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导数求函数单调区间问题PPT教学课件

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高三数学利用导数判断函数的单调性PPT教学课件

高三数学利用导数判断函数的单调性PPT教学课件

• 注意：(1)用曲线的切线的斜率来理解法则， 当切线斜率非负时，切线的倾斜角小于90°， 函数曲线呈向上增加状态；当切线斜率为负 时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数 曲线呈向下减少状态．
• (2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在 这个区间上等于常数．
• (3)对于可导函数f(x)来说，f′(x)>0是f(x)在(a， b)上为单调增函数的充分不必要条件，f′(x)<0 是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要 条件，例如：f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0) ＝0，所以在x＝0处不满足f′(x)>0.
• [答案] C
• 求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－2x＝23xx2－1. 由 f′(x)>0， 即3x2x－1>0，得 x> 33， ∴函数 f(x)的增区间为( 33，＋∞)，
•判断或证明函数的单调性
函数．
试证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增
•构造函数证明不等式
已知 0<x<π2，求证 tanx>x. [解题提示] 设 f(x)＝tanx－x，x∈[0，π2)，注意到 f(0)＝tan0 －0＝0，要证的不等式变为：当 0<x<π2时，f(x)>f(0)．这只需证 明 f(x)在[0，π2)上单调递增．
当 x>0 时，证明不等式 ln(x＋1)>x－12x2. [解析] 令 f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，定义域为(－1，＋∞)， 则 f′(x)＝1＋1 x－1＋x＝1＋x2 x. 当 x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 于是当 x>0 时，f(x)>f(0)＝0，

函数的单调性与导数课件(共13张PPT)

函数的单调性与导数课件(共13张PPT)

a
b用导数确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减 当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
归纳小结
1.“导数法” 求单调区间的步骤：
①求函数定义域
②求 f '( x)
③令f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
2.如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，
如何表示单调区间？
不能用“∪”连接，应用“，”隔开
水以匀速注入下面四种底面积相同的容器中， 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C
问题 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增， 那么f′(x)一定大于零吗？
如f(x)=x3,x∈(-1,1)
不一定，应是 f′(x)≥0.
结论 若函数单调递增，则
若函数单调递减，则
已知 ，函数
在区间
上是增函数，求实数 的取值范围．
求下列函数的单调区间
在(, 0)上递减
o
在(0, )上递增
x
导数的正负
f '(x) 1 0
f '(x) 1 0 f '(x) 2x 0 f '(x) 2x 0
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减

高考数学备考复习课件：利用导数求函数的单调区间(共18张PPT)

高考数学备考复习课件：利用导数求函数的单调区间(共18张PPT)
/ 1 2 1 2
x 0, 得0 x e
, f' x 0, 得x e
/
1 2 所以f x 的单调减区间为 0, e , 1 2 f x 的单调增区间为 e , .
例2. 求函数f x （x -1 ） ln x的单调区间。
2
分析：f x （x 2 -1） ln x的定义域为 0， + ， 1 1 f x 2 x ln x x- x 2 ln x 1 2 x x 观察f / x 0, 得x=1，
/
当0 x 1时，f / x 0, 当x 1时，f / x 0 所以f x 的单调减区间为 0,1 f x 的单调增区间为 1， +
2013年江苏
20.已知函数f x =lnx-ax,g x =e x -ax,其中a为实数.
（1）若f x 在 1 ， + 上是单调减函数，且g x 在
1, 上有最小值，求a的取值范围;
21.已知函数f x =（ax 2 +bx+c)e x 在 0,1 上单调递减 且满足f 0 =1,f 1 =0.（1）求a的取值范围;
例3. 求函数f x （x +1 ） ln x 的单调增区间。
2
分析：f x （x 2 +1） ln x的定义域为 0， + ， 1 1 f x 2 x ln x x + x 2 ln x 1+ 2 x x 1 令g x =2lnx+1+ 2 ， x 2 2 2 x 1 x 1 / g x 3 3 x x x 当0 x 1时，g / x 0, 当x 1时，g / x 0

函数的单调性与导数PPT教学课件

函数的单调性与导数PPT教学课件

A1型最密堆积（配位数为12）（例如铜）
2.离子晶体属非等径圆球的密堆积方式：
大球先按一 定的方式做 等径圆球密 堆积
小球再填充 到大球所形 成的空隙中
配位数：一个原子或离子周围所邻接的原子 或离子数目。
NaCl：Cl－ 离 子密先堆以积，AN1a型＋ 离紧 子再填充到空 隙中。
ZnS： S2－离子 先以A1型紧密 堆积，Zn2＋ 离 子再填充到空 隙中。
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
1. 等径圆球的密堆积
把乒乓球装入盒中，盒中 的乒乓球怎样排列才能使 装入的乒乓球数目最多？

函数的单调性与导数-图课件

函数的单调性与导数-图课件
函数的单调性与导数-图 课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系

高中数学《利用导数解决函数的单调性问题》公开课优秀课件

高中数学《利用导数解决函数的单调性问题》公开课优秀课件
f(x)在(a，b)内是减函数．√( )
2
函数的单调性与导数的关系
条件
结论
f′(x)＞0
f(x)在(a，b) 内_单__调__递__增__
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
f′(x)＜0
f(x)在(a，b) 内__单__调__递__减_
f′(x)＝0
f(x)在(a，b) 内是_常__数__函__数
(0,2),
a3
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、求函数的单调区间； 3、求参数的取值范围.
课后作业
1、限时训练P258页A组。 2、课后探究：
已知函数f ( x) x3 3ax2 2a2 x 1在[0,2]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
2、利用导数解决 函数的单调性问题
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)
＞0×.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在
此区间内没有单调性．( √ )
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则
增区间为,0,2,+,减区间为0, 2
考点2 含参数函数的单调性
例2：已知函数f (x) 1 x3 ax2 8a2x，讨论f (x)的单调区间. 3
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
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⑤
Ｈ Ｈ② ①
Ｈ―Ｃ―Ｃ―Ｏ―Ｈ
③ ④Ｈ Ｈ
反应 与金属钠反应 Cu或Ag催化氧化 浓硫酸加热到170℃ 浓硫酸加热到140℃ 浓硫酸条件下与乙酸加热 与HX加热反应
断键位置 ①
①③ ②④ ① 、②
① ②
饱和一元醇定义：
醇分子中烃基为烷烃基 ，且醇中只有一个羟基 ， 那么，这种醇就是饱和一元醇，如甲醇、乙醇等。
H O H
H O HH O
C2H5
比较下表含相同碳原子数、不同羟基数的醇的沸点
名称
分子中羟基数目
沸点/℃
乙醇
1
78
乙二醇
2
197.3
1-丙醇
1
97.2
1，2-丙二醇
2
188
1，2，3-丙三醇
3
259
〔结论〕含相同碳原子数、不同羟基数的多元醇的沸点
比一元醇二元醇都高，多元醇具有易溶于水的性质。
〔原因〕是因为多元醇分子中羟基多，一方面增加了分子间 形成氢键的几率；另一方面增加了醇与水分子间形成氢键的几率。
()
错解 C 错解分析 一般地，由f′(x)>0能推出f(x)为增函 数，反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f′(x)≥0.因此f′(x)>0是函 数f(x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
二、混淆概念 【例2】 已知x＝1是函数f(x)＝m x3－3(m ＋1)x2＋
5.饱和一元醇的水溶性
饱和一元醇分子中碳原子数1～3的醇能与水以任意 比例互溶；分子中碳原子数4～11的醇为油状液体， 仅部分溶与水；分子中碳原子更多的高级醇为固体， 不溶与水；
【规律】CnH2n+1OH可以看成是H-OH分子中的一个H原 子被烷基取代后的产物。当R-较小时，醇分子与水分子 形成的氢键使醇与水能互溶；随着分子中的R-的增大， 醇的物理性质接近烷烃。
学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
CH2OH
OH
6、
左侧有机物中
属于醇的是 1 3 4 ；
属于酚的是
256
。
两者相似之处？ 体会醇与酚的区别。
CH3CH2OH
乙醇
乙二醇
丙三醇
茶多酚
苯酚
漆酚
思考●讨论 什么是醇？什么是酚？
醇：烃分子中饱和碳原子上的一个或几 个氢原子被羟基取代生成的有机化合物
(2)与羧酸反应
乙醇和乙酸在浓硫酸催化并加热下 可以发生酯化反应生成乙酸乙酯和水， 实验证明，其他的醇和羧酸也可以发生 酯化反应生成酯和水。
3、醇氧化反应
②①
R1
R1
2 R2—C—O③—H + O2
H
Cu △
2 R2—C=O + 2H2 O
生成醛或酮
①-③位断键
〔思考〕是不是所有的醇都能被氧化成 醛？
小结
• 饱和一元醇 1、通式 CnH2n+1OH
2、随着C数的增多，熔沸点逐渐增，相对密度呈增大趋 势。 对于同碳数的，支链越多，熔沸点越低，密度越小。
3、随着碳数增多，水溶性降低。 4、比Mr接近的烷烃或烯烃的沸点要高（氢键的影响）.
二、醇的化学性质
〔阅读〕P57交流研讨，以1-丙醇为例分析结构
名称 相对分子质量
பைடு நூலகம்
沸点/℃
甲醇
32
65
乙烷
30
－89
乙烯
28
－102
乙醇
46
78
丙烷
44
－42
丙烯
42
－48
〔结论〕从表2-2-1数据可以看出：饱和一 元醇的沸点比与其相对质量接近的烷烃或烯 烃的沸点要高。 〔原因〕这主要是因为一个醇分子中羟基上 的氢原子可与另一个醇分子中羟基上的氧原 子相互吸引形成氢键，增强了醇分子间的相 互作用
nx＋1的一个极值点，其中m 、n∈R，m <0. (1)求m 与n的关系； (2)求f(x)的单调区间．
错解 (1)f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n.因为x＝1
是函数f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝0，即 3m －6(m ＋1)＋n＝0，所以n＝3m ＋6.
(2)因为f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n，此函数
酒精饮料 的中乙醇
酒精燃料 的中乙醇 汽车发动机防冻
液中的乙二醇
化妆品中 的丙三醇
茶叶中的茶多酚
药皂中的苯酚
漂亮漆器上的漆酚
教学目标：
1、知道醇的的主要类型，能列举一些常见的 醇并说明其用途。
2、能够利用系统命名法对简单的饱和一元醇 进行命名。
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的化
3.醇的命名
1.选主链。选含—OH的最长碳链作主链，根据碳
原子数目称为某醇。
2.编号。从离羟基最近的一端开始编号。 3.定名称。在取代基名称之后，主链名称之前用
阿拉伯数字标出—OH的位次，且主链称为某醇。 羟基的个数用“二”、“三”等表示。
4. 醇的重要物理性质
〔阅读〕P56页表2-2-1相对分子质量相近的醇与 烷烃、烯烃的沸点比较
酚：芳香烃分子中苯环上的一个或几个 氢原子被羟基取代生成的有机化合物
一、醇的概述
1. 醇的分类
（1）根据羟基的数目分
（2）根据烃基是否饱和分
一元醇：如CH3OH 甲醇
二元醇：CH2OH 乙二醇 CH2OH
多元醇：CH2OH 丙三醇 CHOH CH2OH
饱和醇(含饱和一元醇)
不饱和醇 CH2=CHCH2OH
3a
所以x>
1 － 或x<－
3a
1 －；
3a
f′(x)>0，即3ax2＋1>0，
解得－
－ 1 <x< 3a
－1. 3a
综上所述，a<0时，f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区
间．其中增区间为
－3a ，－
3a
减区间为－∞，
3－a3a、－
3－a3a， 3－a3a，＋∞.
返回
第二节 醇 酚
（第一课时）
件，显然，a>0时，函数f(x)在R上为增函数不满足题
意；另外，a<0时没有研究f′(x)>0的情况，更没有
讨论a＝0的情况． 正解 f′(x)＝3ax2＋1，若a≥0时，f′(x)＝3ax2＋
1>0.f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．
此时f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾． 若a<0时，f′(x)<0，即3ax2＋1<0， 解得x2>－ 1 ，
2. 几种典型的醇的物理性质和用途：
名 俗名 色、态、味 毒
称
性
甲 木醇 无色、有酒 有
醇
精气味、具 毒
有挥性液体
乙
无色、粘稠、 无
二
甜味、液体 毒
醇
丙 甘油 无色、粘稠、 无
三
甜味、液体 毒
醇
水溶性
与水互 溶
与水互 溶
与水互 溶
用途
燃料、化工 原料
防冻液、合 成涤纶、
化妆品、制 炸药（硝化 甘油）
由上表可知，当m <0时，f(x)在－∞，1＋m2 上单调
递减，在
1＋ 2 ，1 m
上单调递增，在(1，＋∞)上单
调递减．
三、未理解题意 【例3】 设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确
定a的取值范围，并求出这三个单调区间． 错解 f′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f′(x)>0，得3ax2
m ＋1 是二次函数，它的对称轴为x＝ .又因为m <0，
m
所以函数f(x)在x∈－∞，m
＋m 1上是增函数，
在x∈m
＋m 1，＋∞上是减函数．
错解分析 此题要求的是函数f(x)的单调区间，而错 解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函
数f′(x)的单调区间取代f(x)的单调区间，它们的单 调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的． 正解 (1)略．
(2)f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n ＝3m (x－1)x－1＋m2 ， 当m <0时，1>1＋ 2 .
m
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如下表：
x
(,1 2 ) 1＋ 2 (1 2 ,1)
1 (1，＋∞)
m
m
m
f′(x)
－
f(x) 单调递减
0
极小 值
＋
0
－
单调递增
极大 值
单调递减
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．
若a<0时，f′(x)<0，得3ax2＋1<0，解得x2>－ 1 ， 3a
所以x>
1 － 或x<－
3a
1 －.
3a
综上所述，a>0时，函数f(x)在R上为增函数；a<0时，函数
f(x)在－∞，－
－31a和
－31a，＋∞上为减函数．
错解分析 题意是求恰有三个单调区间时a满足的条
1 羟基的反应
(1)取代反应
⊙醇与浓的氢卤酸（HCI、HBr、HI）发生反应时分
子中的碳氧键断裂，羟基被卤原子取代，生成相应的
卤代烃和水
△
C2H5OH + HBr
C2H5Br + H2O
⊙在酸做催化剂及加热下，醇发生分子间的取代生 成醚和水
(2)消去反应
含有 B－H醇在浓硫酸及一定温度下能发 生消去反应生成烯烃