圆的极坐标方程教学案例

课例94 圆的极坐标方程（一）教学目标1．能再极坐标系中建立简单曲线（过极点或圆心在极点的圆）的方程，初步掌握求曲线的极坐标方程的方法和步骤．2．通过教学，使学生体会类比的思想、进一步认识数形结合的数学思想．3.通过本节课的学习，体会这部分知识与高中数学其他内容的联系，感受数学的整体性。

（二）教学重点建立圆的极坐标方程（三）教学难点圆的极坐标方程（四）教学方式启发式、探究式（五）教学过程1．复习引入——创设情境引导学生回忆在直角坐标系下，曲线的方程的定义。

师：在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程f(x,y)=0表示，曲线的方程是如何定义的？（①曲线C的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解；②以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点．那么这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做是曲线的方程．）2．新课学习——探索发现请学生类比直角坐标系下曲线的方程的定义，大胆猜想极坐标中，曲线的极坐标方程的定义。

（学生可能猜想出：在极坐标系中，如果（1）曲线C 的点的极坐标都是方程f (ρ,θ )=0的解； （2）以方程f (ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么方程f (ρ,θ )=0 叫做曲线C 的极坐标方程．）再引导学生回忆直角坐标系中求曲线方程的一般步骤。

（建系→设点→列式→化简→结论）例1 已知圆O 的半径为a (a>0)，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程最简单？解：以圆心O 为极点，从O 出发的一条射线为极轴建立坐标系，设M （ρ，θ）为圆上任意一点，则ρ=a为所求圆的极坐标方程。

变式1：在极坐标系中，求半径为a ，圆心为C(a ，0)(a >0)的圆的极坐标方程．解：在Rt △AMO 中，|OM|=|OA|cos ∠MOA 即θρcos 2a =由此完善“曲线的极坐标方程“的定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．变式2：在极坐标系中，求半径为a ，圆心为C )2,(πa 的圆的极坐标方程．(θρsin 2a =)师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？(投影)分4个步骤：(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件ρ的点M 的集合P=｛M|p(M)｝； (3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f (ρ，θ)=0； (4)化方程f (ρ，θ)=0为最简形式．变式3：在极坐标系中，求半径为a ，圆心为C ),(πa 的圆的极坐标方程． (θρcos 2a -=)变式4：在极坐标系中，求半径为a ，圆心为C )23,(πa 的圆的极坐标方程． (θρsin 2a -=)3. 课堂练习——巩固新知练习：若点Ｃ的直角坐标为（-1，1），求以Ｃ为圆心，且经过原点Ｏ的圆的极坐标方程．解：在Rt △AMO 中，|OM|=|OA|cos ∠MOA 即)43cos(22πθρ-= 4. 课堂小结——凝炼提升（1）曲线的极坐标方程概念； （2）求曲线的极坐标方程的步骤； （3）圆的极坐标方程。

直线和圆的极坐标方程教案教案：直线和圆的极坐标方程目标：通过学习，学生能够理解直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。

一、引入：老师可先给出一个问题：如何在极坐标系中表示直线和圆？二、学习与讨论：1. 直线的极坐标方程：直线可以用极坐标系中的一个点和倾斜角（与极轴的夹角）来表示。

- 若直线过原点，则其方程为r = θ- 若直线不过原点，我们需要先找到直线与极轴的交点，然后确定倾斜角。

设直线与极轴的交点为（a，b），倾斜角为θ，则直线的极坐标方程可以表示为：r = a/（cos(θ - b)）2. 圆的极坐标方程：圆在极坐标系中的方程为 r = a，其中a为圆的半径。

三、例题练习：根据已知条件，写出直线和圆的极坐标方程。

1. 直线的例题：已知直线过原点，倾斜角为30°，写出直线的极坐标方程。

解答：直线的方程为r = θ2. 圆的例题：已知圆心坐标为(2，π/3)，写出圆的极坐标方程。

解答：圆的方程为 r = 2四、总结：教师和学生共同总结直线和圆的极坐标方程的表示方法。

五、拓展：老师可引导学生进行拓展，讨论其他图形在极坐标系中的表示方法，并给出相应的例题进行练习。

六、作业：布置作业，要求学生根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程，并解答相关问题。

课堂练习：给出一个直线的极坐标方程和一个圆的极坐标方程，让学生画出相应的图形。

七、检查与讨论：检查学生的作业并进行讨论，解答学生的问题。

八、总结：教师和学生共同总结本节课的内容，强调重点和难点。

以上是关于直线和圆的极坐标方程教案的叙述，通过本节课的学习，学生应该能够掌握直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。

高二数学教案：圆的极坐标方程方案第05课时1.3.1圆的极坐标方程学习目的1.掌握极坐标方程的意义2. 能在极坐标中求圆的极坐标方程学习过程一、学前准备1、极坐标方程的概念一般地，在极坐标系中，假如平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标合适方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的。

2、请说说在直角坐标系下是如何求曲线方程的?，并类比考虑在极坐标系下如何求曲线的极坐标方程。

二、新课导学◆探究新知(预习教材P12～P15，找出疑惑之处)1.如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(r,q)满足的条件吗? 解：以点为极点，为极轴建立如右图所示的极坐标系，设圆与极轴的另一个交点为，那么设为圆上除点，以外的任意一点，那么在中，，即。

①可以验证，点，的坐标满足等式①。

于是，等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件。

，2.定义：一般地，假如一条曲线上任意一点都有一个极坐标合适方程的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

◆应用例如例1.圆的半径为，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单?(教材P13例1)例2. 把以下的方程是极坐标方程的化成直角坐标系方程，是直角坐标系方程的化成极坐标方程。

(1)(2)◆反应练习1、说明以下极坐标方程表示什么曲线，并画图。

(1)(2)2、以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )三、总结提升◆本节小结1.本节学习了哪些内容?答：在极坐标中求圆的极坐标方程学习评价一、自我评价你完本钱节导学案的情况为( )A.很好B.较好C. 一般D.较差课后作业1、直角坐标下圆的方程对应的极坐标方程是2、在极坐标系中，求合适以下条件的直线或圆的极坐标方程：(1)圆心在，半径为1的圆;(2)圆心在，半径为的圆。

3、把以下极坐标方程化成直角坐标方程：(1)(2)。

1.4圆的极坐标方程
[教学目标]
知识与技能：1、认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线与直角坐标方程的异同。

2、掌握各种圆的极坐标方程。

3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形
过程与方法：通过求圆的极坐标方程，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生
进一步认识极坐标系的作用。

情感、态度、价值观：通过求圆的极坐标方程．培养学生数与形相互联系，对立统一的辩
证唯物主义观。

[教学重点]
总结怎样求极坐标方程的方法与步骤
[教学难点]
极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角
知识
[教学过程]
1 / 2
教学环节教学内容师生
互动
设计
意图
复习提问提问：曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(ρ,θ)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(ρ,θ)=0；
(２)方程f(ρ,θ)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。

则曲线Ｃ的方程是f(ρ,θ)=0。

2。

圆的极坐标方程教学设计教学目标：1.了解极坐标系的定义和基本特点；2.掌握圆的极坐标方程的推导方法；3.能够用极坐标方程描述圆。

教学内容：1.介绍极坐标系的定义和基本特点；2.解释如何用极坐标表示点的位置；3.推导圆的极坐标方程；4.给出一些实际问题，让学生应用极坐标方程描述圆。

教学步骤：步骤一：介绍极坐标系的定义和基本特点（10分钟）教师通过投影仪展示极坐标系的图像，解释其定义和基本特点。

说明极坐标系是由一个原点和一个极轴组成的，可以用角度和距离来表示点的位置。

步骤二：解释如何用极坐标表示点的位置（10分钟）教师通过示意图解释如何用极坐标表示点的位置，包括以极轴为参照，顺时针或逆时针方向的角度和与原点的距离。

步骤三：推导圆的极坐标方程（20分钟）1.教师引导学生思考如何用极坐标方程表示圆；2.教师提供一个已知条件，例如圆心为原点，半径为r；3.教师通过几何推导，由于圆是等距离于圆心的所有点的集合，可以推导出圆的极坐标方程为r=常数。

步骤四：完成一些练习题（20分钟）1.教师给出一些练习题，要求学生用极坐标方程表示圆，例如：a)半径为3的圆；b)圆心在(2,π/4)处，半径为4的圆。

2.学生独立完成练习题，并相互交流思路和答案。

步骤五：解答练习题并讲解（20分钟）1.教师解答学生的练习题，并解释答案的推导过程；2.教师引导学生思考和讨论，探究如何用极坐标方程描述特殊情况下的圆。

步骤六：应用极坐标方程描述圆的实际问题（20分钟）1.教师给出一些实际问题，要求学生用极坐标方程描述圆；2.学生独立或小组合作完成实际问题，并进行讨论。

步骤七：总结和评价（10分钟）教师总结本节课的重点内容并与学生互动交流，鼓励学生发表自己的观点。

教师可以提问学生如下问题：1.极坐标系有哪些特点？它有什么优势和应用领域？2.圆的极坐标方程是什么？如何推导出来的？3.你觉得极坐标方程对于描述圆形有什么优势或特殊应用？教学评价：1.教师对学生的课堂表现进行评价，包括是否积极参与讨论、对概念和推导过程的理解程度等。

直线和圆的极坐标方程教案(一)直线和圆的极坐标方程教案教学目标•理解直线和圆的极坐标方程的含义和基本形式•掌握直线和圆的极坐标方程的推导方法•能够根据给定条件写出直线和圆的极坐标方程教学准备•教师准备：白板、彩色粉笔、投影仪•学生准备：纸和笔教学过程1.导入（5分钟）–简要回顾直角坐标系和极坐标系的基本概念和转换方法–引导学生思考直线和圆的极坐标方程可能的形式2.直线的极坐标方程（15分钟）–解释直线的极坐标方程为r=asec(θ−α)，其中a和α为常数–介绍推导直线的极坐标方程的步骤：•将直线转换为直角坐标系下的斜截式方程y=kx+b•将直角坐标系转换为极坐标系，即x=rcosθ，y=rsinθ•代入直角坐标系下的方程，得到rsinθ=k⋅rcosθ+ b•化简得到r=bsinθ−kcosθ•进一步化简得到r=asec(θ−α)的形式–给出实例，让学生进行练习3.圆的极坐标方程（15分钟）–解释圆的极坐标方程为r=a，其中a为常数–介绍推导圆的极坐标方程的步骤：•将圆的中心坐标为(ℎ,k)的一般式方程转换为直角坐标系下的标准式方程(x−ℎ)2+(y−k)2=r2•将直角坐标系转换为极坐标系，即x=rcosθ，y=rsinθ•代入直角坐标系下的方程，得到(rcosθ−ℎ)2+(rsinθ−k)2=r2•化简得到r2−2rℎcosθ+ℎ2+r2cos2θ−2rksinθ+k2=r2•化简得到r=a的形式–给出实例，让学生进行练习4.总结归纳（5分钟）–和学生一起总结直线和圆的极坐标方程的基本形式和推导方法–强调学生在做题时要仔细观察几个参数的变化和特点，灵活运用推导方法5.练习与作业布置（10分钟）–出示多个直线和圆的图形，让学生根据给定条件写出对应的极坐标方程–布置作业：完成课后习题中的相关题目拓展活动•鼓励学生使用数学软件探索其他曲线的极坐标方程•学生可以深入研究更复杂的极坐标方程，如椭圆、双纽线等总结本节课主要介绍了直线和圆的极坐标方程的含义、基本形式和推导方法。

【高二】圆的极坐标方程学案第05时1.3.1圆的极坐标方程学习目标1.掌握极坐标方程的意义2.能在极坐标中求圆的极坐标方程学习过程一、学前准备1.极坐标方程的概念一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的。

2.请告诉我们如何在直角坐标系下求解曲线方程？，以类比的方式思考如何在极坐标系中找到曲线的极坐标方程。

二、新导学◆ 探索新知识（预览教科书p12~p15，找出疑问）1.如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(r,q)满足的条吗？解决方案：建立极坐标系，如右图所示，以点为极点和极轴，设圆与极轴的另一个交点为，那么设置为圆上除点以外的任意点，然后在中，，即。

……①可以证明点的坐标满足方程①.于是，等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条。

，2.定义：一般来说，如果曲线上的任何一点有一个极坐标适合曲线上方程的点，则该方程称为曲线的极坐标方程，该曲线称为极坐标方程的曲线。

◆应用示例例1。

假设圆的半径为，可以建立什么样的极坐标系来简化圆的极坐标方程？（教科书P13示例1）例2.把下列的方程是极坐标方程的化成直角坐标系方程，是直角坐标系方程的化成极坐标方程。

（1）（2）◆ 反馈练习1、说明下列极坐标方程表示什么曲线，并画图。

（1）（2）2.以极坐标系中的点（1,1）为中心，1为半径的圆的方程为（）三、总结提升◆ 本节摘要1．本节学习了哪些内容？答：在极坐标系中求一个圆的极性方程学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（）a、 B.很好C.一般D.差后作业1.与直角坐标中的圆方程对应的极坐标方程为2、在极坐标系中，求适合下列条的直线或圆的极坐标方程：（1）圆心为1，半径为1的圆；（2）圆心在，半径为的圆。

3.将以下极坐标方程转换为直角坐标方程：（1）（2）。

普通高中课程标准实验教科书人教B 版必修4§1.4圆的极坐标方程第一课时【教学设计】 一、教学目标 （一）知识与技能1.掌握用极坐标法和直角坐标法推导得到过极点且圆心在极轴上或在点）（2,πa 处的圆的极坐标方程的方法，理解曲线极坐标方程的概念，体会数形结合思想。

2.应用两种求解方程的方法求解过圆心且圆心在(,)a π、在点3(,)2a π上的圆的方程，体会类比与划归思想在学习中的应用。

3.掌握两种圆的方程互化，进而体会极坐标方程的方便之处。

4.熟练应用这类圆的两种方程的互化。

（二）过程与方法能学以致用，掌握两种得到方程的途径：通过观察分析得到ρ与θ的关系式；熟练运用直角坐标与极坐标的互化，得到ρ与θ的关系式。

通过类比，逐步探索求得圆心在(,)a π、在点3(,)2a π上的圆的方程，并激发起求解其他类别圆的极坐标方程的热情。

（三）情感态度与价值观让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

（二）教学重点和难点重点:运用两种方法求得过极点的圆的极坐标方程；难点:方法的应用。

（三）教学方法教师的“教”就是为了学生的学，课堂教学要体现以学生的发展为本的精神。

本节课以教师为主导，学生为主体，以能力发展为目标，借助多媒体课件，通过设置层层递推的问题来启发学生思考，在思考和练习中对知识进行逐步的认知和理解，体会数形结合、类比划归等数学思想方法，总结规律方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

环环相扣的问题、实时的多媒体展示，让学生积极主动地参与到教学的全过程中，进行“观察、类比、分析、总结”，使学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

教学过程中，对学生思维受阻或学生不容易理解的地方，教师予以引导，激发学生的求知欲，使学生学有所思，思有所得、练有所获。

（四）教学过程。

课堂导学三点剖析1求圆的极坐标方程【例1】写出圆心在（—5,0)，且过极点的圆的极坐标方程,并化为直角坐标方程。

解：由ρ=2acosθ,θ∈［2π,23π]得ρ=-10cosθ，2π≤θ≤23π.变形为ρ2=-10ρcosθ。

用坐标变换公式得：x 2+y 2=-10x ， 即(x+5）2+y 2=25. 温馨提示注意公式的应用及角的范围。

2。

极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】 写出圆心在（3,4），半径为5的圆的极坐标方程.解：圆的直角坐标方程为(x-3)2+（y-4)2=25,变形得x 2+y 2=6x+8y.用坐标变换公式得ρ2=6ρcosθ+8ρsinθ，即ρ=6cosθ+8sinθ.因此，圆心在（3，4），半径为5的圆的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ. 温馨提示当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要得到圆的极坐标方程,通常是先写出圆的直角坐标方程，然后利用坐标变换公式，求得圆的极坐标方程.3。

求动点的轨迹问题【例3】从极点作圆ρ=4sinθ的弦，求各条弦的中点的轨迹方程。

解：设动点为M （r ，φ），则⎪⎩⎪⎨⎧==ρθϕ21,r .把θ=φ和r=21ρ代入ρ=2acosθ得，2r=2acosφ，即r=acosφ，-2π≤φ≤2π.其轨迹是以（2，0)为圆心，以2为半径的圆. 温馨提示寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为三角形法.若三角形为直角三角形,可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形,可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.如变式提升3。

各个击破 类题演练1把x 2+y 2=x 化为极坐标方程.解：由公式得ρ2=ρcosθ。

即ρ=cosθ. 变式提升1从极点作圆ρ=6cosθ的弦，求弦的中点的轨迹方程。

解：设曲线上动点M 的坐标为（r,φ）,则:⎪⎩⎪⎨⎧==.21,ρθϕr把θ=φ和r=21ρ代入ρ=6cosθ,得2r=6cosφ,即r=3cosφ,2π-≤φ≤2π.即其轨迹是以（23,0）为圆心,半径为23的圆。

第三章参数方程、极坐标教案直线和圆的极坐标方程教案教学目标1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤．3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应．教学重点与难点建立直线和圆的极坐标方程．教学过程师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程．师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．)解设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|，(两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．)师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？(2)在极坐标系下：在△AOP中|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ．化简整理，得2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容．一、曲线的极坐标方程的概念师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ=(投影)定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同．(先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义)曲线的极坐标方程定义：如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系：1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程．师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程．求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．解设M(ρ，θ)为射线上任意一点，因为∠xOM=θ，师：过极点的射线的极坐标方程的形式你能归纳一下吗？生：是．师：一条曲线可与多个方程对应．这是极坐标方程的一个特点．你能猜想一下过极点的直线的极坐标方程是什么形式吗？学生讨论后，得出：θ=θ0(θ0是倾斜角，ρ∈R)是过极点的直线的极坐标方程．师：把你认为在极坐标系下，有特殊位置的直线都画出来．例2 求适合下列条件的极坐标方程：(1)过点A(3，π)并和极轴垂直的直线；解(1)设M(ρ，θ)是直线上一点(如图3-15)，即ρcosθ=-3为所示．解(2)设M(ρ，θ)是直线上一点，过M作MN⊥Ox于N，则|MN|是点B到Ox的距离，师：不过极点也不垂直极轴、不平行极轴的直线的极坐标方程如何确立呢？例3 求极坐标平面内任意位置上的一条直线l的极坐标方程(如图3-17，图3-18)．让学生根据以上两个图形讨论确定l的元素是什么？结论直线l的倾斜角α，极点到直线l的距离|ON|可确定直线l的位置．解设直线l与极轴的夹角为α，极点O到直线l的距离为p(极点O到直线l的距离是唯一的定值，故α、p 都是常数)．直线l上任一点M(ρ，θ)，则在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p为直线l的极坐标方程．(如图3-19，图3-20)师：直线的极坐标方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直线的倾斜角，p是极点到l的距离，当α、p 取什么值时，直线的位置是特殊情形呢？当α=π时，ρsinθ=p，直线平行极轴；当p=0时，θ=α，是过极点的直线．师：以上我们研究了极坐标系内的直线的极坐标方程．在极坐标系中的圆的方程如何确立呢？如图3-21：圆上任一点M(r，θ)，即指θ∈R时圆上任一点到极点的距离总是r，于是ρ=r是以极点为圆心r为半径的一个圆的极坐标方程．师：和在直角坐标系中，把x=a和y=b看作是二元方程一样，θ=θ0及ρ=r也应看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出现，说明ρ可取任何非负实数值；同样，在方程ρ=r中，θ不出现，说明θ可取任何实数值．例4 求圆心是A(a，0)，半径是a的圆的极坐标方程．(让学生画图，教师巡视参与意见)解设⊙A交极轴于B，则|OB|=2a，圆上任意一点M(ρ，θ)，则据直径上的圆周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圆的极坐标方程．如图3-22．师：在极坐标系下，目前我们理解下面几种情形下的圆的极坐标方程即可．让学生自己得出极坐标方程．图3-23：ρ=2rcosθ；图3-24：ρ=-2rcosθ；图3-25：ρ=2rsinθ；图3-26：ρ=-2rsinθ．师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？(投影)分4个步骤：(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件ρ的点M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0为最简形式．练习：分别作出下列极坐标方程表示的曲线(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；设计说明直线和圆的极坐标方程一节的教学重点是如何根据条件列出等式．至于在极坐标系中由于点的极坐标的多值性，而带来的曲线的极坐标方程与直角坐标系中的方程有不同的性质，这一点只需学生了解即可．另外，由于删除了3种圆锥曲线的统一的极坐标方程，实际上就降低了对极坐标一节学习的难度．所以用一课时来学习曲线的极坐标方程只能是在前面学习曲线的直角坐标方程的基础上初步掌握建立极坐标方程的方法．为此本节课围绕着这一主题进行了充分的课堂活动，达到了教学目的．。