概率论与数理统计4.3

解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
ห้องสมุดไป่ตู้
1
85
0.5 9
90
0.966.
13 July 2020
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
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二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
第6页
4.4.3 二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
n
P
n
np npq
y
( y)
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
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例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82

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§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
I ( x) y2
r( x x )
y (1 r ) t e

t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt

r y ( x x )
所以
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§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r
f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2

1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )

1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
x x

φξ(x)、φη(y)分别是(ξ,η)的联合分布密度及边缘分 布密度，则ξ、η相互独立的充要条件是：对任意 点(x,y)，有
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)
证明
x, y x• y
Fx, y x y u,vdudv
x
y
u
v
dudv
x
u
du
y
v
dv
F x• F y
i 1
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正
品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不 放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
pij η
或η的概率分布称为它的边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)
关于ξ、η的边缘分布函数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边 缘分布函数为
F x P x P{ x, } Fx,
同F理y F , y
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确 定，但其逆并不一定成立。
（４）对任意两点(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1≤x2， y1≤y2，则 F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1) ≥0
§4.2 二维离散型随机向量
定义 若随机向量(ξ,η) 所有可能取值是有限对或
可列多对(xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(ξ,η)是二 维离散型随机变量；
我们可以证明：

第四章随机变量的数字特征第三节协方差及相关系数一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第四章随机变量的数字特征一、协方差与相关系数的概念及性质1、问题的提出两个二维随机变量的分布状况问a,b应如何选择，可使aX+b最接近Y？接近的程度又应如何来衡量？设e=E[Y−(a+bX)2]则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度.当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好.确定a,b的值，使e达到最小.若随机变量X和Y相互独立，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y).若随机变量X和Y不相互独立D(X+Y)=?D(X+Y)=E X+Y2−E(X+Y)2=D(X)+D(Y)+2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}.2. 定义量E X−E X Y−E Y称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov X,Y即C ov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}而ρXY=) Cov(X,Y)D(X⋅)D(Y称为随机变量X与Y的相关系数.3. 说明(1) X和Y的相关系数又称为标准协方差，它是一个无量纲的量.(2) 若随机变量X和Y相互独立⇒Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E[X−E(X)]E[Y−E(Y)]=0(3) 若随机变量X和Y相互独立⇒D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y).4. 协方差的计算公式(1) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y);(2) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).5. 性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数;(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).例1：设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，试求X 与Y 的相关系数.结论(1) 二维正态分布密度函数中，参数ρ代表了X与Y的相关系数；(2) 二维正态随机变量X与Y相关系数为零等价于X与Y相互独立.二维正态随机变量(X,Y)的概率密度曲面与相关系数ρXY=ρ的关系.例2：二维随机变量(X,Y)分别服从N(1,32),N(0,42),ρXY=−Τ12,设Z=ΤY2.X3+Τ1.求Z的数学期望和方差.2.求X与Z的相关系数.3.问X与Z是否相互独立?为什么?二、相关系数的意义1.问题的提出问a,b 应如何选择，可使aX+b最接近Y？接近的程度又应如何来衡量？设e=E[Y−(a+bX)2]则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度.当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好.确定a,b的值，使e达到最小.2. 相关系数的意义当|ρXY|较大时e较小，表明X,Y的线性关系联系较紧密.当|ρXY|较小时，X,Y线性相关的程度较差.当ρXY=0时，称X和Y不相关.例3：设θ服从[0,2π]的均匀分布，ξ=cosθ,η=cos(θ+a),这里a是常数，求ξ和η的相关系数，并判断其独立性?动画演示ξ与η的相关关系.3. 注意(1) 不相关与相互独立的关系↚⇎相互独立不相关(2) 不相关的充要条件1.X,Y不相关⇔ρXY=0;2.X,Y不相关⇔Cov(X,Y)=0;3.X,Y不相关⇔E(XY)=E(X)E(Y).4. 相关系数的性质1.|ρXY|≤1.2.|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a,b使P{Y=a+bX}=1.三、小结相关系数的意义当|ρXY|较大时，X,Y的线性相关程度较高.当|ρXY|较小时，X,Y的线性相关程度较差.当ρXY=0时，X和Y不相关.复习题•一、判断题1.E XY=E X E(Y)是随机变量X,Y相互独立的充分而非必要条件（）2.对二维随机变量(X,Y)来说，X,Y不相关的充要条件是其相互独立（）3.随机变量X,Y相互独立，它们取1和-1的概率均为0.5，则X=Y.（）4.随机变量X,Y不相关，则E XY=E X E(Y). （）•二、填空题1.随机变量X,Y 相互独立，则Cov X,Y =______,ρXY =_________.2.若X,Y ~N(μ1,μ2,σ12,σ22,0.5)，则ρXY =_______。