝﹣1．所以m2019n2020＝（﹣3）2019（﹣1）2020＝﹣32019．故选：A．10．（2021秋•淅川县期末）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xy―12y2）﹣（―12x2+4xy―32y2）=―12x2+y2，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（ ）A．﹣7xy B．+7xy C．﹣xy D．+xy 【分析】根据题意得出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可．【解析】由题意得，被墨汁遮住的一项＝（﹣x2+3xy―12y2）﹣（―12x2+4xy―32y2）﹣（―12x2+y2）＝﹣x2+3xy―12y2+12x2﹣4xy+32y2+12x2﹣y2＝﹣xy．故选：C．二．填空题（共8小题）11．（2021秋•高州市期中）化简﹣3（a﹣2b+1）的结果为　﹣3a+6b﹣3　．【分析】直接利用去括号法则计算得出答案．【解析】原式＝﹣3a+6b﹣3．故答案为：﹣3a+6b﹣3．12．（2019秋•方城县期末）在括号内填上恰当的项：2﹣x2+2xy﹣y2＝2﹣（　x2﹣2xy+y2　）．【分析】根据添括号的法则解答．【解析】2﹣x2+2xy﹣y2＝2﹣（x2﹣2xy+y2）．故答案是：x2﹣2xy+y2．13．（2019秋•盐都区期末）已知a﹣2b＝1，则3﹣2a+4b＝　1　．【分析】先把代数式化为已知的形式，再把已知条件整体代入计算即可．【解析】根据题意可得：3﹣2a+4b＝3﹣2（a﹣2b）＝3﹣2＝1．14．（2018秋•宝塔区校级期中）(2x2―23x+1)―　（﹣x2+43x﹣4）　＝3x2﹣2x+5．【分析】直接利用整式的加减运算法则结合去括号法则化简得出答案．【解析】∵2x2―23x+1﹣（3x2﹣2x+5）＝﹣x2+43x﹣4．∴2x2―23x+1﹣（﹣x2+43x﹣4）＝3x2﹣2x+5．故答案为：﹣x2+43x﹣4．15．（2017秋•禄丰县校级期中）与代数式8a2﹣6ab﹣4b2的和是4a2﹣5ab+2b2的代数式是　﹣4a2+ab+6b2　．【分析】将两个代数式分别看作两个整体，根据多项式加减合并同类项．【解析】根据题意得（4a2﹣5ab+2b2）﹣（8a2﹣6ab﹣4b2）＝4a2﹣5ab+2b2﹣8a2+6ab+4b2＝（4﹣8）a2+（6﹣5）ab+（2+4）b2＝﹣4a2+ab+6b2故填﹣4a2+ab+6b2．16．（2020秋•南充期末）多项式mx2﹣（1﹣x﹣6x2）化简后不含x的二次项，则m的值为　﹣6　．【分析】先求出二次项的系数，然后令系数为0，求出m的值．【解析】mx2﹣（1﹣x﹣6x2）＝（m+6）x2﹣1+x，∴二次项的系数为：m+6，则有m+6＝0，解得：m＝﹣6．故答案为：﹣6．17．（2020秋•宁波期末）已知x﹣y＝5，a+b＝﹣3，则（y﹣b）﹣（x+a）的值为　﹣2．　．【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案．【解析】原式＝y﹣b﹣x﹣a＝﹣（x﹣y）﹣（a+b）当x﹣y＝5，a+b＝﹣3时，原式＝﹣5+3＝﹣2．故答案为：﹣2．18．（2018秋•淮南期末）定义|a b c d|为二阶行列式，规定它的运算法则为|a b c d|=ad﹣bc，那么当二阶行列式|x―132+x1|的值为﹣9时，x＝　1　．【分析】利用题中的新定义化简得到关于x的一元一次方程，求出方程的解即可得到x 的值．【解析】根据题中的新定义化简得：x﹣1﹣3（2+x）＝﹣9，去括号得：x﹣1﹣6﹣3x＝﹣9，移项合并得：﹣2x＝﹣2，解得：x＝1，故答案为：1三．解答题（共6小题）19．先去括号，再合并同类项；（1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）（2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）（3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]（4）（a+b）2―72（a+b）―54（a+b）2+（﹣3）2（a+b）．【分析】根据去括号的方法，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，再计算即可．【解析】（1）原式＝3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2＝﹣6x3+7；（2）原式＝3x2﹣xy﹣2y2﹣2x2﹣2xy+4y2＝x2﹣3xy+2y2；（3）原式＝2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y＝3x﹣12y；（4）原式=―72（a+b）―14（a+b）2+9（a+b）=―14（a+b）2+112（a+b）．20．先去括号，再合并同类项：6a2﹣2ab﹣2（3a2―12 ab）；2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]；9a3﹣[﹣6a2+2（a3―23a2）]；2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）．【分析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；【解析】6a2﹣2ab﹣2（3a2―12ab）＝6a2﹣2ab﹣6a2+ab＝﹣ab；2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]＝4a﹣2b﹣4b﹣2a+b＝2a﹣5b；9a3﹣[﹣6a2+2（a3―23a2）]＝9a3+6a2﹣2a3+43a2＝7a3+223a2；2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）＝2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1＝3t2﹣3t．21．按下列要求，给多项式3x3﹣5x2﹣3x+4添括号：（1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“+”号；（2）把多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号；（3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号；（4）把多项式中间的两项括起来．括号前面“﹣”号．【分析】根据添括号的法则把给出的式子按要求进行变形，即可得出答案．【解析】（1）多项式后三项括起来，括号前面带有“+”号是3x3+（﹣5x2﹣3x+4）；（2）多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号是：﹣（﹣3x3+5x2）﹣3x+4；（3）多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号是：3x3﹣（+5x2+3x﹣4）；（4）多项式中间的两项括起来，括号前面“﹣”号是3x3﹣（5x2+3x）+4．22．（2021•泗洪县三模）已知k=―12，求代数式2（k2﹣k﹣1）﹣（k2﹣k﹣1）+3（k2﹣k﹣1）的值．【分析】先根据整式的混和运算顺和法则分别进行计算，再把所得的结果进行合并，最后把k的值代入即可．【解析】2（k2﹣k﹣1）﹣（k2﹣k﹣1）+3（k2﹣k﹣1）＝2k2﹣2k﹣2﹣k2+k+1+3k2﹣3k﹣3．＝4k2﹣4k﹣4．∵k=―1 2，∴原式=4×(―12)2―4×(―12)―4＝﹣1．23．（2016秋•徐闻县期中）观察下列各式：①﹣a+b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x+30＝5（x+6）；④﹣x﹣6＝﹣（x+6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知a2+b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1+a2+b+b2的值．【分析】利用添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而将已知代入求出即可．【解析】∵a 2+b 2＝5，1﹣b ＝﹣1，∴﹣1+a 2+b +b 2＝﹣（1﹣b ）+（a 2+b 2）＝﹣（﹣1）+5＝6．24．（2020秋•罗庄区期末）一般情况下，对于数a 和b ，a 2+b 4≠a b24（“≠”不等号），但是对于某些特殊的数a 和b ，a 2+b 4=a b24．我们把这些特殊的数a 和b ，称为“理想数对”，记作（a ，b ）．例如当a ＝1，b ＝﹣4时，有12+44=1(4)24，那么（1，﹣4）就是“理想数对”．（1）（3，﹣12），（﹣2，4）可以称为“理想数对”的是 （3，﹣12）　；（2）如果（2，x ）是“理想数对”，求x 的值；（3）若（m ，n ）是“理想数对”，求3[（9n ﹣4m ）﹣8（n ―76m ）]﹣4m ﹣12的值．【分析】（1）根据题目中的新定义验证（3，﹣12），（﹣2，4）哪个符合公式a 2+b 4=a b24即可；（2）按照题意（2，x ）是“理想数对”，则a ＝2，b ＝x ，满足公式a 2+b 4=a b24，代入求x ；（3）根据题意，m ，n 满足m 2+n 4=m n24，得出n ＝﹣4m ，然后化简代数式并把n ＝﹣4m 代入求值即可．【解析】（1）对于数对（3，﹣12），有32+124=31224=―32，因此（3，﹣12）是“理想数对”；对于数对（﹣2，4），22+44=0，2424=13，0≠13，所以（﹣2，4）不是理想数对；故答案为（3，﹣12）；（2）因为（2，x ）是“理想数对”， 所以22+x 4=2x24，解得x ＝﹣8，故x 的值为﹣8；（3）由题意，〈m ，n 〉是“理想数对”，所以m 2+n 4=m n24，即n ＝﹣4m ，3[（9n﹣4m）﹣8（n―76m）]﹣4m﹣12＝3[9n﹣4m﹣8n+283m]﹣4m﹣12＝27n﹣12m﹣24n+28m﹣4m﹣12＝3n+12m﹣12，将n＝﹣4m代入，原式＝﹣12m+12m﹣12＝﹣12．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1.5　有理数的乘方1.5.1　乘方能力提升1.(-1)2 016的值是( )A.1B.-1C.2 016D.-2 0162.下列各式中,一定成立的是( )A.(-3)2=32B.(-3)3=33C.-32=|-32|D.(-3)3=|(-3)3|3.28 cm接近于( )A.珠穆朗玛峰的高度B.三层住宅楼的高度C.一层住宅楼的高度D.一张纸的厚度4.现规定一种新的运算“*”,a*b=a b-1,如3*2=32-1=8,则*3等于( )A.-B.-1C.-2D.-5.把写成乘方的形式为 ,其底数是 .6. 的平方是, 的立方是-.7.若x,y互为倒数,则(xy)2 015= ;若x,y互为相反数,则(x+y)2 016= .★8.你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合、拉伸,反复多次,就能拉成许多细面条.如图所示:(1)经过第3次捏合后,可以拉出 根细面条;(2)到第 次捏合后可拉出32根细面条.9.计算:(1)-52+2×(-3)2-7÷;(2)(-5)2×+32÷(-2)3×.创新应用★10.为了求1+2+22+23+…+22 015的值,可令S=1+2+22+23+…+22 015,则2S=2+22+23+…+22 016,因此2S-S=22 016-1,所以1+2+22+23+…+22 015=22 016-1.仿照以上推理计算出1+9+92+93+…+92 016的值是( )A.92 016-1B.92 017-1C.D.★11.观察下列各组数:①-1,2,-4,8,-16,32,…;②0,3,-3,9,-15,33,…;③-2,4,-8,16,-32,64,…. (1)第①组数是按什么规律排列的?(2)第②③组数分别与第①组数有什么关系?(3)取每组数的第8个数,计算这三个数的和.参考答案能力提升1.A2.A　(-3)2为正,32也为正,即(-3)2=32,所以A一定成立;(-3)3为负,33为正,所以B不成立;-32为负,|-32|为正,所以C不成立;(-3)3为负,|(-3)3|为正,所以D不成立.3.C　28cm=256cm=2.56m,所以接近于一层住宅楼的高度.4.B　*3=-1=--1=--1=-1.5.6.±　-7.1　0　若x,y互为倒数,则xy=1,所以(xy)2015=12015=1;若x,y互为相反数,则x+y=0,所以(x+y)2016=02016=0.8.(1)8　(2)5　经过分析,设捏合次数为n,则可拉出的细面条根数为2n.9.解:(1)-70;(2)-10.创新应用10.D　令S=1+9+92+93+…+92016,则9S=9+92+93+…+92017,所以9S-S=92017-1,即S=.11.解:(1)后面一个数与前面一个数的比值为-2.(2)对比①②③三组中对应位置的数,第②组数比第①组数大1,第③组数是第①组数的2倍.(3)128+129+256=513.。

专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____．【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，……∴（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1∵（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0，∴x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1，则x 2019﹣1＝0或﹣2，故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（）A ．5B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∵15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∴211154a ==--，∵3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∴314151-4a ==æö-ç÷èø，∴415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-，则前6个数的和是()()0110110++++-+-=，第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=，归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=´+Q ，且前6个数的和是0，\这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______．【答案】()12n nn-【详解】解：()11122-=-´，()221221242==-´，()3333182-=-´，()4414414162==-´，()55551322-=-´，……由此发现：第n 个数为()12n n n -．故答案为：()12n nn-【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b +=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++LL【答案】5221a b 【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∴()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ，故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6 (1)2n n -【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112´-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132´-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162´-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102´-=，……∴n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）．故答案为6；(1)2n n -．【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∴12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n-【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∵6064120213-=，∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（ ）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形，第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，…故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形，解得n =100故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（ ）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表：偶数列数排数22436485……n 12n +∴当n =16时，排数为：192n +=，∴前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872´+++´…9（颗），∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C 【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，根据题意得，2a +2b =3a ， 整理得，a =2b ，∴竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6，∴n =3×2+6×2=6+12=18．故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ，整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22，∴x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12，∴x +y =3z -24=12故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】Q 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，\第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，\第6行最后一个数字为：36216´-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∴M =m （n +1），∴M =11×(12+1)=143．故答案为：143．7．为了求220211222+++¼+的值，可令220211222S =+++¼+，则220222222S =++¼+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++¼+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++¼+的值是______．【答案】2021332--【详解】解：令1220211333S ---=+++¼+，则1220212022133333S ----=++¼++，因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++¼+=．故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2）【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人．…拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人．故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147´-´=，172316247´-´=，不难发现，结果都是7．2012年8月日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8），根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数17193761（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n=+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-éùëû()()21322213312n n n n n --=+-=-+2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；∵6=4+2，28+2¹，∴2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∵m 是“筋斗数”，∴m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∴m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∵m 与13的和能被11整除，∴1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∵2b +a ≤9且a 、b 为整数，∴b ≤4.5∵1100a +110b 能被11整除，∴2000b +a +13能被11整除，∴b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∴a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∴m 的值为9909或2110或642212．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n ++++++++L ＝_______．并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n +++++L 的值的几何图形．【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时 ，1111111112481632641282562n ++++++++L 的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；②设1111111112481632641282562n s =++++++++L ，111111111212481632641282n s -=++++++++L ，1212n s s \-=-，即112ns =-，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++L 的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。

专题04 整式中加减无关型的三种考法类型一、不含某一项例.已知关于x 的整式A 、B ，其中A ＝4x 2+（m ﹣1）x +1，B ＝nx 2+2x +1．若当A +2B 中不含x 的二次项和一次项时，求m +n 的值．【答案】-5【详解】解：A +2B =[4x 2+（m -1）x +1]+2（nx 2+2x +1）=4x 2+（m -1）x +1+2nx 2+4x +2=（4+2n ）x 2+（m +3）x +3，∵A +2B 中不含x 的二次项和一次项，∴4+2n =0，m +3=0，解得：n =-2，m =-3，∴m +n =-3+（-2）=-5，即m +n 的值为-5．【变式训练1】若多项式4323325x ax x bx x x -+++--不含3x 和x 项，则+a b 的值为_______．【答案】3【详解】x 4-ax 3+3x 2+bx +x 3-2x -5=x 4+（1-a ）x 3+3x 2+（b -2）x -5，∵多项式x 4-ax 3+3x 2+bx +x 3-2x -5不含x 3和x 项，∴1-a =0，b -2=0，解得a =1，b =2，∴a +b =1+2=3．故答案为：3．【变式训练2】若多项式322x 8x +x 1--与多项式323x +2mx 5x+3-相减后不含二次项，则m 的值为______ ．【答案】-4【详解】由题意可得：-8-2m=0，解之可得：m=-4，故答案为-4．【变式训练3】．先化简再求值：（1）()222233a ab a ab æö---ç÷èø，其中2,3a b =-=．（2）已知整式226x ax y +-+与整式22351bx x y -+-的差不含x 和2x 项，试求出+a b 的值．【答案】（1）ab ，-6；（2）-2【详解】（1）()222233a ab a ab æö---ç÷èø=222322a ab a ab --+=ab ，将2,3a b =-=代入，原式=23-´=-6；（2）()22235126x a x x bx y y +--++--=22262351x ax y bx x y +-+-+-+=()()222367b x a x y -++-+∵结果不含x 和2x 项，∴2-2b =0，a +3=0，∴a =-3，b =1，∴a +b =-3+1=-2．故答案为：（1）ab ，-6；（2）-2【变式训练4】若要使多项式()222352x x x mx -+-+化简后不含x 的二次项，则m 等于（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．5-【答案】D 【详解】3x 2-（5+x -2x 2）+mx 2=3x 2-5-x +2x 2+mx 2=（3+2+m ）x 2-5-x ，二次项的系数为：3+2+m ，因为多项式化简后不含x 的二次项，则有3+2+m =0，解得：m =-5．故选：D ．类型二、与某一项的取值无关例1.已知21A x ax =--，221B x ax =--，且多项式12A B -的值与字母x 取值无关，求a 的值．【答案】0【详解】解：()()22221111111211222222A B x ax x ax x ax x ax ax -=-----=---++=--，∵12A B -的值与字母x 的取值无关，∴0a =．【变式训练1】已知代数式2236351x ax y bx x y -++--+-的值与x 的取值无关，则ab =________．【答案】-9【详解】2236351x ax y bx x y -++--+-=()()23365b x a x y --+++∵值与x 的取值无关，∴3-b =0，a +3=0，∴a =-3，b =3，∴339ab =-´=-，故答案为：-9．【变式训练2】定义：若x y m -=，则称x 与y 是关于m 的相关数．(1)若5与a 是关于2的相关数，则=a _____．(2)若A 与B 是关于m 的相关数，356A mn m n =-++，B 的值与m 无关，求B 的值．【答案】(1)3；(2)B =8【解析】(1)解：∵5与a 是关于2的相关数，∴52a -=，解得3a =；(2)解：∵A 与B 是关于m 的相关数，356A mn m n =-++，∴A B m-=356366B A m mn m n m mn m n \=-=-++-=-++()326m n n=-++Q B 的值与m 无关，∴n-2=0，得n=2，8B =．【变式训练3】（1）化简求值()()222222232a ab b a ab b +--+-，其中2,a b ==．（2）已知22,223A x ax B bx x =+=-+，若多项式4A B +的值与字母x 的取值无关，求,a b 的值．【答案】（1）2252a b -+；14（2）a=12,b=-2．【详解】（1）()()222222232a ab ba ab b +--+-=222222624a ab b a ab b +---+=()()()222262224a a ab ab b b -+-+-+=2252a b -+把2,a b ==代入原式=-5×4+2×3=-20+6=-14．（2）∵22,223A x ax B bx x =+=-+，∴4A B +=()()224223x ax bx x ++-+=2244223x ax bx x ++-+=()()242423b x a x ++-+∵多项式4A B +的值与字母x 的取值无关，∴420b +=，42a -=0解得a=12,b=-2．故答案为：（1）2252a b -+；14（2）a=12,b=-2．【变式训练4】定义：若A B m -=，则称A 与B 是关于m 的关联数．例如：若2A B -=，则称A 与B 是关于2的关联数；(1)若3与a 是关于2a 的关联数，则=a __________．(2)若()21x -与1x +是关于-2的关联数，求x 的值．(3)若M 与N 是关于m 的关联数，23M mn n =-+，N 的值与m 无关，求N 的值．【答案】(1)1；(2)11x =，22x =；(3)2.5【解析】(1)解：∵3与a 是关于2a 的关联数，∴3-a =2a ，∴a =1，故答案为：1(2)解：()()2112x x --+=-，整理得2320x x -+= 则(2)(1)0x x --= 解得：11x =，22x =．∴x 的值为1或2；(3)解：()23mn n N m -+-=，()23213N mn m n m n n =--+=--+，∵N 的值与m 无关，∴210n -=，∴0.5n =，∴ 2.5N =．类型三、问题探究例1.有这样一道题：计算()()22263341x xy x xy -+-++-的值，其中23x =，5y =-小明把5y =-抄成5y =．但他的计算结果却是正确的，你能说出其中的原因吗？请你求出正确结果．【答案】原因见解析，319【详解】()()22263341x xy x xy -+-++-=2221263123x xy x xy --+++-=23x +由于所得的结果与y 的取值没有关系，故他将x 的值代入计算后，所得的结果也正确，正确结果为：原式=2233æö+ç÷èø=319．故答案为：原因见解析，319【变式训练1】李老师写出了一个整式ax 2+bx -2-（5x 2+3x ），其中a ，b 为常数，且表示为系数，然后让同学赋予a ，b 不同的数值进行计算．(1)甲同学给出了a =6，b =-2，请按照甲同学给出的数值化简整式；(2)乙同学给出了一组数据，计算的最后结果与x 的取值无关，请求出乙同学给出的a ，b 的值．【答案】(1)x 2-5x -2；(2)a =5，b =3【解析】(1)当a =6，b =-2时，原式=（6x 2-2x -2）-（5x 2+3x ）=6x 2-2x -2-5x 2-3x =x 2-5x -2；(2)（ax 2+bx -2）-（5x 2+3x ）=ax 2+bx -2-5x 2-3x =（a -5）x 2+（b -3）x -2．因为结果与x 的取值无关，所以a -5=0，b -3=0，所以a =5，b =3．【变式训练2】有这样一道题：“当2017a =，2018b =-时，求多项式3323323853453122020a a b a b a a b a b a -+++--+值．”小明认为：本题中2017a =，2018b =是多余的条件．小强反对说：“这不可能，多项式中含有a 和b ，不给出a 、b 的值，就不能求出多项式的值．”你同意谁的观点？请说明理由．【答案】小明的说法正确，理由见解析【详解】解：小明的说法正确，理由如下，3323323853453122020a ab a b a a b a b a -+++--+()()()332841255332020a ab a b =+-+-+-+2020=Q 结果与,a b 的值无关\本题中2017a =，2018b =是多余的条件．故小明的说法正确【变式训练3】有这样一道题“当2,3a b ==-时，求多项式23223223111(4)(3)5244a b ab b a b ab b a b ab -+---++-的值”，小马虎做题时把2a =错抄成2a =-， 但他做出的结果却是正确的，你知道这是怎么回事吗？请说明理由，并求出结果．【答案】理由见解析，13【详解】23223223111(4)(3)5244a b ab b a b ab b a b ab -+---++-Q 23223223111435244a b ab b a b ab b a b ab =-+-++++-=2b 2-5，∴此整式化简后与a 的值无关，∴马小虎做题时把a =2错抄成a =-2，但他做出的结果却是正确的．当b =-3时，原式=2×（-3）2-5=13．故答案为：13【变式训练4】已知22A a b abc =+，小红错将“2A B -”看成了“2A B +”，算得结果为254a b abc +．(1)求B ；(2)小军跟小红说：“2A B -的大小与c 取值无关”，小军的说法对吗？为什么？【答案】(1)22B a b abc =+；(2)对，理由见解析【解析】(1)根据题意：22A a b abc =+，2254A B a b abc +=+，即2542B a b abc A=+-()225422a b abc a b abc =+-+225442a b abc a b abc=+--22a b abc =+；(2)小军的说法对，理由：∵22A a b abc =+，22B a b abc =+，∴2A B -()()22222a b abc a b abc =+-+22422a b abc a b abc =+--23a b =，∴结果不含c ，即2A B -的大小与c 取值无关，故小军的说法对．课后作业1．若多项式322(2)26k k x kx x -+--是关于x 的二次多项式，则k 的值为（）．A ．0B ．1C ．2D ．以上都不正确【答案】A【详解】解：∵多项式322(2)26k k x kx x -+--是关于x 的二次多项式，∴不含x 3项，即k （k -2）=0，且k -2≠0，解得k =0；∴k 的值是0．故选：A ．2．整式()()()22241332xyz xy xy z yx xyz xy +-+-+--+的值（ ）．A ．与x 、y 、z 的值都有关B ．只与x 的值有关C ．只与x 、y 的值有关D ．与x 、y 、z 的值都无关【答案】D 【详解】解：原式=xyz 2+4yx -1-3xy +z 2yx -3-2xyz 2-xy =-4，则代数式的值与x 、y 、z 的取值都无关．故选D ．3．多项式23635x x -+与3231257x mx x +-+相加后不含二次项，则常数m 的值是（ ）A ．3-B ．3C ．2-D ．13-【答案】A 【详解】解：36x 2-3x +5+3x 3+12mx 2-5x +7=3x 3+（36+12m ）x 2-8x +12，∵多项式36x 2-3x +5与3x 3+12mx 2-5x +7相加后，不含二次项，∴36+12m =0，解得，m =-3，故选：A ．4．（1）已知3x =时，多项式35ax bx -+的值是1，当3x =-时，求35ax bx -+的值．（2）如果关于字母x 的二次多项式2233x mx nx x -++-+的值与x 的取值无关，求()()m n m n +-的值．【答案】（1）9；（2）-8．【详解】解：（1）依题意得：当3x =时，27351a b -+=，即2734a b -=-，而当3x =-时，()27352735459a b a b -++=--+=+=；（2）∵()()22233313x mx nx x n x m x -++-+=-+-+，依题意得30n -=，10m -=，即3n =，1m =， ()()()()13138m n m n \+-=+-=-．5.已知关于x 的代数式226x bx y --+和51ax x y +--的值都与字母x 的取值无关．(1)求a ，b 的值；(2)若A ＝4a 2－ab －4b 2，B ＝3a 2－ab －3b 2，求()()4325A A B A B +---éùëû的值．【答案】(1)a ＝－1，b ＝1；(2)5【解析】(1)解：∵关于x 的代数式226x bx y --+和51ax x y +--的值都与字母x 的取值无关，∴1010b a -=ìí+=î，∴11a b =-ìí=î；(2)解：()()4325A A B A B +---éùëû()43255A A B A B =+--+43255A A B A B=+--+23A B =+()2222828333a ab b a ab b =--+--2222828939a ab b a ab b =--+--2217517a ab b =--当11a b =-ìí=î时，原式()()221715111715=´--´-´-´=6．已知：代数式23421A x xy x =-++，代数式222B x xy x =---，代数式()()2121C a x b x =--+．(1)化简2A B -所表示的代数式；(2)若代数式2A B C -+的值与x 的取值无关，求出a 、b 的值．【答案】(1)245x x ++；(2)1,2a b =-=【解析】(1)解：（1）A -2B =3x 2-4xy +2x +1-2（x 2-2xy -x -2）=3x 2-4xy +2x +1-2x 2+4xy +2x +4=x 2+4x +5；(2)（2）A -2B +C =x 2+4x +5+a （x 2-1）-b （2x +1）=x 2+4x +5+ax 2-a -2bx -b=（1+a ）x 2+（4-2b ）x +5-a -b ．∵代数式A -2B +C 的值与x 的取值无关，∴1+a =0，4-2b =0，∴a =-1，b =2．7．对于多项式22222735x xy y x kxy y +++-+，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k 为何值时，多项式中不含xy 项？第二个问题是：在第一问的前提下，如果2x =，1y =-，多项式的值是多少？（1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧；（2）在做第二个问题时，马小虎同学把1y =-，错看成1y =，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析【详解】解：（1）因为22222735x xy y x kxy y +++-+2222(2)(35)(7)x x y y xy kxy =++++-2238(7)x y k xy =++-，所以只要70k -=，这个多项式就不含xy 项即7k =时，多项式中不含xy 项；（2）因为在第一问的前提下原多项式为：2238x y +，当2,1x y ==-时，2238x y +22328(1)+´=´-128=+20=．当2,1x y ==时，2238x y +2238x y =+223281=´´+128=+20=．所以当1y =-和1y =时结果是相等的．8．李老师写出了一个式子()()22253ax bx x x ++-+，其中a 、b 为常数，且表示系数．然后让同学赋予a 、b 不同的数值进行计算．(1)甲同学给出了5a =，3b =-．请按照甲同学给出的数值化简原式；(2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为2242x x -+，求乙同学给出的a 、b 的值；(3)丙同学给出了一组数据，计算的最后结果与x 的取值无关，请求出丙同学的计算结果．【答案】(1)﹣6x +2；(2)a =7，b =﹣1；(3)2【解析】(1)解：由题意得：（5x 2﹣3x +2）﹣（5x 2+3x ）=5x 2﹣3x +2﹣5x 2﹣3x =﹣6x +2；(2)解：（ax 2+bx +2）﹣（5x 2+3x ）=ax 2+bx +2﹣5x 2﹣3x=（a ﹣5）x 2+（b ﹣3）x +2，∵其结果为2x 2﹣4x +2，∴a ﹣5=2，b ﹣3=﹣4，解得：a =7，b =﹣1；(3)解：（ax 2+bx +2）﹣（5x 2+3x ）=ax 2+bx +2﹣5x 2﹣3x=（a ﹣5）x 2+（b ﹣3）x +2，∵结果与x 的取值无关，∴原式=2．。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.2单项式【名师点睛】单项式（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a 或-a 这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．【典例剖析】【知识点1】单项式的系数与次数【例1】下列单项式的系数与次数：32x 2y 3z ；ab 2；49a 2b 3；﹣x ；30%mn ．【分析】直接利用单项式的系数确定方法分别分析得出答案．【解析】32x 2y 3z 系数与次数分别为：32；6；ab 2系数与次数分别为：1；3；49a 2b 3系数与次数分别为：49；5；﹣x 系数与次数分别为：﹣1，1；30%mn 系数与次数分别为：30%；2．【变式1.1】填下列表格：单项式a 2﹣xyz 116πb 2―56x 32x 2y 3z ﹣2.56ab 3系数　1 ﹣1 116π ―56 9 ﹣2.56　次数　2　　3　　2 1　　6　　4　【分析】根据单项式的概念即可求出答案．【解析】a 2的系数为1，次数为2，﹣xyz 的系数为﹣1，次数为3，116π的系数为116π，次数为2，―56的系数为―56，次数为1，32x 2y 3z 的系数为9，次数为6，﹣2.56ab 3的系数为﹣2.56，次数为4．故答案为：1，﹣1，116π，―56，9，﹣2.56，2，3，2，1，6，4．【变式1.2】（1）y 9的系数是　1　，次数是　9　；（2）―5x 2y6的系数是　―56　次数是　3　；（3）―m 2n2的系数是　―12　次数是　3　；（4）﹣5xy 的系数是　﹣5　，次数是　2　．【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分别分析得出答案．【解析】（1）y 9的系数是：1，次数是：9；（2）―5x 2y6的系数是：―56；次数是：3；（3）―m 2n2的系数是―12，次数是：3；（4）﹣5xy 的系数是：﹣5，次数是：2．故答案为：（1）1，9；（2）―56，3；（3）―12，3；（4）﹣5，2．【知识点2】几次几项式【例2】若（3m +3）x 2y n +1是关于x ，y 的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m ，n 的值．【分析】根据单项式的次数和系数的定义可知3m +3＝1，2+n +1＝5，求得m 、n 的值即可．【解析】∵（3m +3）x 2y n +1是关于x ，y 的五次单项式，且系数为1，∴3m +3＝1，2+n +1＝5．解得：m =―23，n ＝2．【变式2】已知（a ﹣1）x 2y a +1是关于x 、y 的五次单项式，试求下列式子的值．（1）a 2+2a +1；（2）（a +1）2．【分析】（1）（2）根据（a ﹣1）x 2y a +1是关于x 、y 的五次单项式，那么2+a +1＝5，求出a 的值代入各式中求出即可．【解析】∵（a ﹣1）x 2y a +1是关于x 、y 的五次单项式，∴a ﹣1≠0，a +1＝3，即a ＝2．（1）当a ＝2时a 2+2a +1＝22+2×2+1＝4+4+1＝9．（2）当a ＝2时（a +1）2＝（2+1）2＝9．【知识点3】探索单项式的系数与次数变化规律【例3】（2021秋•嵩县期中）观察下列一系列单项式的特点：12x 2y ，―14x 2y 2，18x 2y 3，―116x 2y 4，…（1）写出第8个单项式；（2）猜想第n （n 大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．【分析】（1）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n +1×（12）n ，字母部分是x 2y n ，可得答案；（2）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n +1×（12）n ，字母部分是x 2y n ，可得答案．【解析】由观察下列单项式：12x 2y ，―14x 2y 2，18x 2y 3，―116x 2y 4，…，得系数是（﹣1）n +1×（12）n ，字母部分是x 2y n ，第8个单项式﹣（12）8x 2y 8；（2）由观察下列单项式：12x 2y ，―14x 2y 2，18x 2y 3，―116x 2y 4，…，得第n个单项式是（﹣1）n +1×（12）n x 2y n ，系数是（﹣1）n +1×（12）n ，字母部分是x 2y n ，次数n +2．【变式3】观察下列单项式：﹣x ，2x 2，﹣3x 3，…，﹣9x 9，10x 10，…从中我们可以发现：（1）系数的规律有两条：系数的符号规律是 奇数项为负，偶数项为正　系数的绝对值规律是 与自然数序号相同　（2）次数的规律是 与自然数序号相同　（3）根据上面的归纳，可以猜想出第n 个单项式是 （﹣1）n nx n ．【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与自然数序号相同．由此可解出本题．【解析】（1）奇数项为负，偶数项为正，与自然数序号相同；（2）与自然数序号相同；（3）（﹣1）n nx n ．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021•思明区校级二模）下列代数式中，为单项式的是（ ）A ．5xB ．aC ．a b 3aD ．x 2+y 2【分析】根据单项式的概念：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行逐一判断即可．【解析】A 、分母中含有字母，不是单项式；B 、符合单项式的概念，是单项式；C 、分母中含有字母，不是单项式；D 、不符合单项式的概念，不是单项式．故选：B ．2．（2021春•龙凤区期末）在式子m n 8，2x 2y ，1x，﹣5，a ，π2中，单项式的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】根据单项式的概念判断即可．【解析】式子2x 2y ，﹣5，a ，π2是单项式，故选：B ．3．（2020秋•汇川区期末）已知一个单项式的系数是﹣2，次数是5，则这个单项式可以是（ ）A．﹣2xy4B．2x5C．﹣2x2+y3D．2x5 3【分析】直接利用单项式的次数与系数的确定方法进而得出答案．【解析】A、一个单项式的系数是﹣2，次数是5，则这个单项式可以是：﹣2xy4，故此选项符合题意；B、2x5，单项式的系数是2，次数是5，不合题意；C、﹣2x2+y3，是多项式，不合题意；D、2x53单项式的系数是―23，次数是5，不合题意；故选：A．4．（2020秋•义马市期末）单项式﹣（23）2x2y的系数为（ ）A．―23B．―43C．49D．―49【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案．【解析】单项式﹣（23）2x2y的系数为：﹣（23）2=―49．故选：D．5．（2020秋•郯城县期末）单项式22xy2的次数是（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】根据单项式次数的定义来求解．所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解析】单项式22xy2的次数是1+2＝3．故选：C．6．（2020秋•饶平县校级期末）下列关于单项式―xy22的说法正确的是（ ）A．系数是1B．系数是12C．系数是﹣1D．系数是―12【分析】根据单项式系数的定义进行解答即可．【解析】∵单项式―xy22的数字因数是―12，∴此单项式的系数是―1 2．故选：D．7．（2022•普陀区模拟）如果单项式2a n b2c是六次单项式，那么n的值取（ ）A．6B．5C．4D．3【分析】直接利用单项式的次数确定方法得出n的值即可．【解析】∵单项式2a n b2c是六次单项式，∴n+2+1＝6，解得：n ＝3，故n 的值取3．故选：D ．8．（2020秋•恩施市期中）给出下列结论：①﹣a 表示负数；②若|x |＝﹣x ，则x ＜0；③绝对值最小的有理数是0；④3×102x 2y 是5次单项式．其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】根据单项式的概念以及有理数的性质即可求出答案．【解析】①﹣a 不一定表示负数，故①错误；②由题意可知：﹣x ≥0，所以x ≤0，故②错误；③由|x |≥0可知，绝对值最小的有理数为0，故③正确；④该单项式的次数为3，故④错误；故选：B ．9．（2018秋•上杭县月考）如果（2﹣m ）x n y 4是关于x ，y 的五次单项式，则m ，n 满足的条件是（ ）A ．m ＝2，n ＝1B ．m ≠2，n ＝1C ．m ≠2，n ＝5D ．m ＝2，n ＝5【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解析】∵（2﹣m ）是关于x ，y 的五次单项式系数，∴不能为0，即m ≠2；又∵n +4＝5，∴n ＝1．故选：B ．10．（2016秋•单县期末）一组按规律排列的式子：a 2，a 42，a 63，a 84，…，则第2016个式子是（ ）A ．a 20162015B ．a 20162016C ．a 40302015D ．a 40322016【分析】分母的变化规律是1、2、3、4…，指数的变化规律四2、4、6、8…，根据此规律即可求出第2016个式子．【解析】由a 2，a 42，a 63，a 84，…，可知第n 个式子为：a 2nn∴第2016个式子为a4032 2016故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2021秋•安居区期末）单项式32ab3的次数是　4　．【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．【解析】单项式32ab3的次数是4．故答案为：4．12．（2021秋•庆阳期末）―2πx2y3的系数是　―2π3　，次数是　3　．【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【解析】―2πx2y3的系数是―2π3，次数为3．故答案为：―2π3，3．13．（2021秋•遵化市期末）写出一个只含有字母a、b，且系数为2的3次单项式是　2a2b　．【分析】根据单项式的系数和次数的概念解答．【解析】2a2b是一个只含有字母a、b，且系数为2的3次单项式，故答案为：2a2b．（答案不唯一）14．（2021秋•昆都仑区校级期中）已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是　﹣3　．【分析】根据单项式的次数的概念列出方程，解方程得到答案．【解析】由题意得，|m|+1+1＝5，m﹣3≠0，解得，m＝﹣3，故答案为：﹣3．15．（2021秋•上杭县期中）写出一个系数为﹣7，且只含有x，y的四次单项式　﹣7xy3　．【分析】根据单项式的系数，字母即指数，可得相应的单项式．【解析】写出一个系数为﹣7，且只含有x，y的四次单项式﹣7xy3，故答案为；﹣7xy3．16．（2020秋•岫岩县期中）若（p+2）x3y4+8x m y n+1是关于x、y的二次单项式，则p2m+2n+1的值为　﹣8　．【分析】根据单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，即可求出p、m、n 的值，再根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则计算即可．【解析】∵（p+2）x3y4+8x m y n+1是关于x、y的二次单项式，∴p+2＝0，m＝1，n+1＝1，解得：p＝﹣2，m＝1，n＝0，∴p2m+2n+1＝（﹣2）2+1＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．17．如果单项式﹣2xy m z n和3a3b n都是六次单项式，那么m＝　2　，n＝　3　．【分析】根据单项式次数的定义进行求解即可．【解析】∵单项式3a3b n是六次单项式，∴n＝3，又∵单项式﹣2xy m z n也是六次单项式，∴m＝2．故答案为：2，3．18．（2020秋•红谷滩区校级期末）有一组按规律排列的式子：﹣x，x2，﹣2x3，3x4，﹣5x5，8x6，﹣13x7，…，则其中第9个式子是　﹣34x9　．【分析】分析可得各个式子的规律为：系数的绝对值为前两个式子的系数的绝对值的和，指数为奇数时，系数是负数，指数为偶数时，系数是正数，从而得出第9个式子．【解析】根据规律可得：第八个数是（8+13）x8＝21x8，则其中第9个式子是﹣（13+21）x9＝﹣34x9；故答案为：﹣34x9．三．解答题（共5小题）19．分别写出下列单项式的系数与次数：（1）﹣ab3；（2）5ab3c25；（3）―2πxy23．【分析】根据单项式的概念即可求出答案．【解析】（1）单项式﹣ab3的系数是﹣1，次数是4；（2）5ab3c25=ab3c2，单项式的系数是1，次数是6；（3）单项式―2πxy23的系数是―2π3，次数是3．20．（1）―32x2y m―1是五次单项式，则m＝　4　；（2）若x2y m+1z2是五次单项式，则m＝　0　；（3）若x m y n+1z3是五次单项式，则2m+2n＝　2　；（4）如果﹣5xy m﹣2为四次单项式，则m＝　5　．【分析】（1）直接利用单项式的次数确定方法分别分析得出答案；（2）直接利用单项式的次数确定方法分别分析得出答案；（3）直接利用单项式的次数确定方法分别分析得出答案；（4）直接利用单项式的次数确定方法分别分析得出答案．【解析】（1）∵―32x2y m―1是五次单项式，∴2+m﹣1＝5，解得：m＝4．故答案为：4；（2）若x2y m+1z2是五次单项式，则2+m+1+2＝5，解得：m＝0；故答案为：0；（3）若x m y n+1z3是五次单项式，则m+n+1+3＝5，则m+n＝1，故2m+2n＝2；故答案为：2；（4）如果﹣5xy m﹣2为四次单项式，则1+m﹣2＝4，解得：m＝5．故答案为：5．21．分别写出一个符合下列条件的单项式：（1）系数为3；（2）次数为2；（3）系数为﹣1，次数为3；（4）写出系数为﹣1，均只含有字母a，b所有五次单项式．【分析】（1）直接利用单项式的系数确定方法分别分析得出答案；（2）直接利用单项式的次数确定方法分别分析得出答案；（3）直接利用单项式的次数与系数确定方法分别分析得出答案；（4）直接利用单项式的系数确定方法分别分析得出答案．【解析】（1）系数为3的单项式可以为：3ab（答案不唯一）；（2）次数为2的单项式可以为：x2（答案不唯一）；（3）系数为﹣1，次数为3的单项式可以为：﹣x3（答案不唯一）；（4）系数为﹣1，均只含有字母a，b所有五次单项式分别为：﹣ab4，﹣a2b3，﹣a3b2，﹣a4b．22．已知（a﹣1）x2y a+1是关于x、y的五次单项式，试求下列式子的值．a2+2a+1．【分析】根据单项式次数可得a+1＝3，计算出a的值，再代入a2+2a+1即可．【解析】由题意得：a+1＝3，解得：a＝2，则a2+2a+1＝4+4+1＝9．23．观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，…，﹣37x19，39x20，…，写出第n（n为正整数）个单项式，为解决这个问题，特提供下面的解题思路：（1）这组单项式的系数的符号规律是　（﹣1）n　，系数的绝对值规律是　2n﹣1　；（2）这组单项式的次数的规律是　这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数　；（3）根据上面的归纳，可以猜想第n（n为正整数）个单项式吗；（4）请你根据猜想，写出第2017个、第2018个单项式．【分析】（1）根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；（2）根据已知数据次数得出变化规律；（3）根据（1）（2）中数据规律得出即可；（4）利用（3）中所求即可得出答案．【解析】（1）根据各项系数的符号以及系数的值得出：这组单项式的系数的符号规律是（﹣1）n，系数的绝对值规律是2n﹣1．（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）第n个单项式是：（﹣1）n（2n﹣1）x n．（4）第2017个单项式是﹣4033x2017，第2018个单项式是4035x2018．故答案为：（1）（﹣1）n2n﹣1．（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.5绝对值【名师点睛】1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．2.如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．3.绝对值的非负性：任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．【典例剖析】【例1】化简下列各数：（1）﹣（﹣5）（2）﹣（+7）（3）﹣[﹣（+23）]（4）﹣[﹣（﹣a）]（5）|﹣（+7）|（6）﹣|﹣8|（7）|﹣|+4 7 ||（8）﹣|﹣a|（a＜0）【分析】（1）根据相反数定义求出即可；（2）根据相反数定义求出即可；（3）根据相反数定义求出即可；（4）根据相反数定义求出即可；（5）根据绝对值定义求出即可；（6）根据绝对值定义求出即可；（7）根据绝对值定义求出即可；（8）根据绝对值定义求出即可．【解析】（1）﹣（﹣5）＝5；（2）﹣（+7）＝﹣7；（3）﹣[﹣（+23）]=23；（4）﹣[﹣（﹣a）]＝﹣a；（5）|﹣（+7）|＝7；（6）﹣|﹣8|＝﹣8；（7）|﹣|+47||=47；（8）﹣|﹣a|（a＜0）＝﹣（﹣a）＝a．【点评】本题考查了绝对值，相反数的应用，注意：一个负数的绝对值等于它的相反数，一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0．【变式】化简：（1）﹣（﹣3）；（2）﹣|﹣3.2|；（3）+（﹣0.5）；（4）﹣|+13 |．【分析】（1）根据相反数的定义解决此题．（2）根据绝对值以及相反数的定义解决此题．（3）根据去括号法则解决此题．（4）根据绝对值以及相反数的定义解决此题．【解析】（1）﹣（﹣3）＝3．（2）﹣|﹣3.2|＝﹣3.2．（3）+（﹣0.5）＝﹣0.5．（4）―|+13|=―13．【点评】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．【例2】已知a为整数（1）|a|能取最　小　（填“大”或“小”）值是　0　．此时a＝　0　．（2）|a|+2能取最　小　（填“大”或“小”）值是　2　．此时a＝　0　．（3）2﹣|a﹣1|能取最　大　（填“大”或“小”）值是　2　．此时a＝　1　．（4）|a﹣1|+|a+2|能取最　小　（填“大”或“小”）值是　3　．此时a＝　﹣2≤a≤1　．【分析】（1）由绝对值的性质即可得出答案；（2）由绝对值的性质即可得出答案；（3）由绝对值的性质即可得出答案；（4）由绝对值的性质即可得出答案．【解析】（1）|a|能取最小值是0．此时a＝0．故答案为：小，0，0；（2）|a|+2能取最小值是2．此时a＝0．故答案为：小，2，0；（3）2﹣|a﹣1|能取最大值是2．此时a＝1．故答案为：大，2，1；（4）|a﹣1|+|a+2|能取最小值是3．此时﹣2≤a≤1；故答案为：小，3，﹣2≤a≤1．【点评】本题考查了绝对值的非负性质；熟练掌握绝对值的非负性质是解题的关键．【变式】．（1）如果|x|＝2，则x＝　±2　；（2）如果x＝﹣x，则x＝　0　；（3）如果|x|＝x，求x的取值范围；（4）如果|x|＝﹣x，求x的取值范围．【分析】（1）利用绝对值的定求解即可，（2）利用相反数的定义求解，（3）利用绝对值的性质求解即可，（4）利用绝对值的性质求解即可．【解析】（1）如果|x|＝2，则x＝±2；故答案为：±2．（2）如果x＝﹣x，则x＝0；故答案为：0．（3）如果|x|＝x，则x≥0；（4）如果|x|＝﹣x，则x≤0．【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•通辽）﹣3的绝对值是（ ）A．―13B．3C．13D．﹣3【分析】应用绝对值的计算方法进行计算即可得出答案．【解析】|﹣3|＝3．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的计算方法进行求解是解决本题的关键．2．（2022•聊城）实数a的绝对值是54，a的值是（ ）A．54B．―54C．±45D．±54【分析】根据绝对值的意义直接进行解析【解析】∵|a|=5 4，∴a＝±5 4．故选：D．【点评】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．3．（2022•百色）﹣2023的绝对值等于（ ）A．﹣2023B．2023C．±2023D．2022【分析】利用绝对值的意义求解．【解析】因为负数的绝对值等于它的相反数；所以，﹣2023的绝对值等于2023．故选：B．【点评】本题考查绝对值的含义．即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．4．（2022•绥化）化简|―12|，下列结果中，正确的是（ ）A．12B．―12C．2D．﹣2【分析】利用绝对值的意义解析即可．【解析】|―12|的绝对值是12，故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．5．（2022•南充）下列计算结果为5的是（ ）A．﹣（+5）B．+（﹣5）C．﹣（﹣5）D．﹣|﹣5|【分析】根据相反数判断A，B，C选项；根据绝对值判断D选项．【解析】A选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；C选项，原式＝5，故该选项符合题意；D选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．6．（2021秋•河东区期末）若ab≠0，那么|a|a+|b|b的取值不可能是（ ）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b ＞0；分别计算即可．【解析】∵ab≠0，∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，|| a +||b=1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，|| a +||b=―1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，|| a +||b=1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，|| a +||b=―1+1＝0；综上所述，||a+||b的值为：±2或0．故选：C．【点评】本题考查绝对值的定义，运用分类讨论思想和熟练掌握并正确运用绝对值的定义是正确解题的关键．7．（2021秋•泗洪县期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若|a﹣b|＝2022，当a取最大值时，b值是（ ）A．2023B．2021C．1011D．1【分析】先根据A、B的位置关系，判断出a、b的大小关系，化简|a﹣b；再根据a取最大值，求出a的值；最后求出b的值．【解析】∵点A在点B左侧，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝b﹣a＝2022；a为负整数，取最大值时为﹣1，此时b﹣（﹣1）＝2022，则b＝2021；故选：B．【点评】考查绝对值的化简和数轴．解题的关键在于能够结合数轴判断a、b的大小关系，进而化简|a﹣b|．注意：最大的负整数是﹣1．8．（2021秋•霍邱县期中）若|a|＝﹣a，则在下列选项中a不可能是（ ）A．﹣2B．―12C．0D．5【分析】根据||=―a，结合绝对值性质可知：a≤0，不可能是正数．【解析】∵||=―a，∴实数a是非正数，即a≤0，∴选项中的数a不可能是正数，故选：D．【点评】本题考查了绝对值定义和性质，熟练掌握并正确运用绝对值性质是解题关键．9．（2020秋•九龙坡区校级期末）已知﹣1≤x≤2，则化简代数式3|x﹣2|﹣|x+1|的结果是（ ）A．﹣4x+5B．4x+5C．4x﹣5D．﹣4x﹣5【分析】由于﹣1≤x≤2，根据不等式性质可得：x﹣2≤0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．【解析】∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+1≥0，∴3|x﹣2|﹣|x+1|＝3（2﹣x）﹣（x+1）＝﹣4x+5；故选：A．【点评】本题考查了不等式性质，绝对值定义和性质，整数加减运算等，熟练掌握并运用绝对值性质化简是解题关键．10．（2020秋•长垣市月考）若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（ ）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】依据|x﹣2|+|x+4|＝6，分类讨论即可得到所有整数x即可．【解析】①当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；②当﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|＝6，符合题意的所有整数x的值为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，③当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；综上所述，满足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整数x的个数是7．故选：D．【点评】此题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022•常德）|﹣6|＝　6　．【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案．【解析】﹣6＜0，则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，故答案为6．【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|=a(a≥0)―a(a＜0)．12．（2022•泰州）若x＝﹣3，则|x|的值为　3　．【分析】利用绝对值的代数意义计算即可求出值．【解析】∵x＝﹣3，∴|x|＝|﹣3|＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．13．（2020秋•达孜区期末）绝对值不大于4的整数有　9　个．【分析】根据绝对值的性质解析即可．【解析】根据绝对值的概念可知，绝对值不大于4的整数有4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，一共9个．【点评】解析此题的关键是熟知绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．互为相反数的两个数的绝对值相等．14．（2020秋•吴江区期中）若|x|＝﹣（﹣8），则x＝　±8　．【分析】根据绝对值的性质解析可得．【解析】∵|x|＝﹣（﹣8），∴x＝±8．故答案为：±8．【点评】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．15．（2020秋•兴化市月考）当a＝　﹣2　时，式子10﹣|a+2|取得最大值．【分析】根据任何数的偶次方是非负数，即可求解．【解析】∵|a+2|≥0，且当a+2＝0，即a＝﹣2时，|a+2|＝0，∴当a＝﹣2时，代数式10﹣|a+2|取得最大值是10．故答案是：﹣2．【点评】此题主要考查了非负数的性质，解题的关键是明确初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．16．（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为　9　．【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．【解析】∵|x﹣2|≥0，∴|x﹣2|+9≥9，∴|x﹣2|+9有最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了绝对值的非负性，掌握|a|≥0是解题的关键．17．（2021秋•玄武区校级月考）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2021的值是　﹣1　．【分析】根据绝对值的非负数的性质分别求出a、b，代入计算即可．【解析】∵|a+2|+|b﹣1|＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．18．（2021秋•虎林市期末）|a+3|+|b﹣2|＝0，则a+b＝　﹣1　．【分析】根据绝对值非负数的性质列式求解即可得到a、b的值，然后再代入代数式进行计算即可求解．【解析】根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．三．解析题（共4小题）19．在有理数3，﹣1.5，﹣312，0，2.5，﹣4，﹣（+3.5），|―12|中，求出其中分数的相反数和绝对值．【分析】据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得一个数的绝对值；【解析】﹣1.5的相反数1.5，绝对值是1.5；﹣312的相反数是312，绝对值是312；2.5的相反数是﹣2.5，绝对值是2.5；﹣（+3.5）＝﹣3.5相反数是3.5，绝对值是3.5；|―12|=12相反数是―12，绝对值是12．【点评】本题考查了绝对值，利用了绝对值得性质：正数的绝对等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．20．求下列各数的绝对值：（1）﹣38；（2）0.15；（3）a（a＜0）；（4）3b（b＞0）；（5）a﹣2（a＜2）；（6）a﹣b．【分析】根据绝对值的含义和求法，求出每个数的绝对值各是多少即可．【解析】（1）|﹣38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；（3）∵a＜0，∴|a|＝﹣a；（4）∵b＞0，∴3b＞0，∴|3b|＝3b；（5）∵a＜2，∴a﹣2＜0，∴|a﹣2|＝﹣（a﹣2）＝2﹣a；（6）a﹣b≥0时，|a﹣b|＝a﹣b；a﹣b＜0时，|a﹣b|＝b﹣a．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解析此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．21．（2020秋•江阴市校级月考）阅读下面的例题：我们知道|x|＝2，则x＝±2请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．（1）|x+3|＝2，则x＝　﹣5或﹣1　；（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝　1或7　．【分析】（1）根据绝对值解析即可；（2）根据绝对值的非负性解析即可．【解析】（1）因为）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1；（2）因为5﹣|x﹣4|＝2，可得：|x﹣4|＝3，解得：x＝1或7；故答案为：（1）﹣5或﹣1（2）1或7【点评】此题考查绝对值，关键是根据绝对值的非负性和概念解析．22．（2019秋•睢宁县期中）【观察与归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|﹣2|+|3|＞|﹣2+3||﹣8|+|3|＞|﹣8+3||﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3||0|+|﹣6|＝|0﹣6|归纳：|a|+|b|　≥　|a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【理解与应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，求m的值．【分析】（1）根据提供的关系式得到规律即可；（2）根据（1）中的结论分当m为正数，n为负数时和当m为负数，n为正数时两种情况分类讨论即可确定答案．【解析】（1）根据题意得：|a|+|b|≥|a+b|，故答案为：≥；（2）由上题结论可知，因为|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，|m|+|n|≠|m+n|，所以m、n异号．当m为正数，n为负数时，m﹣n＝9，则n＝m﹣9，|m+m﹣9|＝1，m＝5或4；当m为负数，n为正数时，﹣m+n＝9，则n＝m+9，|m+m+9|＝1，m＝﹣4或﹣5；综上所述，m为±4或±5．【点评】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大．。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.4合并同类项【名师点睛】1.同类项（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．（2）注意事项：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．2.合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．【典例剖析】【知识点1】同类项【例1】已知﹣4xy n+1与52x m y4是同类项，求2m+n的值．【分析】同类项的含有相同的字母且相同字母的指数相同，由此可得出答案．【解析】由题意得：m＝1，n+1＝4，解得：m＝1，n＝3．∴2m+n＝5．【变式1】．判断下列各组中的两个项是不是同类项？为什么？（1）12x2y与﹣3yx2；（2）a2b与―12ab2；（3）2×32与3×22；（4）﹣2a2b与3a2bc．【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，即可作出判断．【解析】（1）是同类项，因为12x2y与﹣3yx2都含有x、y且x的指数都是2，y的指数都是1；（2）不是同类项，因为a2b与―12ab2中，a的指数分别为2、1，b的指数分别为1、2，不同；（3）是同类项，2×32与3×22中都不含字母为常数项，常数项都是同类项；（4）不是同类项，因为所含字母不同，﹣2a2b中含字母a、b，而3a2bc中含字母a、b、c．【知识点2】合并同类项【例2】．合并下列各式的同类项：（1）2xy﹣3xy+5xy；（2）4x2﹣8x+5﹣3x2+6x﹣4；（3）3a m+4a m+1﹣5a m+1+2a m；（4）2（x﹣2y）2﹣7（x﹣2y）3+3（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）3．【分析】各式利用合并同类项法则计算即可得到结果．【解答】（1）解：原式＝4xy；（2）解：原式＝x2﹣2x+1；（3）解：原式＝5a m﹣a m+1；（4）解：原式＝5（x﹣2y）2﹣8（x﹣2y）3．【变式2】．已知多项式3﹣2x2+3x+3x2﹣5x﹣x2﹣7．（1）合并该多项式中的同类项；（2）当x=―12时，求这个多项式的值．【分析】（1）首先找出同类项，进而合并，再利用字母x降幂排列即可；（2）把x=―12代入﹣2x﹣4求值即可．【解析】（1）3﹣2x2+3x+3x2﹣5x﹣x2﹣7＝（﹣2+3﹣1）x2+（3﹣5）x+（3﹣7）＝﹣2x﹣4；（2）当x=―12时，﹣2x﹣4＝﹣2×（―12）﹣4＝1﹣4＝﹣3．【知识点3】合并同类项后不含某一项【例3】已知多项式mx4+（m﹣2）x3+（2n+1）x2﹣3x+n不含x2和x3的项，试写出这个多项式，再求当x＝﹣1时多项式的值．【分析】根据mx4+（m﹣2）x3+（2n+1）x2﹣3x+n不含x2和x3的项可得出二次项和三次项的系数为0，从而求出m和n的值，再把x＝﹣1代入多项式求出多项式的值即可．【解析】∵多项式mx4+（m﹣2）x3+（2n+1）x2﹣3x+n不含x2和x3的项，∴m﹣2＝0，2n+1＝0，∴m＝2，n=―1 2，∴多项式为2x4﹣3x―1 2，当x＝﹣1时，多项式为2×（﹣1）4﹣3×（﹣1）―12=2+3―12=92．【变式3】．已知关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3项和x2项，求m+2n的值．【分析】根据关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3项和x2项，得到m+5＝0，n﹣1＝0，从而求得m，n的值，再求代数式的值即可．【解析】∵关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3项和x2项，∴m+5＝0，n﹣1＝0，∴m＝﹣5，n＝1，∴m+2n＝﹣5+2＝﹣3．【知识点4】整体思想在合并同类项中的应用【例4】将下列两个式子合并同类项．（提示：用整体思想）（1）5（a+b）2﹣（a+b）+2（a+b）2+2（a+b）．（2）2（x﹣2y）2﹣7（x﹣2y）3+3（2y﹣x）2﹣（2y﹣x）3．【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此计算即可．【解析】（1）原式＝（5+2）（a+b）2+（2﹣1）（a+b）＝7（a+b）2+（a+b）；（2）原式＝2（x﹣2y）2+7（2y﹣x）3+3（x﹣2y）2﹣（2y﹣x）3＝（2+3）（x﹣2y）2+（7﹣1）（2y﹣x）3＝5（x﹣2y）2+6（2y﹣x）3．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021•上海）下列单项式中，a2b3的同类项是（ ）A．a3b2B．3a2b3C．a2b D．ab3【分析】依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，据此判断即可．【解析】A 、字母a 、b 的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；B 、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；C 、字母b 的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；D 、相同字母a 的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：B ．2．（2021秋•姑苏区校级期末）下列各组中的两个项不属于同类项的是（ ）A ．3x 2y 和﹣2x 2y B ．﹣xy 和2yx C ．﹣1和114D ．a 2和32【分析】根据同类项的定义解答．【解析】A 、所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项．B 、所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项．C 、两个常数项也是同类项．D 、字母和数字不是同类项．故选：D ．3．（2021秋•石阡县期中）已知2x 3y 2和﹣x m y 2是同类项，则式子4m ﹣24的值是（ ）A ．﹣21B ．﹣12C ．36D ．12【分析】根据同类项定义得出＝3，代入求出即可．【解析】∵2x 3y 2和﹣x m y 2是同类项，∴m ＝3，∴4m ﹣24＝4×3﹣24＝﹣12，故选：B ．4．（2021秋•拜泉县期中）已知25x 6y 和5x 2m y 是同类项，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2或3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出m 的值，【解析】根据题意得：2m ＝6，解得：m ＝3．故选：B ．5．（2021秋•招远市期末）如果单项式x 2y m +2与x n y 的和仍然是一个单项式，则m 、n 的值是（ ）A ．m ＝2，n ＝2B ．m ＝﹣1，n ＝2C ．m ＝﹣2，n ＝2D ．m ＝2，n ＝﹣1【分析】本题考查同类项的定义，单项式x 2y m +2与x n y 的和仍然是一个单项式，意思是x 2y m +2与x n y 是同类项，根据同类项中相同字母的指数相同得出．【解析】由同类项的定义，可知2＝n ，m +2＝1，解得m ＝﹣1，n ＝2．故选：B ．6．（2021秋•吐鲁番市期末）下列运算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5ab B ．3a 2b ﹣3ba 2＝0C ．3x 2+2x 3＝5x 5D ．5y 2﹣4y 2＝1【分析】根据合并同类项的法则把系数相加即可．【解析】A 、不是同类项不能合并，故A 错误；B 、系数相加字母及指数不变，故B 正确；C 、不是同类项不能合并，故C 错误；D 、系数相加字母及指数不变，故D 错误；故选：B ．7．（2021秋•长寿区期末）下面运算正确的是（ ）A ．3a +6b ＝9ab B ．3a 3b ﹣3ba 3＝0C ．8a 4﹣6a 3＝2aD ．12y 2―13y 2=16【分析】根据同类项的定义及合并同类项的方法进行判断即可．【解析】A 、C 不是同类项，不能合并；B 、正确；D 、原式=16y 2．故选：B ．8．（2018秋•临河区期末）下列式子计算正确的个数有（ ）①a 2+a 2＝a 4；②3xy 2﹣2xy 2＝1；③3ab ﹣2ab ＝ab ；④（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣17．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【分析】根据合并同类项的法则和有理数的混合运算进行计算即可．【解析】①a 2+a 2＝2a 2，故①错误；②3xy 2﹣2xy 2＝xy 2，故②错误；③3ab ﹣2ab ＝ab ，故③正确；④（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣17，故④正确，故选：B ．9．（2021秋•凌海市期中）多项式x 2―3kxy ―3y 2+13xy ―8合并同类项后不含xy 项，则k的值是（ ）A．13B．16C．19D．0【分析】先将原多项式合并同类项，再令xy项的系数为0，然后解关于k的方程，即可求出k的值．【解析】原式＝x2+（13―3k）xy﹣3y2﹣8，因为不含xy项，故13―3k＝0，解得：k=1 9．故选：C．10．（2021秋•东海县期中）代数式7a3﹣6a3b+3a2b+3a2+6a3b﹣3a2b﹣10a3的值（ ）A．与字母a，b都有关B．只与a有关C．只与b有关D．与字母a，b都无关【分析】把代数式7a3﹣6a3b+3a2b+3a2+6a3b﹣3a2b﹣10a3合并同类项后，再判断它的值与什么有关．【解析】7a3﹣6a3b+3a2b+3a2+6a3b﹣3a2b﹣10a3＝（7﹣10）a3+（﹣6+6）a3b+（3﹣3）a2b+3a2＝﹣3a3+3a2所以代数式的值只与a有关．故选：B．二．填空题（共8小题）11．（2020秋•汕尾期末）单项式3x m y2与﹣2x5y n是同类项，则m+n＝　7　．【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．【解析】由题意得：m＝5，n＝2，∴m+n＝5+2＝7．故答案为：7．12．（2021春•雨花区校级期中）单项式3x m+4y3与12x2y n﹣1是同类项，则m n＝　16　．【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值，再代入所求式子计算即可．【解析】因为单项式3x m+4y3与12x2y n﹣1是同类项，所以m+4＝2，n﹣1＝3，解得m＝﹣2，n＝4，所以m n＝（﹣2）4＝16．故答案为：16．13．（2021秋•滨湖区期中）若3x m﹣1y3与﹣5xy3是同类项，则m＝　2　．【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m的值．【解析】∵3x m﹣1y3与﹣5xy3是同类项，∴m﹣1＝1，解得：m＝2．故答案为：2．14．（2021秋•丰台区校级期中）已知关于x，y的多项式﹣5x2y﹣2nxy+5my2﹣3xy+4x﹣7不含二次项，则m+n＝　﹣1.5　．【分析】先合并同类项，然后根据多项式不含二次项可知5m＝0，2n+3＝0，从而可求得m、n的值，然后代入计算即可．【解析】﹣5x2y﹣2nxy+5my2﹣3xy+4x﹣7＝﹣5x2y﹣（2n+3）xy+5my2+4x﹣7，∵多项式不含二次项，∴5m＝0，2n+3＝0，解得m＝0，n＝﹣1.5，∴m+n＝﹣1.5，故答案为：﹣1.5．15．（2020•黔南州）若单项式a m﹣2b n+7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝　9　．【分析】直接利用合并同类项法则得出m，n的值，进而得出答案．【解析】∵a m﹣2b n+7与﹣3a4b4的和仍是一个单项式，∴m﹣2＝4，n+7＝4，解得：m＝6，n＝﹣3，故m﹣n＝6﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．16．（2018秋•常州期中）若―12x a y3与2x2y b3的和仍是单项式，则a﹣b＝　﹣1　．【分析】同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，得出a，b的值，进而解答即可．【解析】若―12x a y3与2x2y b3的和仍是单项式，可得：a＝2，b＝3，所以a﹣b＝2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣117．（2017•青海）若单项式2x 2y m 与―13x n y 4可以合并成一项，则n m ＝　16　．【分析】根据同类项的定义计算．【解析】由题意得，n ＝2，m ＝4，则n m ＝16，故答案为：16．18．（2021秋•勃利县期末）当k ＝　125　时，代数式x 6﹣5kx 4y 3﹣4x 6+15x 4y 3+10中不含x 4y 3项．【分析】根据合并同类项的法则，合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变．【解析】代数式x 6﹣5kx 4y 3﹣4x 6+15x 4y 3+10中不含x 4y 3项，即﹣5kx 4y 3和15x 4y 3合并以后是0，则得到﹣5k +15=0，∴k =125．答：当k =125时，代数式x 6﹣5kx 4y 3﹣4x 6+15x 4y 3+10中不含x 4y 3项．三．解答题（共5小题）19．（2020秋•天心区校级月考）化简：（1）12m 2﹣3mn 2+4n 2+12m 2+5mn 2﹣4n 2．（2）7a 2﹣2ab +b 2﹣5a 2﹣b 2﹣2a 2﹣ab ．【分析】根据合并同类项法则化简即可．【解析】（1）原式=(12m 2+12m 2)+(5mn 2―3mn 2)+(4n 2―4n 2)＝m 2+2mn 2；（2）原式＝（7a 2﹣5a 2﹣2a 2）﹣（2ab +ab ）+（b 2﹣b 2）＝﹣3ab ．20．（2020秋•东莞市校级期中）化简：（1）﹣3x 2y +3xy 2﹣2xy 2+2x 2y ；（2）2a 2﹣5a +a 2+6+4a ﹣3a 2．【分析】合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可．【解析】（1）﹣3x2y+3xy2﹣2xy2+2x2y＝（﹣3x2y+2x2y）+（3xy2﹣2xy2）＝﹣x2y+xy2；（2）2a2﹣5a+a2+6+4a﹣3a2＝（2a2+a2﹣3a2）+（4a﹣5a）+6＝﹣a+6．21．（2020秋•射洪市期中）如果关于字母x的二次多项式﹣3x2+mx﹣5+nx2﹣x+3的值与x 的取值无关，求m2+2mn+n2的值．【分析】根据题意求出m与n的值，然后代入原式即可求出答案．【解析】﹣3x2+mx﹣5+nx2﹣x+3＝（n﹣3）x2+（m﹣1）x﹣2，由题意可知：n﹣3＝0，m﹣1＝0，∴m＝1，n＝3，∴原式＝（m+n）2＝42＝16．22．（2019秋•双清区期末）（1）关于x，y的多项式4x2y m+2+xy2+（n﹣2）x2y3+xy﹣4是七次四项式，求m和n的值；（2）关于x，y的多项式（5a﹣2）x3+（10a+b）x2y﹣x+2y+7不含三次项，求5a+b的值．【分析】（1）根据多项式的有关定义得到2+m+2＝7，n﹣2＝0，然后解方程即可；（2）根据多项式的有关定义得到5a﹣2＝0且10a+b＝0，所以5a＝2，b＝﹣4，然后利用整体代入的方法计算5a+b．【解析】（1）根据题意得2+m+2＝7，n﹣2＝0，解得m＝3，n＝2；（2）根据题意得5a﹣2＝0且10a+b＝0，所以5a＝2，b＝﹣4，所以5a+b＝2﹣4＝﹣2．23．（2020秋•吉安期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，求出3（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣2（a﹣b）2的结果．（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值．【分析】（1）根据合并同类项法则、运用整体思想计算；（2）根据添括号法则把原式变形，把x2﹣2y＝4代入计算，得到答案．【解析】（1）3（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣2（a﹣b）2＝（3+6﹣2）（a﹣b）2＝7（a﹣b）2；（2）∵x2﹣2y＝4，∴原式＝3（x2﹣2y）﹣21＝12﹣21＝﹣9．。

专题1.2 绝对值【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ ．（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；故答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案为：6．1．（2022•高邮市模拟）若|x|+|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）A．﹣2B．6C．﹣2或6D．以上都不对【思路点拨】根据绝对值的意义得出，|x|+|x﹣4|＝8表示到原点和4的距离和是8的数，分两种情况求出x的值即可．【解题过程】解：∵|x|+|x﹣4|＝8，∴当x＞4时，x+x﹣4＝8，解得x＝6，当x＜0时，﹣x+4﹣x＝8，解得x＝﹣2，故选：C．2．（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）A．10B．11C．17D．21【思路点拨】由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可．【解题过程】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，由数轴表示数的意义可知，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．3．如果有理数a，b，c满足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（ ）A．5B．6C．7D．8【思路点拨】通过对式子|a+c|＝3的变形，确定已知之间的关系，再进行分类讨论，结合对所求式子的变形，找到已知所求之间的关系，再进行求解．【解答过程】解：|a+c|＝|a﹣b+b+c|＝3，∵|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，∴a﹣b＝1，b+c＝2或a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，分两种情况讨论：①若a﹣b＝1，b+c＝2，则两式相加，得a+c＝3，∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|3+2×2|＝7；②若a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，则两式相加，得a+c＝﹣3，∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|﹣3+2×（﹣2）|＝7．故选：C．4．（2021秋•洛川县校级期末）已知：m=|a b|c+2|b c|a+3|c a|b，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（ ）A．4B．3C．2D．1【思路点拨】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．【解题过程】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，∴a、b、c为两个负数，一个正数，a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，m=|−c|c+2|−a|a+3|−b|b∴分三种情况说明：当a＜0，b＜0，c＞0时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，当a＜0，c＜0，b＞0时，m＝﹣1﹣2+3＝0，当a＞0，b＜0，c＜0时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，∴m共有3个不同的值，﹣4，0，﹣2，最大的值为0．∴x＝3，y＝0，∴x+y＝3．故选：B．5．我们知道|x|=x，(x＞0)0，(x=0)−x，(x＜0)，所以当x＞0时，x|x|=xx=1；当x＜0时，x|x|=x−x=−1．下列结论序号正确的是（ ）①已知a，b是有理数，当ab≠0时，a|a|+b|b|的值为0或±2；②已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则2a|a|+b|b|的值为±1；③已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，则b c|a|+a c|b|+a b|c|=−1或3；④已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或﹣3；⑤已知a，b，c是非零的有理数，a+b+c＝0，则a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为0．A．①③④B．②③⑤C．①②④⑤D．①②④【思路点拨】关于绝对值化简的问题，就要严格利用绝对值的定义来化简，要考虑全面，有时可以用特殊值法．【解题过程】解：①因为ab≠0，所以有以下几种情况：a＞0，b＜0，原式值是0；a＞0，b＞0，原式值是2；a＜0，b＞0，原式值是0；a＜0，b＜0，原式值是﹣2．故①正确；②∵|ab|＝﹣ab，a，b是不为0的有理数，∴ab ＜0，有以下两种情况：a ＞0，b ＜0，此时原式值是1；a ＜0，b ＞0，此时原式值是﹣1，故②正确；③已知a ，b ，c 是有理数且a +b +c ＝0，abc ＜0，则b +c ＝﹣a ，a +c ＝﹣b ，b +c ＝﹣a ，∴原式化为−a |a|+−b |b|+−c |c|a ，b ，c 两正一负，有四种情况：a ＞0，b ＞0，c ＜0，原式值为﹣1；a ＞0，b ＜0，c ＞0，原式值为﹣1；a ＜0，b ＞0，c ＞0，原式值为﹣1；故③错误；④∵|abc|abc=−1，∴abc ＜0，分四种情况（同③）∴原式值是﹣1和3，故④正确；⑤分两种情况：当一正两负时，a |a|，b |b|.c |c|有一个1，两个﹣1，而abc ＞0，所以abc |abc|=1，此时和为1+1﹣1﹣1＝0；当一负两正时，a |a|，b |b|.c |c|有一个﹣1，两个1，而abc ＜0，所以abc |abc|=−1，此时和为﹣1+1+1﹣1＝0．故⑤正确．故选：C ．6．（2021秋•常州期末）已知x =20212022，则|x ﹣2|﹣|x ﹣1|+|x |+|x +1|﹣|x +2|的值是 20212022　．【思路点拨】根据x 的值，判断x ﹣2，x ﹣1，x +1，x +2的符号，再根据绝对值的定义化简后即可得到答案．【解题过程】解：∵x=20212022，即0＜x＜1，∴x﹣2＜0，x﹣1＜0，x+1＞0，x+2＞0，∴|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|＝2﹣x﹣（1﹣x）+x+x+1﹣x﹣2＝2﹣x﹣1+x+x+x+1﹣x﹣2＝x=2021 2022，故答案为：2021 2022．7．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是　2021　．【思路点拨】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．【解题过程】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案为：2021．8．（2021春•杨浦区校级期末）已知a，b，c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝　0或2　．【思路点拨】因为a、b、c都为整数，而且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，所以|a﹣b|与|c﹣a|只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出．【解题过程】解：∵a、b、c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，∴有|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1①若|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0，则a﹣b＝±1，a＝c，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|a﹣b|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝1+1+0＝2，②|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，则a＝b，c﹣a＝±1，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|c﹣a|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝0+1﹣1＝0，故答案为：0或2．9．（2021秋•大田县期中）三个整数a，b，c满足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，则|a|+|b|+|c|的最大值为　34　．【思路点拨】根据a+b+c＝0，a＜b＜c，可得a＜0，c＞0，a+b＜0，则|a|＞|b|，再由|a|＜10，a，b，c都是整数，得到|a|≤9，则|b|≤8，根据|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，即可得到|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，由此求解即可．【解题过程】解：∵a+b+c＝0，a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，a+b＜0，∴|a|＞|b|，∵|a|＜10，a，b，c都是整数，∴|a|≤9，∴|b|≤8，∵|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，∴|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17＝34，故答案为：34．10．（2021秋•雁塔区校级期中）如果|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，则a﹣b的最大值等于　﹣2　．【思路点拨】根据题意可得|a+3|+|a﹣2|＝5，|b﹣4|+|b﹣7|＝3，此时﹣3≤a≤2，4≤b≤7，可求得﹣10≤a﹣b≤﹣2，即可求解．【解题过程】解：|a +3|+|a ﹣2|≥5，|b ﹣4|+|b ﹣7|≥3，∴|a +3|+|a ﹣2|+|b ﹣4|+|b ﹣7|≥8，∵|a +3|+|a ﹣2|+|b ﹣4|+|b ﹣7|＝8，∴|a +3|+|a ﹣2|＝5，|b ﹣4|+|b ﹣7|＝3，∴﹣3≤a ≤2，4≤b ≤7，∴﹣10≤a ﹣b ≤﹣2，∴a ﹣b 的最大值等于﹣2，故答案为：﹣2．11．（2021秋•江岸区校级月考）设有理数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，这里ac ＜0且|c |＜|b |＜|a |，则|x−a b 2|+|x−b c 2|+|x +a c 2|的最小值为 2a b c 2　．【思路点拨】根据ac ＜0可知a ，c 异号，再根据a ＞b ＞c ，以及|c |＜|b |＜|a |，即可确定a ，﹣a ，b ，﹣b ，c ，﹣c 在数轴上的位置，而|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|表示到 a b 2，b c 2，−a c 2三点的距离的和，根据数轴即可确定．【解题过程】解：∵ac ＜0，∴a ，c 异号，∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，又∵|c |＜|b |＜|a |，∴﹣a ＜﹣b ＜c ＜0＜﹣c ＜b ＜a ，又∵|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|表示到 a b 2，b c 2，−a c 2三点的距离的和，当x 在b c 2时距离最小，即|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|最小，最小值是a b 2与−a c 2之间的距离，即2a b c 2．故答案为：2a b c 2．12．（2020秋•海曙区期末）已知a ，b ，c 为3个自然数，满足a +2b +3c ＝2021，其中a ≤b ≤c ，则|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣a |的最大值是　1346　．【思路点拨】根据绝对值的性质化简式子，再确定a，b，c的值，由此解答即可．【解题过程】解：由题意知b≥a，则|a﹣b|＝b﹣a，b≤c，则|b﹣c|＝c﹣b，a≤c，则|c﹣a|＝c﹣a，故|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝b﹣a+c﹣b+c﹣a＝2（c﹣a），上式值最大时，即c最大，且a最小时，（即c﹣a最大时），又a+2b+3c＝2021，2021＝3×673+2，故c的最大值为673，此时a+2b＝2，a≤b，且a，b均为自然数，a＝0时，b＝1，此时a最小，故2（c﹣a）的最大值即c＝673，a＝0时的值，即：2×（673﹣0）＝1346．故答案为：1346．13．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四个结论：①y没有最小值；②有无穷多个x的值，使y取到最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有两个值．其中正确的是 （填序号）．【思路点拨】依据绝对值的几何意义，|x﹣1|可以看成是x与1的距离，|x+1|可以看出是x与﹣1的距离，这样y可以看成两个距离之和，即在数轴上找一点x，使它到1和﹣1 的距离之和等于y．要从三个情形分析讨论：①x 在﹣1的左侧；②x在﹣1和1之间（包括﹣1，1）；③x在1的右侧．【解答过程】解：∵|x﹣1|是数轴上x与1的距离，|x+1是数轴上x与﹣1的距离，∴y＝|x﹣1|+|x+1|是数轴上x与1和﹣1的距离之和．∴当x在﹣1和1之间（包括﹣1，1）时，y的值总等于2．如下图：当x在﹣1的左侧时，y的值总大于于2．如下图：当x在1的右侧时，y的值总大于于2．如下图：综上，y有最小值2，且此时﹣1≤x≤1．∴①③不正确，②正确．∵使y＝2.5的x有﹣1，25和1，25两个值，∴④正确．故答案为②④．14．有理数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值为 ，最小值为 ．【思路点拨】将|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|拆分开来看，从而分别得到他们的最值小均为3，而根据已知知道，它们的和为6，从而得到|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|的值均为3，从而得到a和b的取值范围，进而可以求出a2+b2的最大值和最小值．【解答过程】解：|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，∴|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，∵|a+1|表示a到﹣1的距离，|2﹣a|表示a到2的距离，∴|a+1|+|2﹣a|≥3，又∵|b+2||表示b到﹣2的距离，|b+5|表示b到﹣5的距离，∴|b+2|+|b+5|≥3，又∵|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，∴|a+1|+|2﹣a|＝3，|b+2|+|b+5|＝3，此时﹣1≤a≤2，﹣5≤b≤﹣2，∴a2的最大值为4，最小值为0，b2的最大值为25，最小值为4，∴a2+b2的最大值为29，最小值为4．故答案为：29，4．15．（2021秋•梁子湖区期中）已知|ab ﹣2|与|b ﹣2|互为相反数，求b 1a 1−b 2a−2+b 3a 3的值．【思路点拨】根据绝对值的非负性求出a ，b 的值，代入代数式求值即可．【解题过程】解：根据题意得|ab ﹣2|+|b ﹣2|＝0，∵|ab ﹣2|≥0，|b ﹣2|≥0，∴ab ﹣2＝0，b ﹣2＝0，∴a ＝1，b ＝2，∴原式=32−4−1+54=32+4+54=274．16．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A ，B ，C ，D ，E 对应的数分别为a ，b ，c ，d ，e ，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．（1）填空：a ﹣c ＜　0，b ﹣a ＞　0，b ﹣d ＜　0（填“＞“，“＜“或“＝“）；（2）化简：|a ﹣c |﹣2|b ﹣a |﹣|b ﹣d |；（3）若|a |＝|e |，|b |＝3，直接写出b ﹣e 的值．【思路点拨】（1）根据数轴得出a ＜b ＜c ＜d ＜e ，再比较即可；（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；（3）先求出b 、e 的值，再代入求出即可．【解题过程】解：（1）从数轴可知：a ＜b ＜c ＜d ＜e ，∴a ﹣c ＜0，b ﹣a ＞0，b ﹣d ＜0，故答案为：＜，＞，＜；（2）原式＝|a ﹣c |﹣2|b ﹣a |﹣|b ﹣d |＝﹣a +c ﹣2（b ﹣a ）﹣（d ﹣b ）＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b＝a﹣b+c﹣d；（3）|a|＝|e|，∴a、e互为相反数，∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，∴b＝﹣3，e＝6，∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．17．（2021秋•铜山区期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，请回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为　4　；（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d为　|x+5|　；（3）若x表示一个有理数，且x大于﹣3且小于1，则|x﹣1|+|x+3|＝　4　；（4）若x表示一个有理数，且|x+2|+|x+3|＞1，则有理数x的取值范围为　x＜﹣2或x＞﹣3　．【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算；（2）根据数轴上两点间距离公式列式；（3）根据绝对值的意义进行化简计算；（4）根据绝对值的意义和数轴上两点间的距离进行分析求解．【解题过程】解：（1）d＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，∴数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为4，故答案为：4；（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d＝|x﹣（﹣5）|＝|x+5|，故答案为：|x+5|；（3）∵﹣3＜x＜1，∴x﹣1＜0，x+3＞0，∴|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，故答案为：4；（4）|x+2|+|x+3|表示数轴上数x到数﹣2和数﹣3的距离之和，∵﹣2﹣（﹣3）＝1，且|x+2|+|x+3|＞1，∴x＜﹣2或x＞﹣3，故答案为：x＜﹣3或x＞﹣2．18．x取何值时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取最小值，最小值是多少？【思路点拨】利用绝对值的几何意义分析：x为数轴上的一点，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|表示：点x到数轴上的1997个点（1、2、3、…、1997）的距离之和，进而分析得出最小值为：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|求出即可．【解题过程】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；所以：当1≤x≤1997时，|x﹣1|+|x﹣1997|有最小值1996；当2≤x≤1996时，|x﹣2|+|x﹣1996|有最小值1994；…当x＝999时，|x﹣999|有最小值0．综上，当x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|能够取到最小值，最小值为：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|＝998+997+996+…+0+1+2+998=(1998)×9982×2＝997002．19．（2021秋•金乡县期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：（1）8|8|=　1　．−3|−3|=　﹣1　（2）a|a|=　1或﹣1　（a≠0），a|a|+b|b|=　2或0　（其中a＞0，b≠0）（3）若abc≠0，试求a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值．【思路点拨】（1）根据绝对值的定义即可得到结论；（2）分类讨论：当a＞0时，当a＜0时，当b＞0时，当b＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论；（3）分类讨论：①当a＞0，b＞0，c＞0时，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，④当a＜0，b＜0，c＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论．【解题过程】解：（1）8|8|=1，−3|−3|=−1，故答案为：1，﹣1；（2）当a＞0时，a|a|=1；当a＜0时，a|a|=−1；当b＞0时，a|a|+b|b|=1+1＝2；当b＜0时，a|a|+b|b|=1﹣1＝0；故答案为：1或﹣1，2或0；（3）①当a＞0，b＞0，c＞0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+1+1＝4，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=−1+1+1﹣1＝0，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1﹣1﹣1+1＝0，④当a＜0，b＜0，c＜0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=−1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，综上所述，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为±4，0．20．（2021秋•江岸区期中）阅读下列材料．我们知道|x|=x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．∴|x+1|+|x﹣2|=−2x+1(x＜−1)3(−1≤x＜2)2x−1(x≥2)，通过以上阅读，解决问题：（1）|x﹣3|的零点值是x＝　3　（直接填空）；（2）化简|x﹣3|+|x+4|；（3）关于x，y的方程|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10，直接写出x+y的最小值为　﹣5　．【思路点拨】（1）根据零点值的概念领x﹣3＝0，求解；（2）仿照材料例题分x＜﹣4；﹣4≤x＜3；x≥3三种情况结合绝对值的意义化简求解；（3）仿照材料例题，分原式为|x﹣3|+|x+4|与|y﹣2|+|y+1|两部分进行分析求其最小值．【解题过程】解：（1）令x﹣3＝0，解得：x＝3，∴|x﹣3|的零点值是x＝3，故答案为：3；（2）令x﹣3＝0，x+4＝0，解得：x＝3，x＝﹣4，①当x＜﹣4时，原式＝3﹣x﹣4﹣x＝﹣2x﹣1，②当﹣4≤x＜3时，原式＝3﹣x+x+4＝7，③当x＞3时，原式＝x﹣3+x+4＝2x+1，综上，|x﹣3|+|x+4|=−2x−1(x＜−4) 7(−4≤x＜3)2x+1(x＞3)；（3）令x﹣3＝0，x+4＝0，y﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝3，x＝﹣4，y＝2，y＝﹣1，由（2）可得，当x＜﹣4时，|x﹣3|+|x+4|＝﹣2x﹣1，又∵x＜﹣4，∴﹣2x＞8，则﹣2x﹣1＞7，当x＞3时，|x﹣3|+|x+4|＝2x+1，又∵x＞3，∴2x＞6，则2x+1＞7，∴当﹣4≤x＜3时，|x﹣3|+|x+4|取得最小值为7，同理，可得当﹣1≤y＜2时，|y﹣2|+|y+1|取得最小值为3，∴当|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10时，﹣4≤x＜3，﹣1≤y＜2，∴此时x+y的最小值为﹣4+（﹣1）＝﹣5，故答案为：﹣5．。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.7有理数的加法【名师点睛】（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b=b+a；结合律（a+b）+c=a+（b+c）．【典例剖析】【例1】用适当方法计算：（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14；（2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）；（3）（﹣3.45）+（﹣12.5）+（+19.9）+（+3.45）+（﹣7.5）；（4）334+（﹣816）+（+212）+（﹣156）；（5）+734+（﹣958）+（﹣512）+38+（﹣412）．【分析】（1）（3）根据加法交换律和结合律计算即可求解；（2）先同号相加，再异号相加即可求解；（4）（5）先算同分母分数，再相加即可求解．【解析】（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14＝（0.36+0.14+0.5）+（﹣7.4﹣0.6）＝1﹣8＝﹣7；（2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）＝﹣69+48＝﹣21；（3）（﹣3.45）+（﹣12.5）+（+19.9）+（+3.45）+（﹣7.5）＝（﹣3.45+3.45）+（﹣12.5﹣7.5）+19.9＝﹣20+19.9＝﹣0.1；（4）334+（﹣816）+（+212）+（﹣156）＝（334+212）+（﹣816―156）＝614―10＝﹣33 4；（5）+734+（﹣958）+（﹣512）+38+（﹣412）＝（+734―958+38）+（﹣512―412）＝﹣112―10＝﹣11.5【变式1】（2021秋•英德市月考）计算：（1）19+（﹣6.9）+（﹣3.1）+（﹣8.35）．（2）（―18）+3.25+235+（﹣5.875）+1.15．【分析】（1）运用加法交换律和结合律计算即可；（2）运用加法交换律和结合律计算即可．【解析】（1）19+（﹣6.9）+（﹣3.1）+（﹣8.35）＝19+[（﹣6.9）+（﹣3.1）]﹣8.35＝19﹣10﹣8.35＝9﹣8.35＝0.65；（2）（―18）+3.25+235+（﹣5.875）+1.15＝[（―18）+（﹣5.875）]+（3.25+1.15+2.6）＝﹣6+7＝1．【例2】（2021秋•达川区期中）阅读下面文字：对于（﹣556）+（﹣923）+1734+（﹣312），可以按如下方法计算：原式＝[（﹣5）+（―56）]+[（﹣9）+（―23）]+（17+34）+[（﹣3）+（―12）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（―56）+（―23）+34+（―12）]＝0+（﹣114）＝﹣114上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：（﹣201856）+（﹣201723）+（﹣112）+4036．【分析】根据题目提供的信息，把各带分数都拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可得解．【解析】原式=[(―2018)+(―56)]+[(―2017)+(―23)]+[(―1)+(―12)]+4036=[(―2018)+(―2017)+(―1)+4036]+[(―56)+(―23)+(―12)] =0+[(―56)+(―23)+(―12)] ＝﹣2．【变式2】（2019秋•无棣县期中）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题．（1）计算：―556+(―923)+1734+(―312)解：原式=[(―5)+(―56)]+[(―9)+(―23)]+(17+34)+[(―3)+(―12)]=[(―5)+(―9)+17+(―3)]+[(―56)+(―23)+34+(―12)] =0+(―114)=―114上面这种解题方法叫做拆项法．（2）计算：(―200056)+(―199923)+400023+(―112)．【分析】首先分析（1）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值．【解析】原式＝（﹣2000―56）+（﹣1999―23）+（4000+23）+（﹣1―12）＝（﹣2000﹣1999+4000﹣1）+（―56―12）+（―23+23）＝0﹣113+0＝﹣11 3．【例3】（2020春•肇东市期末）小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．（1）小虫最后是否回到出发点A？（2）小虫离开原点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？【分析】（1）把记录数据相加，结果为0，说明小虫最后回到出发点A；（2）分别计算出每次爬行后距离A点的距离；（3）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数．【解析】（1）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝27﹣27＝0，所以小虫最后回到出发点A；（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次爬行距离原点是5﹣3＝2（cm），第三次爬行距离原点是2+10＝12（cm），第四次爬行距离原点是12﹣8＝4（cm），第五次爬行距离原点是|4﹣6|＝2（cm），第六次爬行距离原点是﹣2+12＝10（cm），第七次爬行距离原点是10﹣10＝0（cm），从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；（3）小虫爬行的总路程为：|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54（cm）．54×1＝54（粒）所以小虫一共得到54粒芝麻．【变式3】（2021秋•岱岳区期中）某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：米）：+150，﹣32，﹣43，+205，﹣30，+25，﹣20，﹣5，+30，﹣25，+75．（1）他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？（2）登山时，5名队员在进行全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升．他们共使用了氧气多少升？【分析】弄懂题意是关键．（1）约定前进为正，后退为负，依题意列式求出和，再与500比较即可；（2）要消耗的氧气，需求他共走了多少路程，这与方向无关．【解析】（1）根据题意得：150﹣32﹣43+205﹣30+25﹣20﹣5+30+75﹣25＝330米，500﹣330＝170米．（2）根据题意得：150+32+43+205+30+25+20+5+30+75+25＝640米，640×0.04×5＝128升．答：（1）他们没能最终登上顶峰，离顶峰还有170米；（2）他们共使用了氧气128升．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•沈阳）计算5+（﹣3）正确的是（ ）A．2B．﹣2C．8D．﹣8【分析】根据有理数异号相加法则即可处理．【解析】5+（﹣3）＝2，故选：A．2．（2022•埇桥区校级模拟）﹣6+2的计算结果是（ ）A．8B．﹣8C．4D．﹣4【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可求出值．【解析】﹣6+2＝﹣（6﹣2）＝﹣4．故选：D．3．（2022•长春一模）互为相反数的两个数的和为（ ）A．0B．正数C．负数D．无法确定【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，它们的和为0．【解析】互为相反数的两个数的和为0．故选：A．4．（2022春•肇源县期末）下列关于有理数的加法说法错误的是（ ）A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加B．异号两数相加，绝对值相等时和为0C．互为相反数的两数相加得0D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号【分析】根据有理数的加法法则判断即可．【解析】A选项，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，故该选项不符合题意；B选项，异号两数相加，绝对值相等时和为0，故该选项不符合题意；C选项，互为相反数的两数相加得0，故该选项不符合题意；D选项，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，故该选项符合题意；故选：D．5．（2022春•长沙期中）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把﹣25到﹣30这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S 的最小值是（ ）A．﹣84B．﹣85C．﹣86D．﹣87【分析】三个顶点处分别是﹣30，﹣29，﹣28，﹣30与﹣29之间是﹣25，﹣30和﹣28之间是﹣26，﹣29和﹣28之间是﹣27，这样每边的和才能相等并且S有最小值．【解析】如图，∴S＝﹣29﹣27﹣28＝﹣84，故选：A．6．（2022•安徽模拟）若a、b、c、d是正整数，且a+b＝c，b+c＝d，下列结论正确的是（ ）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a+d＝2c D．a+d＝2b【分析】将已知的两条式子联立方程便可得出等量关系式．【解析】由题意可知：a+b=c①b+c=d②，由①﹣②，得a﹣c＝c﹣d，得a+d＝2c．故选：C．7．（2021秋•龙泉市期末）在一个峡谷中，测得A地的海拔为﹣11米，B地比A地高15米，则B地的海拔为（ ）A．4米B．﹣4米C．26米D．﹣26米【分析】根据高即为加法列算式，再根据加法法则计算即可．【解析】﹣11+15＝4（米）．故选：A．8．（2021秋•芝罘区期末）若|m|＝2，|n|＝3，且m＞n，则m+n的值是（ ）A．﹣1B．﹣5C．1或﹣5D．﹣1或﹣5【分析】根据绝对值的定义求出m，n的值，根据m＞n分两种情况分别计算即可．【解析】∵|m|＝2，|n|＝3，∴m＝±2，n＝±3，∵m＞n，∴当m＝2，n＝﹣3时，m+n＝2﹣3＝﹣1；当m＝﹣2，n＝﹣3时，m+n＝﹣2﹣3＝﹣5；故选：D．9．（2021秋•东阳市期末）如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个数中负数有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负．【解析】∵n+q＝0∴n与q互为相反数．∴原点为O．则在原点左侧的数有三个．即m，n，p，q四个数中负数有3个．故选：C．10．（2021秋•肥西县期末）若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与它的相反数相等，则a+b 的值是（ ）A．﹣2B．﹣6C．﹣2或﹣6D．2或6【分析】根据绝对值的定义得到a，b的值，根据a+b的绝对值与它的相反数相等，知道a+b＜0，然后分两种情况分别计算即可．【解析】∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，∵a+b的绝对值与它的相反数相等，∴a+b＜0，当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣6；当a＝﹣4，b＝2时，a+b＝﹣2；故选：C．二．填空题（共8小题）11．（2022春•鼓楼区校级期中）计算：3+|﹣5|＝　8　．【分析】根据绝对值的性质计算即可．【解析】原式＝3+5＝8．故答案为：8．12．（2022春•奉贤区校级月考）在横线上填上适当的符号使式子成立：（　+　6）+（﹣18）＝﹣12．【分析】根据有理数的加法法则即可得出答案．【解析】6+（﹣18）＝﹣12，故答案为：+．13．（2021秋•宣汉县期末）已知|a|＝8，|b|＝3，a＜b，则a+b＝　﹣5或﹣11　．【分析】根据绝对值以及有理数的大小比较得出a、b的值，再代入计算即可．【解析】∵|a|＝8，|b|＝3，∴a＝±8，b＝±3，又∵a＜b，∴a＝﹣8，b＝3或a＝﹣8，b＝﹣3，∴a+b＝﹣8+3＝﹣5或a+b＝﹣8﹣3＝﹣11，故答案为：﹣5或﹣11．14．（2021秋•台江区期末）某地一天早晨的气温是﹣2℃，中午温度上升了8℃，则中午的气温是　6　℃．【分析】根据有理数的加法列式计算即可．【解析】﹣2+8＝+（8﹣2）＝6（℃），故答案为：6．15．（2021秋•射阳县月考）若x的相反数是﹣3，|y|＝5，则x+y的值为　8或﹣2　．【分析】由题意得出x、y的值，即可求出x+y的值．【解析】由题意得：x＝3，y＝±5，∴x+y＝3±5＝8或﹣2，故答案为：8或﹣2．16．（2020秋•天宁区月考）（1）如果收入60元，记作+60元，那么支出20元记作　﹣20　元．（2）某地某天早晨的气温是﹣2℃．到中午升高了6℃．那么中午的温度是　+4　℃．【分析】利用相反意义量的定义分别进行求解即可．【解析】（1）如果收入60元，记作+60元，那么支出20元记作﹣20元；故答案为：﹣20；（2）某地某天早晨的气温是﹣2℃．到中午升高了6℃．那么中午的温度是+4℃；故答案为：+4．17．（2021秋•兴化市月考）小明做了这样一道计算题：|2+■|，其中“■”表示被墨水污染看不到的一个数，他看了后面的答案得知该题的计算结果为5，那么“■”表示的数应该是　3或﹣7　．【分析】由题意得：|2+■|＝5，故2+■＝±5，从而解决此题．【解析】由题意得：|2+■|＝5．∴2+■＝±5．当2+■＝5，得■＝3．当2+■＝﹣5，得■＝﹣．综上：■＝3或﹣7．故答案为：3或﹣7．18．（2021秋•滕州市期中）a是最大的负整数，b是2的相反数，c是平方最小的有理数，则a+b+c的值为　﹣3　．【分析】先求出a、b、c的值，再代入求出即可．【解析】∵a是最大的负整数，b是2的相反数，c是平方最小的有理数，∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝0，∴a+b+c＝（﹣1）+（﹣2）+0＝﹣3，故答案为：﹣3．三．解析题（共4小题）19．计算：（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）；（2）18.56+（﹣5.16）+（﹣1.44）+（+5.16）+（﹣18.56）；（3）0.5+（―14）+（﹣2.75）+12；（4）4.4+（―13）+（﹣13）+（﹣323）+（﹣2.4）．【分析】（1）正数和正数相加，负数和负数相加，再算异号两数；（2）根据加法交换率和加法结合律简便计算；（3）先把分数化为小数，再根据加法交换率和加法结合律简便计算；（4）做带分数加法时，可将带分数化为整数和分数两部分，然后分别相加，再把结果相加，但要注意分开的整数部分和分数部分都要保留原带分数的符号．【解析】（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）＝﹣（3+32+8）+40＝﹣43+40＝7；（2）18.56+（﹣5.16）+（﹣1.44）+（+5.16）+（﹣18.56）＝[18.56+（﹣18.56）]+[﹣5.16+（+5.16）]+（﹣1.44）＝0+0+（﹣1.44）＝﹣1.44；（3）0.5+（―14）+（﹣2.75）+12＝0.5+（﹣0.25）+（﹣2.75）+0.5＝[0.5+0.5]+[（﹣0.25）+（﹣2.75）]＝1+（﹣3）＝﹣2；（4）4.4+（―13）+（﹣13）+（﹣323）+（﹣2.4）＝4.4+（―13）+（﹣13）+（﹣3）+（―23）+（﹣2.4）＝4.4+[（―13）+（―23―]+[（﹣13）+（﹣3）+（﹣2.4）]＝4.4+（﹣1）+（﹣18.4）＝﹣15．20．计算：（1）（﹣23）+（+58）+（﹣17）；（2）（﹣2.8）+（﹣3.6）+（﹣1.5）+3.6；（3）16+（―27）+（―56）+（+57）；（4）﹣2.5+（﹣3.26）+5.5+（+7.26）．【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【解析】解析（1）原式＝[（﹣23）+（﹣17）]+（+58）＝﹣40+58＝18．（2）原式＝[（﹣2.8）+（﹣1.5）]+[（﹣3.6）+3.6]＝﹣4.3+0＝﹣4.3．（3）原式=[16+(―56)]+[(―27)+(+57)]=―23+37=―5 21；（4）原式＝（﹣2.5+5.5）+[（+7.26）+（﹣3.26）]＝3+4＝7．21．（2019秋•灌南县校级月考）阅读下面文字：对于（﹣556）+（﹣923）+1734+（﹣312）可以如下计算：原式＝[（﹣5）+（―56）]+[（﹣9）+（―23）]+（17+34）+[（﹣3）+（―12）]＝[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（―56）+（―23）+34+（―12）]＝0+（﹣114）＝﹣11 4上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，请你计算：（﹣112）+（﹣200056）+400034+（﹣199923）【分析】利用拆项法来简化运算．【解析】（﹣112）+（﹣200056）+400034+（﹣199923）＝﹣1+（―12）+（﹣2000）+（―56）+4000+34+（﹣1999）+（―23），＝﹣1+（﹣2000）+4000+（﹣1999）+（―12）+（―56）+34+（―23），＝0+（―54），=―5 4．22．（2021秋•盐都区期中）某出租车从解放路和青年路十字路口出发，在东西方向的青年路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km）：第1批第2批第3批第4批第5批4km2km﹣5km﹣3km6km（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在解放路和青年路十字路口什么方向，距离十字路口多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.08升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费8元，超过3km的部分按每千米加1.2元收费，在这过程中该出租车驾驶员共收到车费多少元？【分析】（1）求出行驶路程的代数和，利用结果的符号和数值作出判断即可；（2）求出行驶路程的绝对值的和，利用路程和乘以每千米耗油量即可得出结论；（3）分别计算接送每批客人的收费数额再相加即可得出结论．【解析】（1）∵4+2+（﹣5）+（﹣3）+6＝4（千米），∴出租车在解放路和青年路十字路口东边，距离十字路口4千米；（2）∵|4|+|2|+|﹣5|+|﹣3|+6＝20（千米），∴20×0.08＝1.6（升）．∴在这过程中共耗油1.6升．（3）∵接送第一批客人的收费为：8+1×1.2＝9.2（元），接送第二批客人的收费为：8元，接送第三批客人的收费为：8+2×1.2＝10.4（元），接送第四批客人的收费为：8元，接送第五批客人的收费为：8+3×1.2＝11.6（元），∴9.2+8+10.4+8+11.6＝47.2（元）．所以在这过程中该出租车驾驶员共收到车费47.2元．。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题3.1从算式到方程【名师点睛】1.方程的定义方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．2.方程的解（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．（2）规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．3.一元一次方程的定义（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．4.一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．【典例剖析】【考点1】方程的定义【例1】（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①2x―1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2―5x―1，是方程的是（ ）A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤【答案】C【分析】根据方程的定义即可一一判定．【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，①2x ―1=5是方程；②4+8=12，不含有未知数，故不是方程；③5y +8不是等式，故不是方程；④2x +3y =0是方程；⑤2a +1=1是方程；⑥2x 2―5x ―1不是等式，故不是方程；故方程有：①④⑤，故选：C ．【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．【变式1】（2022·山西阳泉·七年级期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）A ．一个数的13是6B ．x 与1的差的14C ．甲数的2倍与乙数的13D ．a 与b 的和的60%【例2】（2022·辽宁本溪·七年级期末）下列方程①x ―2=1x ；②3x =11；③x 2=5x ―1；④y 2―4y =3；⑤x =0；⑥x +2y =1，其中是一元一次方程的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个④y2―4y=3，未知数的最高次数不是1次，故不是一元一次方程；⑤x=0是一元一次方程；⑥x+2y=1，含有两个未知数，故不是一元一次方程，所以是一元一次方程的有3个．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟记一元一次方程的定义．【变式2】（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）下列等式是一元一次方程的是() A．x2―4x=3B．xy―3=5C．x+2y=1D．3x―1=x2【例3】（2022·河南许昌·七年级期末）已知(a―3)x|a―2|―5=8是关于x的一元一次方程，则a=（）A．3或1B．1C．3D．0【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义可得|a―2|=1且a―3≠0，解之即可得出．【详解】解：∵(a―3)x|a―2|―5=8是关于x的一元一次方程，∴|a―2|=1且a―3≠0，解得：a=1或3 ，且a≠3，∴a=1，故选：B．【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数的次数为1这样的整式方程，熟练掌握定义是做题的关键．【变式3】（2021·贵州黔东南·七年级期末）若方程(m―3)x|m|―2=m―5是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A．3B．-3C．±3D．±2【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义得出m-3≠0，|m|-2=1，求出m的值即可．【详解】解：∵方程(m―3)x|m|―2=m―5是关于x的一元一次方程∴|m|-2=1，且m-3≠0，解得m=―3．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1且未知数的系数不为0这个条件．【考点4】方程的解【例4】（2022·云南红河·七年级期末）下列方程中，解是x=4的是（）A．―x―4=0B．1(x+2)=x C．3x―8=4D．4x=12的值为()A．―10B．10C．―2D．2【答案】B【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【详解】解：把x＝−3代入方程2x＋k−4＝0，得：−6＋k−4＝0解得：k＝10．故选：B．【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．【考点5】列一元一次方程【例5】（2020·全国·七年级课时练习）根据下列条件，设未知数并列出方程：加5；（1）某数的3倍减去3，等于该数的13（2）某商店将进价为2500元的某品牌彩电按标价的8折销售，仍可获得220元的利润，那么该品牌彩电的标价为多少元？（1）一个方程的解为x=2，请写出一个符合条件的方程（2）根据“x的3倍与5的和比x的1少3”列出方程2一．选择题（共10小题）1．（2022春•资阳期末）下列各式中：①2x﹣1＝5；②4+8＝12；③5y+8；④2x+3y＝0；⑤2a+1＝1；⑥2x2﹣5x﹣1．是方程的是（ ）A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤【分析】根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可．【解析】①2x﹣1＝5符合方程的定义，故本小题符合题意；②4+8＝12不含有未知数，不是方程，故本小题不合题意；③5y+8不是等式，故本小题不合题意；④2x+3y＝0符合方程的定义，故本小题符合题意；⑤2a+1＝1符合方程的定义，故本小题符合题意；⑥2x2﹣5x﹣1不是等式，故本小题不合题意．故选：C．2．（2022春•让胡路区校级期末）下列式子：①3x﹣4＝1；②2xy﹣1＝0；③2x＝1．其中一元一次方程的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此解答即可．【解析】①是一元一次方程；②有两个未知数，不是一元一次方程；③是一元一次方程；一元一次方程有①③，一元一次方程的个数是2．故选：C．3．（2022春•漳州期末）若关于x的方程2x m﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．【解析】根据题意得：m﹣1＝1，解得：m＝2．故选：D．4．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（ ）A．0B．7C．8D．10【分析】根据一元一次方程的定义得出7﹣a＝0且a≠0，再求出a即可．【解析】∵方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，∴7﹣a＝0且a≠0，解得：a＝7，故选：B．5．（2021秋•孟村县期末）如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（ ）A．﹣10B．10C．2D．﹣2【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【解析】把x＝﹣3代入方程2x+k﹣4＝0，得：﹣6+k﹣4＝0解得：k＝10．故选：B．6．（2021秋•桓台县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．【解析】把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故选：C．7．（2021秋•义乌市期末）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）A．2B．3C．7D．8【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把方程的解代入方程，可得答案．【解析】把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，得：5a﹣8＝20+a，解得：a＝7，故选：C．8．（2022春•上蔡县期末）小华想找一个解是2的方程，那么他会选择（ ）A．3x+6＝0B．23x＝2C．3（x﹣1）＝x+1D．5﹣3x＝1【分析】把x＝2分别代入各个选项的方程，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解．【解析】A．把x＝2代入方程，左边＝12≠右边，故本选项不合题意；B．把x＝2代入方程，左边=43≠右边，故本选项不合题意；C．把x＝2代入方程，左边＝3＝右边，故本选项符合题意；D．把x＝2代入方程，左边＝﹣1≠右边，故本选项不合题意．故选：C．9．（2022•政和县模拟）中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x，则下面符合题意的方程是（ ）A．9x+11＝6x﹣16B．9x+6x＝16+11C．9x+11＝6x+16D．9x﹣11＝6x+16【分析】设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，根据鸡的价格不变可得9x﹣11＝6x+16，此题得解．【解析】若设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，根据题意得：9x﹣11＝6x+16，故选：D．10．（2022•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）A．x27+x5=1B．x27+x5=1C．x7+x25=1D．x7+x25=1【分析】根据题意设甲乙经过x日相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的x7和x25，进而得出等式．【解析】设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为：x 7+x25=1．故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2019春•奉贤区期中）方程23xy+3＝0中，23xy的次数是　2　次．【分析】根据单项式的次数解答即可．【解析】方程23xy+3＝0中，23xy的次数是2次．故答案为：2．12．（2022春•让胡路区校级期末）若方程2x2m﹣1﹣1＝3是一元一次方程，那么3m﹣7＝　﹣4　．【分析】根据一元一次方程的定义可得2m﹣1＝1，据此可得m的值，再代入所求式子计算即可．【解析】∵方程2x 2m ﹣1﹣1＝3是一元一次方程，∴2m ﹣1＝1，解得m ＝1，∴3m ﹣7＝3﹣7＝﹣4．故答案为：﹣4．13．（2022春•江源区期末）把x ＝1代入方程x ﹣2y ＝4⋯①，那么方程①变成关于 y 的一元一次方程．【分析】根据一元一次方程的定义，判断即可．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．【解析】把x ＝1代入方程x ﹣2y ＝4⋯①，得1﹣2y ＝4，故方程①变成关于y 的一元一次方程．故答案为：y ．14．（2022春•金川区校级期末）关于x 的方程（2m ﹣6）x |m ﹣1|﹣2＝0是一元一次方程，则m ＝　2或0　．【分析】根据一元一次方程的定义可得|m ﹣1|＝1，且2m ﹣6≠0，再解即可．【解析】由题意得：|m ﹣1|＝1，且2m ﹣6≠0，解得m ＝2或0，故答案为：2或0．15．（2022春•长治期末）已知关于x 的方程2x +a ＝5的解是x ＝1，则a 的值是 3　．【分析】根据方程的解的意义，把x ＝1代入原方程得关于a 的方程，解方程即可．【解析】把x ＝1代入方程2x +a ＝5，得：2+a ＝5，解得：a ＝3．故答案为：3．16．（2022春•古县期末）已知关于x 的方程2x +a ＝5的解是x ＝1，则a 的值是 3　．【分析】把x ＝1代入方程计算即可求出a 的值．【解析】把x ＝1代入方程得：2+a ＝5，解得：a ＝3．故答案为：3．17．（2022春•临汾期末）已知关于x 的方程2x 13=x a 2―1的解x ＝﹣10，同a 的值为 2　．【分析】把x ＝﹣10代入方程即可得出a 的值．【解析】把x ＝﹣10代入关于x 的方程得：2x 13=x a 2―1，2013=10a 2―1，解得a ＝2．故答案为：2．18．（2022•青县一模）已知关于x 的方程2x 13=x a 2―1的解为x ＝﹣10，则a 的值为 2　；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的﹣1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为x ＝　﹣5　．【分析】把x ＝﹣10代入方程即可得出a 的值；根据题意结合解一元一次方程的步骤即可得出嘉琪解得方程的解．【解析】把x ＝﹣10代入关于x 的方程2x 13=x a 2―1，得：2013=10a 2―1，解得a ＝2；故原方程为2x 13=x 22―1，嘉琪的解题过程为：2（2x ﹣1）＝3（x ﹣2）﹣1，4x ﹣2＝3x ﹣6﹣1，4x ﹣3x ＝2﹣6﹣1，x ＝﹣5．故答案为：2；﹣5．三．解答题（共6小题）19．（2021秋•武昌区期末）若（a ﹣1）x |a |﹣3＝0是关于x 的一元一次方程，求﹣4a 2﹣2[a ﹣（2a 2﹣a +2）]的值．【分析】先化简代数式，再由（a ﹣1）x |a |﹣3＝0是关于x 的一元一次方程，所以a ﹣1≠0且|a |＝1，求得a 的值，代入所化简后的代数式即可求得．【解析】﹣4a 2﹣2[a ﹣（2a 2﹣a +2）]＝﹣4a 2﹣2[a ﹣2a 2+a ﹣2]＝﹣4a 2﹣2a +4a 2﹣2a +4＝4﹣4a ．根据题意得，a ﹣1≠0且|a |＝1，解得a ＝﹣1，把a ＝﹣1，代入化简后的代数式得，4﹣4a＝4﹣4×（﹣1）＝4+4＝8．20．（2021秋•邢台月考）已知（m+1）x|m|+2＝0是关于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）求该方程的解．【分析】（1）根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；（2）将（1）中的m值代入已知方程，然后解关于x的方程即可．【解析】（1）由题意知：m+1≠0，|m|＝1，则m≠﹣1，所以m＝1或m＝﹣1所以m＝1；（2）由（1）知，m＝1代入（m+1）x|m|+2＝0，得（1+1）x|1|+2＝0，即2x+2＝0．解得x＝﹣1．21．（2022春•原阳县月考）王老师在黑板上写了一个等式（m﹣3）x＝5（m﹣3），小明说x ＝5；小刚说不一定，当x≠5时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确么？用等式的性质说明理由．【分析】根据等式的性质，即可解答．【解析】小明的说法错误，小刚的说法正确，理由如下：当m﹣3＝0时，x为任意数，当m﹣3≠0时，x＝5．22．（2021秋•莱阳市期末）在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）【分析】首先设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20﹣x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草人数+支援拔草的人数＝2×（原来植树的人数+支援植树的人数）．【解析】设支援拔草的有x人，由题意得：31+x＝2[18+（20﹣x）]．23．（2021秋•沈北新区期末）“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）【分析】设该电器的成本价为x元，根据成本价×（1+30%）×80%＝售价为2080元可列出方程．【解析】设该电器的成本价为x元，依题意有x（1+30%）×80%＝2080．24．（2019秋•保亭县期末）从甲地到乙地，某人骑自行车比乘公共汽车多用2.5h，已知骑自行车的平均速度为每小时15km，公共汽车的平均速度为每小时40km，求甲乙两地之间的路程（只列方程）．【分析】设甲乙两地之间的路程为x千米，根据某人骑自行车比乘公共汽车多用2.5h，列出方程即可．【解析】设甲乙两地之间的路程为x千米，由题意得x 40+2.5=x15．。

专题3.1 一元一次方程中的综合【典例1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x−1=3和x +1=0为“美好方程”．（1）请判断方程4x−(x +5)=1与方程−2y−y =3是否互为“美好方程”；（2）若关于x 的方程x2+m =0与方程3x−2=x +4是“美好方程”，求m 的值；（3）若关于x 方程12022x−1=0与12022x +1=3x +k 是“美好方程”，求关于y 的方程12022(y +2)+1=3y +k +6的解．解得：y=−2023．1．（2022·浙江·七年级单元测试）满足方程|x+23|+|x−43|=2的整数x有（）个A．0个B．1个C．2个D．3个【思路点拨】【解题过程】2．（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）方程x3+x15+x35…+x2021×2023=1的解是x=（）．A．20212023B．20232021C．20231011D．10112023【思路点拨】【解题过程】3．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程3x−5m2−x−m3=19的解，比关于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（x﹣m）的解大15，则m＝（ ）A．2B．1C．0D．﹣1【思路点拨】【解题过程】4．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程x−38−ax3=x2−1有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（）A．−11B．−26C．−28D．−30【思路点拨】【解题过程】5．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程2kx m3=x−nk6+2，无论k为任何数时，它的解总是x=1，那么m+n=_______．【思路点拨】先将x=1代入原方程得，根据无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案．【解题过程】6．（2022·浙江·七年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a,b,c}表示a，b，c三个数中较大的数，例如max{2,3,4}=4.按照这个规定则方程max{x,−x,0}=3x−2的解为_________．【思路点拨】分x<0时，x>0时和x=0时三种情况讨论，列出方程求解即可．【解题过程】+a=2020x的解为x=2020，那么关于y 7．（2022·河北保定·七年级期末）已知关于x的一元一次方程x2020=2020(1−y)+a的解为________.的一元一次方程1−y2020【思路点拨】【解题过程】8．（2022·全国·七年级课时练习）解关于x的一元一次方程x1×3+x3×5+⋯+x2019×2021=2020．【思路点拨】先裂项相消，再根据一元一次方程的解法求解．【解题过程】9．（2022·上海·七年级专题练习）解关于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．【思路点拨】将k看作已知数，按一元一次方程的解法步骤求解即可．【解题过程】10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：|x-|3x+1||＝4．【思路点拨】利用绝对值的性质，将方程转化为x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4，再分情况讨论：当3x+1＞0时可得到|3x+1|=3x+1；当3x+1＜0时可得到|3x+1|=-3x-1，分别求出对应的方程的解即可．【解题过程】11．（2022·全国·七年级课时练习）如果方程 3x−42−7=2x 13−1 的解与方程 4x−(3a +1)=6x +2a−1 的解相同，求式子 a 2−a +1 的值．【思路点拨】先解关于x 的方程得出x =10，将其代入方程4x -（3a +1）=6x +2a -1求得a 的值，继而代入计算可得．【解题过程】12．（2022·江苏·七年级单元测试）嘉淇在解关于x 的一元一次方程3x−12+☐＝3时，发现正整数☐被污染了；(1)嘉淇猜☐是2，请解一元一次方程3x−12+2=3；(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？【思路点拨】【解题过程】13．（2021·吉林松原·七年级期末）某同学在解关于y的方程3y−a4−5y−7a6=1去分母时、忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．（1）求a的值；（2）求方程正确的解．【思路点拨】（1）按照该同学去分母的方法得到3(3y−a)−2(5y−7a)=1，把y=10代入方程，再去括号，移项，合并同类项，把系数化“1”，即可得到答案；（2）把a=1代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤解方程即可.【解题过程】即原方程的解为y =−114．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）一题多解是培养发散思维的重要方法，方程“6(4x−3)+2(3−4x)=3(4x−3)+5”可以有多种不同的解法．(1)观察上述方程，假设y =4x−3，则原方程可变形为关于y 的方程：_________ ，通过先求y 的值，从而可得x =_____；(2)利用上述方法解方程：3(x−1)−13(x−1)=2(x−1)−12(x +1)．【思路点拨】【解题过程】15．（2022·全国·七年级专题练习）解关于x 的方程x3+x5+x7＝0，我们也可以这样来解：（13+15+17）x ＝0，因为13+15+17≠0．所以方程的解：x＝0．请按这种方法解下列方程：(1)x−13+x−15+x−17+x−19＝0；(2)x−232+x−194+x−156+x−118+x−710＝10．【思路点拨】【解题过程】16．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）仔细观察下面的解法，请回答为问题．解方程：3x−12=4x25−1解：15x﹣5＝8x+4﹣1，15x﹣8x＝4﹣1+5，7x＝8，x=78．(1)上面的解法错误有 处．(2)若关于x的方程3x−12=4x25＋a，按上面的解法和正确的解法得到的解分别为x1，x2，且x2−1x1为非零整数，求|a|的最小值．【思路点拨】（1）找出解方程中错误的地方即可；（2）利用错误的解法与正确的解法求出x1，x2，根据题意确定出a的值，即可得到结果．【解题过程】17．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定了一种运算：|a bc d|＝ad﹣bc，例如|1 02 −2|＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当|2x+1 −4x−1 3|＝19时，求x的值．【思路点拨】由新定义得3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，解一元一次方程即可．【解题过程】解：∵|abcd|＝ad﹣bc，|2x+1−4x−1 3|＝19，∴3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，∴6x+3+4x﹣4＝19，∴10x＝20，∴x＝2．18．（2022·全国·七年级专题练习）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程的解，y0是关于y的方程的一个解，且x0，y0满足x0+y0=424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x=5x−400的解是x=400，方程|y|=24的解是y=24或y=−24，当y=24时，满足x0+y0=400+24=424，所以关于y的方程|y|=24是关于x的一元一次方程4x=5x−400的“航天方程”．(1)试判断关于y的方程|y−1|=20是否是关于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”？并说明理由；(2)若关于y的方程|y−1|−3=13是关于x的一元一次方程x−2x−2a3=2a+1的“航天方程”，求a的值．【思路点拨】（1）根据新定义的概念进行分析计算；（2）分别求得两个方程的解，然后根据新定义概念分情况讨论求解．【解题过程】19．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【思路点拨】【解题过程】20．（2022·福建福州·七年级期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；(2)若关于x的方程x﹣x−2m＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的3值；(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．【思路点拨】【解题过程】。

2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第3章《一元一次方程》3.2-3.3 解一元一次方程知识点1：利用合并同类项与移项解一元一次方程1．（2021七上·长兴月考）方程261x x -=-的解是（ ）.A ．5B ．52-C ．5±D ．53【答案】A【完整解答】解：261x x -=-，移项得，261x x -=-，合并同类项得，5x =，故答案为：A.【思路引导】根据解一元一次方程的解题步骤“移项、合并同类项”求出方程的解，即可得出答案.2．（2021七上·梁山期中）方程537x x -=+移项后正确的是（ ）A ．375x x +=+B ．357x x +=-+C ．375x x -=-D ．375x x -=+【答案】D【完整解答】解：移项，得：375x x -=+．故答案为：D ．【思路引导】根据移项的计算方法和注意事项求解即可。

3．（2021七上·灵山期末）解一元一次方程 4125x x +=- 时，移项后，得到的式子正确的是（ ）A ．4251x x -=--B ．4251x x +=--C ．4251x x -=-+D ．4251x x +=-【答案】A【完整解答】解： 4125x x +=-移项得： 4251x x -=--故答案为：B 、C 、D 均错误；选项A 正确，故答案为：A.【思路引导】根据移项要变号可判断求解.4．（2021七上·廉江期末）方程434x x =-的解是x = ．【答案】-4【完整解答】解：移项，4x-3x=-4，合并同类项得，x=-4．故答案是：-4．【思路引导】先移项、合并同类项，再系数化为1即可。

5．（2020七上·高明期末）当 x = 时， 28x + 的值为4．【答案】-2【完整解答】根据题意得： 2x+8= 4，移项合并得： 2x = -4，解得： x=-2故答案为：-2【思路引导】根据题意建立方程，求出方程的解即可.6．（2020七上·无棣期末）下面的框图表示了琳琳同学解方程421x x +=-的流程：你认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第 步开始出现问题，正确完成这一步的依据是 ．【答案】一；等式的基本性质1【完整解答】解：我认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第一步开始出现问题，符合题意完成这一步的依据是等式的基本性质1．故答案为：一；等式的基本性质1．【思路引导】利用一元一次方程的解法和等式的性质求解即可。

专题07 一元一次方程的应用（12大考点） 专题讲练一元一次方程的应用题属于人教版七年级上期期末必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、行程问题、工程问题、方案优化选择、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题、动态问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。

1、知识储备2、经典基础题考点1. 分段计费问题考点2. 行程问题考点3. 工程问题考点4. 方案优化问题考点5. 商品销售问题考点6. 比赛积分问题考点7. 配套问题考点8. 调配问题考点9. 数字与日历问题考点10．和、差、倍、分（比例）问题考点11. 几何问题（等积问题）考点12. 动态问题3、优选提升题1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题¾¾¾®分析抽象方程¾¾¾®求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 2 .建立书写模型常见的数量关系1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。

在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。

长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。

我们称这类关系为约定型数量关系。

3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。

我么把这类数量关系称为基本数量关系。

单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×时间=总工作量等。

3.分析数量关系的常用方法1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。

人教版数学七年级上册电子课本答
案
1. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。

2. 三角形的三个内角之和为180°。

3. 如果两个角的度数相等，则这个三角形是等腰三角形。

4. 如果三角形的三条边都相等，则这个三角形是等边三角形。

5. 如果两边之比等于第三边之比，则这个三角形是等比三角形。

6. 如果三角形的三条边都不相等，则这个三角形是不等边三角形。

7. 如果三角形的三个内角都不相等，则这个三角形是不等
腰三角形。

8. 如果两边之比不等于第三边之比，则这个三角形是不等比三角形。

9. 如果三角形的三条边都不相等，且三个内角也不相等，则这个三角形是一般三角形。

10. 如果三角形的三条边都不相等，且其中两个内角相等，则这个三角形是锐角三角形。

专题1.1 数轴中的综合【典例1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；（2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ．（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可；（2）①根据点P所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”，点B是点A、点P的“联盟点”，点P是点A、点B的“联盟点”进行计算即可．解：（1）点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，当点C1所表示的数是3时，AC1＝5，BC1＝1，所以C1不是点A、点B的“联盟点”，当点C2所表示的数是2时，AC2＝4，BC2＝2，由于AC2＝2BC2，所以C2是表示点A、点B的“联盟点”，当点C3所表示的数是0时，AC3＝2，BC3＝4，由于2AC3＝BC3，所以C3是表示点A、点B的“联盟点”，故答案为：C2或C3；（2）①设点P 在数轴上所表示的数为x ，当点P 在AB 上时，若PA ＝2PB ，则x +10＝2（30﹣x ），解得x =503，若2PA ＝PB 时，则2（x +10）30﹣x ，解得x =103，当点P 在点A 的左侧时，由2PA ＝PB 可得2（﹣10﹣x ）＝30﹣x ，解得x ＝﹣50，综上所述，点P 表示的数为103或503或﹣50；②若点P 在点B 的右侧，当点A 是点P ，点B 的“联盟点”时，有PA ＝2AB ，即x +10＝2×（30+10），解得x ＝70，当点B 是点A 、点P 的“联盟点”时，有AB ＝2PB 或2AB ＝PB ，即30+10＝2（x ﹣30）或2×（30+10）＝x ﹣30，解得x ＝50或x ＝110；当点P 是点A 、点B 的“联盟点”时，有PA ＝2PB ，即x +10＝2×（x ﹣30），解得x ＝70；故答案为：70或50或110．1．（2022•烟台一模）如图，点A 在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2，点P 在数轴上对应的是整数，点P 不与A 、B 重合，且PA +PB ＝5．则满足条件的P 点对应的整数有几个（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】先根据数轴上两点的距离可得AB ＝5，根据PA +PB ＝5可知：P 在A ，B 之间，从而得结论．【解题过程】解：∵点A 在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2，∴AB ＝2﹣（﹣3）＝5，∵点P 在数轴上对应的是整数，点P 不与A 、B 重合，且PA +PB ＝5，∴P 在A ，B 之间，∴满足条件的P 点对应的整数有：﹣2，﹣1，0，1，4个．故选：D．2．（2021秋•嘉鱼县期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ）A．2018或2019B．2019或2020C．2020或2021D．2021或2022【思路点拨】分线段AB的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论．【解题过程】解：若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点．∵2020+1＝2021，∴2020厘米的线段AB盖住2020或2021个整点．故选：C．3．（2021秋•房山区期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．下面有四个推断：①如果ad＞0，则一定会有bc＞0；②如果bc＞0，则一定会有ad＞0；③如果bc＜0，则一定会有ad＜0；④如果ad＜0，则一定会有bc＜0．所有合理推断的序号是（ ）A．①③B．①④C．②③D．②④【思路点拨】根据原点的位置可得a，b，c，d的正负情况，再根据有理数的乘法法则可得答案．【解题过程】解：①如果ad＞0，则原点在a的左边或d的右边，故bc同号，一定会有bc＞0，所以①正确；②如果bc＞0，则原点在b的左边或c的右边，故ad可能异号，会有ad＜0，所以②错误；③如果bc＜0，则原点在b、c之间，故ad异号，一定会有ad＜0，所以③正确；④如果ad＜0，则原点在a、b之间，故bc可能异号，会有bc＜0，所以④错误；故选：A．4．（2021秋•邢台期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝6，则C点表示的数是（ ）A．1B．﹣3C．1或﹣4D．1或﹣5【思路点拨】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出AC的距离，在根据A′B＝6，表示出A′C，由折叠得，AC＝A′C，列方程即可求解．【解题过程】解：设点C所表示的数为x，AC＝x﹣（﹣14）＝x+14，∵A′B＝6，B点所表示的数为10，∴A′表示的数为10+6＝16或10﹣6＝4，∴AA′＝16﹣（﹣14）＝30，或AA′＝4﹣（﹣14）＝18，根据折叠得，AC=12 AA′，∴x+14=12×30或x+14=12×18，解得：x＝1或﹣5，故选：D．5．（2021秋•九龙坡区期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（ ）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】分别找出圆周上数字0，1，2，3与数轴上的数重合的数字规律即可解答．【解题过程】解：先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，则圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2，2，6...﹣2+4n，圆周上数字1所对应的点与数轴上的数﹣1，3，7...﹣1+4n，圆周上数字2所对应的点与数轴上的数0，4，8...4n，圆周上数字3所对应的点与数轴上的数1，5，9...1+4n，∵2021＝1+4×505，∴数轴上的数2021与圆周上数字3重合，故选：D．6．（2021秋•瓯海区月考）如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（ ）A．﹣5B．0C．5D．10【思路点拨】设P0所表示的数是x，归纳出P n＝x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，再根据P10＝0，求出x的值即可．【解题过程】解：设P0所表示的数是x，由题意知，P1所表示的数是x+1，P2所表示的数是x+1﹣2，P3所表示的数是x+1﹣2+3，...，P n所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10，∵P10＝0，即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0，∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0，即x﹣5＝0，解得x＝5，故选：C．7．（2021秋•济源期末）已知A，B，C是数轴上的三个点．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若BC=74AB，则点C表示的数是　−12或132．　．【思路点拨】因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC=74AB，所以BC=72，但是并不知道C点在B点的左还是右，依次讨论即可得到答案【解题过程】因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC=74AB，所以BC=72．当C点在B点的左面时C点代表的数为3−72=−12；当C点在B点的右面时C点代表的数为3+72=132；故答案为：−12或132．8．（2021秋•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点　C　．【思路点拨】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．【解题过程】解：若原点为A，则a＝0，d＝7，此时d+2a+5＝12，与题意不符合，舍去；若原点为B，则a＝﹣3，d＝4，此时d+2a+5＝﹣3，与题意不符合，舍去；若原点为C，则a＝﹣4，d＝3，此时d+2a+5＝0，与题意符合；若原点为D，则a＝﹣7，d＝0，此时d+2a+5＝﹣9，与题意不符合，舍去．故答案为：C．9．（2021秋•南充期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别为﹣1，2，若数轴上的点C满足AC+BC＝5，则点C表示的数为　﹣2或3．　．【思路点拨】分两种情况进行讨论：①点C在点A的左侧；②点C在点B的右侧，再根据所给的条件进行求解即可．【解题过程】解：设点C所表示的数为x，①当点C在点A的左侧时，∵AC+BC＝5，∴﹣1﹣x+2﹣x＝5，解得：x＝﹣2；②点C在点B的右侧时，∵AC+BC＝5，∴x﹣（﹣1）+x﹣2＝5，解得：x＝3，综上所述，点C表示的数为﹣2或3．故答案为：﹣2或3．10．（2022•石家庄二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为　5　；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为　58　．【思路点拨】OA＝10个单位，A1是OA的中点，故A1表示的数是5，距离原点的距离就是5；依次类推，四次跳动后，距离原点的距离为10×124=58．【解题过程】解：根据题意，A1是OA的中点，而OA＝10，所以A1表示的数是10×12=5；A2表示的数是10×12×12=10×122；A3表示的数是10×1 23；A 4表示的数是10×124=10×116=58；故答案为：5；58．11．（2021秋•宜兴市期末）如图，点A 在数轴上表示的数是﹣8，点B 在数轴上表示的数是16，线段AB 的中点表示的数是 4　，若点C 是数轴上的一个动点，当2AC ﹣BC ＝10时，点C 表示的数是 ﹣42或103　．【思路点拨】根据数轴上两点间距离计算即可求出线段AB 的中点表示的数，要求点C 表示的数，分三种情况，点C 在点A 的左侧，点C 在AB 之间，点C 在点B 的右侧．【解题过程】解：∵点A 在数轴上表示的数是﹣8，点B 在数轴上表示的数是16，∴线段AB 的中点表示的数是：−8162=4，设点C 表示的数是x ，分三种情况：当点C 在点A 的左侧，∵2AC ﹣BC ＝10，∴2（﹣8﹣x ）﹣（16﹣x ）＝10，∴x ＝﹣42，∴点C 表示的数是：﹣42，当点C 在AB 之间，∵2AC ﹣BC ＝10，∴2[x ﹣（﹣8）]﹣（16﹣x ）＝10，∴x =103，∴点C 表示的数是：103，当点C 在点B 的右侧，∵AC ﹣BC ＝AB ，∴AC ﹣BC ＝16﹣（﹣8）＝24，而已知2AC﹣BC＝10，∴此种情况不存在．综上所述：点C表示的数是：﹣42或10 3，故答案为：4，﹣42或10 3．12．（2021秋•新泰市期末）我们知道，若有理数x1，x2表示在数轴上的点A1，A2，且x1＜x2，则点A1与点A2之间的距离为|x2﹣x1|＝x2﹣x1，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n．请解答下列问题：（1）若点C在数轴上表示的数为﹣6.5，求m+n的值；（2）若m+n＝8，请你直接写出点C表示的数为　﹣4或4　；（3）若C在点A、B之间（不与点A、B重合），且m=13n，求点C表示的数．【思路点拨】（1）利用两点间的距离求出m，n即可；（2）分两种情况讨论：点C在点A的左侧，点C在点B的右侧；（3）利用两点间的距离列出方程即可．【解题过程】解：（1）由题意得：m＝﹣3﹣（﹣6.5）＝﹣3+6.5＝3.5，n＝3﹣（﹣6.5）＝3+6.5＝9.5，所以m+n＝3.5+9.5＝13；（2）设点C表示的数为x，分两种情况：当点C在点A的左侧时，∵m+n＝8，∴﹣3﹣x+（3﹣x）＝8，∴x＝﹣4，当点C在点B的右侧时，∵m+n＝8，∴x﹣（﹣3）+（x﹣3）＝8，∴x＝4，故答案为：﹣4或4；（3）设点C表示的数为y，∵m=13 n，∴y﹣（﹣3）=13（3﹣y），∴y=−3 2．答：点C表示的数是−3 2．13．（2021秋•确山县期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P为AB的中点，则点P对应的数是　1　．（2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值．（3）现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数．【思路点拨】（1）根据点P为AB的中点列方程即可解得答案；（2）分两种情况，当P在线段AB上时，由PA+PB＝[x﹣（﹣1）]+（3﹣x）＝4≠8，知这种情况不存在；当P在B右侧时，[x﹣（﹣1）]+（x﹣3）＝8，解得x＝5；（3）设运动的时间是t秒，表示出运动后A表示的数是﹣1+2t，B表示的数是3+0.5t，P表示的数是1﹣6t，根据点A与点B之间的距离为3个单位长度得：|（﹣1+2t）﹣（3+0.5t）|＝3，解出t的值，即可得到答案．【解题过程】解：（1）∵A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为AB的中点，∴3﹣x＝x﹣（﹣1），解得x＝1，∴点P对应的数是1，故答案为：1；（2）当P在线段AB上时，PA+PB＝[x﹣（﹣1）]+（3﹣x）＝4≠8，∴这种情况不存在；当P在B右侧时，[x﹣（﹣1）]+（x﹣3）＝8，解得x＝5，答：x的值是5；（3）设运动的时间是t秒，则运动后A表示的数是﹣1+2t，B表示的数是3+0.5t，P表示的数是1﹣6t，根据题意得：|（﹣1+2t）﹣（3+0.5t）|＝3，解得t=23或t=143，当t=23时，P表示的数是1﹣6t＝1﹣6×23=−3，当t=143时，P表示的数是1﹣6t＝1﹣6×143=−27，答：点P对应的数是﹣3或﹣27．14．（2021秋•洪江市期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：cm），由此可得到木棒长为　6　cm．（2）图中A点表示的数是　12　，B点表示的数是　18　．（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？【思路点拨】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是24﹣6＝18（cm），依此可求木棒长为6cm，（2）根据木棒长为6cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，依此可求出A，B两点所表示的数；（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷若是小红现在这么大看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为﹣38，小红若是爷爷现在这么大看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为118，所以可知爷爷比小红大[118﹣（﹣38）]÷3＝52，可知爷爷的年龄．【解题过程】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是24﹣6＝18（cm），则木棒长为：18÷3＝6（cm）．故答案为：6；（2）∵木棒长为6cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24，∴B点表示的数是18，∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，∴A点所表示的数是12．故答案为：12，18；（3）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷若是小红现在这么大看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为﹣38，小红若是爷爷现在这么大看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为118，∴可知爷爷比小红大[118﹣（﹣38）]÷3＝52，可知爷爷的年龄为118﹣52＝66（岁）．故爷爷现在66岁．15．（2021秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化（1）平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是　D　A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是　﹣1009　．（2）翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示　﹣2015　的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2018（A 在B 的左侧，且折痕与①折痕相同），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 点表示　﹣1008　B 点表示　1010　．③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a ，b ，折叠中间点表示的数为　a b 2　．（用含有a ，b 的式子表示）【思路点拨】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB ＝2018，则A 点表示﹣1008，B 点表示1010；③利用中点坐标公式即可解决问题．【解题过程】解：（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），故选D ．②一机器人从数轴原点处O 开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是﹣1009．（2）①∵对称中心是1，∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，②∵对称中心是1，AB ＝2018，∴则A 点表示﹣1008，B 点表示1010，③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a ，b ，折叠中间点表示的数为a b 2．故答案是；（1）①D ； ②﹣1009；（2）①﹣2015； ②﹣1008，1010；（3）a b 2．16．（2021秋•西城区期末）在数轴上有A，B，C，M四点，点A表示的数是﹣1，点B表示的数是6，点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，M为线段AC的中点．（1）画出点M，点C，并直接写出点M，点C表示的数；（2）画出在数轴上与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，并描述该图形的特征；（3）若数轴上的点Q满足QA=14QC，求点Q表示的数．【思路点拨】（1）根据已知可知点M表示的数是1，点C表示的数是3，即可解答；（2）分两种情况，在点B的左侧，在点B的右侧；（3）分两种情况，点Q在点A的左侧，点Q在AB的之间．【解题过程】解：（1）∵点B表示的数是6，点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，∴点M表示的数是1，∵点A表示的数是﹣1，∴AM＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2，∵M为线段AC的中点，∴MC＝AM＝2，∴点C表示的数是3，点M，点C在数轴上的位置如图所示：∴点M，点C表示的数分别为：1，3．（2）与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，是一条线段EF，如图所示：线段EF是以点B为中点，距离为10的线段，且点E在数轴上表示的数为1，点F在数轴上表示的数为11；（3）设点Q表示的数为x，分两种情况：当点Q在点A的左侧，∵QA=14 QC，∴﹣1﹣x=14（3﹣x），∴x=−7 3，∴点Q表示的数为−7 3，当点Q在AB的之间，∵QA=14 QC，∴x﹣（﹣1）=14（3﹣x），∴x=−1 5，∴点Q表示的数为：−1 5，综上所述：点Q表示的数为−73或−15．17．（2022•孟村县二模）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A、B、C，其中AB＝4cm，BC＝2cm．以这条直线为基础建立数轴、设点A、B、C所表示数的和是p．（1）如果规定向右为正方向；①若以BC的中点为原点O，以1cm为单位长度建立数轴，则p＝　﹣5　；②若单位长度不变，改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且CO＝30cm，求p的值；并说明原点每向右移动1cm，p值将如何变化？③若单位长度不变，使p＝64，则应将①中的原点O沿数轴向　左　方向移动　23　cm；④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm建立数轴，则p＝　−5n ．（2）如果以1cm为单位长度，点A表示的数是﹣1，则点C表示的数是　5　.【思路点拨】（1）①建立数轴，确定原点，找到各点表示的数，相加即可；②同①，确定原点，找到各数即可；③同①，先设原点，表示各数，相加和为64，从而确定出原点即可；④单位长度为ncm，相当于把①中的单位长度除以n即可；（2）确定原点，表示各数，相加即可．【解题过程】解：（1）①BC中点为原点O，则C表示的数是1，B表示的数为﹣1，A表示的数为﹣5，∴p＝﹣5+（﹣1）+1＝﹣5，故答案为：﹣5；②∵CO＝30cm，∴C表示的数是﹣30，B表示的数是﹣32，A表示的数是﹣36，∴p＝﹣30+（﹣32）+（﹣36）＝﹣98，原点出右移1cm，则各点表示的数就﹣1，所以和就减少3，即p值减少3；③根据②可知，原点向右平移1cm，p就减少3；原点向左平移1cm，p就增加3，∵p值是64，相对增加，∴可设左移xcm，得，﹣5+3x＝64，∴x＝23，故答案为：左；23；④单位长度除以n，则表示的数除以n，所以和除以n，即p=−5 n ；故答案为：−5 n ；（2）∵A点表示的数为﹣1，∴A点在原点左侧1cm处，∵AB＝4cm，BC＝2cm，∴C点到原点的距离为4﹣1+2＝5，∴C点表示的数是5，故答案为：5．18．（2021秋•仪征市期末）如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB 放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．（1）直尺AB的长为　20　个单位长度；（2）若直尺AB在数轴上O、C间，且满足BC＝3OA，求此时A点对应的数；（3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；②当t＝10时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m 的值．【思路点拨】（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20；（2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OA，即得OA＝40×113=10；（3）①B、C重合时t=60−302=15，即得15m＝60﹣10，故m=103；②t＝10时，运动后B表示的数是30+10×2＝50，P表示的数是10+10m，C表示的数是60，分五种情况：（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与C重合时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案．【解题过程】解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，∴AB＝BC，∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．∴OA＝AB，∴OA＝AB＝BC，∵OC＝60，∴AB＝60×13=20，故答案为：20；（2）∵AB＝20，OC＝60，∴OA+BC＝40，∵BC＝3OA，∴OA＝40×113=10，∴A点对应的数是10；（3）①由（2）知，B运动前表示的数是30，∵直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，∴B、C重合时t=60−302=15（秒），根据题意得：15m＝60﹣10，∴m=10 3，答：m的值是10 3；②t＝10时，运动后B表示的数是30+10×2＝50，P表示的数是10+10m，C表示的数是60，（Ⅰ）当B是P、C中点时，依题意有10+10m+60＝50×2，解得m＝3；（Ⅱ）当B与P重合时，依题意有10+10m＝50，解得m＝4；（Ⅲ）当P是B、C中点时，依题意有50+60＝2（10+10m），解得m＝4.5；（Ⅳ）当P与C重合时，10+10m＝60；解得m＝5，（Ⅴ）当C是P、B中点时，依题意有10+10m+50＝60×2，解得m＝6．综上所述，m的值是3或4或4.5或5或6．19．（2021秋•富县月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数−52，1，4是点A，B的“倍分点”的是　1，4　；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数；②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数．【思路点拨】根据题干提供新定义求解．（1）分别计算各数−52，1，4到A和B的距离，根据“倍分点”进行判断即可；（2）①分类讨论点D位置求解；②分类讨论：D，A，B分别是“倍分点”，列方程可解答．【解题过程】解：（1）∵﹣2+52=0.5，2+52=4.5，∴数−52不是点A，B的“倍分点”；∵1+2＝3，2﹣1＝1，∴数1是点A，B的“倍分点”；∵4﹣（﹣2）＝6，4﹣2＝2，∴数4是点A，B的“倍分点”；故答案为：1，4；（2）设点D对应的数为x，①当点D在A，B之间时，因为AB＝30+10＝40，所以当BD=14AB时，BD＝10，即x＝30﹣10＝20；当BD=34AB时，BD＝30，即x＝30﹣30＝0；当点D在点B右侧，AD＝3BD，即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50；当点D在点A左侧，BD＝3AD，即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30；综上，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；②由①得点D是倍分点时，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；当点A为倍分点，点D在A，B之间时，AB＝3AD，即40＝3（x+10），解得x=10 3；点D在点A左侧时，AD＝3AB，即﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130；AB＝3AD，40＝3（﹣10﹣x），解得x=−70 3；点D在点B右侧，AD＝3AB，即x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110；当点B为倍分点时，同理可求x=503，﹣90，150，1303．综上，点D表示的数可为：20，0，50，﹣30，103，﹣130，−703，110，503，﹣90，150，1303．20．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，①若点C表示的数是3，求线段MN的长．②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN=OA OB OC2，求点M在数轴上所表示的数．【思路点拨】（1）①先根据数轴上两点的距离可得AB的长，由线段中点的定义可得AM的长，同理得CN的长，由线段的和差关系可得MN的长；②存在两种情况：C在D的左边或右边，同理根据线段的和差关系可得MN的长；（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，结合数轴上两点间的距离公式，中点坐标公式和线段的和差关系列方程求解．【解题过程】解：（1）①如图1，∵点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，∴AB＝﹣1﹣（﹣5）＝4，∵M是AB的中点，∴AM=12AB＝2，同理得：CD＝3﹣1＝2，CN=12CD＝1，∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝3﹣（﹣5）﹣2﹣1＝5；②若CD＝1，存在两种情况：i）如图2，点C在D的左边时，C与原点重合，表示的数为0，∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝1﹣（﹣5）﹣2−12=72；ii）如图3，点C在D的右边时，C表示的数为2，∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2﹣（﹣5）﹣2−12=92；综上，线段MN的长为72或92；（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，∵点A、B、C、D、M、N是数轴上的点，且点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，∴点M在数轴上表示的数为a b2，点N在数轴上表示1c2，∴MN＝|a b2−1c2|，∵点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN=OA OB OC2，∴2|a b2−1c2|＝a+b+c，整理，得|a+b﹣1﹣c|＝a+b+c，当a+b﹣1﹣c＝a+b+c时，解得c=−12（不符合题意，舍去），当﹣a﹣b+1+c＝a+b+c时，解得：a+b=1 2，∴点M在数轴上表示的数为a b2=14，综上，点M在数轴上所对应的数为1 4．。

(完整版)部编版七年级上册数学读读写写
拼音及重点注释
简介
本文档为完整版的部编版七年级上册数学读读写写拼音及重点注释。

该教材是针对七年级学生的数学课本，内容涵盖了数学的基本概念、运算方法和解题技巧等方面。

目标
本文档的目标是提供部编版七年级上册数学的读读写写拼音及重点注释，以帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

内容
本文档提供了七年级上册数学课本中的重点内容，包括以下几个方面：
- 数的读法和写法：介绍了数的基本概念，如整数、分数、小数等，并提供了对应的拼音和写法。

- 运算方法：详细介绍了加法、减法、乘法和除法的运算方法和步骤，并举例说明。

- 解题技巧：介绍了一些常见的解题技巧和方法，如列式解法、逆向思维等，以及实用的解题策略。

使用指南
学生可以根据自己的研究需要，逐章逐节地研究本文档中的内容。

建议结合课本中的题进行练，加深理解和掌握。

注意事项
- 本文档的内容是基于部编版七年级上册数学课本，与其他版
本的数学教材可能存在差异。

- 本文档提供了拼音和重点注释，以辅助学生理解和记忆，但
不可完全依赖拼音，要逐步培养自己的阅读能力。

- 本文档主要提供了基本的知识点和方法，如需进一步深入研
究和扩展知识，建议参考其他相关教材或研究资源。

结语
通过研究本文档，学生可以更好地理解和掌握部编版七年级上
册数学的基本知识和解题技巧，为后续研究打下坚实的基础。

希望
本文档能对学生的数学研究起到积极的辅助作用。

以上是本文档的概要内容，具体内容请参阅文档正文。

注意：本文档所述内容需确保可确认后引用，避免产生法律纠纷。