《圆的极坐标方程》

极坐标系圆的面积一、引言在几何学中，极坐标系是描述平面中点的一种坐标系统。

与直角坐标系不同，极坐标系通过极径和极角来确定点的位置。

本文将讨论在极坐标系中如何计算圆的面积。

二、圆的极坐标方程一个圆在极坐标系中的方程形式可以表示为r=a，其中r是极坐标系中到原点的距离，a为圆的半径。

三、圆的面积计算要计算一个圆在极坐标系中的面积，我们需要利用极坐标下的面积元素dA。

在极坐标系中，面积元素dA可以表示为$\\frac{1}{2}r^2d\\theta$，其中r为极坐标系中到原点的距离，$d\\theta$为角度的微小增量。

四、圆的面积公式根据面积元素dA的表达式，一个圆的面积可以通过对整个圆的面积元素进行积分来计算。

圆的面积A可以表示为：$$ A = \\int_{0}^{2\\pi} \\frac{1}{2}r^2d\\theta = \\pi a^2 $$其中，a为圆的半径，$\\pi$为圆周率。

五、结论通过极坐标系中面积元素dA的推导和计算方法，我们得出了圆在极坐标系下的面积计算公式$A = \\pi a^2$。

这个公式为我们提供了一种简便的方法来计算圆在极坐标系中的面积，进一步展示了极坐标系在几何学中的应用和重要性。

六、参考文献1.Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). CengageLearning.2.Courant, R., & John, F. (1989). Introduction to Calculus and AnalysisVolume 1. Springer Science & Business Media.。

圆的极坐标方程推导过程圆是一种非常重要的几何图形，在数学中有许多种不同的描述方法。

其中，极坐标方程是一种非常常用的描述方法，也是较为简单的一种方法。

极坐标方程是指把数轴上某点与原点的连线与正半轴的夹角和原点到该点的距离作为点（r，θ）的坐标，来代替笛卡尔坐标系中的x和y坐标。

本文将以“圆的极坐标方程推导过程”为主题，向大家介绍极坐标方程是如何推导出来的。

1. 先来说说极坐标的定义极坐标是圆心为原点的极轴坐标系的点的表示方法。

由于使用极坐标系统，将点（x，y）表示为(r，θ)对于许多问题更为方便。

r是点到原点的距离，也就是极半径；θ是点与x正半轴正方向成的角度，也称为极角。

因此，方程可以表示为(r，θ)，其中r是极径，θ是极角。

2. 如何推导圆的极坐标方程？我们都知道，圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径。

在极坐标系中，我们希望能够用(r，θ)来表示点，因此需要将该式用极坐标表示。

为了推导方程，我们首先观察圆。

圆心到圆上任意一点之间都是半径，因此我们可以得到：r²=x²+y²然后，我们可以将x和y用极坐标来表示，有：x=r*cosθy=r*sinθ将其代入上面的式子，得到：r²=r²*cos²θ+r²*sin²θ然后，我们就可以将r²约掉，得到：1=cos²θ+sin²θ这个方程等同于：1=sin²θ+cos²θ这个方程等同于：sin²θ+cos²θ=1这就是我们熟知的三角恒等式！因此，我们可以得到：r²=x²+y²x=r*cosθy=r*sinθ这就是圆的极坐标方程，其中，r表示极径，θ表示极角。

3. 总结通过以上推导，我们可以了解到圆的极坐标方程是如何推导出来的。

圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。

对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。

2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。

3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。

4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。

5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。

对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。

例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。

又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。

极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。

圆的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表圆心位置 极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cosθ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sinθ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( )A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆．2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C.3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆解析：选D.ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，所以ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ， 即x 2＋y 2＝22x ＋22y . 化简整理得⎝⎛⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －242＝14，表示圆．选D.4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________．解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2＝π. 答案：π圆的极坐标方程求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．[解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ， 所以ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式． 所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 因为sin5π6＝12， 所以ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，所以点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程的五个步骤(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)．[注意] 求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为1的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得 |OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2，即ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2±1，π4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y2＝4x； (2)x2＋y2－2x－1＝0； (3)ρ＝12－cos θ.[解] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简，得ρsin2θ＝4cos θ.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1.所以2x2＋y2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)y＝3x；(2)x2－y2＝1.解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π3.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝1cos 2θ.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝1.(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.求相关动点的极坐标方程从极点O 作圆C ：ρ＝2a cos θ的任意一条弦ON ，求各弦的中点M 的极坐标方程．[解] 法一：如图所示，圆C 的圆心C (a ，0)，半径r ＝|OC |＝a ，因为M 为弦ON 的中点，连接CM .所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上， 所以动点M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ. 法二：设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． 因为N 点在圆ρ＝2a cos θ上， 所以ρ1＝2a cos θ1.① 因为M 是ON 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将它代入①式得2ρ＝2a cos θ，故M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ.将本例中所求得的中点M 的极坐标方程化为直角坐标方程．解：因为ρ＝a cos θ，所以ρ2＝a ·ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝ax ，所以中点M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－ax ＝0.本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点的轨迹方程．求解时找出等量关系，代入化简即可．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形？解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)，则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，所以ρ0＝25ρ，因为ρ0＝2cos θ0.所以25ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，它表示一个圆．1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化．3．求曲线的极坐标方程求解步骤与直角坐标系中求曲线方程的步骤基本相同．较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化．4．极坐标方程表示的曲线形状的判断方法极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程后再分析形状．1．极坐标方程ρ＝1表示( )A ．直线B ．射线C ．圆D ．半圆解析：选C.因为ρ＝1，所以ρ2＝1，所以x 2＋y 2＝1.所以表示圆． 2．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )解析：选C.如图所示．设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，即ρ＝2r sin θ＝a sin θ.3．把圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ转化为直角坐标方程为______________，圆心的直角坐标为________．解析：因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入得直角坐标方程为x2＋y2＝2x，其圆心坐标为(1，0)．答案：x2＋y2＝2x(1，0)4．写出圆心在(1，－1)处，且过原点的圆的极坐标方程．解：圆的半径为r＝2，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.变形得x2＋y2＝2(x－y)，用坐标互化公式得ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2cos θ－2sin θ.[A 基础达标]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( )A．ρ＝22cos θ B．ρ＝－22cos θC．ρ＝22sin θ D．ρ＝－22sin θ解析：选B.如图所示，P(2，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP 与圆交于点Q ，则∠OMQ ＝90°，在Rt △OMQ 中， |OM |＝|OQ |·cos ∠QOM ， 所以ρ＝22cos (π－θ)， 即ρ＝－22cos θ.选B.2．x 2＋y 2－4x ＝0的极坐标方程为( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝4cos θD ．ρ＝4sin θ 解析：选C.把x ＝ρ·cos θ，y ＝ρ·sin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入得ρ2－4·ρ·cos θ＝0，所以ρ＝0或ρ＝4cos θ.又极点也在ρ＝4cos θ上，故选C.3．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫5，－2π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3解析：选D.因为ρ＝5cos θ－5 3 sin θ， 所以ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝5x －53y ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋5322＝25，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，ρ＝254＋754＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π3，所以圆心C 的极坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3. 4．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．22解析：选D.两圆的直角坐标方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14， 圆心分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 圆心距d ＝14＋14＝22， 故选D.5．极坐标方程ρ＝cos(π4－θ)表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 解析：选D.因为ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，即ρ＝22(cos θ＋sin θ)， 所以ρ2＝22(ρcos θ＋ρsin θ)， 所以x 2＋y 2＝22x ＋22y ，即⎝⎛⎭⎪⎫x －242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －242＝14.6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．解析：因为 ρ＝2sin θ，所以 ρ2＝2ρsin θ，所以 x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋y 2－2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2y ＝07．圆心在点(3，π)处，半径为3的圆的极坐标方程为____________．解析：如图所示C (3，π)，A (6，π)，设M (ρ，θ)为圆上异于O 、A 的任一点，连接OM ，AM ，则OM ⊥AM ，|OA |＝6为圆C 的直径，在Rt △OMA 中，∠AOM ＝π－θ或θ－π，因为|OM |＝|OA |cos (π－θ)， 所以ρ＝6cos (π－θ)，即ρ＝－6cos θ，验证知O 、A 也适合， 所以所求圆的极坐标方程为ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π2)． 答案：ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π2)8．在极坐标系中，若过点A (3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．解析：由题意知，直线方程为x ＝3， 曲线方程为(x －2)2＋y 2＝4， 将x ＝3代入圆的方程， 得y ＝±3，则|AB |＝2 3. 答案：2 39．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． (1)x 2＋y 2－2x ＝0；(2)ρ＝cos θ－2sin θ； (3)ρ2＝cos 2θ.解：(1)因为x 2＋y 2－2x ＝0， 所以ρ2－2ρcos θ＝0. 所以ρ＝2cos θ.(2)因为ρ＝cos θ－2sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. 所以x 2＋y 2＝x －2y ， 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0. (3)因为ρ2＝cos 2θ，所以ρ4＝ρ2cos 2θ＝(ρcos θ)2. 所以(x 2＋y 2)2＝x 2， 即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程； (2)关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程．解：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求． (2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，即ρ＝－2a cos θ为所求．[B 能力提升]11．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 B ．ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 C ．ρ＝2cos(θ－1) D ．ρ＝2sin(θ－1)解析：选C.在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为：r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．12．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 上的动点，则|PQ |的最小值是________．解析：已知圆的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53π，半径为1，将点P ，C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. 由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径，即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322－1＝3－1＝2. 答案：213．设点M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，过M 作MP ⊥MA 交OA 于点P ，求P 点的极坐标方程．解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图．设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点．因为MP ⊥MA ，所以|MA |2＋|MP |2＝|PA |2.由余弦定理，可知|MA |2＝a 2＋r 2－2ar cos θ，|MP |2＝a 2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA |＝r －ρ，由此可得a 2＋r 2－2ar cos θ＋a 2＋ρ2－2aρcos θ＝(r －ρ)2.整理化简，得ρ＝a (a －r cos θ)a cos θ－r. 14．(选做题)在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，半径为3，点Q 在圆周上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点P 是OQ 的中点，求点P 的轨迹． 解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，OD 为直径，连接DQ ，OQ ，则|OD |＝6，∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π3，因为∠DQO ＝π2. 所以在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)若P 的极坐标为(ρ，θ)，则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)．所以2ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以ρ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.所以P 的轨迹是圆．。

§4.3.1 圆的极坐标方程班别 学号 姓名评价【学习目标】(1) 理解极坐标方程的有关概念；(2) (2) 掌握如何求圆的极坐标方程，并且要求能把直角坐标系与极坐标系的圆的方程的的异同和内在联系找出来。

【重难点】 理解极坐标方程的有关概念。

【教学过程】一、课前预习并完成复习：阅读课本P12-13（学生自主完成）1、在直角坐标系．．．．．中，已知圆心C （a ，b ），半径为r ，则圆的方程为：2、在直角坐标．．．．系中，已知圆心是原点，半径为5，则圆的方程为：3、在直角坐标．．．．系中，已知圆心C （1，0），半径为3，则圆的方程为：4、在直角坐标．．．．系中，已知圆心C （1，2），且圆经过原点O ，则圆的方程为：二、新课讲授1、曲线极坐标方程概念：在极坐标系中，如果平面曲线C 上 的极坐标中 有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。

2、求曲线极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程类似，(1)建立适当的极坐标系；(2)找出曲线上的动点θρ的极径ρ和极角θ的相互关系；(3)设法用ρ和θ的方程表示这种关系；(4)化简并证明所得的方程是所求的极坐标方程。

求曲线极坐标方程关键是找出曲线上的点满足的几何条件。

常用解三角形的知识来建立ρ和θ的关系。

注意ρ和θ的取值范围与题设条件。

三、典型例题例1、在极坐标平面内，已知圆心)0,(aC，半径为r，求其极坐标方程。

例2、已知圆心O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？四、课堂练习1、在极坐标系．．．．中，求圆心在点C（3,0），且经过极点的圆的极坐标方程．．．．．。

π），半径为2的圆2、在极坐标系．．．．中，求圆心C（2, 2的极坐标方程．．．．．。

3、课本P15 1（1）（3）五、课堂小结常见圆的极坐标方程：(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程；(2)圆心在位于)0,(a C ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；(3)圆心在位于)2,(πa C ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；六、课后作业在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：(1)圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆； (2) 圆心在)23,(πa B ，半径为a 的圆。