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高中数学必修五知识点汇总
第一章 解三角形
一、知识点总结 正弦定理:
1．正弦定理:2sin sin sin a b c
R A B C
=== (R 为三角形外接圆的半径).
步骤1.
证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA
得到b b
a a sin sin =
同理，在△ABC 中， b
b
c c sin sin =
步骤2.
证明：2sin sin sin a b c
R A B C
===
如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.
所以C R
c
D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C ===
2.正弦定理的一些变式：
()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R
==2c R =；
()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；
（4）R C
B A c
b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算
解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解
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余弦定理:
1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?
=+-??=+-?
2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??
+-?
=??
?+-=
??
.
设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:
已知三角形的三边为a,b,c,
1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）
2.设)(2
1
c b a p ++=
,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)
例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(2
1
c b a p ++=，求证：
（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则p
c p b p a p r )
)()((---=
（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p a
h a ---=
))()((2
c p b p a p p b h b ---=
))()((2
c p b p a p p c
h c ---=
证明：（1）根据余弦定理的推论：222
cos 2a b c C ab
+-=
由同角三角函数之间的关系，sin C==
代入
1
sin
2
S ab C
=，得
1
2
S=
=
=
=
记
1
()
2
p a b c
=++，则可得到
1
()
2
b c a p a
+-=-，
1
()
2
c a b p b
+-=-，
1
()
2
a b c p c
+-=-代入可证得公式
（2）三角形的面积S与三角形内切圆半径r之间有关系式
1
2
2
S p r pr
=??=
其中
1
()
2
p a b c
=++
，所以S
r
p
==
注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和故得：pr
cr
br
ar
S=
+
+
=
2
1
2
1
2
1
（3）根据三角形面积公式
1
2a
S a h
=??
所以，2
a
S
h
a
=
a
h=
同理
b
h
c
h
【三角形中的常见结论】
（1）π
=
+
+C
B
A(2) sin()sin,
A B C
+=cos()cos,
A B C
+=-tan()tan,
A B C
+=-
2
cos
2
sin
C
B
A
=
+
,
2
sin
2
cos
C
B
A
=
+
;A
A
A cos
sin
2
2
sin?
=,
（3）若?
>
>C
B
A c
b
a>
>?C
B
A sin
sin
sin>
>
若C
B
A sin
sin
sin>
>?c
b
a>
>?C
B
A>
>
（大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（5）三角形中最大角大于等于
60，最小角小于等于
60
(6)锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
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钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 （7）ABC ?中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .
(8) ABC ?为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:
题型1:判定三角形形状
判断三角形的类型
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
（2）在ABC ?中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形
是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形
?
（注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?） (3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2
π
=
+B A .
例1.在ABC ?中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ?形状.
题型2:解三角形及求面积
一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2.在ABC ?中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值
例3.在ABC ?中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3
π
=C ．
（Ⅰ）若ABC ?的面积等于3，求a ，b
（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ?的面积．
题型3:证明等式成立
证明等式成立的方法：（1）左?右，（2）右?左，（3）左右互相推.
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例4.已知ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.
题型4:解三角形在实际中的应用
考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）
例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？
三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即tan i α=.
l
h
α
2.俯角和仰角：
如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.
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3. 方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α.
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。 4. 方向角：
相对于某一正方向的水平角.
5.视角：
由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角
第二章 数列
一、数列的概念 1、数列的概念：
一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,
n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n a 是
数列的第n 项，也叫做数列的
通项.
整数集N *（或它的子集）的函数，数列可看作是定义域为正当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数
列.
2、数列的分类：按数列中项的多数分为：
（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限. 3、通项公式：
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如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即
1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数
列.
5、递推公式：
某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式． 二、等差数列 1、等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据. 2、等差数列的通项公式：
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：
()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、. 3、等差中项：
（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=
2
a b
A +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且
21=
2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足2
1=2
n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列. 4、等差数列的性质：
（1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；
（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列； （3）等差数列{}n a 的公差为d ，则
{}0n d a >?为递增数列，{}0n d a
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5、等差数列的前n 项和n S ：
（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++
++∈；
（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11
,1
.,2n n n S n a S S n -=?=?
-≥? （3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()
111=.22
n n n a a n n S na d +-=+ 6、等差数列前n 和的性质：
（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++
++++
21223m m m a a a ++++
+,仍为等差数列（即232,,,
m m m m m S S S S S --成等差数列）；
（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -?
?++- ??
?当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；
（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11
==,n S n S S a S n
++-奇奇偶偶中间项且 若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1
==.n n
S a S S nd S a +-偶奇偶奇且
（4）等差数列{}n a {}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数），则12112121121
12121()22()22
n n n n n n n n a a n a a a S b b n b b b T ------++===++
（5）在等差数列{}n a 中.n S =a ，m S b =，则()n m n m
S a b n m ++=--，
特别地，当n m S S =时，0n m S +=，当n S =m ，m S =n 时()n m S n m +=-+
（6）若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n S
n
也为等差数列.
7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则
（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和. 三、等比数列
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1、等比数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即
()1
n n
a q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据. 2、等比数列的通项公式：
设等比数列
{}
n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：
()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、. 3、等比中项：
（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;
（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且
212=n n n a a a ++?；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++?，则数列{}n a 是等比数列.
4、等比数列的性质：
（1）若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1
{}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n n
a b (k
为非零常数) 均为等比数列.
（2）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ?=?，若2m n p +=，则
2m n p a a a ?=；
（3）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ?也为等比数列； （4）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则
{}1100101n a a a q q ><
011
n a a a q q >
?<<>??或为递减数列， {}1n q a =?为常数列. 5、等比数列的前n 项和：
（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++
++∈；
（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1
.,2
n n n S n a S S n -=?=?
-≥?
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（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q =??
=-?≠?
-?
由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.
6、等比数列的前n 项和性质：
设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++
++++
21223m m m a a a ++++
+,仍为等比数列（即232,,,
m m m m m S S S S S --成等差数列）；
（2）当1q ≠时，()()11111111111111
n n n n n a q a a a a a
S q q q q
q q q q q -==
?-=-?=?-------， 设
1
1
a t q =-，则n n S tq t =-. 四、递推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.
2、两个恒等式：
对于任意的数列{}n a 恒有：
（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-
（2）()234
1123
1
,0,n
n n n a a a a a a a n N a a a a +-=?
????
≠∈ 3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n ++
+=）求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==
-≥ 类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：
()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=- 利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+
+-可得：
- 11 -
()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-
类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且
()()1
,n n
a f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式
()()1
,n n
a f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()234123
1
1,2,3,,
1.n
n a a a
a f f f f n a a a a -====- 利用公式()234
1123
1
,0,n
n n n a a a a a a a n N a a a a +-=?
????
≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =?????-
类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
①q pa a n n +=+1解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
②n n n q pa a +=+1解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：
q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n
b （其中n
n n q a b =），得：q b q p b n n 1
1+=+再应用q pa a n n +=+1的方法解决。
类型五（倒数法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()1,0,n
n n pa a r n N qa r
++=
≠∈+，求n a 通项. 11111111n n n n n n n n n n pa qa r r q r q
a qa r a pa a pa p a p a p +++++=
?=?=+?=?++
设1111,.n n n n b b a a ++=
=则1n n r q b b p p
+∴=?+， 若,r p =则11=n n n n q q
b b b b p p
++=+
?-，即数列{}n b 是以q p 为公差的等差数列.
若,r p ≠则1n n r q
b b p p
+=
+（转换成类型四①）.
- 12 - 五、数列常用求和方法
第一类：公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式
2
)1(2)(11d
n n na a a n S n n -+
=+=
2、等比数列的前n 项和公式
??
?
??≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n
3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(2
1
3211+=
+?+++==∑=n n n k S n
k n （2）、)12)(1(6
1
321222212++=
+?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331
3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n
k n
第二类：乘公比错项相减（等差?等比）
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
}{n n b a ?或}{n n b a
的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。
例：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0
Ⅱ、若q =1，则)1(2
1
321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，
则12321-+?+++=n n nq q q S ①
n n nq q q q qS +?+++=3232 ②
①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(
?)1(11
132n n n nq q q q q q
S -+?++++-=
-
- 13 -
?)11(11n n
n nq q
q q S ----=
?q nq q q S n
n n ----=1)
1(12
综上所述：?????????
≠≠----=+==)10(1)
1(1)1)(1(21
)0(02
q q q nq q q q n n q S n
n n 且
第三类：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如： （1）、1
1
1)1(1+-=+=
n n n n a n
（2）、)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （3）、])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++=
n n n n n n n a n
（4）、n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 2、根式形式，如：n n n
n a n -+=++=
111
例：求数列
311?，421?，531
?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S
解：由于：
)2(1+n n =2
1
1(21+-n n ）
则：??
????+-+???+-+-=
)211()4121()311(21n n S n ? )2111211(21+-+--=
n n S n ? 4
21
22143+-+-
=n n S n
- 14 - 第四类：倒序相加法
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。
例：若函数)(x f 对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。
（1）)1()1()2()1()0(f n
n f n f n f f a n +-+?+++=，
数列}{n a 是等差数列吗？是证明你的结论；
（2）求数列}1
{
1
+?n n a a 的的前n 项和n T 。
解：（1）、)1()1
()2()1()0(f n n f n f n f f a n +-+?+++=（倒序相加）
?)0()1
()2()1()1(f n
f n n f n n f f a n ++?+-+-+= 12
21101=?=-+=-+=+n
n n n n n
则，由条件：对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。
?）（
1222222+=+?+++=n a n ?1+=n a n ?21+=+n a n ?11=-+n n a a
从而：数列}{n a 是1,21==d a 的等差数列。 （2）、
2
1
11)2)(1(111+-+=++=?+n n n n a a n n
?n T =
)
2(11541431321+?++?+?+?+?n n ）（ ?n T =4
22121211141313121+=+-=+-++
?+-+-n n
n n n 故：n T =4
2+n n
第五类：分组求和法（等差+等比）
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例：求数列{
)
1(1
+n n +12-?n n }的前n 项和n S
- 15 -
解：令1)
n(n 1
+=n a 12-?=n n n b
)()()()(332211n n n b a b a b a b a S ++?++++++=
?)()(321321n n n b b b b a a a a S +?+++++?+++=
?)223221()111313121211(12-?+?+?+?+++-+?++-+-
=n n n n n S ?)223221()1
1
1(12-?+?+?+?+++-
=n n n n S 令12223221-?+?+?+?+=n n n T ①
n n n T 223222232?+?+?+?+= ②
①式—②式：n n n n T 222221)21(132?-+?++++=--
?)222221(132n n n n T ?-+?++++-=-
?)22
121(
n n
n n T ?----= ?12)1(+?-=n n n T
故：n n n n n n n S 2)1(1
1212)1()111(?-++-=+?-++-
= 第六类：拆项求和法
在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。
例：求数列9，99，999，… 的前n 项和n S
分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式110-=n n a 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。
解：由于：110-=n n a 则：?+++=99999n S
?)110()110()110()110(321-+?+-+-+-=n n S ?)1111()10101010(321+?+++-+?+++=n n S
?n S n n --?-=
10
110
1010
- 16 -
?n S n n --=
+9
10
101 例8：n S =n n 2
1
813412211+???+++
解：由于：n n n n n a 2
1
21+==
则：n S =)2
1
814121()321(n n +???+++++?+++（等差+等比，利用公式求和）
=2
11)
)21(1(21)1(2
1--++n n n
=n n n )21(1)1(21-++
第三章 不等式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若
,a b c d ><，则a c b d ->-）
，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不
能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b
c d
>）；
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >
>
4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11
a b
>。
例（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；
③22,0b ab a b a >><<则若； ④b
a b a 1
1,0<<<则若；
⑤b
a
a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；
⑦b
c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11
,a b a b >>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______
（答：137x y ≤-≤）；
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
- 17 -
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
例（1）已知0>>b a ，0>m ，试比较m a m b ++与a
b
的大小
答：)
()
()(m a a b a m m a a bm ab am ab a b m a m b +-=+--+=-++ 0,0,0,0>+>-∴>>>m a b a m b a
a
b
m a m b m a a b a m >++∴>+-∴
0)()( 从而得到结论，糖水加糖甜更甜。
（2）设0,10>≠>t a a 且，比较2
1
log log 21+t t a a 和的大小
（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11
log log 22
a a
t t +≥（1t =时取等号））；
（3）设2a >，1
2p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小
（答：42222
12=+≥+-+-=a a p ，422
42<=-+-a a q ,故p q >）
； （4）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小
（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当4
13
x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；
当4
3
x =时，1+3log x ＝2log 2x ）
（5）比较2
31
-与10的大小
（答：提示：
232
31
+=-，0)10()23(22<-+） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和
最小”这17字方针。
例（1）下列命题中正确的是
A 、1
y x x =+的最小值是2
B 、x
x y 1
+=的最大值是2
C 、4
23(0)y x x x =-->
的最大值是2-
D 、4
23(0)y x x x
=-->
的最小值是2-
（答：C ）；
- 18 - （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______
（答：提示：2222221≥+-y y 22）；
（3）正数,x y 满足21x y +=，则y
x 1
1+的最小值为______
（答：322+）；
四．常用不等式有：
（1）
2222211
a b a b ab a b
++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；
（3）若0,0a b m >>>，则b b m
a a m
+<+（糖水的浓度问题）。
例 如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________
（答：提示：32,3,2+≥++=≥+ab ab b a ab ab b a [)9,+∞）
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后
通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧有：21111111
1(1)(1)1n n n n n n n n n
-
=<<=-++--
111
11121k k k k k k k k k +-=<<=-+++-+
六、不等式的解法
1、不等式的同解原理：
原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；
原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；
原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。 2、一元二次不等式的解法：
一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x 轴交点的
二次函数
（）
的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
- 19 - 注意：
（1）一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠的两根
12
,x x是相应的不等式20(0)
ax bx c a
++>≠的解集的端点的取值，是抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠与x轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分0,0,0
?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20(0)
ax bx c a
++>≠与20(0)
ax bx c a
++<≠的解集。
3、简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一
点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
（3）根据曲线显现()
f x的符号变化规律，写出不等式的解集。
例（1）解不等式2
(1)(2)0
x x
-+≥。
（2）解不等式0
)4
)(
2
)(
1
(
)1
(2<
+
-
+
-x
x
x
x
（3）解不等式0
)2
(
)1
(
)1
)(
2
(3
2≤
-
-
+
+x
x
x
x
4、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通
分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后
用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为
负时可去分母。
()
()
()()()
()
()()
()
()
()
()()()
()
()()
()
00;0.
00;0.
f x
g x
f x f x
f x
g x
g x
g x g x
f x
g x
f x f x
f x
g x
g x
g x g x
?≥
?
>??>≥??
≠
?
?≤
?
≠
?
例解不等式
2
5
1
23
x
x x
-
<-
--
（答：(1,1)(2,3)
-）；
5、绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：
例解不等式|
2
1
|
2
|
4
3
2|+
-
≥
-x
x（答：x R
∈）；
（2）利用绝对值的定义；
- 20 -
例 解不等式c b ax <+ （答：c b ax c <+<-）； （3）数形结合；
例 解不等式|||1|3x x +-> （答：(,1)(2,)-∞-+∞）； （4）两边平方：
例 若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。
（答：4
{}3
）
6、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。
注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
例 （1）若2
log 13
a <，则a 的取值范围是__________
（答：1a >或2
03a <<）；
（2）解不等式
2
()1
ax x a R ax >∈- （答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1
{|0}x x a
<<或0}x <）；
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；
（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
7、指数、对数不等式的解法：
（1）
()()()()()()
()
()()()
1; 01f x g x f x g x a a a f x g x a
a
a f x g x >>?>><
（2）
()()()()()()()()
log log (1)0;log log (01)0a a a a f x g x a f x g x f x g x a f x g x >>?>>><
七、基本不等式 1、基本不等式： 若0a >，0b >
，则
2
a b
+≥a b =时，等号成立． 2
a b
+称为正数a 、b
称为正数a 、b 的几何平均数． 变形应用：()2
0,02a b ab a b +??
≤>> ???
，当且仅当a b =时，等号成立． 2、基本不等式推广形式：
如果,a b R +
∈
≥2a b +
≥211a b
+，当且仅当a b =时，等号成立．
3、基本不等式的应用：设x 、y 都为正数，则有：
人教版高中数学必修一 ————各章节知识点与重难点 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素 如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（Venn图） 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A ??? 且 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)
姓名____________ 20XX 年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理： （1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理： （1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
高中数学必修1-5常考难点 必修一 第一章：集合和函数的基本概念 这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。 还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数 ——指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像 函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。 函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。 第三章：函数的应用 这一章主要考是函数与方程的结合，其实就是函数的零点，也就是函数图像与X 轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这些难点对应的证明方法都要记住，多练习。二次函数的零点的Δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。 必修二 第一章：空间几何 三视图和直观图的绘制不算难，但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感，要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物，这就要求学生特别是空
高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.doczj.com/doc/1c3134993.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.
《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=
（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.
§1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2.过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的 含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3.情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点、难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. §1.1.2集合间的基本关系 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作 用. 2.过程与方法 让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想． (2)体会类比对发现新结论的作用. 二. 教学重点、难点 重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念. 难点：难点是属于关系与包含关系的区别． §1.1.3集合的基本运算 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并 集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作 用. 2.过程与方法 学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算. 3.情感、态度与价值观
高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:
高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
高中数学必修1-5常考难点易错点 数学对大多数的学生来说，无疑为一场噩梦。但这同时也意味着，只要能把数学成绩提上来，总成绩也就能从众多学生中脱颖而出。并且相对于语文英语等大科来说，数学想要提分也是最容易的，只要能多拿下一个选填题就能多拿下五分。而就经验而言，数学成绩好的学生其总成绩也一定不会差，而要想总成绩能名列前茅，数学必须要有120以上。所以对高中生来说，数学是一定要攻克下来的难关。 下面为同学们整理了数学难点以及易错点，请对照查看自己的掌握状况。 必修一 第一章：集合和函数的基本概念 这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。次
一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。 还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。假期回顾最好的方法是将这些概念，写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数 ——指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像 函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。 函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。 第三章：函数的应用
这一章主要考是函数与方程的结合，其实就是函数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这些难点对应的证明方法都要记住，多练习。二次函数的零点的Δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。 必修二 第一章：空间几何 三视图和直观图的绘制不算难，但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感，要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物，这就要求学生特别是空间感弱的学生多看书上的例图，把实物图和平面图结合起来看，先熟练地正推，再慢慢的逆推（建议用纸做一个立方体来找感觉）。
高一数学必修一知识点整理 【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》，希望你不负时光，努力向前，加油！【篇一】高一数学必修一知识点整理 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a:A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝
一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=
高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.
『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————
必修5知识点总结 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． （正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。） ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 有无交点： 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a
一、知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 二、重点难点分析 这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．1．关于牵头图和引言分析 章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础． 2．关于集合的概念分析
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念． 初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界． 3．关于自然数集的分析 教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意． 新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中．因此要注意几下几点： （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然 数集包含0；
必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径. 变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边.
三、三角形面积公式 （1）111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （4）一个重要公式：对任何数列，总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. （2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质：
集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。
高中数学必修五第一章知识点总结 一．正弦定理（重点） １．正弦定理 （１）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ==sin sin sin a b c A B C =２Ｒ（其中Ｒ是该三角形外接圆的半径） （２）正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． ２．正弦定理的应用（重难点） （１）已知任意两角与一边：有三角形的内角和定理，先算出第三个角，再有正弦定理计算出另两边 （２）已知任意两边与其中一边的对角：先应用正弦定理计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边与角（注意：这种情况可能出现解的个数的判断问题，一解，两解，或无解） （３）面积公式 111s i n s i n s i n 222C S b c a b C a c ?A B =A ==B 二余弦定理（重点） １．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 222 2cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 应用：已知三角形的两边及其夹角可以求出第三边 ２．推论 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=
解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)
三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ． ①若2 22 a b c +=，则90 C =o ； ②若2 2 2 a b c +>，则90 C