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数论与整数的基本性质与应用数论是数学的一个重要分支，研究整数的性质与应用。
整数是自然数、负整数和0的集合，数论主要考察整数的奇偶性、因数分解、模运算等基本性质。
本文将介绍数论中的基本概念和定理，并探讨其在密码学、组合数学、代数学等领域的应用。
1. 整数的基本性质与整除关系整数具有奇偶性的性质。
一个整数如果可以被2整除，则被称为偶数；否则，被称为奇数。
任意整数都可以用偶数和奇数来表示。
整除关系是数论中的一个重要概念。
对于两个非零整数a和b，如果存在整数c使得a=bc，我们称b整除a，记作b|a。
例如，4能够整除12，记作4|12。
2. 质数与素数分解质数是指大于1的整数，除了1和它自身外，没有其他的因数。
如果一个整数能够被大于1和小于它自身的整数整除，那么就称其为合数。
素数分解是数论中的一个重要定理。
它表明任意一个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
例如，120可以表示为2 * 2 *2 *3 * 5。
3. 同余关系与模运算同余关系是数论中的一个重要概念，用来描述两个整数除以同一个正整数得到的余数相等的性质。
如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相等，即(a-b) mod m = 0，我们称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
同余关系具有传递性、对称性和反对称性等基本性质。
模运算是一种对整数进行计算的方法，它将运算的结果限制在一个有限的范围内。
例如，25 mod 7 = 4，表示25除以7的余数是4。
4. 数论在密码学中的应用数论在密码学中具有重要的应用价值。
其中，最著名的是RSA加密算法，它是一种公钥密码体制。
RSA算法的关键在于选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
由于质因子分解是一个困难的数学问题，因此，找到p和q是容易的，但将n分解为p和q却是非常困难的。
5. 数论在组合数学中的应用组合数学是研究离散结构和离散对象的数学分支，数论在其中发挥着重要的作用。
数论初步整数的性质与应用整数是数论中的基本概念之一，它在数学和实际应用中扮演着重要角色。
本文将介绍数论初步中整数的性质和应用。
一、整数的定义及性质整数是由正整数、负整数和零组成的集合。
它们具有以下性质：1. 加法性质：对于任意两个整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。
2. 减法性质：对于任意两个整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。
3. 乘法性质：对于任意两个整数a和b，它们的积ab也是一个整数。
4. 整数的封闭性：整数集合在加法和乘法运算下都是封闭的，即对于任意两个整数a和b，它们的和a+b和积ab仍然是整数。
二、整数的因数和倍数1. 因数：对于整数a和b，如果存在整数c使得a=bc，那么称b是a的因数，a是b的倍数。
特别地，一个数的因数中必然包含1和它本身。
2. 素数和合数：如果一个大于1的整数只有1和它本身两个因数，那么它被称为素数；否则，它被称为合数。
素数是整数中最基本的构成单元，每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积。
三、整数的整除、互质和最大公因数1. 整除和余数：对于整数a和b，如果存在整数c，使得a=bc，那么称a能被b整除，b能整除a，记作b|a。
如果a不能被b整除，那么称a不能被b整除，记作b∤a。
除法算式中的余数指的是满足整数除法关系的余数。
2. 互质：如果两个整数a和b的最大公因数是1，那么称a和b是互质的。
3. 最大公因数：a和b的最大公因数是同时能整除a和b的最大整数，记作gcd(a, b)。
最大公因数可以用辗转相除法求得。
四、整数的质因数分解1. 质因数：一个大于1的整数的质因数是指能整除它的素数因子。
每一个整数都可以唯一地分解成多个质因数的乘积。
2. 质因数分解：将一个合数分解为质因数的乘积的过程被称为质因数分解。
五、整数的应用1. 模运算：模是整数除法中的余数。
模运算在密码学等领域有着重要应用。
2. 同余定理：同余是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
认识整数的概念与性质整数是数学中的一种基本概念，它包括正整数、负整数和零。
在我们日常生活和数学学习中，整数无处不在，对于我们来说，了解整数的概念和性质至关重要。
本文将介绍整数的概念、整数的性质以及整数在实际应用中的作用。
一、整数的概念整数是由正整数、负整数和零组成的数集。
正整数是指大于零的整数，用正号“+”表示；负整数是指小于零的整数，用负号“-”表示；零表示没有多少或没有任何值，用“0”表示。
这三种数构成了整数集。
二、整数的性质1. 加法性质：整数加法满足交换律、结合律和加法逆元的性质。
交换律表示加法的顺序不影响结果，即a + b = b + a；结合律表示加法的括号位置不影响结果，即(a + b) + c = a + (b + c)；而加法逆元表示任一整数a都有一个相反数-b，它们的和等于零，即a + (-a) = 0。
2. 乘法性质：整数乘法满足交换律、结合律和乘法逆元的性质。
交换律表示乘法的顺序不影响结果，即a × b = b × a；结合律表示乘法的括号位置不影响结果，即(a × b) × c = a × (b × c)；而乘法逆元表示任一非零整数a都有一个倒数1/a，它们的乘积等于1，即a × (1/a) = 1。
3. 整除性质：整数a能被整数b整除，又称a是b的倍数，记作b|a。
如果a能被b整除，则也可以说a是b的因数，b是a的倍数。
例如，4是2的倍数，记作2|4。
4. 唯一分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
这个性质在整数因式分解和最大公约数等数学问题中起着重要作用。
三、整数的应用整数在我们的日常生活和数学学习中发挥着重要的作用。
以下是一些实际应用领域中整数的应用示例：1. 温度计算：温度的正负可以用整数来表示，正数表示高于零度的温度，负数表示低于零度的温度。
通过整数的加减运算，我们可以进行温度的相对计算和温度的变化计算。
数学整数的概念解析数学中的整数是一种基本的数学概念，它包括正整数、负整数和零。
整数可以用于表示计数、排列和测量等各种数学问题。
本文将对数学整数的概念进行解析，探讨其特性、性质以及在数学领域中的应用。
一、整数的定义整数是数学中的一个数集，由正整数、负整数和零组成。
它们用来表示没有小数部分的数值，可以用在各种计算和测量问题中。
整数集可以用符号Z表示，即Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。
二、整数的特性和性质1. 正整数：正整数是大于零的整数，用正号(+)表示。
2. 负整数：负整数是小于零的整数，用负号(-)表示。
3. 零：零既不是正整数也不是负整数，用0表示。
4. 对称性：整数集在0处对称，即对于任何一个整数a，都有-a存在于整数集中。
5. 顺序性：整数集按照从小到大的顺序排列，且整数的绝对值越大，它的数值越小。
三、整数的运算整数在数学中有四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
以下为整数运算的规则和性质：1. 加法的性质：整数的加法满足交换律、结合律和有零元素。
2. 减法的性质：整数的减法可以转换为加法，即减去一个数等于加上它的相反数。
3. 乘法的性质：整数的乘法满足交换律、结合律和有单位元素。
4. 除法的性质：整数的除法可以转换为乘法，即除以一个数等于乘以它的倒数。
四、整数在数学领域的应用整数在数学领域中有广泛的应用，以下是其中的一些例子：1. 计数：整数可以用来计数物品的数量，如课堂上学生的人数、书架上书籍的数量等。
2. 排列：整数可以用来表示排列组合的问题，如从n个人中选取m个人进行排队的方案数。
3. 测量：整数可以用来测量物体的长度、面积和容量等，如房间的面积、水柜中的水量等。
4. 代数学：整数是代数学中重要的基本结构，它们在代数方程和不等式的求解中起着重要的作用。
总结：整数作为数学中的基本概念，具有明确定义和特定的性质。
它们可以表示计数、排列和测量等各种数学问题，并在代数学中扮演重要角色。
数的整数知识点整数是数学中的一类基本数，是自然数、负整数和零的总称。
它们在数学中具有重要的地位，在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍整数的定义、性质、运算法则以及常见的整数应用场景，以帮助读者更加清晰地理解整数的知识点。
一、整数的定义与性质整数是由自然数、负整数和零组成的集合，用符号“Z”表示。
整数具有以下性质：1. 自然数是整数的一部分，自然数增加或减少时，仍然保持在整数范围内；2. 整数的绝对值是非负数，正整数的绝对值与其本身相等，负整数的绝对值等于其相反数；3. 整数的加法、减法以及乘法运算仍然是整数，但除法运算不一定是整数，有可能得到分数或小数。
二、整数的运算法则整数的加法和减法运算遵循以下法则：1. 加法运算法则：a + b = b + a，整数的加法满足交换律；2. 减法运算法则：a - b ≠ b - a，整数的减法不满足交换律；3. 加法和减法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，整数的加法和减法满足结合律。
整数的乘法运算法则如下：1. 乘法运算法则：a × b = b × a，整数的乘法满足交换律；2. 乘法和加法的结合律：(a × b) × c = a × (b × c)，整数的乘法和加法满足结合律；3. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c，整数的乘法和加法满足分配律。
除法运算的法则如下：1. 整数除法的定义：a ÷ b = c，即 a = b × c，其中 a、b、c 都是整数；2. 当除数不为零时，整数除法满足除法的基本性质。
三、整数的应用场景整数在现实生活中有许多应用场景，以下是一些常见的应用场景：1. 温度计：温度计中的温度可分为正数和负数，正数表示高温，负数表示低温，零度表示摄氏度的起点；2. 度量距离：正数表示向右移动的距离，负数表示向左移动的距离；3. 金融应用：资产和负债的表示、盈利与亏损的计算都会涉及到整数的应用；4. 时间：整数可以用于表示年龄、时间间隔等；5. 机器坐标：计算机图形学中使用整数坐标表示图形的位置等。
整数的概念和性质整数是数学中的一种基本数集，由正整数、负整数和零组成。
本文将以探讨整数的概念和性质为主题，详细阐述整数的定义、运算规则以及在实际生活中的应用。
一、整数的定义整数是数学中的一种数集，用符号“Z”表示，其定义如下：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}在整数集中，包含了无穷多个整数，其中包括正整数、负整数和零。
正整数表示大于零的整数，负整数表示小于零的整数，而零表示不大于也不小于零的整数。
二、整数的性质1. 整数的加法性质：- 任何整数加零，结果仍然是原整数。
- 正整数相加，结果仍然是正整数。
- 负整数相加，结果仍然是负整数。
- 正整数与负整数相加，结果可能是正整数、负整数或零。
2. 整数的减法性质：- 任何整数减零，结果仍然是原整数。
- 正整数减正整数，结果可能是正整数、负整数或零。
- 负整数减负整数，结果可能是正整数、负整数或零。
- 正整数减负整数，结果可能是正整数、负整数或零。
- 负整数减正整数，结果可能是正整数、负整数或零。
3. 整数的乘法性质：- 任何整数乘以零，结果为零。
- 正整数乘以正整数，结果为正整数。
- 负整数乘以负整数，结果为正整数。
- 正整数乘以负整数，结果为负整数。
- 负整数乘以正整数，结果为负整数。
4. 整数的除法性质：- 任何整数除以零是不符合数学规则的，因为除数不能为零。
- 正整数除以正整数，结果可能是正整数、负整数或零。
- 负整数除以负整数，结果可能是正整数、负整数或零。
- 正整数除以负整数，结果可能是正整数、负整数或零。
- 负整数除以正整数，结果可能是正整数、负整数或零。
5. 整数的乘方性质：- 任何整数的零次幂等于1。
- 非零整数的正整数次幂结果仍然是整数。
- 非零整数的负整数次幂结果可能是整数或小数。
三、整数在实际生活中的应用整数在我们的日常生活中有着广泛的应用，尤其在计算、统计和代数等领域中起到了重要作用。
整数的认识及其应用题整数，是数学中的一个重要概念，它包括正整数、负整数和零。
在日常生活和各个领域中，整数都有着广泛的应用。
本文将从整数的定义开始，介绍整数的性质、运算规则以及在实际问题中的应用。
一、整数的定义及性质整数是指不带小数和分数的数，包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，用正号“+”表示。
负整数是小于零的整数，用负号“-”表示。
零表示没有数量的概念，在数轴上位于正整数和负整数之间。
整数具有以下性质：1. 整数加法：当两个整数同号时，将它们的绝对值相加，符号保持不变；当两个整数异号时，将它们的绝对值相减，符号取绝对值较大的整数的符号。
2. 整数减法：减去一个整数，可以转化为加上这个整数的相反数。
3. 整数乘法：同号相乘得正，异号相乘得负。
4. 整数除法：除法运算满足乘法的逆运算性质。
整数除以非零整数，商只能是整数，且满足乘法交换律。
5. 整数的绝对值：对于正整数和零，绝对值等于它本身；对于负整数，绝对值等于它的相反数。
二、整数的应用题整数在实际问题中有着广泛的应用。
下面将通过几个应用题来展示整数的具体应用。
1. 高温天气变化某城市的气温连续3天如下：第一天是-2℃，第二天比第一天低4℃，第三天比第二天高7℃。
问第三天的气温是多少摄氏度？解析：根据题目中所给条件，第二天的气温为-2℃-4℃=-6℃，第三天的气温为-6℃+7℃=1℃。
所以第三天的气温是1℃。
2. 整数的乘法运算某班学生的人数是负数，班级里有25个座位，座位数比学生人数多了3倍，问这个班级有多少学生？解析：设学生人数为x，则25=x-3x，通过解方程得x=5。
所以这个班级有5名学生。
3. 深度下潜潜水员从海平面出发，先上升12米，然后下潜3米，再上升8米。
问现在潜水员距离海平面的深度是多少米？解析：根据上升和下潜的情况，潜水员现在距离海平面的深度为12米-3米+8米=17米。
4. 温差计算一天的最高气温是29℃，最低气温是-5℃，问这一天的温差是多少摄氏度？解析：温差等于最高气温减去最低气温，所以温差为29℃-(-5℃)=34℃。
二年级数学整数的概念整数是数学中的一种数的概念。
它包括正整数、负整数和零。
在二年级数学中，整数的概念是一个重要的基础知识点。
本文将介绍整数的定义、性质以及在日常生活中的应用。
一、整数的定义整数是由正整数、负整数和零组成的数的集合。
正整数包括1、2、3等等，用正号“+”表示；负整数包括-1、-2、-3等等，用负号“-”表示；零用0表示。
整数可以用数轴来表示，数轴上的数从左到右依次为负整数、零和正整数。
二、整数的性质1. 加法性质：整数之间可以进行加法运算。
同号整数相加，结果仍为同号整数；异号整数相加，结果为两个整数的差，并与绝对值较大的整数的符号一致。
例如，2 + 3 = 5, -2 + (-3) = -5, 2 + (-3) = -1。
2. 减法性质：整数之间可以进行减法运算。
减法可以看作是加法的逆运算。
例如，5 - 3 = 2, -5 - (-3) = -2, 5 - (-3) = 8。
3. 乘法性质：整数之间可以进行乘法运算。
同号整数相乘，结果为正数；异号整数相乘，结果为负数。
例如，2 × 3 = 6, -2 × (-3) = 6, 2 × (-3) = -6。
4. 除法性质：整数之间可以进行除法运算。
除法可以看作是乘法的逆运算。
需要注意的是，整数除以整数不一定得到整数。
例如，6 ÷ 2= 3, 6 ÷ (-2) = -3, 5 ÷ 3 = 1余2。
三、整数的应用整数在日常生活中有着广泛的应用。
下面以几个具体的例子来说明：1. 温度计：温度的正负可以用整数来表示。
正数表示高温，负数表示低温。
例如，今天的温度是17摄氏度，可以表示为+17℃，而明天的温度是-5摄氏度，可以表示为-5℃。
2. 距离计算：在地图上，我们可以用整数来表示两个地点之间的距离。
例如，A地到B地的距离是100公里，可以表示为+100km，而B地到A地的距离是-100公里，可以表示为-100km。
第二节 整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。
若0=r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过ba的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。
整数的概念与性质整数是数学中的一个重要概念，它在我们的生活中扮演着重要的角色。
本文将介绍整数的概念、表示方法、性质以及其在实际生活中的应用。
一、整数的概念整数是由正整数、负整数和零（0）组成的集合。
它们包括正负无穷个整数，用符号“...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...”来表示。
二、整数的表示方法整数可以通过符号（+、-）与数字的组合来表示。
正整数可以直接写出，负整数则在数字前面加上负号。
例如，正整数2可以表示为+2，负整数-2可以表示为-2。
三、整数的性质1.加法性质：整数加法满足交换律、结合律和整数加法逆元性质。
- 交换律：对于任意整数a和b，a+b=b+a。
- 结合律：对于任意整数a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
- 整数加法逆元性质：对于任意整数a，存在一个唯一的整数-b，使得a+(-a)=0。
2.乘法性质：整数乘法满足交换律、结合律、分配律和整数乘法逆元性质。
- 交换律：对于任意整数a和b，a×b=b×a。
- 结合律：对于任意整数a、b和c，(a×b)×c=a×(b×c)。
- 分配律：对于任意整数a、b和c，a×(b+c)=a×b+a×c。
- 整数乘法逆元性质：对于任意非零整数a，存在一个唯一的整数b，使得a×b=1。
3.整数除法：整数除法的结果可以是整数、无理数或者不存在（除数为0）。
4.整数大小比较：对于任意两个整数a和b，有以下性质：- 如果a>b，则-a<-b。
- 如果a=b，则-a=-b。
- 如果a<b，则-a>-b。
五、整数在实际生活中的应用1.计数：整数可以用来表示具体的计数对象，如人数、温度等，帮助我们更好地理解和描述实际情况。
2.位置表示：整数可以用来表示相对位置，如运动方向（正向或负向）、坐标轴上的点等。
3.财务计算：整数在财务管理、经济学等领域中广泛应用，例如计算存款、贷款、投资等金额的增减变化。
第二节 整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若na p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。
若0=r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过ba的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。
证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x xy x y x ； 若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x xy x y x ；（在上式中用y -代y ）(7)如果在等式∑∑===m k k n i ib a 11中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的倍数；(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数⨯偶数＝偶数，奇数⨯偶数＝偶数，奇数⨯奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成18+m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48+m 的形式；（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
3．完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
平方数有以下性质与结论：（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。
因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。
一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。
4．整数的尾数及其性质整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为)(a G 。
)(a G 也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：（1）=))((a G G )(a G ；（2）)(21n a a a G +++ ＝)]()()([21n a G a G a G G +++ ；（3）=⋅⋅⋅)(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ⋅⋅⋅ ；（4）0)10(=a G ；)()10(b G b a G =+；（5）若c b a 10=-，则)()(b G a G =；（6）+∈=N k a a G aG k ,),()(44； （7）++∈<<≥=N r k a r k a G a G r r k ,,,40,0),()(4；（8）⎪⎩⎪⎨⎧=同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数，当是偶数为奇数，当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G a G b b n b b5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
6．质数与合数及其性质1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。
2．有关质（素）数的一些性质（1）若1,>∈a Z a ，则a 的除1以外的最小正因数q 是一个质（素）数。
如果a q ≠，则a q ≤；（2）若p 是质（素）数，a 为任一整数，则必有a p |或（p a ,）＝1；（3）设n a a a ,,,21 为n 个整数，p 为质（素）数，且n a a a p 21|，则p 必整除某个i a （n i ≤≤1）；（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a ，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；（5）任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a k a a ,,,2,1,2121 == ① 的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i <<）。
上式叫做整数a 的标准分解式；（6）若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21+++=k a a a a f 。
典例分析例1．证明：100102000个被1001整除。
证明：]110)10()10)[(110(1)10(110100136653666336673200102000+-+-+=+=+=个 所以)1001(1103=+整除100102000个。
例2．对正整数n ，记)(n S 为n 的十进制表示中数码之和。
证明：n |9的充要条件是)(|9n S 。
证明：设011010a a a n k k +⨯++⨯= （这里90≤≤i a ，且0≠k a ），则n a a a n S +++= 10)(，于是有=-)(n S n )110()110(1-⨯++-⨯a a k k ①对于k i ≤≤1，知)110(|9-i，故①式右端k 个加项中的每一个都是9的倍数，从而由整除的性质可知它们的和也能被9整除，即))((|9n S n -。
由此可易推出结论的两个方面。
例3．设1≥k 是一个奇数，证明L 对于任意正整数n ，数k k k n +++ 21不能被2+n 整除。
证明：1=n 时，结论显然成立。
设2≥n ，记所说的和为A ，则： )2())1(3()2(22k k k k k k n n n A +++-++++= 。
由k 是正奇数，从而结于每一个2≥i ，数k k i n i )2(-++被2)2(+=-++n i n i 整除，故A 2被2+n 除得余数为2，从而A 不可能被2+n 整除（注意22>+n ）。
例4．设n m ,是正整数，2>m ，证明：（12-m ）（12+n ）。
证明：首先，当m n ≤时，易知结论成立。
事实上，n m =时，结论平凡；当m n <时，结果可由1212121-≤+≤+-m m n 推出来（注意2>m ）。
最后，m n >的情形可化为上述特殊情形：由带余除法m r r mp n <≤+=0,而0>q ，由于122)12(12++-=+r r mq n ，从而由若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x x y x y x 知)12(|)12(--mq m ；而m r <≤0，故由上面证明了的结论知)12(-m )12(+r （注意0=r 时结论平凡），从而当m n >时，也有（12-m ）（12+n ）。
这就证明了本题的结论。
例5．设正整数d c b a ,,,满足cd ab =，证明：d c b a +++不是质（素）数。
证法一：由cd ab =，可设n m b d c a ==其中1),(=n m 。
由n m c a =意味着有理数ca 的分子、分母约去了某个正整数u 后得既约分数n m ，因此，nu c mu a ==, ① 同理，存在正整数v 使得mv d nvb ==, ②因此，d c b a +++＝))((v u n m ++是两个大于1的整数之积，从而不是素数。
