几个常见函数的导数 PPT

;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2

k1＝y |xx0 cos x0 , k2＝y |xx0 sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相 垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如 何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件 是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的 距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).

1 （8）(ln x ) x
1 x ln a
例2 根据基本函数的导数公式和导数运算法则， 求函数y=x3 2 x 3的导数。
解：y ' =（x 2 x 3） '
3
（x ）（ ' 2 x）（ ' 3） '
3
3x 2。
2
练习：求下列函数的导数：
(1) y 2e
1、熟记以下导数公式：
（1） （C)‘=0
（2）( x
( 3)
) x 1 (sin x) cos x

x
x
1、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x);
2、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x);
y c(
c 是常数)的导数。
y 0 常数的导数等于零 x 0 x 2 、求函数 y x 的导数。 y y lim lim 1 1. x 0 x x 0 y lim
y lim (2 x x) 2 x. x x0 1 y 1 1 4 函数 y f ( x) , 的导数 f ( x) lim lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x x lim 3 函数 y f ( x) x , 的导数 f ( x) x 0
从图知:当x<0时，函数减少得快； 当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
1 (3) y 2 x
(4) y x

函 数 的 和、差、积、商
的 导 数
常见函数的导数
1、常函数：
C 0
特别： 特别：
2、一次函数： (kx b) k
n 1 3、幂函数： ( x ) nx n
x 1
( x 2 ) 2 x
1 1 ( ) 2 x x
4、指数函数：(a
x
) a ln a(a 0且a 1)
1 ( A) x x 1 ( B) x (C ) 2 x
3
1 ( D) 2x3
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , ) 4 4 2 2 4 2 4
例:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足
(1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
3 2 (2) s (t ) t 12t 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
2
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是 否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). y 12x 3 6 x 2 18x ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. y 3x4 2x3 9x2 4 ( 2)由 3 x 4 2 x 3 9 x 2 12x 4 0, y 12x 8

练习：求下列函数的导数
3 1 (1)y＝ 2 (2)y＝ x x
(1)y′＝－2x
x
－3
(3)y＝2
x
(4)y＝log2x
1 2 (2)y′＝ x－ 3 3 1 (4)y′＝ xln2
(3)y′＝2 ln2
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例2.已知y
x，1)求y ;
2.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2 上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切 线方程。
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四、小结
1 1.会求常用函数 y c, y x, y x , y , x
2
的导数.其中: 公式1: C 0 (C为常数) .
• [点评] (1)用导数的定义求导是求导数的 基本方法，但运算较繁．利用常用函数的 导数公式，可以简化求导过程，降低运算 难度． • (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的 特征，恰当地选择求导公式，将题中函数 的结构进行调整．如将根式、分式转化为 指数式，利用幂函数的求导公式求导．
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说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x ) | x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
2)求曲线在点（ ， 11 ）处的切线方程. x 解：1）y x x x x x x y 1 1 y lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x

5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
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说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) t an , (为倾角 )
过( x0 , f ( x0 ))的 切线方程为
y
y f ( x)
x x 2 cos(x ) sin , 2 2
y x 2 f ( x ) (sinx ) lim limcos(x ) lim x 0 x x 0 2 x 0 x 2 cos x 1 cos x . 同理可证,公式4: (cos x ) sin x .
1 若f ( x) ln x, 则f ( x) x
几种常见函数导数
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psz05ntr
堂。放学后，你俩不要乱跑，就在学堂门口等着，爹爹会去接你们。”懂事的李根点头答应：“娘，你放心，我会记着锁了门带上妹妹去 学堂的。放学后，我一定拉着妹妹在学堂门口等着爹爹来接！”女儿小腊梅奇怪地问：“娘，放学后，爹爹要接我们去哪里啊？”李妻亲 亲她的小脸蛋，笑着说：“到时候你们就知道了。好好读书啊！”然后，夫妻俩就匆匆地出门了。他们先去早早就开市的菜市场上采购了 三鲜馅儿料、割了二斤猪肉、买了一只卤鸡，以及各色鲜菜，然后就一路疾走，径直往耿正兄妹三人租住的小院儿去了。当他们来到小院 儿的门口时，还不到兄妹三人平常的出门时间呢！耿正听到敲门声赶来开门，吃惊地看到气喘吁吁的李老乡夫妇提着大包小包站在门口， 不解地问：“叔叔婶子，你们这是？”李妻嘴快，喘着气儿高兴地说：“今儿个是八月十五，咱们一起过节！你们只管去铺子做事去，这 饺子我来包，菜也由我来做就行了！”李老乡接着说：“还有啊，你们兄妹仨晚上都去我们那边赏月，吃月饼去！”耿正还没有来得及答 话，耿英和耿直也跑过来了。快嘴耿直高兴地说：“哎呀，这要不是叔叔婶子提醒，今年的八月十五又给忘记了，月饼也又要照常给省了 呢！”耿直说着，赶快从李老乡夫妇俩手里接过大包小包，和姐姐一起提了放到厨房里。耿正忙将李老乡夫妇往正屋的厅房内让，笑着说： “可不是啊，我们三个又把这八月十五节给忘记了！”耿英和耿直放了东西以后也赶快过厅房里来。耿英笑着说：“时间过得真快啊，这 又到八月十五节了！也是，这过不惯了，真就记不起来了呢！”耿直则高兴地说：“有叔叔和婶子在，我们今年终于又有八月十五节过 了！”耿英不好意思地说：“只是这又要麻烦婶子了！”李妻高兴地笑着说：“麻烦啥啊，婶子高兴还来不及呢！”于是，兄妹三人也就 不再客气，和李老乡一起高高兴兴地去铺子了。临近中午时，李老乡去隔壁的小饭店里对掌柜的说：“实在抱歉！我们今儿个不过来吃饭 了，要回家吃过节的饺子去！”掌柜的笑着说：“咱们饭铺里也可以定做啊，你要早说就好啦！”李老乡也笑着说：“嗨，您就别提啦， 我家婆姨非要自己做呢！”掌柜的笑着点头：“理解理解，李掌柜的是家有贤妻啊！”告辞出来后，李老乡直接奔小学堂接一双儿女去了。 小学堂在店铺与李老乡的家之间，所以李妻让娃娃们不要回家，就在学堂门口等着接。那天的午饭非常丰盛，除了特大个儿的三鲜饺子之 外，李妻还做了包括卤鸡在内的六个荤素凉菜和热菜。可以想见，她独自一人那一上午有多么得忙活啊！耿正兄妹三人虽然吃得很香，但 心里边老大过意不去。耿英说：“婶子，你包饺子已经很不容易了，怎么还做了这么多菜啊！”又对李老乡说：“我说叔啊，您

几个常用函数的导数
几个常用函数的导数
思维导航
1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2

THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。

基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则
欢迎大家来到本次有关基本初等函的导数公式及导数的运算法则的PPT，今 天我们将一起探讨一下这个精彩的话题。
导数的概念
1 什么是导数
导数是描述函数变化快慢程度的量，通俗点 来说，就是求出函数在某一点上的瞬时变化 率。
2 导数的作用
导数可以用来描述曲线的斜率，也可以在研 究函数极值、最值和曲线趋势等问题时，提 供有效的参考和工具。
一阶导数的定义
1 什么是一阶导数
一阶导数是函数在某一点处的导数，也叫做函数f(x)在x点的导数。
2 一阶导数的几何意义
一阶导数表示曲线在该点切线的斜率，也可用于研究函数在该点的单调性。
导数的几何意义
导数与曲线的切线
导数描述了曲线在某一点处切线的斜率，可以通过 求导数来求出切线的斜率，从而确定切线方程。
导数的乘积法则
两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函 数乘以第二个函数的导数，即(fg)'=f'g+fg'。
导数的商法则
两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方，即(f/ g)'=(f'gg'f)/ g²。
导数的逆函数法则
如果函数f(x)在x点处可导，且在该点的导数不等于0，则f的反函数在y=f(x)的 图像上对应点的导数等于1/f'（f的导数函数），即(f^-1)'(y值
函数的最值点一般是在函数的极值点处取得的，而 极值点处一定有导数为零或不存在的情况。
导数的物理意义
速度
在物理学中，导数也可以用来描述运动过程中物体 的瞬时速度，即单位时间内走过的路程。