导数常见组合函数的图像

以下是一些常见函数的导数：
1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。

2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。

4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。

5. 三角函数：
* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。

* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。

* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。

6. 反三角函数：
* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。

* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。

* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。

7. 双曲函数：
* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。

* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。

8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为
f'(x)=nax^(n-1)。

9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。

这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。

常见函数的导数公式表
以下是一些常见函数的导数公式：
1. 常数函数 y=c 的导数为 y'=0
2. 幂函数y=x^μ 的导数为y'=μα^(μ-1)
3. 指数函数 y=a^x 的导数为 y'=a^x lna
4. 对数函数 y=logax 的导数为 y'=loga e/x
5. 三角函数 y=sinx 和 y=cosx 的导数分别为 y'=cosx 和 y'=-sinx
6. 反三角函数 y=arcsinx 和 y=arccosx 的导数分别为y'=1/√(1-x^2) 和
y'=-1/√(1-x^2)
7. 双曲函数 y=sh x 和 y=ch x 的导数分别为 y'=ch x 和 y'=sh x
8. 自然对数函数 y=lnx 的导数为 y'=1/x
9. 幂函数 f(x)=x^n 的导数为 f'(x)=nx^(n-1)，当 n 为正整数时
10. 和差积的导数：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'
以上是基本初等函数的导数公式，对于其他复杂的函数，可以通过复合函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和双曲函数的导数进行推导。

高等数学公式大全及常见函数图像文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

第3章　§3.2　导数的运算3.2.1　常见函数的导数学习目标1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝kx ＋b ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝ 的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.1x问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　幂函数与一次函数的导数思考1　函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答案　当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快.思考2你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(12x)1212x答案　f′(x)＝(x n)′＝nx n－1.梳理　(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数).(2)(x±)′＝±x±－1(±为常数).知识点二　基本初等函数的求导公式思考计算过程cosÀ6′＝－sin À6＝－12正确吗？ 答案 不正确.因为cos À6＝32为常数，其导数为0.梳理　原函数导函数f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a xln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝f (x )＝ln x f ′(x )＝f (x )＝x ±(±为常数)f ′(x )＝±x±－11x ln a1x4.若f (x )＝1x 2，则f ′(x )＝－2x 3.( )3.sin À3′＝cos À3＝12.( ) 2.(ln x )′＝1x .( )1.(e x)′＝e x.(　　)[思考辨析判断正误]√×√√题型探究类型一　利用导数公式求函数的导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝x12；解　y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y＝1x4；解y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4 x5.(3)y＝5x3；解y′＝(5x3)′＝(35x31535x2535x2535x(4)y ＝2sin x 2cos x2；解 ∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ＝；解 y ′＝()′＝1x ln 12＝－1x ln 2. (6)y ＝3x.解　y ′＝(3x)′＝3xln 3.12log x 12log x反思与感悟　若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.(1)f (x )＝；解f ′(x )＝ 12x ′＝12xln12＝－2－xln 2；跟踪训练1　求下列函数的导数：解 f ′(x )＝( )′＝1x ln 2＝2x ln 2；(2)f (x )＝2－x；(3)f (x )＝e 2；解　f ′(x )＝(e 2)′＝0；(4)f (x )＝cos x .解　f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x .2log x 2log x类型二　导数公式的综合应用命题角度1　利用导数公式解决切线问题例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－12.所以切点为－12，14.所以所求切线方程为y－14＝(－1)x＋12，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则在点x＝x0处的导数为2x0，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.所以切点为M12，14.所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2　已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，即sin 2x0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.命题角度2　利用导数公式求最值问题例3　求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20).∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为12，14，∴所求的最短距离d ＝12－14－22＝728.反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3　已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大.¼AOB 解　设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，∴AB 为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，故点M (1,1)即为所求弧 上的点，使△ABP 的面积最大.¼AOB达标检测解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e .1.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝___.1e2.下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的结论是____.④解析由求导公式知，(sin x )′＝cos x ，1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，故④正确.3.在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为_____.依题意，得－8x －30＝tan 135°＝－1，∴x 0＝2. (2,1)解析　y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，设点P (x 0，y 0)，又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.4.设正弦函数y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围为_______________.∴－1≤k l ≤1，∴±l ∈ 0，À4∪3 À4，À. 0，À4∪3 À4，À解析　∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，x2 x ＝32x32x解∵y＝1x5＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－5x6.(1)y＝cos À6；解　y′＝0.(2)y＝1x5；5.求下列函数的导数.(3)y＝x2x；1232x解∵y＝解∵y ＝cosÀ2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)y ＝lg x ；(6)y ＝cosÀ2－x .解 y ′＝1x ln 10.(5)y ＝5x；解　y ′＝5xln 5.1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.规律与方法如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x 2＝cos x ，。

高等数学公式导数公式：基本积分表:三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz ）公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

第7讲导数中的5种同构函数问题【考点分析】考点一：常见的同构函数图像八大同构函数分别是：xy xe =，x x y e =，x e y x =，ln y x x =，ln x y x =，ln xy x=，1--=x e y x ，1ln --=x x y 我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．图1图2图3图4图5图6图7图8考点二：常见同构方法（1）()ln e e;ln ln exx xxx x x x +=+=（2）ln :ln lnx x x xe e e x x x x-=-=（3）()22ln 2e e ;2ln ln ex x xxx x x x +=+=（4）2ln 2ln 22,x xx x x x e e e e x x--==【题型目录】题型一：利用同构解决不等式问题题型二：利用同构求函数最值题型三：利用同构解决函数的零点问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：利用同构解决不等式问题【例1】（2022·河南·模拟预测（理））不等式2ln ln 2x x >的解集是（）A ．()1,2B ．()2,4C ．()2,+∞D ．()4,+∞【答案】B 【解析】【分析】结合不等式特点，构造函数，研究其单调性，从而求出解集.【详解】设()()ln 0x f x x x =>，则()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>；当e x >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上是增函数，在()e,+∞上是减函数．原不等式可化为ln ln 22x x >，即()()2f x f >，结合()()24f f =，可得24x <<，所以原不等式的解集为{}24x x <<．故选：B【例2】（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知1a >，1b >，则下列关系式不可能成立的是（）A ．e ln ≤b a abB ．e ln ≥b a abC ．e ln ≥b a b aD ．e ln ≤b a b a【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()ln 0=->f x x x x ，利用导数判断其单调性可判断AB ；构造函数()e =xg x x，()ln x h x x =，利用导数判断单调性可判断CD.【详解】对于e ln ≤b a ab ，两边取对数得()()ln e ln ln ≤ba ab ，即()ln ln ln ln -≤-b b a a ，构造函数()()ln 0=->f x x x x ，()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 是单调递增函数，当01x <<时，()0f x ¢<，()f x 是单调递减函数，若1ln <≤b a ，则()ln ln ln ln -≤-b b a a ，即e ln ≤b a ab ，故A 正确；若1ln <≤a b ，则()ln ln ln ln -≥-b b a a ，e ln ≥b a ab ，故B 正确；构造函数()e =xg x x，()ln x h x x =，()()2e 1e -'==xx x g x x x，当1x >时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，所以()()1e >=g x g ，()21ln xh x x -'=，当e x >时，()0h x '>，()h x 单调递减，当0e x <<时，()0h x '<，()h x 单调递增，()()1e eh x h ≤=，所以1x >时()>g x ()h x ，即e ln >b ab a，所以e ln ≥b a b a 成立，e ln ≤b a b a 不可能成立，故C 正确D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式成立与否.【例3】（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知0x y π<<<，且e sin e sin y x x y =，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A ．4y π<B ．2x y π+<C ．cos cos 0x y +>D ．sin sin x y>【答案】C 【解析】【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.【详解】因为e sin e sin y x x y =，所以sin sin e ex y x y=，令sin ()e t t g t =，所以()()g x g y =，对函数sin ()(0,)e ttg t t π=∈，求导：2e cos e sin cos sin ())(e e t t t tt t t t g t --'==，由()0g t '>有：(0,)4t π∈，由()0g t '<有：(,)4t ππ∈，所以sin ()e t t g t =在(0,)4π单调递增，在(,)4ππ单调递减，因为0x y π<<<，由()()g x g y =有：04x y ππ<<<<，故A 错误；因为0x y π<<<，所以e e y x >，由sin sin e ex y x y=有：sin sin y x >，故D 错误；因为04x y ππ<<<<，所以cos 0x =>，|cos |y =因为sin sin y x >，所以cos |cos |x y >，所以cos cos 0x y +>，故C 正确；令()()()2h t g t g t π=--有：()()()2h t g t g t π'''=--=cos sin e t t t -+2sin cos e tt tπ-=22(sin cos )(e -e)et tt t ππ--，当0t π<<，()0h t '>恒成立.所以()()()2h t g t g t π=--在(0,)π单调递增，当04x π<<时，()()()02h x g x g x π=--<，即()()2g x g x π<-，又()()g x g y =，所以()()()2g x g y g x π=<-，因为04x y ππ<<<<，所以(,242x πππ-∈，因为sin ()e t t g t =在(,)4ππ内单调递减，所以2y x π>-，即2y x π+>，故B 错误.故选：C.【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）若x ，(0,)∈+∞y ，ln e sin y x x y +=+，则（）A ．ln()0x y -<B ．ln()0y x ->C ．e yx <D ．ln y x<【答案】C 【解析】【分析】利用sin y y >可得ln e y x x y +<+，再利用同构可判断,e y x 的大小关系，从而可得正确的选项.【详解】设()sin ,0f x x x x =->，则()1cos 0f x x '=-≥（不恒为零），故()f x 在(0,)+∞上为增函数，故()()00f x f >=，所以sin x x >，故sin y y >在(0,)+∞上恒成立，所以ln e e ln e y y y x x y +<+=+，但()ln g x x x =+为(0,)+∞上为增函数，故e y x <即ln x y <，所以C 成立，D 错误.取e x =，考虑1e e sin y y +=+的解，若e 1y ≥+，则e 1e e 5e 21e sin y y +≥>>+≥+-，矛盾，故e 1y <+即1y x -<，此时ln()0y x -<，故B 错误.取1y =，考虑ln e sin1x x +=+，若2x ≤，则1ln 2ln 23e e sin12x x +≤+<<+<+，矛盾，故2x >，此时1->x y ，此时ln()0x y ->，故A 错误，故选：C.【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.【例5】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知a 、R b ∈，2e ln 0a a a +=，1ln ln 1b b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则（）A ．e a ab b <<B ．e a ab b<=C ．e a b ab<<D ．e a b ab=<【答案】B 【解析】【分析】由2e ln 0a a a +=可得出11e ln aa a a=，构造函数()e x f x x =可得出ln 0a a +=，可得出e 1a a =，由1ln ln 1b b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得出11ln e bb b b +=+，构造函数()e x g x x =+可得出11ln 0b b +=，然后构造函数()ln h x x x =+可得出1a b=，再对所得等式进行变形后可得出合适的选项.【详解】由2e ln 0a a a +=可得111e ln aa a a a a=-=，由题意可知0a >，构造函数()e x f x x =，其中0x >，则()()1e 0xf x x '=+>，所以，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，由1ln 111e ln e ln aa a a a a==可得()1ln f a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，ln a a =-，由0a >可得ln 0a <，则01a <<，且ln 0a a +=，①由1ln ln 1b b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得11ln e b b b b +-=，则11ln e bb b b +=+，由题意可知0b >，构造函数()e x g x x =+，其中0x >，则()1e 0xg x '=+>，所以，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，由11ln e b b b b +=+，即1ln 1ln e e bb b b+=+，可得()1ln g b g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，1ln b b =，由1ln 0b b =>可得1b >，且11ln b b =-，则11ln 0b b+=，②令()ln h x x x =+，其中0x >，则()110h x x'=+>，所以，函数()h x 在()0,∞+上为增函数，由①②可得()10h a h b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，1a b =，可得1ab =，由()ln ln ln e 0a a a a lne a a +=+==可得e 1a a =，则1e ab a==，因为01a <<，则1e a ab b =<=，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查指对同构问题，需要对等式进行变形，根据等式的结构构造合适的函数，并利用函数的单调性得出相应的等式，进而求解.【题型专练】1.（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知0a b >>，且满足ln ln a b b a =，e 为自然对数的底数，则（）A ．e e e a b b <<B ．e e e b a b <<C ．e e e b a b <<D ．e e e a bb <<【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()ln ,0xf x x x=>，利用导函数研究函数的单调性判断即可.【详解】解：因为e x y =在R 上单调增，0a b >>，所以e e a b >，故A 、D 错误；构造函数()()ln ,0x f x x x =>，则()21ln 0xf x x '-==，e x =，当()0,e x ∈时，()0f x '>，()f x 单调增，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调减，因为ln ln a b b a =，ln ln a ba b=，即()()f a f b =，又0a b >>，所以0e b <<，e a >，ln 0a >，ln ln 0a b b a =>，所以1e b a <<<，所以ln ln eeb b <，eln ln e b b <，e ln ln e b b <，即e e b b <，所以e e e a b b <<，故B 正确.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习（理））设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】由于ln2020ln 2021ln2021ln 2022a b =，所以构造函数()()2ln 1xf x x e x =≥+，利用导数判断其为减函数，从而可比较出()()202020210f f >>，进而可比较出,a b 的大小，同理可比较出,b c 的大小，即可得答案【详解】∵ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1xf x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+，令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，∴()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<，∴()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()202020210f f >>，∴()()2020ln 1ln 2021f a b f =>∴ln ln a b >.∴a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A3．（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）已知0a b >>，下列不等式，成立的一个是（）A ．33a b a b ->-B ．ln ln a b a b->-C ．sin sin a b a b ->-D ．e e a b a b->-【答案】D 【解析】【分析】在0x >时，构造函数3(),()ln ,()sin ,()e x f x x x g x x x h x x x x x ϕ=-=-=-=-，探讨它们的单调性即可分别判断选项A ，B ，C ，D 作答.【详解】因3333a b a b a a b b ->-⇔->-，则令3()f x x x =-，0x >，2()31x f x '=-，显然函数()f x 在上递减，在()3+∞上递增，即函数()f x 在(0,)+∞上不单调，而0a b >>，则不能比较()f a 与()f b 的大小，A 不是；因ln ln ln ln a b a b a a b b ->-⇔->-，则令()ln g x x x =-，0x >，1()1g x x'=-，显然函数()g x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，在(0,)+∞上不单调，而0a b >>，则不能比较()g a 与()g b 的大小，B 不是；因sin sin sin sin a b a b a a b b ->-⇔->-，则令()sin h x x x =-，0x >，()cos 10h x x '=-≤，函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，由0a b >>，得()()h a h b <，即sin sin a a b b -<-，C 不是；因e e e e a b a b a b a b ->-⇔->-，则令()e x x x ϕ=-，0x >，()e 10x x ϕ'=->，函数()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，由0a b >>，得()()a b ϕϕ>，即e e a b a b ->-，D 是.故选：D 【点睛】思路点睛：某些涉及数或式大小关系问题，细心探求变量关系，构造函数，利用函数的单调性求解.4．（2022·全国·高三专题）已知,x y 满足222e x x -=，4e ln 2y y=+（其中e 是自然对数的底数），则2x y =（）A ．4eB ．3eC ．2eD ．e【答案】A 【解析】【分析】对222e xx -=两边取对数，得22ln 2x x =-,再与4e ln 2y y =+相加整理得4422e e ln ln x x y y+=+，构造函数()ln g t t t =+，根据单调性，即可求解.【详解】解：222ex x -=,两边取对数得：22ln 2x x =-，又4e ln 2y y=+，两式相加得：422e ln ln 4x y x y+=-+，即444224e e e ln ln e ln ln x x y y y y +=-+=+，令()ln g t t t =+，故上式变为42e ()()g x g y=，易知()ln g t t t =+在()0,∞+上单调递增，故42e x y=，故24e x y =，故选：A5.（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知0πx y <<<，且e sin e sin y x x y =，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A ．co co s 0s x y +<B ．cos cos 0x y +>C ．cos sin x y >D ．sin sin x y>【答案】B 【解析】【分析】构造()sin ex xf x =，0πx <<，求导研究其单调性，判断出D 选项，利用同角三角函数关系得到AB 选项，构造差函数，得到π2x y >-，从而判断出C 选项.【详解】构造()sin e xx f x =，0πx <<，则()sin 0e x xf x =>恒成立，则()cos sin e xx xf x -'=，当π04x <<时，cos sin x x >，()cos sin 0e xx x f x -'=>，当ππ4x <<时，cos sin x x <，()cos sin 0e x x xf x -'=<所以()sin e x x f x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，因为0πx y <<<，所以π0π4x y <<<<，0e e x y <<，又sin sin 0e ex y x y=>，所以0sin sin x y <<，D 错误，因为π0π4x y <<<<，所以cos 0x =>，cos y 所以cos cos x y >，所以cos cos 0x y +>，A 错误，B 正确.令()()π2g x f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()π2ππ22sin cos e e πcos sin sin cos 2e e e x xx x x x x x x x g x f x f x --⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=+= ⎪⎝'⎭''当0πx <<时，()0g x '>恒成立，所以()()π2g x f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,π上单调递增，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()π02g x f x f x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为()()f x f y =，所以()π2f y f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭因为π0π4x y <<<<，所以ππ24x ->，因为()f x 在在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以π2y x >-，即π2x y >-因为()cos x x ϕ=在()0,π上单调递减，所以πcos cos sin 2x y y ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，C 错误故选：B 【点睛】结合题目特征，构造函数，利用函数单调性比较函数值的大小，是比较大小很重要的方法，本题中构造()sin e xxf x =进行求解.6.（2022·福建·三明一中模拟预测）己知e 为自然对数的底数，a ，b 均为大于1的实数，若1e ln a a b b b ++<，则（）A ．1e a b +<B ．1e a b +>C ．eab <D ．eab >【答案】B 【解析】【分析】由题意化简得到e ln e ln e e a ab b<，设()ln f x x x =，得到(e )()ea b f f <，结合题意和函数()f x 的单调性，即可求解.【详解】由1e ln a a b b b ++<，可得1eln (ln 1)lnea b a b b b b b b +<-=-=，即e ln e ln e e a ab b <，设()ln f x x x =，可得(e )()eab f f <，因为0a >，可得e 1a >，又因为(ln 1)0,0b b b ->>，所以ln 1b >，即e b >，所以1eb>，当1x >时，()ln 10f x x '=+>，可得函数()f x 在(1,)+∞为单调递增函数，所以e eab<，即1e a b +>.故选：B.题型二：利用同构求函数最值【例1】（2022·四川省通江中学高二期中（文））已知函数()()e ,ln xf x xg x x x ==，若()()(0)f m g n t t ==>，则ln mn t ⋅的取值范围为（）A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先求得,m n 的取值范围，然后化简ln mn t ⋅，结合导数求得ln mn t ⋅的取值范围.【详解】由于()()(0)f m g n t t ==>，即e ln 0m m n n t ==>，所以0,1m n >>，当0x >时，()()()'1e 0,xf x x f x =+⋅>递增，所以()f m t =有唯一解.当1x >时，()()'1ln 0,g x x g x =+>递增，所以()g n t =有唯一解.由e ln m m n n =得ln e e ln ln m n m n m n ⋅=⋅⇒=，所以()()ln ln ln ln mn t n n t t t ⋅=⋅=.令()()'ln ,1ln h t t t h t t ==+，所以()h t 在区间()()'10,,0,e h t h t ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,,0,e h t h t ⎛⎫+∞> ⎪⎝⎭递增.所以()11e e h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，所以ln mn t ⋅的取值范围为1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D 【点睛】本题要求ln mn t ⋅的取值范围，主要的解题思路是转化为只含有一个变量t 的表达式，然后利用导数来求得取值范围.在转化的过程中，主要利用了对数、指数的运算.【例2】（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知函数()()ln 1f x x x =+-，()ln g x x x =，若()112ln f x t =+，()22g x t =ln t 的最小值为（）A ．21e B ．1e-C ．12e-D ．2e【答案】B 【解析】【分析】通过()f x 、()g x 解析式，()()12f x g x 、的值求得122x x x -关于t 的表达式，结合导数求得所求的最小值.【详解】()f x 的定义域为()1,+∞，所以11x >，11e 1x ->.()112ln 0f x t t =+⇒>.()112ln f x t =+，()2111ln 1ln x x t -+-=，则()()1111ln 1121e 1e x x x x t -+--=-=，又因为()22g x t =，所以()111111221ln 1e e ln e x x x x x x ---=-=，令()ln h x x x =，则()()112e x h x h -=，()'ln 1h x x =+，当1x >时，()'0h x >，()h x 递增，所以112e x x -=ln ln ln ln t t t t t ===，()ln h x x x =，()'ln 1h x x =+，所以()h x 在区间()()'10,,0,e h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,,0,e h x h x ⎛⎫+∞> ⎪⎝⎭递增，所以()h x 的最小值为11e e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即B 选项正确.故选：B 【点睛】含参数的多变量的题目，结合方法是建立变量、参数之间的关系式，主要方法是观察法，根据已知条件的结构来进行求解.【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a ，b 满足22ln a nb b e a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则正整数n 的最大值为（）．A ．7B ．9C ．11D ．12【答案】B 【解析】【分析】将已知条件变形为22ln an n b e b a<，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出n 的最大值即可.【详解】解：易知22ln n a n b b e a <等价于22ln an n b e b a<．令()()2ln 1n xf x x x =>，则()()()121ln 2ln ln 2ln n n n x x n x x n x f x x x -+⋅--'==．令()0f x '=得2n x e =．当()0f x '>时()21,n x e ∈；当()0f x '<时()2,n x e ∈+∞．所以()f x 在()21,n e 上单调递增，在()2,n e +∞上单调递减，则()f x 有最大值()2222nn f e e⎛⎫ ⎪⎝⎭=．令()()21xn e g x x x =>，则()()212x n e x n g x x+-'=．当12n ≤时不符合，舍去，所以12n>．则()0g x '=，2nx =．当()0g x '>时2n x >；当()0g x '<时12n x <<．所以()g x 在1,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()g x 有最小值22nn n e g n ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．若22ln an n b e b a<成立，只需()22n n f e g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2222nn e n e n ⎛⎫⎪⎝⎭≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，即222n n n e -+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．两边取自然对数可得()22ln 2n n n +≥-．当2n =时等式成立；当3n ≥时有2ln 22n nn +≥-．令()2ln 22x xx x ϕ+=--，本题即求()0x ϕ>的最大的正整数．()()24102x xx ϕ-'=-<-恒成立，则()x ϕ在[)3,+∞上单调递减．因为()58ln 403ϕ=->，()1199ln 1.5714 1.51072ϕ=-≈->，()310ln 502ϕ=-<，所以()0x ϕ>的最大正整数为9．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川绵阳·高二期末（理））已知函数()e x f x x =+，()e x g x x =，若1()ln f x k =，2()g x k =，则12ln e x x k +的最小值是（）A ．1e --B ．1e -C ．2e -D ．2e --【答案】A 【解析】【分析】先通过中间量k 找到12,x x 的关系，然后反带回去，将代求表达式表示成关于k 的函数来求解.【详解】依题意得，20,0k x >>，112211122222()ln e ln e ln ln e ln ()e x x x x f x k x k x k x x x g x k x k ⎧=+=⎧⎪⇒⇒+===+⎨⎨==⎪⎩⎩，于是12ln 1222e ln e ln x x x x x x +=+=+，设()e x h x x =+，显然()h x 在R 上单调，于是12()(ln )h x h x =，根据()h x 单调性可知12ln x x =，故12e x x =，于是212122e e e e x x x x xx k +===，故12ln e ln x x k k k +=，在令()ln p k k k =，()1ln p k k '=+，于是10e ,()0,()k p k p k -'<<<递减，1e ,()0,()k p k p k -'>>递增，故1e k -=，()p k 取得最小值1e --.故选：A2.（2022·全国·高二期末）已知函数()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=，若()()21212ln ,f x t g x t =+=，则()2122ln -x x x t 的最小值为（）A ．1e-B ．12e-C ．21e D ．2e【答案】A 【解析】【分析】由已知条件可推得121ln 212(1)e e ln x x t x x -=-=⋅，即有21ln 1x x =-，结合目标式化简可得()22122ln ln x x x t t t -=⋅，令()ln h u u u =⋅，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为()2122ln -x x x t 的最小值．【详解】()()111ln 112ln f x x x t =+-=+，所以()2111ln 1ln x x t -+-=，则()1121ln 1e ln x x t --=．于是()()112212221e ln ,x x t g x x x t --===．所以()121ln 12221e ln e ln x x x x x x --==．构造函数e x y x =，易知当0x >时，e x y x =单调递增．所以，121ln x x -=．于是()()222221222122ln 1ln ln ln ln -=-==x x x t x x t x x t t t ，令20=>u t ，则1()ln ,()ln e 1,0h u u u h u u h ''⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．()h u 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．所以min e 1()e 1h u h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即()2122min1l e n x x x t ⎡⎤-=-⎣⎦．故选：A题型三：利用同构解决函数的零点问题【例1】（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数()log xa f x a x =-（0a >且1a ≠）有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1e1,e B ．()1e e ,eC．(D．(1e e 【答案】A 【解析】【分析】解法一：令()0f x =，得log xa a x =，进而得到y x a y a x +=+．令()x g x a x =+，由其单调性得到x y =，即x a x =，进而转化为ln ln x a x=，利用导数法判断；解法二：令()0f x =，得log xa a x =，进而得到y x a y a x +=+．令()xg x a x =+，由其单调性得到x y =，即x a x =，然后利用导数的几何意义求解判断.【详解】解法一：通过选项判断可知1a >，令()0f x =，得log xa a x =，由log x a y a y x ⎧=⎨=⎩，得x yy a a x ⎧=⎨=⎩，所以y x a y a x +=+．令()xg x a x =+，则()()g x g y =，且()g x 在()0,∞+上单调递增，所以x y =，即x a x =，所以ln ln x a x =，即ln ln xa x=，令()ln xg x x=，()21ln x g x x -'=，∴()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则()()max 1e g x g e==，又1x >时，()ln 0xg x x=>，且()10g =，画出()g x大致图像，可知10ln ea <<，则1e 1e a <<．故选：A ．解法二：通过选项判断可知1a >，令()0f x =，得log xa a x =，由log x a y a y x⎧=⎨=⎩，得x y y a a x ⎧=⎨=⎩，所以y x a y a x +=+．令()xg x a x =+，则()()g x g y =，且()g x 在()0,∞+上单调递增，所以x y =，即x a x =，当直线y x =与x y a =图像相切时，设切点为()00,x y ，由ln xy a a '=，则有0001x x a lna a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0ln 1x a =，则01log e ln a x a ==．又00x a x =，即log elog e a a a =，则log e e a =，∴1e e a =．要使得直线y x =与x y a =图像有两个交点，则1e 1e a <<，故选：A ．【例2】（2022·全国·高三专题）已知函数()()x x a xe x f x +-=ln 2有两个零点，则a 的最小整数值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先将函数化为ln ()e 2(ln )x x f x a x x +=-+，令ln t x x =+，进而只需说明()e 2tg t at =-在R 上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.【详解】ln ()e 2(ln )e 2(ln )x x x f x x a x x a x x +=-+=-+，设ln (0)t x x x =+>，110t x=+>'，即函数在()0,∞+上单调递增，易得R t ∈，于是问题等价于函数()e 2t g t at =-在R 上有两个零点，()e 2t g t a ='-，若0a ≤，则()0g t '>，函数()g t 在R 上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若0a >，则(),ln 2x a ∈-∞时，()0g t '<，()g t 单调递减，()ln 2,x a ∈+∞时，()0g t '>，()g t 单调递增.因为函数()g t 在R 上有两个零点，所以()()()min e ln 221ln 202g a a a g a t ==-<⇒>，而()010g =>，限定1t >，记()e t t t ϕ=-，()e 10tt ϕ='->，即()t ϕ在()1,+∞上单调递增，于是()()e 1e 10e ttt t t ϕϕ=->=->⇒>，则2t >时，22e e 24t tt t >⇒>，此时()()22844t t g t at t a >-=-，因为2ea >，所以84e 1a >>，于是8t a >时，()0g t >.综上：当2ea >时，有两个交点，a 的最小整数值为2.故选：C.【题型专练】1.（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a 的方程6e ae a =和关于b 的方程()132ln -=-λe b b （R b a ∈λ,,）可化为同构方程，则λ=________，()ln ab =________．【答案】38【解析】【分析】两个方程分别取自然对数，转化后由同构的定义求得λ，然后利用新函数的单调性得,a b 关系，从而求得ab【详解】对6e e a a =两边取自然对数得ln 6a a +=①．对()31ln 2e b b λ--=两边取自然对数得ln b +()ln ln 231b λ-=-，即()ln 2ln ln 233b b λ-+-=-②．因为方程①，②为两个同构方程，所以336λ-=，解得3λ=．设()ln f x x x =+（0x >），则()110f x x'=+>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，所以方程()6f x =的解只有一个，所以ln 2a b =-，所以()()331ln 2ln 2e ab b b b b ⨯-==-=-8e =，故()8ln n 8l e ab ==．故答案为：3；8．2.（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数()()ln 11f x x x =+-+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()e ln xg x a x a =-+，若函数()()()F x f x g x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为()–1,0；单减区间为()0,∞+(2)()0,1【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出函数()f x 的单调区间；（2）同构处理，为设函数()e xh x x =+，则()()()ln ln 1h x a h x +=+，结合()e xh x x =+的单调性得到()ln ln 1a x x =+-有两个根，结合第一问中的结论，列出不等关系，求出a 的取值范围.(1)函数的定义域为{}–1x x >，()()()11,010,;0,011x f x f x x f x x x x -'=-='>-<<'<>++．函数()f x 的单调递增区间为()–1,0；单减区间为()0,∞+．(2)要使函数()()()F x f x g x =-有两个零点，即()()f x g x =有两个实根，即ln(1)1e ln x x x a x a +-+=-+有两个实根．即ln ln e ln(1)1x a x a x x +++=+++．整理为ln ln(1)ln ln(1e e )x a x x a x ++++=++，设函数()e xh x x =+，则上式为()()()ln ln 1h x a h x +=+，因为()e 10x h x =+>'恒成立，所以()xh x e x =+单调递增，所以()ln ln 1x a x +=+．所以只需使()ln ln 1a x x =+-有两个根，设()()ln 1M x x x =+-．由（1）可知，函数()M x ）的单调递增区间为()–1,0；单减区间为()0,∞+，故函数()M x 在0x =处取得极大值，()()max 00M x M ==．当1x →-时，()M x →-∞；当x →+∞时，()–M x →∞，要想()ln ln 1a x x =+-有两个根，只需ln 0a <，解得：01a <<．所以a 的取值范围是()0,1．题型四：利用同构解决不等式恒成立问题【例1】（2022·广东广州·三模）对于任意0x >都有ln 0x x ax x -≥，则a 的取值范围为（）A ．[]0,e B ．11e e ,e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)11,e e,e -⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(],e -∞【答案】B 【解析】【分析】()ln t f x x x ==，由导数的单调性求出()1e tf x =≥-，所以ln ln 0e ln 0x x x x ax x ax x -≥⇒-≥转化为：e 0t at -≥任意1et ≥-恒成立，令()e tg t at =-，分类讨论a 值，求出()min g t ，即可求出答案.【详解】ln ln 0e ln 0x x x x ax x ax x -≥⇒-≥，令()ln t f x x x ==，则()ln 1f x x '=+，所以()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()1111ln e e ee f x f ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，所以()1e t f x =≥-，所以ln 0x x ax x -≥转化为：e 0t at -≥，令()e t g t at =-，()e tg t a '=-，①当0a ≤时，()0g t '≥，所以()g t 在1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()111e e min11e 0e e e g t g a a --⎛⎫⎛⎫=-=--≥⇒≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11e e 0a --≤≤.②当0a >时，您()0g t '=，所以ln t a =，（i ）当1ln ea <-即1e e a -<时，()0g t '>，所以()g t 在1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，()111e e min 11e 0e e e g t g a a --⎛⎫⎛⎫=-=--≥⇒≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1e 0e a -<<.(ii)当1ln ea ≥-即1e e a -≥时，()g t 在1,ln e a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[)ln ,a +∞上单调递增，()()()ln min ln e ln 0ln 01ln 0a g t g a a a a a a a ==-≥⇒-≥⇒-≥，所以e a ≤，所以1e e e a -≤≤.综上，a 的取值范围为：11e e ,e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知e 是自然对数的底数.若[1,)x ∃∈+∞，使5e 6ln 0≤mx m x x -，则实数m 的取值范围为（）A ．1,6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．6,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．e ,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,6]-∞【答案】B 【解析】【分析】先讨论0m ≤时，不等式成立；0m >时，不等式变形为66ln e ln e mx x mx x ≤，构造函数()()e 0xf x x x =≥，由单调性得到6ln mx x ≤，参变分离后构造函数6ln ()xg x x=，求出()g x 最大值即可求解.【详解】当0m ≤时，5e 6ln 00,mx m x x ≤≥，显然5e 6ln 0mx m x x -≤成立，符合题意；当0m >时，由1≥x ，5e 6ln 0mx m x x -≤，可得6e 6ln 0mx mx x x -≤，即66e ln mx mx x x ≤，66ln e ln e mx x mx x ≤，令()()e 0x f x x x =≥，()()1e 0xf x x '=+>，()f x 在[)0,∞+上单增，又60,ln 0mx x >≥，故66ln e ln e mx x mx x ≤，即6()(ln )f mx f x ≤，即6ln mx x ≤，6ln x m x ≤，即[)1,x ∃∈+∞使6ln x m x ≤成立，令6ln ()xg x x=，则266ln ()xg x x -'=，当[)1,e x ∈时，()0,()'>g x g x 单增，当()e,x ∈+∞时，()0,()g x g x '<单减，故max 6()(e)e g x g ==，故60em <≤；综上：6em ≤.故选：B 【点睛】本题关键点在于当0m >时，将不等式变形为66ln e ln e mx x mx x ≤，构造函数()()e 0xf x x x =≥，借助其单调性得到6ln mx x ≤，再参变分离构造函数6ln ()xg x x=，求出其最大值，即可求解.【例3】（2022·宁夏中卫·三模（理））不等式e ln ax a x >在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．1(,)e+∞C ．1,)∞+（D ．(e,)+∞【答案】B 【解析】【分析】将e ln ax a x >变为e ln ax ax x x >即ln e ln e ax x ax x >⋅，构造新函数()e ,(0)x g x x x =>，利用其单调性得到ln ln ,xax x a x>>，继而求得答案.【详解】当0a ≤时，不等式e ln ax a x >在(0,)+∞上恒成立不会成立，故0a >，当(0,1]x ∈时，ln 0x ≤，此时不等式e ln ax a x >恒成立；不等式e ln ax a x >在(1,)+∞上恒成立,即e ln ax ax x x >在(1,)+∞上恒成立,而e ln ax ax x x >即ln e ln e ax x ax x >⋅，设()e ,()(1)e x x g x x g x x '==+，当1x >-时，()(1)e 0x g x x '=+>，故()e ,(1)x g x x x =>-是增函数，则ln e ln e ax x ax x >⋅即()(ln )g ax g x >，故ln ln ,xax x a x>>，设2ln 1ln (),(1),()x xh x x h x x x -'=>=，当1e x <<时，21ln ()0xh x x -'=>，()h x 递增，当e x >时，21ln ()0xh x x -'=<，()h x 递减，故1()(e)e h x h ≤=，则1e>a ，综合以上，实数a 的取值范围是1e>a ，故选：B 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解答时要注意导数的应用，利用导数判断函数的单调性以及求最值等，解答的关键是对原不等式进行变形，并构造新函数,这一点解题的突破点.【例4】（2022·陕西渭南·二模（文））设实数0λ>，对任意的1x >，不等式n e l x x λλ≥恒成立，则λ的最小值为（）A ．eB ．12eC ．1eD ．2e【答案】C 【解析】【分析】由题设有ln e e ln x x x x λλ⋅⋅≥，构造()e t f t t =⋅并利用导数研究单调性即可得(1,)x ∈+∞上ln xxλ≥恒成立，再构造ln ()xg x x=，(1,)x ∈+∞并应用导数求最值，即可得λ的最小值.【详解】由题设，ln ln e ln e x x x x x x λλ≥=⋅⋅，令()e t f t t =⋅，则在()(1)e 0t f t t '=+⋅>，所以()f t 单调递增，又()(ln )f x f x λ>，即(1,)x ∈+∞上ln x x λ≥，即ln xxλ≥恒成立，令ln ()x g x x=，(1,)x ∈+∞，则21ln ()xg x x -'=，所以，(1,e)上()0g x '>，则()g x 递增；(e,)+∞上()0g x '<，则()g x 递减；则1()(e)e g x g ≤=，故1eλ≥.【点睛】关键点点睛：根据同构形式结合导数研究()e t f t t =⋅的单调性，进而将问题转化为(1,)x ∈+∞上ln xxλ≥恒成立，再次构造函数求最值，确定参数范围.【例5】（2022·辽宁·高二期中）已知0a >，若在(1,)+∞上存在x 使得不等式e ln x a x x a x -≤-成立，则a 的最小值为（）A ．1eB ．1C ．2D ．e【答案】D 【解析】【分析】先利用ln =e a a x x 将不等式转化为ln e e ln x a x x a x -≤-，借助单调性得到ln ≤x a x ，参变分离后构造函数()(1)ln xf x x x=>，结合单调性求出最小值即可.【详解】∵ln ln e e aa x a x x ==，∴不等式即为：ln e e ln x a x x a x-≤-由0a >且1x >，∴ln 0a x >，设e x y x =-，则e 10x y '=->，故e x y x =-在(0,)+∞上是增函数，∴ln ≤x a x ，即ln x a x≥，即存在(1,)x ∈+∞，使ln x a x ≥，∴minln ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭x a x ，设()(1)ln x f x x x =>，则2ln 1(),(1,e),()0ln x f x x f x x ''-=∈<；(e,),()0x f x ∞'∈+>；∴()f x 在(1,e)上递减，在(e,)+∞上递增，∴min ()(e)e f x f ==，∴e a ≥．故选：D.【例6】（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知0a >，不等式22e ln 0aax x x x -≥对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．12eB ．2eC ．1eD ．e【答案】B 【解析】【分析】构造函数()e x f x x =，利用函数单调性可得2ln x a x≥，再构造函数ln (),(1)xg x x x =>，利用导数求出函数的【详解】不等式22ln 0aax xe x x -≥对任意的实数1x >恒成立22e ln a a xx x x∴≥令()e xf x x =()(1)e 0x f x x '∴=+>对任意的实数1x >恒成立2()(ln )af x f x ∴≥，ln 2a x x ∴≥，2ln x a x∴≥令ln (),(1)xg x x x=>21ln ()x g x x -'=令()0g x '=，解得ex =当1e x <<时，()0g x '>，函数单调递增当e x >时，()0g x '<，函数单调递减max 1()(e)eg x g ∴==21ea ∴≥，2e a ∴≤，所以实数a 的最大值为2e 故选：B 【题型专练】1.（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知0a <，不等式1e ln 0a x x a x ++≥对任意的实数2x >恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．2e -B ．e-C ．1e-D ．12e-【答案】B 【解析】【分析】首先不等式同构变形为e ln e ln x x a a x x --≥，引入函数()ln f x x x =，由导数确定单调性得e x a x -≥，分离参数变形为ln x a x-≤，再引入函数()ln x g x x =，由导数求得其最小值，从而得a 的范围，得最小值．【详解】不等式1e ln 0a x x a x ++≥可化为e ln x a a x x x --≥，即e ln e ln x x a a x x --≥，0a <，2x >，则1a x ->，e 1x >，设()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，1x >时，()0f x '>，()f x 是增函数，所以由e ln e ln x x a a x x --≥得e x a x -≥，ln x a x ≥-，ln x a x-≤，所以2x >时，ln xa x-≤恒成立．设()ln x g x x =，则2ln 1()ln x g x x'-=，2e x <<时，()0g x '<，()g x 递减，e x >时，()0g x '>，()g x 递增，所以min ()(e)e g x g ==，所以e a -≤，e a -≥．所以a 的最小值是e -．故选：B ．【点睛】难点点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，难点在于不等式的同构变形，然后引入新函数，由新函数的单调性化简不等式，从而再由变量分离法转化为求函数的最值．2.（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数()e ln()(0)x f x a ax a a a =-+->，，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,e 【答案】A 【解析】【分析】首先将不等式进行恒等变形，然后构造新函数，结合函数的性质即可求得实数a 的取值范围．【详解】由题意可得：e ln(1)ln 1xx a a >+++，ln e ln ln(1)1x a x a x x -∴+->+++，ln ln(1)e ln e ln(1)x a x x a x -+∴+->++，令()e x g x x =+，易得()g x 在(1,)+∞上单调递增，ln ln(+1)x a x ∴->，记()ln ln(+1)h x x a x =--，则()1111x x h x x =-=++',故当()1,0x ∈-时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增，故()()min 0ln h x h a ==-，故只需-ln 001a a >⇒<<故实数a 的取值范围为()01，．故选：A3.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）若对任意()1,x ∈-+∞，不等式()e ln 1ln 1xa x a -++≥恒成立，则实数a 的最小值是（）A ．1B ．2C ．eD ．3【答案】A 【解析】【分析】由()e ln 1ln 1-++≥x a x a 得()()ln 1ln e ln e ln 1+++≥+++x x ax x a ，令()e =+x F x x ，利用()F x 的单调性可得()ln ln 1+≥+a x x ，转化为对任意()1,x ∈-+∞时()ln ln 1≥+-a x x 恒成立，令()()()=ln 11+->-h x x x x ，利用导数求出()h x 的最值可得答案.【详解】由()e ln 1ln 1-++≥x a x a 得()()ln 1ln e ln e ln 1+++≥+++x x ax x a ，令()e =+xF x x ，因为e ,==x y y x 都是单调递增函数，所以()e =+xF x x 为单调递增函数，所以()ln ln 1+≥+a x x ，即对任意()1,x ∈-+∞时()ln ln 1≥+-a x x 恒成立，令()()()=ln 11+->-h x x x x ，()=1-'+xh x x ，当10x -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递减，所以()()0ln10≥==h x h ，所以ln 0≥a ，即1a ≥.故选：A.。

几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式函数的导数是用来描述函数在一点上的变化率。

对于常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式，以下是一些常见的公式和规则。

常见函数的导数公式：1.常数函数：导数为0。

即对于函数f(x)=C，其中C是常数，导数f'(x)=0。

2.幂函数：对于函数f(x)=x^n，其中n是一个实数，导数f'(x)=n*x^(n-1)。

3. 指数函数：对于函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，导数 f'(x) = a^x * ln(a)。

4. 对数函数：对于函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，导数 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数（sin(x)）、余弦函数（cos(x)）、正切函数（tan(x)），它们的导数分别为 sin'(x) =cos(x)、cos'(x) = -sin(x)、tan'(x) = sec^2(x)，其中 sec(x) = 1 / cos(x)。

基本初等函数的导数公式：1.常见的常数导数公式：即常数函数的导数为0，如f(x)=5的导数为0。

2.单项式函数导数公式：对于f(x)=a*x^n，其中a是常数且n是正整数，导数f'(x)=a*n*x^(n-1)。

3.指数函数导数公式：对于f(x)=e^x，导数f'(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。

4. 对数函数导数公式：对于 f(x) = ln(x)，导数 f'(x) = 1 / x。

5. 反三角函数导数公式：包括反正弦函数（arcsin(x)）、反余弦函数（arccos(x)）、反正切函数（arctan(x)）等。

其导数分别为：arcsin'(x) = 1 / sqrt(1-x^2)、arccos'(x) = -1 / sqrt(1-x^2)、arctan'(x) = 1 / (1+x^2)。