用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程

高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。

下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。

1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。

齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。

线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。

2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。

非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。

欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。

3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。

常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。

常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。

4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。

对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。

三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。

常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。

二阶非线性微分方程的解法微分方程是现代数学里研究的重要分支之一，也是物理、工程、经济等各个领域中重要的工具。

本文将介绍二阶非线性微分方程的解法，希望对读者有所帮助。

1. 常系数二阶非线性微分方程一般地，形如$y''+f(y)=0$的二阶非线性微分方程是需要特殊注意的。

如果$f(y)$是一个关于$y$的线性函数，那么这个方程就是线性的，可以用标准的方法解决。

但如果$f(y)$是一个非线性函数，问题就比较麻烦了。

对于常系数二阶非线性微分方程，如$$y''+ay+f(y)=0$$其中$a$是常数，我们可以使用想象力来得到它的近似解。

设$y=y_0+u$，其中$y_0$是$y$的一阶近似解，$u$是一个小量。

代入方程得到$$u''+yu'+f(y_0+u)=0$$忽略$u$的高阶项，即可得到$u''+y_0u'+f(y_0)=0$，这是一个线性方程，可以解出$u$，进而得到$y=y_0+u$的近似解。

2. 变系数二阶非线性微分方程对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y+r(x)=0$的非齐次线性微分方程，可以通过求出它的齐次解和一个特解的和来得到通解。

但对于非线性微分方程，通常需要采用其它方法来解决。

一个有效的方法是使用变换$$z=y'^2$$将原来的二阶方程转化为一阶方程。

将原方程对$x$求导得到$$y'''+(p(x)+2y''/y')y''+q(x)y'+q'(x)y=0$$用变换$z=y'^2$，得到$$y''=\frac{z'}{2\sqrt{z}}$$代入方程中，可以得到一个一阶非线性微分方程：$$zz''+(p(x)+2\sqrt{z})z'+q(x)z+r(x)=0$$这个方程可以用常数变易法来求解。

微分方程中常数变易法的应用杨秀香【摘要】利用微分方程中常数变易法、线性代数以及微分方程理论，研究伯努利方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程组的解法，得到各类方程的通解与特解。

%Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differentiale⁃quation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2016(031)008【总页数】6页(P9-13,30)【关键词】常数变易法;微分方程;求解;应用【作者】杨秀香【作者单位】渭南师范学院数理学院，陕西渭南714099【正文语种】中文【中图分类】O175.1常数变易法是解微分方程的一种很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一阶非齐次线性微分方程时提出的,这种方法指的是将一阶线性齐次微分方程通解中的常数变易成待定的函数,代入原方程从而确定方程的解。

摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。

非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。

这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。

下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2：方程（2）的基本解组一定存在。

方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。

定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。

目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。

下面我们研究几个例子。

例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。

微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。

根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。

一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。

2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

3.求出积分的表达式，然后求解原方程。

二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。

2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。

3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。

4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。

5.求出积分的表达式，然后求解原方程。

三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。

具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。

2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。

3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。

4.根据特征根的情况，得到相应的通解。

四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。

具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。

2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。

汤家凤求解微分方程技巧微分方程作为数学的一个分支，研究的是函数的导数与原函数之间的关系。

它在数学和科学的各个领域中都有广泛的应用，并且解微分方程的技巧也是研究微分方程的重要内容之一。

下面将介绍一些求解微分方程的常用技巧。

一、分离变量法分离变量法是求解一阶可分离变量微分方程的常用方法。

其基本思想是将微分方程中的变量分离出来，然后进行积分。

具体步骤如下：1. 对微分方程两边进行变量分离，使得方程能够写成dy/dx = f(x)g(y)的形式。

2. 将方程两边同时积分，并解出y的表达式。

3. 求解得到的方程，得到原微分方程的解。

例如，对于微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将其转化成 dy/g(y) = f(x)dx 的形式，然后对两边同时积分，得到∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx，再对等式两边进行求积分，最后得到原微分方程的解。

二、常数变易法常数变易法是求解二阶线性齐次微分方程的常用方法。

其基本思想是设原微分方程的解为y = u(x)e^(mx)，其中u(x)是待定函数，m是待定常数。

具体步骤如下：1. 设定待定函数y = u(x)e^(mx)，并求出y的一阶和二阶导数。

2. 将y及其导数代入原微分方程中，得到关于u(x)的方程。

3. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的表达式。

4. 将u(x)的表达式代入y = u(x)e^(mx)中，得到原微分方程的解。

常数变易法适用于形如y'' + py' + qy = 0的线性齐次微分方程的求解。

三、冲击响应法冲击响应法是求解微分方程的一种方法，特别适用于解非齐次线性微分方程。

其基本思想是利用冲激函数δ(x)的性质，将非齐次方程转化为齐次方程，并通过求解齐次方程得到非齐次方程的解。

具体步骤如下：1. 设非齐次方程为dy/dx + p(x)y = f(x)，其中p(x)和f(x)是已知函数。

2. 引入冲击响应函数R(x)，将原方程转化为齐次方程dy/dx + p(x)y = δ(x)。

求解二阶微分方程二阶微分方程是指形式为$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程，其中$p(x),q(x),f(x)$为已知函数，$y$是未知函数。

解二阶微分方程的一般思路是先求出其对应的齐次方程的通解，再找一个特解，将它们相加即可得到原方程的通解。

首先，我们来解齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$。

设其解为$y=h(x)$，将其代入原方程得到：$$h''(x)+p(x)h'(x)+q(x)h(x)=0$$这是一个二阶线性非齐次常系数微分方程，可以使用常数变易法求解。

设$h(x)=e^{rx}$，代入原方程得到：$$r^2e^{rx}+p(x)re^{rx}+q(x)e^{rx}=0$$化简后得：$$r^2+p(x)r+q(x)=0$$这是一个关于$r$的一元二次方程，我们可以解得$r_1$和$r_2$。

此时，方程的两个线性无关的解分别为$h_1(x)=e^{r_1x}$和$h_2(x)=e^{r_2x}$。

如果$r_1$和$r_2$是相等的实数，那么$h_1(x)$和$h_2(x)$是线性相关的，此时只取一个解。

如果$r_1$和$r_2$是两个不同的实数，那么它们的线性组合$c_1h_1(x)+c_2h_2(x)$也是齐次方程的解，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。

如果$r_1$和$r_2$是共轭复数，即$r_1=\alpha+i\beta$和$r_2=\alpha-i\beta$，那么$e^{r_1x}$和$e^{r_2x}$都是齐次方程的解。

我们可以通过欧拉公式将其化为正弦和余弦的形式，即：$$e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)),\ e^{\alphax}(\cos(\beta x)-i\sin(\beta x))$$将这两个解合并为一个复数解$h(x)=e^{\alpha x}(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x))$。

求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式3王　焕　(西北大学数学系　西安　710069)摘要　基于微分算子分裂的思想,受到一阶线性方程求解公式的启发,运用多重积分交换积分顺序的技巧,得到求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一般性公式.关键词　算子分裂　常系数非齐次线性微分方程　通解　特解 中图分类号　O175.1对于二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f(x)(1)其中p,q是实的常数,f(x)在其定义域内连续,以下同此.由文献[1,2,3]可知,求解(1)归结为其对应的齐次方程y″+py′+qy=0(2)的通解和非次方程(1)本身的一个特解y3.对于三阶以及n阶常系数非齐次线性微分方程y +p1y″+p2y′+p3y=f(x)(3)和y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+p n-1y′+p n y=f(x)(4)其中pi=1,2,……n,是常数,有类似的结论.对于二阶非齐次方程(1),求其特解y3的方法有常数变易法,比较(待定)系数法,拉普拉斯变换法,以及算子解法等,参见[1,2,3].其中常数变易法求解过程比较繁琐,其余三种解法只针对特珠的类型,缺乏一般性.本文基于算子分裂的思想,受到一阶线性方程求解公式的启发,并运用多重积分交换积分顺序的技巧,得到二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程求解的一般性公式.该结论可以进一步推广到对n阶常系数非齐次线性微分方程(4)的求解.定理1　对于二阶常系数非齐次方程(1),假定(1)对应的齐次方程(2)的特征方程有特征根r1,r2,则(1)的一个特解y3满足下列公式:(i)当r1,r2是两个不相等实根时,y3=e r1xr1-r2∫e-r1x f(x)d x+e r2xr1-r2∫e-r2x f(x)d x(5)(ii)当r1,r2是两个相等实根,即r1=r2=r时,y3=x e rx∫e-rx f(x)d x-e rx∫x e-rx f(x)d x(6)(iii)当r1,r2是一对共轭复根,即r1,2=α±iβ(β≠0)y3=1β[e ax sinβx∫e-ax cosβx·f(x)d x-e ax cosβx∫e-ax sinβx·f(x)d x](7)52Vol.9,No.3 May,2006 高等数学研究ST UD I ES I N C OLLEGE MATHE MATI CS3收稿日期:2005-09-05证明　将方程(1)变形为(y′-r1y)′-r2(y′-r1y)=f(x)(8)则(8)式等同于下述分解后的一阶微分系统的耦合,其中y1=y,y1′-r1y1=y2y2′-r2y2=f(x)(9)由一阶线性微分方程求解公式可得出y=y1=e r1x∫x x0e-r1s y2(s)d s y2=e r2x∫x x0e-r2t y2f(t)d t (10)其中x是函数定义域内某一点,比如初始时刻等.从而y=e r1x∫x x0e-r1s(e r2s∫s x0e-r2t f(t)d t)d s=　e r1x∫x x0e(r2-r1)s∫s x0e-r2t f(t)d t d s (11)运用多重积分交换积分顺序的技巧,得到:(i)当r1≠r2时,y=e r1x∫x x0e-r2t f(t)∫x t e(r2-r1)s d s d t=　1r2-r1e r1x∫x x0[e(r2-r1)x-e(r2-r1)t]e-r2t f(t)d t=　er1xr1-r2∫x xe-r1t f(t)d t+e r2xr2-r1∫x xe-r2t f(t)d t(12)从而得到(1)的一个特解y3如(5)式所示.(ii)当r1=r2=r时,y=e rx∫t x0∫s x0e-rt f(t)d t d s=　e rx∫x x0e-rt f(t)d t∫x t d s=　x e rx∫x x0e-rt f(t)d t-e rx∫x x0t e-rt f(t)d t(13)从而得到(1)的一个特解y3如(6)式所示.(iii)当r1,2=α±iβ(β≠0)时,不难推出(7)式成立.定理2　对于三阶常系数非齐次方程(3),假定(3)所对应齐次方程的特征方程有特征根r1, r2,r3,则(3)的一个特解y3满足下列公式:(i)当r1,r2,r3互不相等(包括有虚根)时,y3=e r1xL′(r1)∫e-r1x f(x)d x+e r2x L′(r2)∫e-r2x f(x)d x+e r3x L′(r3)∫e-r3x f(x)d x(14)此处L′(r1)=(r1-r2)(r1-r3),L′(r2)=(r2-r1)(r2-r3),L′(r3)=(r3-r1)(r3-r2),(ii)当r1=r2=r3=r时,y3=12x2e rx∫e-rx f(x)d x-x e rx∫x e-rx f(x)d x+12e rx∫x2e-rx f(x)d x(15)62高等数学研究 2006年5月(iii )当其中两根相等,且不等于第三根时,比如r 2=r 3=r ≠r 1时,有y3=e r 1x(r -r 1)2∫e-r 1xf (x )d x -erx(r -r 1)2∫e-rxf (x )d x +x e rxr -r 1∫e -rx f (x )d x -e rxr -r 1∫x e -rxf (x )d x(16)对于r 1=r 3=r ≠r 2,以及r 1=r 2=r ≠r 3,有类似的公式.(证明办法类似定理1,从略)下面举几个例子说明.例1　求y ″-2y ′+y =1xe x的通解.解　所对应齐次方程的特征方程为r 2-2r +1=0,特征根r 1=r 2=r =1.由公式(6)得到非齐次方程的一个特解为y3=x ex∫e-x1xe xd x -e x∫x e-x 1xe xd x =xe x In x -x ex从而所求通解为y =C 1e x+Cx e x+x e xIn x -x e x=C 1e x+C 2x e x+x e x In x,(此处C 2=C -1)例2　求y ″-5y ′+6y =x e 2x的一个特解.解　易知特征根r 1=i,r 2=-i,由公式(7)得y3=sin x ∫cos x (x co s2x )d x -co s x ∫sin x (x co s2x )d x =　12sin x ∫x (cos3x +cos x )d x -12co s x ∫x (sin3x -sin x )d x =49sin2x -13x co s2x例3　求y +3y ″+3y ′+y =e -x(x -5)的通解.解　易知所对应齐次方程的特征方程有三重根r 1=r 2=r 3=r =-1,由公式(15),y 3=12x 2e -x ∫(x -5)d x -x e -x ∫x (x -5)d x +12e -x ∫x 2(x -5)d x =124x 3(x -20)e-x从而通解为y =(C 1+C 2x +C 3x 2)e -x +124x 3(x -20)e -x.例4　求y -y ′=co s2x 的通解.解　所对应齐次方程的特征方程有根r 1=1,r 2=-1,r 3=0,由公式(14)得y3=e x2∫e -x cos2x d x +e -x2∫e xcos2x d x1-1∫co s2x d x =110(-co s2x +2sin2x )+110(co s2x +2sin2x )-12sin2x =-110sin2x 通解为y =C 1e x+C 2e-x+C 3-110sin2x .注　(1)对于n 阶常系数非齐次线性微分方程(4),可以做类似的讨论,只是此时特征方程的根的分类情况相当复杂,这里不做进一步讨论了.(2)和比较(待定)系数法相比,该公式对右端项f (x )的要求相当低,只要能求出不定积分,就能用此方法,所以说该公式较具一般性.(下转第34页)72第9卷第3期 王焕:求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式又函数在x =1处连续,故展开式对x =1成立.即11+x=1+∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!x n ,(-1<x ≤1).例5　将ln (x +1+x 2)展开成关于x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解　由(3)式得(ln (x +1+x 2))′=11+x2=1+∑∞n =1(-1)n (2n -1)!!(2n )!!(2n +1)x 2n +1,(-1<x <1)在x =±1处,函数ln (x +1+x 2)是连续的,在x =-1处,级数为-1+∑∞n =1(-1)n +1(2n -1)!!(2n )!!(2n +1)=-1+∑∞n =1unu n=(2n -1)!!(2n )!!·1(2n +1)<12n +1·12n +1<1n 3/2,即级数绝对收敛.在x =1处,级数为1+∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!(2n +1),同理也是收敛的.故展开式对x =±1均成立,即ln (x +1+x 2)=x +∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!(2n +1)x 2n +1,(-1≤x ≤1).例6　将x1+x2展开成关于x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解　由(3)式得x1+x2=x +∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!·x 2n +1,(-1<x <1)在x =±1处,函数x1+x 2连续,对应级数为1+∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!,1+∑∞n =1(-1)n +1(2n -1)!!(2n )!!与例4同理可得二交错级数收敛,故展开式对x ±1也在立,即x 1+x2=x +∑∞n =1(-1)n (2n -1)!!(2n )!!·x 2n +1,(-1≤x ≤1).从上面六个例题可以看出,不等式:对任意的正整数n 12n +1<(2n -1)!!(2n )!!=1·3……(2n -3)·(2n -1)2·4……(2n -2)·2n <12n +1,在判别级数敛散性方面起着重要的作用.(上接第27页)参考文献[1]王高雄等.常微分方程(第二版).北京:高等教育出版社,1997年重印.[2]同济大学教研室.高等数学(第三版).北京:高等数学出版社,1993年重印.[3]数学手册编写组.数学手册.北京:高等教育出版社,2004年重印.43高等数学研究 2006年5月。

二阶非齐次常系数微分方程的积分通解
二阶非齐次常系数微分方程的积分通解可以通过以下步骤得到：
首先，我们需要找到对应的二阶齐次常系数微分方程的通解。

这通常可以通过求解特征方程来完成。

假设特征方程为r2+ar+b=0，其解为r1和r2。

那么，齐次微分方程的通解就是yh=c1er1x+c2er2x，其中c1和c2是常数。

接下来，我们需要找到非齐次微分方程的特解。

这通常可以通过尝试法来完成。

假设非齐次项为f(x)，我们可以尝试一个形如yp=Axn的函数，其中A是待定的常数，n是非齐次项f(x)的最高次幂。

将yp代入原方程，解出A，得到特解yp。

最后，将齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解相加，就得到了原方程的积分通解：y=yh+yp。

需要注意的是，以上步骤仅适用于二阶非齐次常系数微分方程，对于其他类型的微分方程，求解方法可能会有所不同。

此外，在实际应用中，还需要根据具体的问题和条件，选择合适的求解方法和步骤。