最新港澳台侨联考培训班内部讲义：数学集合讲义,不含答案

（Ⅰ）求函数 f x 的图像离原点 O 最近的对称中心的坐标，以及离 y 轴最近的对称轴的方程； （Ⅱ）求函数 f x 的最小正周期，并用作图法求方程 f x x 1 0 的根的个数.
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（20）设 ABC 为锐角三角形. 证明 （Ⅰ） sin A sin B 1 cos C ； （Ⅱ） 2 sin A sin B sin C
3 3 . 2
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） （D）b<a<c
(2) 设函数 f ( x) tan( x ) ，则（ ） 3 6 1 1 (A) f (2) f (0) f ( ) (B) f (2) f ( ) f (0) 2 2 1 1 (C) f ( ) f (0) f (2) (D) f (0) f ( ) f (2) 2 2
）
（A）
（B）
1 3
（C）
3 4
（D）
1 2
（16）函数 y = log 1 （ cos x sin x ） （0 x
2
）的最小值为_____________________。 2
（23）求函数 f ( x) cos x sin x 2(cos x sin x)( x R ) 的值域.
3 4
23． 在高出海面 hm 的小岛 A 处， 看到正东方有一只船 B ， 俯角为 30 ， 又看到正西方偏南 30 的 方向有另一只船 C ，俯角为 45 ，求 B 、 C 两船的距离.
A
O C B
六、三角函数最值 2．函数 y 3cos x 4sin x 的最大值为（ ）

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北京博飞--华侨港澳台培训学校 16.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球。 （1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。
17.盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球．规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得 1 分．现从盒内一次性取 3 个球．（1）求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；（2）设 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 的分布列和数学期 望．
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北京博飞--华侨港澳台培训学校 25.甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率 3 4 3 为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然 5 5 5 后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比 赛的胜利，比赛结束. （I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III）求甲取得比赛胜利的概率. 解：（I）只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为： 3 4 12 P1 . 5 5 25 （II）只进行两局比赛，比赛就结束的概率为： 3 4 2 3 18 P2 . 5 5 5 5 25 （III）甲取得比赛胜利共有三种情形： 3 4 12 若甲胜乙，甲胜丙，则概率为 ； 5 5 25 …………4 分
6.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球． （Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。

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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f '( x ) 的最小值为 12 ．
（Ⅰ）求 a ， b ， c 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调递增区间，并求函数 f ( x ) 在 [ 1,3] 上的最大值和最小值． （Ⅰ）∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( x ) f ( x ) 即 ax bx c ax bx c ∵ f '( x ) 3ax b 的最小值为 12 又直线 x 6 y 7 0 的斜率为 ∴ a 2 ， b 12 ， c 0 ． （Ⅱ） f ( x ) 2 x 12 x ．
2 ln x 2a ，x 0 ， x x
故 F ( x ) xf ( x ) x 2 ln x 2a，x 0 ， 于是 F ( x ) 1 列表如下：
2 x2 ，x 0 ， x x x F ( x ) (0， 2) (2， ∞)
2

0 极小值 F (2)
2 0
极小
( 2, )
所以函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( , 2) 和 ( 2, ) ∵ f ( 1) 10 ， f ( 2) 8 2 ， f (3) 18 北京博飞华侨港澳台学校
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1 2 x 2ax ， g ( x ) 3a 2 ln x b ，其中 a 0 ．设两曲线 y f ( x ) ， 2
y g ( x ) 有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值；（II）求证： f ( x ) ≥ g ( x ) （ x 0 ）． 北京博飞华侨港澳台学校
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数学测试一、选择题：本大题共12小题；每小题5分.1．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()U U A B = 痧（）A ．{1}B ．{5}C ．{24}，D ．{1234}，，，2．已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且3，BC=2，则二面角A—BC—D 的大小是（）32)D (2)C (31arccos )B (33arccos)A (ππ3．若向量a 与b 不共线，0≠ a b ，且⎛⎫ ⎪⎝⎭ a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（）A ．0B ．π6C ．π3D ．π24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．45C ．36D ．275．若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．将函数a ax b y ++=的图象按向量()2,2-平移后，所得图象与原图象关于直线x y =对称，那么（）（A ）1,0a b =-≠（B ）1,a b R =-∈（C ）1,0a b =≠（D ）0,a b R=∈7．一圆锥的高为1，底面半径为3，过圆锥顶点的截面面积的最大值是（）A.1 B.3 C.2 D.328．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（）A ．]6,59[B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，C ．(][)36-∞+∞ ，，D ．[36]，9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A ．122B ．111C ．322D ．21110．已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）A ．15[,]24B ．13[,24C ．1(0,]2D ．(0,2]11．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．63B ．12C ．123D ．2412．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（）A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.把答案填在对应的位置13.已知函数2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a =．14.若数列101lg 110kk x ==∑，则()101lg kk x ==∑_______15.在空间直角坐标系中，若两直线32022230x y z x y z x y z ax y z ++=--=⎧⎧⎨⎨-+=++=⎩⎩与交于一点，则a =_______16.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为17.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则点47,2(πA 到这条直线的距离.18.用21x x ++除多项式54321x x x x +-++，余式为__________.三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19.在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan 2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A ．求A 、B 及b 、c ．20.将函数333()sin sin (2)sin (3)442f x x x x ππ=⋅+⋅+在区间(0,)+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}n a ，(1,2,3,)n = .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12sin sin sin n n n n b a a a ++=，求证：1(1)4n n b --=，21.已知常数0a >，曲线C n ：y ＝nx 在其上一点P n (x n ，y n )的切线l n 经过定点(－a,0)(n ∈N *).（Ⅰ）求证：点列：P 1，P 2，…，P n 在同一直线上；（Ⅱ）求证：∑=<<+n i in y a n 12)1ln((n ∈N *).22.已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e 。

an 的前 n 项和 Sn. bn
4 1 2d q 21， 2 1 4d q 13，
解： （Ⅰ）设 an 的公差为 d ， bn 的公比为 q ，则依题意有 q 0 且 解得 d 2 ， q 2 ． 所以 an 1 (n 1)d 2n 1 ， bn q （Ⅱ）
（2）由（1）得 a3n 1 2
3n
bn ln 23n 3n ln 2 {bn } 是等差数列． n(b1 bn ) n(3 ln 2 3n ln 2) 3n(n 1) ln 2 。 2 2 2 1 1 1 ． S1 S 2 Sn

又 bn 1 bn 3ln 2n
两式相减得
（II） c a n 4n 2 ( 2n 1) 4 n 1 , n 2 bn 4 n 1
7． 设数列 an 的前 n 项和为 S n 2 an 2 ，
n
1 1 3Tn 1 2(41 4 2 4 3 4 n 1 ) (2n 1)4 n [(6n 5)4 n 5]. Tn [(6n 5)4 n 5]. 3 9
a1 a 2 a 3 7， 解： （1）由已知得 : ( a1 3) ( a 3 4) 3a2 . 2
解得 a2 2 ．
设数列 {an } 的公比为 q ，由 a2 2 ，可得 a1 又 S3 7 ，可知
2 ，a3 2q ． q
2 2 2 q 7 ， 即 2 q 2 5q 2 0 ， q 1 解得 q1 2，q2 ． 由题意得 q 1， q 2 ． a1 1 ． 2 n 1 故数列 {an } 的通项为 an 2 ．

测试四三角函数与平面向量综合一、选择题(10×5分=50分)1．已知等腰三角形底角的正弦值为,32则顶角的正弦值是（A ）A ．594B ．592C ．594-D ．592-2．函数x y sin =的图象按向量)2,2(π-=a 平移后与)(x g 的图象重合,则函数=)(x g (A )A ．2cos +x B ．2cos --x C ．2cos -x D ．2cos +-x 3．等边ABC ∆的边长为1,设C AC b BC a AB ===,,,则=⋅+⋅+⋅a c c b b a （B ）A ．23B ．21C ．23-D ．21-4．已知,4-<k 则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是（A）A ．1B ．1-C ．12+kD ．12+-k 5．若θ是第三象限角，且2sin 2cossin 1θθθ+=+，则2θ是（B ）A ．第二、四象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．已知P 是ABC ∆所在平面内的一点，若R PB PA CB ∈+=λλ,。

则点P 一定在(B）A ．ABC ∆内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上7．把函数x x y sin cos 3-=的图象按向量)0()0,(>-=m m a 平移，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是（D）A ．6πB ．3πC ．π32D ．π658．在ABC ∆中，下列三角表达式：①C B A sin )sin(++②AC B cos )cos(++③2tan 2tanCB A +④2sec 2cosAC B +，其中恒为定值的是（B）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9．已知ABC ∆中,点D 在BC 边上,且DB CD 2=,,AC s AB r CD +=则s r +的值(D)A ．32B ．34C ．3-D ．010．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若PB PA AB OP ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(B )A ．112λ≤≤B ．2112λ-≤≤C ．12122λ≤≤+D ．221122λ-≤≤+二、填空题（6×5=30）11．︒︒-︒25cos 25sin 5cos 2的值为312．函数)32sin(4π--=x y 的单调减区间是5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦_____________13．直角坐标平面上向量)3,2(),1,4(-==OB OA 在直线λ上的射影长度相等，则直线l 的斜率为3或12-_____________14．已知j i ,为互相垂直的单位向量，j i b j i a λ+=-=,2，且b a ,的夹角为锐角，则实数λ的取值范围1(,2)(2,)2-∞-⋃-__________15．在AOB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则AOB ∆的面积为_532_________16．在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2=AM ，则)(OC OB OA +⋅的最小值是___-2_________三、解答题：17．（本题10分）设πππ471217,53)4cos(<<=+x x ，求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值。

导数的应用知识点讲解一.导数的运算导数的定义如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′|0x x =。

即f′（x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：①求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）②求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00③取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim（在极限存在的前提下。

若极限不存在，则导数不存在）连续就是左值等于右值；可导是“左值等于右值，且左导等于右导”例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 几个结论:（1）奇函数的导函数是偶函数。

（2）偶函数的导函数是奇函数。

（3）周期函数的导函数是周期函数，且周期不变。

（4）轴对称函数在对称轴处的导数为零（特别的偶函数有()00f '=），奇函数没有此性质。

1.常见函数的导数（1）0C '=(C 为常数)（2）()1m m x mx -'=（m Q ∈）（3）()x xe e '=（4）()ln x x a a a '=（5）()1ln x x'=（6）()11log log ln a a x e x a x'==（7）()sin cos x x '=（8）()cos sin x x'=-2.两个函数和、差、积、商的导数若()f x 、()g x 的导数都存在，则（1）()f g f g '''±=±（2）()f g f g f g '''=+ （3）()20f f g f g g g g '''⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数设()u g x =在点x 处可导，()y f u =在()u g x =处可导，则复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦在点x 处可导，且()()()()f g x f u g x '''=⎡⎤⎣⎦ 。

答案： 3 2. .3. 1. 4. 1. 6
解析：由
A+C=2B
及
A+
B+
C=180°知，B
=60°．由正弦定理知，
1 sin
A

3 sin 60
，即 sin
A

1 2
．由
a

b
知，
A B 60 ，则 A 30 ，
可得
15 sin 60

10 sin B
解得 sin B

3 ，又因为 b a ，则 B A ，故 B 为锐角， 3
所以 cos B 1 sin 2 B 6 ，故 D 正确. 3
二、填空题答案
b2 c2 a2 1

1. 解析：由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴ 2bc = 2 .∴∠A= 3 .
4．解：由正弦定理，令
a b c k,则 sin A sin B sin C
sin A a ,sin C c . 由已知条件 2 sin A cos B sin C 得
k
k
2 a cos B c , cos B c . 故余弦定理得
k
k
2a
c a2 c2 b2 , a2 b2 0, a b a b 0,
.
5. 在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， b a 6 cos C ，则 tan C tan C =_________。
ab
tan A tan B
三、解答题 1.在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长.

等差等比数列1．等差数列}{n a 中，n S 为前项n 和，已知20162016=S ，且2000162016162016=-S S ，则1a 等于（）A ．2016-B ．2015-C ．2014-D ．3201-2．设{}n a 为递减等比数列，1121=+a a ，1021=⋅a a 则1210lg lg lg a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.35B.－35C.55D.－553．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（）A.16 B.13 C.35 D.565．设n S 为等比数列{}n a 的前项和，已知2343-=a S ，2332S a =-，则公比q =（）A.3B.4C.5D.66．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25,352==S a ，则=8a （）A ．13B ．14C ．15D ．167．已知等差数列的前三项依次为1,1,23a a a -++，则此数列的第n 项为（）A ．25n -B ．23n -C ．21n -D ．21n +8．等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（）A.2(21)n -B.1(21)3n - C.1(41)3n - D.41n -9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若85=S ,2010=S ,则15S 等于（）A ．16B ．18C ．36D ．3810．已知11n n a n -=+，那么数列{}n a 是（）A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列11．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1n nS n =+，则51a =（）A ．56B ．65C ．130D ．3012．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则1{}n a 的前100项和为（）A ．100101B ．99100C ．101100D ．20010113．在各项都不相等的等差数列{a n }中，a 1，a 2是关于x 的方程x 2－7a 4x ＋18a 3＝0的两个实根．(1)试判断－22是否在数列{a n }中；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值．14．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－48，求k 的值．15．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且124,,a a a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足()()111n n n b a a =-+，若数列{}n b 前n 项和n T .16．等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭，（Ⅰ）求n a ；17．在等差数列{}n a 中，1122,20a a =-=.（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若12...n n a a a b n +++=，求数列{}3n b 的前n 项和.18．已知数列满足，前项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的通项．19．已知等差数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．20．在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值.21．已知数列{}n a的前n项和,232nn nS-=.（1）求{}n a的通项公式；（2）设11nn nba a+=，数列{}n b的前n项和为n T,.22．已知数列{}n a 的通项公式为1,32n a n N n *=∈-.（1）求数列2n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ；（2）设1n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T .23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n +∈均在函数32y x =+的图象上.(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)设n T 是数列13{}n n a a +的前n 项和，求使20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足16a =，2a ，6a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .26．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且2215a a a =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记S n 为数列{}21n a -的前n 项和，求S n27．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为n S 满足21()2n n a S +=，设10()n n b a n N =-∈.（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最大值.28．数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+．（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式参考答案1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C.9．C 10．B 11．D 12．D 13．（1）－22不在数列{a n }中；（2）30.14．（1）a n ＝3－2n ；（2）k ＝8.15．（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）21n n T n =+.16．（1）2 1.n a n ∴=-；17．(1)24n a n =-;(2)3118n n S -=.18．（1）;（2）．19．（Ⅰ）;（Ⅱ）.20．(1);（2)21．(1)32n a n =-；(2)1．22．（1）23n S n =；（2）31n n T n =+.23．(1)详见解析(2)1024．（1）24n a n =+；（2）2(2)n n +.25．（I ）21n a n =-；（II ）11.21n T n =-+26．（1）a n ＝2或a n ＝4n －2，（2）2n S n =或242n S n n=-27．（1）证明见解析，12-=n a n ；（2）25.28．（1）证明见解析；（2）()211n a n =-+．。

y1 x1

2p y1 y2
( x1

x2 )
将 y1 y2 2 y0 ( y0 0) 代入得
k AB

2p y1 y2
p y0
，所以 k AB 是非零常数
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7
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北京博飞--华侨港澳台培训学校 如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2），A（ x1 , y1 ），B（ x2 , y2 ）均在抛物线上．
B（ x2 , y2 ） （I）求该抛物线上纵坐标为 p 的点到其焦点 F 的距离 2 （II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0
y
P
O A
解：（I）当 y p 时， x p
2
8
又抛物线 y 2 2 px 的准线方程为 x p 2
【答案】B
B． y2 x2 1 12 24
C． x2 y2 1 12 24
D． x2 y2 1 24 12
11. 记 cos(80) k ,那么 tan100 （ C ）
（A）— k 1 k2
（B） k 1 k2
（C）— 1 k 2 k
（D） 1 k 2 k
A． (, 4]
B． (, 4)
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C． (4, 4]
D．[4, 4]
1
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【答案】D
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7. 已知直线 y x m 是曲线 y x2 3ln x 的一条切线，则 m 的值为（ ）
B．（－2,2） D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

港澳台联考最新数学考纲华侨港澳台联考考纲数学（2017版）这是北京学桥港澳台联考中心录入的最新版（2017版）数学考纲，为港澳台联考学生保驾护航。

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Ⅰ．考试要求1．正确理解和掌握中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法.2．熟练运用本大纲规定范围内的数学知识和方法解决问题（包括简单的应用问题）.Ⅱ．考试内容A．代数(algebra)1．数(number)有理数、无理数和实数，绝对值，复数及复数的四则运算，复数的模.2．代数式(algebraic expression)整式、分式及其运算，因式分解，根式及其运算，二次根式的有理化.3．方程(equation)一元二次方程的解法及其应用，一元二次方程的根与系数的关系，二元一次联立方程组和三元一次联立方程组的解法，简单无理方程的解法.4．不等式(inequality)不等式及其性质，简单不等式的证明，一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法.5．集合(set)集合，子集，交集，并集，补集6．函数(function)的概念及其性质函数，函数符号，函数的定义域与值域，函数的性质：单调性、奇偶性、周期性.7．一次函数(y=ax+b, a≠0)，二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0)，反比例函数(y=k /x, k≠0)，幂函数(y=x a)，它们的图像和性质.8．指数函数(y=a x,a>0且a≠1)，对数函数(y=log a x, a>0且a≠1，以10为底的常用对数记作lg x )，它们的图像和性质，对数换底公式，简单的指数方程和对数方程的解法，指数函数与对数函数互为反函数.9．基本初等函数及其简单复合函数的导函数函数的导数的几何意义.运用函数的导函数研究函数的单调性与极值、最值.10．数列(sequence)等差数列及其通项公式和前n项之和的公式，等比数列及其通项公式和前n项之和的公式.11．加法原理，乘法原理，排列及排列数公式，组合及组合数公式.12．二项式定理，数学归纳法(mathematical induction) .13．多项式(polynomial)多项式，余式定理，因式定理.B．三角(trigonometry)1．角的度量和角的弧度制，锐角的正弦( sin)、余弦(cos) ，正切(tan )和余切(cot)的定义.2．化任意角三角函数为锐角三角函数的公式(诱导公式)，同角三角函数间的关系公式，正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的图像及其性质.3．直角三角形的解法及其应用，正弦定理和余弦定理以及它们在斜三角形解法中的应用.4．两角和与差的三角函数公式，二倍角的正弦、余弦、正切和余切公式，半角的正弦、余弦、正切和余切公式.5．简单的三角方程与不等式.C．解析几何(analytic geometry)1．坐标系(coordinate)平面直角坐标系，两点间的距离公式，线段的定比分点公式.2．向量(vector)向量，有向线段与向量，平面向量的数量积.3．直线的倾斜角与斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式方程，两条直线平行和垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距离.4．曲线与方程，简单的轨迹问题.5．圆的标准方程和一般方程，椭圆的定义、标准方程、图形及其性质，双曲线的定义、标准方程、图形及其性质，抛物线的定义、标准方程、图形及其性质.6．坐标轴的平移，利用坐标轴平移将缺xy项的二元二次方程化为标准方程.7．空间中的直线与平面，平面方程式，空间直线方程式.D．立体几何(solid geometry)1．空间两条直线的位置关系，平行于同一条直线的两条直线，一个角的两边和另一个角的两边分别平行时两角间的关系，两条异面直线所成的角.2．直线与平面的位置关系，直线和平面平行的判定与性质，直线与平面垂直的判定与性质，斜线在平面上的投影，直线与平面所成的角.三垂线定理(如果在平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直)及其逆定理.3．两个平面的位置关系，两个平面平行的判定和性质，二面角，两个平面垂直的判定和性质.4．正棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积和侧面积，球体的体积和表面积，5．正命题、逆命题、否命题和逆否命题间的关系，必要条件和充分条件.6．空间直角坐标系.空间向量基本定理.空间向量的加法运算、数乘向量运算、向量的数量积(点积)运算及其坐标表示.空间向量运算的几何意义.7．运用空间向量计算空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.E．统计与概率(statistic and probability)1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.了解分层抽样和系统抽样方法.2．会用样本的频率分布估计总体分布.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.3．理解古典概型及其概率计算公式.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.4．会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.5．了解条件概率的概念和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布.6．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量均值、方差的概念解决一些实际问题.7．借助直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.Ⅲ．考试形式及试卷结构1．考试时间为120分钟，满分150分.2．考试采用闭卷笔答方式，用钢笔或圆珠笔作答，不许用红色笔，不许用铅笔.3．文理科考生使用同一份试卷.4．考试可使用计算器和圆规、直尺等绘图仪器.5．各部分知识内容的比例代数约45%三角约15%解析几何约20%立体几何约10%统计与概率约10%6．各种题型的比例试卷包括选择题、填空题和解答题三种题型.选择题为四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出计算或推证过程；解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程.试卷中三种题型所占的分数比例:选择题约40%填空题约20%解答题约40%。

数学测试一、选择题：本大题共12小题；每小题5分.1.下列函数中为奇函数的是（）A ．2sin xx y =B ．x xe y 2-=C ．22sin 2x x y x --=D ．x x x x y sin cos 2+=2.将函数2y x =的图象按向量a 平移后，得到()212y x =+-的图象，则（）A.()1,2a = B.()1,2a =- C.()1,2a =- D.()1,2a =-- 3．设连续可导函数()x f 为奇函数，且()20='x f ，则()=-'0x f （）A ．-2B ．21C ．2D ．21-4．若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ=（）A ．15B ．14C ．13D ．125.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为（）A ．14B ．55C ．12D 5-26.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A.43 B.23 C.2 D.37.等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，108111,2108S S a =--=，则11S =（）（A ）－10（B ）10（C ）－11（D ）118．正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（）A.90° B.60° C.45°D.30°9.若z 为复数，且2z =,则4z z+的虚部是（）A ．0B ．1C ．2D ．410.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种11.在正四棱锥P ABCD -中，60APC ∠= ，则二面角A PB C --的平面角的余弦值是（）（A ）17（B ）17-（C ）12（D ）12-12.在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为（）A ．3B ．2C ．4D ．1二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.把答案填在对应的位置13.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.14.在正三棱柱111ABC A B C -中，若11,AB A C ⊥则1A A AB =15.在极坐标系中,曲线1C :2sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,则a =_______.16.已知函数())cos 3f x x ϕ=+，若()()y f x f x '=+是偶函数，则ϕ=17.过点()1,2,1且与两直线210,10x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩和20,0x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩都平行的平面方程是18.多项式x 4–2x 2–3x –2与x 3–2x 2–x +2的最大公因式是三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19.函数()()26cos 3302x f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若03()5f x =,且0102(,33x ∈-,求0(1)f x +的值.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立.(Ⅰ)求1a ,2a 的值;(Ⅱ)设10a >,数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.21.已知函数()11ax x f x e x-+=-。

48．364
4
n2 n
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n2
参考答案 6．B 16．A 26．D 36．B ，2
n 1
7．A 17．C 27．D 37．A
8． C 18．B 28．C 38．B 44． 121
9．B 19．C 29．D 39．D
10．D 20．C 30．A 40．C 45． 1 50． 2017
3 2
1 . 2
49． 2
46． 512
）
1 3.
1 9
）
32．已知等比数列的前三项分别是 a 1, a 1, a 4 ，则数列的通项公式 an 为（
3 A. 4 2
n
3 B. 4 2
满足 C. -2
n 1
2 C. 4 3
，
n
2 D. 4 3
）
24．已知数列 an 是递增的等比数列， a1 a3 a5 21 ， a3 6 ，则 a5 a7 a9 （ A.
）
21 4
B.
21 2
C. 42
D. 84 ）
25．已知数列 an 满足 a2 2 ， 2an 1 an ，则数列 an 的前 6 项和 S 6 等于（ A.
b2 的值为（ a1 a2
）
3 10
B.
3 10
C.
3 10
D. 1
29．已知等差数列 an 的公差为 2，若 a1 , a3 , a4 成等比数列，则 a3 （ A. 10 B. 6 C. 8 D. 4
）
30．已知等比数列 an 中， a2 a5 18 ， a3 a4 32 ，若 an 128 ，则 n =（ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 ） 31．等比数列 an 的前 n 项和为 S n ，已知 S3 a2 10a1 ， a5 9 ，则 a1 （ A.

导数大题1．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及极值．2．设函数()x ax x f ln 2+=．（Ⅰ）当1-=a 时，求函数()x f y =的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）已知0<a ，若函数()x f y =的图象总在直线21-=y 的下方，求a 的取值范围；3．已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+．（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥．4．已知函数()ln (0)a f x b x c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为20x y --=．（1）用a 表示b c ，；（2）若函数()()g x x f x =-在(0,1]x ∈上的最大值为2，求实数a 的取值范围．5．已知函数()316f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．6．已知函数e a ax e x f x,0(1)(>--=为自然对数的底数)．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）若0)(≥x f 对任意的R ∈x 恒成立，求实数a 的值．7．设函数；（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）讨论的单调性．8．已知：函数21()(1)2f x x ax ln x =--+，其中a R ∈．（Ⅰ）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．9．已知函数()ln()(0)x a f x ax a -=->（1）求函数()f x 的最值；（2）当1a =时，是否存在过点(1,1)-的直线与函数()y f x =的图像相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．10．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()y f x =的极值．11．已知函数()f x =alnx+x 2+bx+1在点（1,f （1））处的切线方程为4x−y−12=0。

数列针对练习21.已知数列{}n a 的前n 项和11(22n n n S a -=--+（n 为正整数）。

（Ⅰ）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；2.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）证明数列{}2n na 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式。

3.已知数列{}n a 满足，*11212,,n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n nb a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

4.已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a 5.已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n N +=++∈（I）证明数列{}1n a +是等比数列；（II）求数列{}n a 的通项公式。

6.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足22n n T S n =-,n ∈*N .(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)证明数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式.9.已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和2n n n S a +=.(Ⅰ)求23,a a ;(Ⅱ)求{}n a 的通项公式.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,且1a 、25a +、3a 成等差数列.(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)证明数列{}2n n a +(2n ≥)是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式;。

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综合练习四
一、选择题 1. tan 690° 的值为（ Ａ．
3 3
2
）
3 3
Ｂ．
Ｃ． 3
Ｄ． 3
2i 2. 复数 等于（ 1+i
A． 4i B． 4i
） C． 2i D． 2i
3. 在等比数列 {an } （ n N * ）中，若 a1 1 ， a4 A． 2
f (1) 的 f (0)
5 2
Ｃ． 2
Ｄ．
3 2
二、填空题 13. 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是 14. 在 △ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，若 a 1 ，b= 7 ， c ；， ．
20. 已知数列 an 和 bn 满足 a1a2 an （1）求 an 与 bn ； （2）设 cn
2 n N .若 a 为等比数列，且 a 2, b
bn n 1
3
6 b2 .
1 1 n N 。记数列 cn 的前 n 项和为 S n . an bn
3 ，则 B
15. 某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修
4 门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答）
16. 正三棱锥 P ABC 的高为 2 ，侧棱与底面 ABC 成 45 角，则点 A 到侧面 PBC 的距离为_____．
2 2
(1， 0) ．
（I）证明 CACB 为常数；

（II）若动点 M 满足 CM CA CB CO （其中 O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方程．

30．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 4, S4 22, an 28, 则 n （ ）
A. 3 B. 7 C. 9 D. 10
31．公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a6 3a4 ，且 S10 a4 ，则 的值为（ ）
1
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14．在等差数列an 中， a7a11 6 ， a4 a14 5, 则该数列公差 d 等于（ )
1
A.
4
B. 1 或 1 32
C. - 1 4
D. 1 或- 1 44
15．若公差为 2 的等差数列an 的前 9 项和为 81，则 a9 （ ）
5．B 15．C 25．D 35．B
参考答案 6．D
16．C 26．C 36．C
7．C 17．B 27．C 37．B
8．D 18．B 28．B 38．A
43． 48．55
44．-13 49．2017
9．A 19．C 29．C 39．A
10．D 20．A 30．D 40. B
45．51 50．101
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A. 1 B. 9 C. 17 D. 19
16．设等差数列an 的公差 d 0 ， a1 2d ，若 ak 是 a1 与 a2k7 的等比中项，则 k （ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 17．数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为 4 的等差数列．若 an ＝bn，则 n 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
50．在等差数列 中，前 m 项（m 为奇数）和为 135，其中偶数项之和为 63，且 am a1 14 ，则 a100 的值为____．