圆的极坐标方程(教师版)

圆的极坐标方程1.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程.2.圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表(2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r,= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0.o1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（）A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 •过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ・以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆.2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ・ p=2sin8解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在（1 ,0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0,即 x 2 + y^=22x+ 2y ・2 2 2 2 ］_化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ・ 4 4 44.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ・解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗・ 答案：u圆的极坐标方程3TT求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上.［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0,A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA.3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（）-rr-i・椭A.双曲线 B 闾C.抛物线解析：选D.pTTcos K4 —0IT =cos cos 0+sin AD ・圆K4 sin 0 = 22COS 0 + 22sin 0,5TT—2, sin 6在RtA OAM 中，| 0M| =| OA|cos zAOM,即p= 2r cos 2 —0所以p=—4sin8,经验证，点0 （0, 0） , A4,务兀的坐标满足上式. 所以满足条件的圆的极坐标方程为p = —4sin8. (1)因为sin肓O 2，._ 5TT所以p = —4sin = — 4sin — 2,5TT所以点一2, sin V在此圆上.求曲线的极坐标方程的五个步骤（1）建立适当的极坐标系（本题无需建）；（2）在曲线上任取一点M （p, 0） ; （3）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；（4）用极坐标（p, 0）表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程.（一般只要对特殊点加以检验即可）・［注意］求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.求圆心在C 2, 4,半径为1的圆的极坐标方程.解：设圆C上任意一点的极坐标为M （p, 0）,如图，在厶OCM中，由余弦定理，得222| 0M| 2 + | 0C| 2 —2|OM|・|OC|・COSZ COM=|CM|2,即p2— 2 2pcos 0— 4 +1 = 0.当0, C, M三点共线时，TT圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化:2 2 2 ⑴ y2=4x；(2) x2+y2 —2x—1= 0；⑶p 2 — cos 0 ［解］⑴ 将x= pcos 0, y= psin 0 代入y2= 4x, 2得(psin 0］ =4pcos 0.2化简，彳專p sin 20= 4cos 0.(2)将x= p cos 0, y=psin 0 代入y +x — 2x —1 = 0,22得(psin 0) 2+(pcos 0) 2 —2pcos 0 — 1=0,化简，得p — 2pcos 0 — 1= 0. (3)SM1P2_C0S所以2p— pcos 0 = 1.所以2 x2 + y2— x= 1.化简，得3x2 + 4y2 —2x— 1=0.在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0< 0<2u范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用p去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程.(1) y= 3x； (2) x2— y2= 1.解：(1)将x= pcos 0, y=psin 0 代入y = 3x 得psin 8= 3pcos 8,从而(2)将火=p cos 0, y=psin 0 代入x2—y2 = 1, 得p2cos20 —p2sin 20= 1,2・把下列极坐标方程化为直角坐标方程.2⑴ p2cos 2 8= 1；TT(2) p= 2cos 0—4・2解：(1)因为p2cos2 8=l,所以p2cos20 —p2sin 20 =1.所以化为直角坐标方程为x2—y2=1.(2)因为p = 2cos 0cos 4 +2sin 0sin 4 = 2cos 0+ 2sin 0,所以p2= 2 pcos 0 + 2p sin 0 ・所以化为直角坐标方程为x2+ y2— 2x— 2y = 0. 求相关动点的极坐标方程从极点0作圆C： p= 2acos 0的任意一条弦ON,求各弦的中点M的极坐标方程.［解］法一：如图所示，圆C的圆心C (a, 0),半径r = |OC| = a,因为M为弦ON的中点，连接CM•所以CM丄ON,故M在以0C为直径的圆上，所以动点M的极坐标方程是p= acos 0.法二：设M (p, 8) , N (pi, 01)・因N 点在圆p= 2acos 0 上，pi= 2acos 0i.①为M是ON的中点，pi=2p, 01=0・所将它代入①式得2p = 2acos 0,故M的极坐标方程是p= acos 0.将本例中以所求得的中点M的极坐标方程化为直角坐标方程.I大I解：因为p =acos 0,所以p2= a- pcos 0,所以x2+y2= ax, 所以中点M的直角坐标方程为x2+y2—ax= 0.本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点的轨迹方程.求解时找出等量关系，代入化简即可.0P2从极点0引定圆p=2cos8的弦OP,延长OP到Q使PQ= 3,求点Q的极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形？p2 2 解：设Q(P，0) , P ( po, 00),则0 = 00, =,所以po= p,因为po =p— p° 3 52cos 0o.所以p= 2cos 0,即p= 5cos 0,它表示一个圆.5解析：选C ・如图所示.设M(p, 0)是圆上点，则上ONMZ MOx= e , 在 RtZkNMO 中，I 0M| =| ON|sinzONM, 即 p = 2rsin 8= asin 0.3. 把圆C 的极坐标方程p=2cos8转化为直角坐标方程为 ______________ ,圆心的直角坐标为 ______ ・解析：因为 p = 2cos8,所以 p2 = 2pcosB,将 p 2= x 2+y 2, x= pcos 8 代入得 直角坐标方程为x2+y2 = 2x,其圆心坐标为(1, 0)・答案：x?+y2 = 2x (1 , 0)4. 写出圆心在(1, -1)处，且过原点的圆的极坐标方程.解：圆的半径为r=2,圆的直角坐标方程为(x-1) 2+ (y+1) 2 = 2. 变形得x2+y2 = 2 (x-y),用坐标互化公式得p2 = 2 (pcos 0 —psin 0), 即 p = 2cos 0— 2sin 0 ・[A 基础达标]1・在极坐标系中圆心在(2,冗)且过极点的圆的方程为() A. p= 2 2cos p = _ 2 2sin解析：选B ・如图所示,P(2：),在圆上任找一点M (p 。

圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。

对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。

2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。

3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。

4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。

5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。

对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。

例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。

又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。

极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。

§4.3.1 圆的极坐标方程班别 学号 姓名评价【学习目标】(1) 理解极坐标方程的有关概念；(2) (2) 掌握如何求圆的极坐标方程，并且要求能把直角坐标系与极坐标系的圆的方程的的异同和内在联系找出来。

【重难点】 理解极坐标方程的有关概念。

【教学过程】一、课前预习并完成复习：阅读课本P12-13（学生自主完成）1、在直角坐标系．．．．．中，已知圆心C （a ，b ），半径为r ，则圆的方程为：2、在直角坐标．．．．系中，已知圆心是原点，半径为5，则圆的方程为：3、在直角坐标．．．．系中，已知圆心C （1，0），半径为3，则圆的方程为：4、在直角坐标．．．．系中，已知圆心C （1，2），且圆经过原点O ，则圆的方程为：二、新课讲授1、曲线极坐标方程概念：在极坐标系中，如果平面曲线C 上 的极坐标中 有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。

2、求曲线极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程类似，(1)建立适当的极坐标系；(2)找出曲线上的动点θρ的极径ρ和极角θ的相互关系；(3)设法用ρ和θ的方程表示这种关系；(4)化简并证明所得的方程是所求的极坐标方程。

求曲线极坐标方程关键是找出曲线上的点满足的几何条件。

常用解三角形的知识来建立ρ和θ的关系。

注意ρ和θ的取值范围与题设条件。

三、典型例题例1、在极坐标平面内，已知圆心)0,(aC，半径为r，求其极坐标方程。

例2、已知圆心O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？四、课堂练习1、在极坐标系．．．．中，求圆心在点C（3,0），且经过极点的圆的极坐标方程．．．．．。

π），半径为2的圆2、在极坐标系．．．．中，求圆心C（2, 2的极坐标方程．．．．．。

3、课本P15 1（1）（3）五、课堂小结常见圆的极坐标方程：(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程；(2)圆心在位于)0,(a C ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；(3)圆心在位于)2,(πa C ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；六、课后作业在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：(1)圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆； (2) 圆心在)23,(πa B ，半径为a 的圆。