2(2)正弦型三角函数Asin(wx+)

考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。

1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<，10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π1223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-2019【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax +=，所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ．4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ．5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：47、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D.3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选D. 5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______. 【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12， 故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( )A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω=()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。

核心素养测评二十二正弦型函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020·佛山模拟)将函数y=sin的图象向右平移个单位后,所得图象对应的函数解析式为( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选 D.所得图象对应的函数解析式为y=sin,即y=sin.2.(2019·衡水模拟)已知函数f(x)=-2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位,所得的部分函数图象如图所示,则φ的值为( )A. B. C. D.【解析】选C.由题图知,T=2=π,所以ω==2,所以f(x)=-2cos 2x,所以f(x+φ)=-2cos (2x+2φ),由图象知,f=-2cos =2.所以+2φ=2kπ+π(k∈Z),则φ=+kπ(k∈Z).又0<φ<,所以φ=.3.函数y=2cos的部分图象大致是( )【解析】选A.由y=2cos可知,函数的最大值为2,所以排除D;又因为函数图象过点,所以排除B;又因为函数图象过点,所以排除C.4.(2020·茂名模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=Asin 3x的图象,只需将f(x)的图象( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选 C.由选项知只与左右平移有关,没有改变形状,故ω=3,又函数图象经过点,即对应“五点法”作图中的第3个点,所以3×+φ=π,|φ|<,所以φ=,f(x)=Asin,故g(x)=Asin3x=Asin,所以只需将f(x)的图象向右平移个单位,即可得g(x)的图象.5.函数f (x)=3sin x-lo x的零点个数是( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.f (x)零点个数即为y=3sin x与y=lo x两图象的交点个数,如图,y=3sin x 与y=lo x有5个交点.6.(2019·天津高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f= ( )A.-2B.-C.D.2【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,由|φ|<π可得φ=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.7.(多选)有下列四种变换方式:①向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变);②横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度;③横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度;④向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变).其中能将正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 的图象的是( )A.①B.②C.③D.④【解析】选AB.①向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变),则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin的图象;②横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 2=sin 的图象;③横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 2=sin 的图象;④向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变),则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 的图象,因此①和②符合题意.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020·济南模拟)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则为了得到曲线C1,首先要把C2上各点的横坐标变为原来的________倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右至少平移________个单位长度.(本题所填数字要求为正数)【解析】因为曲线C1:y=cos x=sin=sin,所以先将C2上各点的横坐标变为原来的==2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线y=sin向右平移个单位长度.答案:29.(2019·遵义模拟)函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为________.【解析】由T=-得周期T=π,于是ω=2,由图象知A=1,根据五点作图法有ω·+φ=,解得φ=,所以f(x)=sin,将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为y=sin=sin.答案:y=sin10.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b,A>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为________元.【解析】作出函数简图如图:三角函数模型为y=Asin(ωx+φ)+b,由已知A=2 000,b=7 000,T=2×(9-3)=12,所以ω==.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,则×3+φ=,φ=0,f(x)=2 000sin x+7 000(1≤x≤12,x∈N*),所以f(7)=2 000×sin+7 000=6 000.所以7月份的出厂价格为6 000元.答案:6 000(15分钟35分)1.(5分)将函数y=2sin sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数恰为奇函数,则φ的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选A.由已知,y=2sin sin=2sin cos=sin,将函数图象向左平移φ个单位后,得y=sin=sin,又由函数为奇函数,则sin=0,所以2φ+=kπ,k∈Z,当k=1时,φ=.2.(5分)(2019·德州模拟)若函数f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0,x∈R,又f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为3π,则ω的值为( )A. B. C. D.2【解析】选A.因为f(x)=sin ωx-cos ωx,所以f(x)=2sin,f(x)最大值为2,因为f(x1)=2,f(x2)=0,|x1-x2|的最小值为3π,所以f(x)周期为T=12π,由周期公式得T==12π,因为ω>0,所以ω=.3.(5分)(2020·海口模拟)已知函数f(x)=2sin cos +2cos2-1(ω>0)的周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2【解析】选B.f(x)=2sin cos +2cos2-1=sin ωx+cos ωx=2sin.由T==π得ω=2,所以f(x)=2sin.作出f(x)在x∈上的图象如图:由图知,x1+x2=,所以f(x1+x2)=2sin=2×=1.4.(10分)已知函数f(x)=4cos ωx·sinωx++a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a和ω的值.(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.【解析】(1)f(x)=4cos ωx·sin+a=4cos ωx·+a=2sin ωxcos ωx+2cos 2ωx-1+1+a=sin 2ωx+cos 2ωx+1+a=2sin+1+a.当sin=1时,f(x)取最大值为2+1+a=3+a,又f(x)最高点的纵坐标为2,所以3+a=2,即a=-1,又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期为T=π,所以2ω==2,ω=1.(2)由(1)得f(x)=2sin,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.令k=0,得≤x≤.所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.5.(10分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10-cos t-sin t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?【解析】(1)因为f(t)=10-2cos t+sin t=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.所以f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.所以实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)由已知,当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,所以10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,所以<t+<,即10<t<18.所以在10时至18时实验室需要降温.。

三角函数最值问题的几种常见类型三角函数是重要的数学运算工具,三角函数最值问题是三角函数基础知识的综合应用,近几年的高考题中经常出现,这部分内容是一个难点。

三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。

因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。

这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。

学生在解题时,常常出现解题思路不清楚,难以抓住最值问题的本质,不能给予恰如其分的分析。

因此有必要让学生对求三角函数的最值求解的方法有个总体的认识,以培养学生的数学解题能力和思维能力。

下面介绍几种典型的三角函数最值问题的类型。

?И?1 y=asin x +b(或y=a cos x+b)型的函数这种类型的函数的特点是含有正弦或者余弦函数,并且是一次式。

解这类的三角函数的最大值、最小值问解这类三角函数的最值问题时首先要让学生知道最值都是在给定的区间上取得的,因而要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。

例1:求y=sin6x+cos6x的最值。

解:y=(sin2x+cos2x) ( sin4x-sin2x cos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2-3sin2x cos2x=1-34 sin22x=1-3 8 (1-cos4x)=58+38cos4x∴当x= Kπ2(k ∈z)时,有ymax=1当x= Kπ2+π4(k ∈z)时,有ymin= 14点评:求三角函数的最值时,常常通过恒等变换,而恒等变换,一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式。

2 y=asinx+bcosx型的函数这种类型的函数的特点是含有正余弦函数,并且是一次式。

解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象解题策略sin y x = cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，min1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k Z ∈上是增函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2x k k Z ππ=+∈对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 对称轴()x k k Z π=∈对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴例1：1．（2022·北京·人大附中模拟预测）函数()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【详解】()cos()(0)3f x x πωω=->对称轴为：22(0)()3233x k k k k Z πππωπωπωω-=⇒-=⇒=+>∈函 数 性 质当0k =时，ω取值为23.故选:C.2.（多选）（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()sin 042f x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,1上可能（ ）A ．单调递增B ．有零点C ．有最小值D ．有极大值【答案】AD【详解】因为01x <<且02πω<<，则444x πππωω<+<+，3444ππωπ<+<， 所以，函数()f x 在()0,1上不可能有零点，B 错；当442πππω<+≤时，即当04πω<≤时，()f x 在()0,1上单调递增，A 对；函数()f x 在()0,1上可能有极大值，但无最小值，C 错D 对.故选：AD. 举一三1．（2022·河北邯郸·二模）函数()πsin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域为（ ）A ．(]0,1B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛⎤⎥⎝⎦ D ．[]1,1- 【答案】C【详解】当ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当ππ232x +=时，即π12x = 时，()πsin(2)3f x x =+取最大值1，当ππ233x +=-，即π3x =- 时，()πsin(2)3f x x =+取最小值大于 ，故值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（多选）（2022·北京东城·三模）下列函数中最小正周期不是π的周期函数为（ ） A ．sin y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =【答案】AC解：对于A 选项，sin y x =为偶函数，当0x ≥时，sin y x =，为周期函数，周期为2π；当0x <时，sin y x =-，为周期函数，周期为2π，但在整个定义域上，函数不具有周期性，故错误；对于B 选项，sin y x =的图像是将sin y x =图像在x 轴下方的翻到x 轴上方，进而函数为周期函数，周期是π，故正确；对于C 选项，cos cos y x x ==，故周期为2π，错误；对于D 选项，tan y x =图像是将tan y x =图像在x 轴下方的翻到x 轴上方，其周期性不变，故依然为π，正确；3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 4．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若0απ<<，则sin20α>的概率为______ 【详解】∵0απ<<，022απ<<，由sin20α>可得02απ<<，即02πα<<，∴若0απ<<，则sin20α>的概率为122ππ=.六．函数y=Asin(wx+φ)的图象1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。

专题21函数y=Asin（wx+φ）的图象及应用最新考纲1.了解函数y＝A sin（ωx＋φ)的物理意义;能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象．2。

了解参数A，ω,φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.基础知识融会贯通1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)（A〉0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)(A>0，ω〉0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!π－φω错误!错误!3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A>0,ω〉0)的图象的两种途径【知识拓展】1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ）(ω〉0，φ〉0)的变换：向左平移错误!个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y＝A sin(ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．重点难点突破【题型一】函数y＝A sin(ωx＋φ）的图象及变换【典型例题】已知向量（cos x ，)，（sin x，cos2x），x∈R，设函数f(x ）•．(1）求f（x）的表达式并完成下面的表格和画出f（x）在[0，π］范围内的大致图象；0πx0πf（x）（2)若方程f（x）﹣m＝0在[0，π］上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．【解答】解：（1）f（x )sin2x cos2x＝sin（2x），0πx0πf（x）010﹣1如图示:（2）由图可知m∈（﹣1，)∪(，1）,或，∴或．【再练一题】将函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象，则（）A．y＝f(x）的图象关于直线对称B．f(x）的最小正周期为C．y＝f（x）的图象关于点对称D．f（x）在单调递增【解答】解：函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,可得：y＝sin x,即f（x)＝sin x．根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x，∴A不对．周期T＝2π，∴B不对．对称中心坐标为：(kπ，0），∴C不对．单调递增区间为［］，k∈Z，∴f（x）在单调递增．故选：D．思维升华(1）y＝A sin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ）图象有两条途径：“先平移后伸缩"与“先伸缩后平移”．【题型二】由图象确定y＝A sin（ωx＋φ）的解析式【典型例题】函数y＝2sin(ωx+φ)（ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则f（π）＝（）A．1 B．C．D．2【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象，可得：T•,解得:ω＝2，由于点（,2）在函数图象上，可得：2sin(2φ）＝2，可得:2φ＝2kπ，k∈Z，解得:φ＝2kπ，k∈Z,由于：0＜φ＜π,可得：φ，即y＝2sin（2x），可得:f（π)＝2sin（2π）＝1．故选：A．【再练一题】函数y＝2sin（ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则函数f(x）的单调递增区间为（)A．B．C．D．【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象，可得：T•,解得：ω＝2,由于点(，2）在函数图象上，可得：2sin（2φ）＝2，可得：2φ＝2kπ,k∈Z，解得:φ＝2kπ,k∈Z，由于：0＜φ＜π，可得：φ，即y＝2sin(2x)，令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，可得：则函数f(x)的单调递增区间为：［kπ，kπ]，k∈Z．故选:C．思维升华y＝A sin（ωx＋φ）中φ的确定方法（1)代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．（2）五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法"中的特殊点作为突破口．【题型三】三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型【典型例题】如图，扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为弧上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于Q点,当△POQ的面积大于时，∠POQ 的大小范围为．【解答】解：设∠POQ＝θ，则PQ＝sinθ，OQ＝cosθ，(0＜θ）．∴，由，得sin2θ，又2θ∈（0，π），∴2θ,则θ．∴∠POQ的大小范围为．故答案为：．【再练一题】海上一艘轮船以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则两个小岛间的距离CD＝nmile【解答】解：∵△ABC中，由题意可得：∠CAB＝120°，∠BAC＝30°,AB＝6020，∴由正弦定理，∴BC20，∵在△ABD中，由于∠DAB＝60°，∠ADB＝45°，由正弦定理可得：，可得：BD10，∴△BCD中，由余弦定理可得CD2＝（10）2+（20）2﹣2×1020cos45°，∴解得:CD＝10．即目标C、D之间的距离为10．故答案为:10．命题点2 函数零点(方程根)问题【典型例题】已知函数f（x）＝2sin(ωx）sin（ωx)(ω＞0)，若函数g（x)＝f（x）在[0，］上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A．[2，）B．（2，）C．[）D．（)【解答】解：f（x）＝2sin（ωx）sin（ωx)＝2sin（ωx）sin(ωx）＝﹣2cos（ωx）sin（ωx）＝﹣sin（2ωx），由g(x）＝f（x）0得f(x），即﹣sin（2ωx）,得sin（2ωx)，∵0≤x，∴0≤2ωx≤πω，则2ωxπω，∵sin，∴要使sin（2ωx)，在0≤x上有三个根，∴2π≤ωπ4π,得2π≤ωπ，即2≤ω，即ω的取值范围是［2，)，故选:A．【再练一题】已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1,x2,x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝( ）A．B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x kπ得x，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π,0≤x，当k＝0时,可得第一根对称轴x，当k＝30时,可得x，∴f（x）在［0，］上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知:函数与y＝3的交点有30个点，即x1，x2关于对称，x2,x3关于对称,…,即x1+x22，x2+x32，…，x30+x31＝2将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x28+2x29+2x30+x31＝2(）＝(2+5+8+…+89）455π故选：C．命题点3 三角函数图象性质的综合【典型例题】已知函数（ω＞0)，且，当ω取最小值时，以下命题中假命题是( )A．函数f(x）的图象关于直线对称B．是函数f（x)的一个零点C．函数f（x）的图象可由的图象向左平移个单位得到D．函数f（x)在上是增函数【解答】解:f(x）sinωx cosωx+cosωx sinωx cosωx sin（ωx）,∵f（）sin(π）＝0，∴πkπ，∴ω＝3k﹣1,k∈Z．∵ω＞0,∴ω的最小值为2．此时f（x）sin（2x）．∵f（）sin，∴当x时,f（x）取得最大值,故A正确；∵f（)＝0，∴x是f（x)的零点，故B正确;∵f（x）sin[2（x）]，∴f（x)的图象由g(x)的图象向右平移个单位得到,故C错误；∵f（x）的周期为T＝π，区间长度为，且当x时，f（x）取得最大值，∴f（x)在上是增函数,故D正确．故选：C．【再练一题】函数，若,且函数f（x)的图象关于直线对称，则以下结论正确的是( ）A．函数f（x)的最小正周期为B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x)在区间上是增函数D．由y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象【解答】解：函数，∵，即2sinφ，∵φ∴φ又∵函数f（x）的图象关于直线对称,∴，k∈Z．可得ω＝12k﹣10，∵0＜ω＜12．∴ω＝2．∴f（x）的解析式为：f（x)＝2sin(2x)．最小正周期T,∴A不对．当x时，可得y≠0，∴B不对．令2x，可得，∴C不对．函数y＝2cos2x的图象向右平移个单位，可得2cos2（x）＝2cos（2x）＝2sin(2x)＝2sin(2x)．∴D项正确．故选：D．思维升华（1）三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题．（2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y＝A sin（ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．基础知识训练1．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】将函数的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ) A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，将函数的图象向右平移6π个单位长度，可得的图象.故选：C ．2．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度 【答案】D 【解析】 因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22Tπω==，所以，因此,为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移12π个单位长度.故选D3．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数的图像（ )A ．横坐标伸长为原来的两倍,纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B ．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位C ．横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变，再向右平移6π个单位D ．横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变，再向左平移6π个单位【答案】A 【解析】 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍,纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点向右平移6π个单位得到函数sin y x =。

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。

例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。

这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。

揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。

一、新知探究 提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。

如图1是大观览车的示意图。

设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。

在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。

在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。

OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。

例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。

三角函数知识点归纳(3)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角函数知识点归纳(3)(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为三角函数知识点归纳(3)(word版可编辑修改)的全部内容。

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角（1）角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°（k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ，y ),它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A 。

正弦型函数sin()y A x ωϕ=+精选习题一、 选择题1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π31.答案：D2．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位2.【解析】：y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π4)＋π6]，所以只要把y ＝sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y ＝sin(2x －π3)的图象．答案：B3．函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos2x的图象，则只要将 f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度3.【解析】：如图，T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，ω＝2，又2×π3＋φ＝π，φ＝π3，从而 f (x )＝A sin(2x ＋π3)，显然选D.答案：D4．要得到函数y ＝3cos x 的图象，只需将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向左平移π12个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向左平移2π3个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度4.【解析】：将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝3sin(x －π6)的图象，再向左平移2π3个单位长度，可得函数y ＝3sin(x －π6＋2π3)＝3sin(x ＋π2)＝3cos x 的图象． 答案：C5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是( ) (A)f(x)＝2sin(πx＋π6)(x∈R)(B)f(x)＝2sin(2πx＋π6)(x∈R )(C)f(x)＝2sin(πx ＋π3)(x∈R)(D)f(x)＝2sin(2πx ＋π3)(x∈R)5.【解析】选A.从图象上可看出A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝2π2＝π.∴f(x)＝2sin(πx ＋φ). 又∵图象过点(13，2)，∴2＝2sin(π3＋φ)，∴π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin(πx ＋π6).(x ∈R)6.已知函数f(x)＝3sin(2x ＋π2)，x∈R，则下列结论中正确的是( ) (A)f(x)是最小正周期为π的奇函数 (B)x ＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴(C)f(x)的一个对称中心是(－π2，0)(D)将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π4个单位得到函数f(x)的图象 6.【解析】先应用三角函数的诱导公式化简三角函数式.【解析】选D.f(x)＝3sin(2x ＋π2)＝3cos2x ，故A 、B 、C 均不正确.7.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )．A ．13B ．1C ．53D ．27.解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4. 又所得图象过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，∴sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0. ∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )． ∵ω＞0，∴ω的最小值为2. 答案：D8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数8．解析：∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin(13x ＋π3)，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在[－52π，π2]上递增．答案：A二、 填空题9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，则函数解析式为________． 9.【解析】：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.答案：y ＝2sin(4x ＋π6)＋210．已知函数 f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则 f (x )的取值范围是__________ .10【解析】： f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)的对称轴和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝2， f (x )＝3sin(2x －π6)，x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]， f (x )∈[－32，3]．答案：[－32，3]11.若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：①f 1(x)＝sinx ＋cosx ，②f 2(x)＝sinx ，③f 3(x)＝2sinx ＋2，④f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)，其中“同形”函数有 .(填序号) 11.【解析】∵f 1(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)，f 2(x)＝sinx ， f 3(x)＝2sinx ＋2，f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)＝2sin(x ＋π4)，()241f x y 2sinx y 2sinx 2π∴−−−−−−→=−−−−−−→=+向右平移个单位向上平移个单位，∴①③为“同形”函数. 答案：①③12.(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋π3)，且f(α)＝f(β)＝0(α≠β)，则|α－β|的最小值为 .12.【解析】由题意知α、β是函数y ＝f(x)图象与x 轴交点的横坐标. 【解析】f(x)＝2sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π.α、β是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，且α≠β，∴|α－β|的最小值为π2.答案：π2三、 解答题13．已知函数 f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数 y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 y＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．13【解析】解：(1) f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin(2ωx ＋π4)＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知 f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12， 所以g (x )＝ f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间[0，π16]上的最小值为1.14．(2010～2011年河北省正定中学高三第一次月考)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数 f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．14【解析】解：(1)由图象知A ＝2. T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4，又图象经过点(－1,0)∴2sin(－π4＋φ)＝0，∵|φ|<π2∴φ＝π4，∴ f (x )＝2sin(π4x ＋π4)，(2)y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)＝2sin((π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝2sin(π4x ＋π4)＋2cos(π4x ＋π4)，＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x ，∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6即x ＝－23时，最大值为6，当π4x ＝－π，即x ＝－4时，最小值为－2 2.15.已知函数f(x)＝2sin(2x －π4)＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[－π2，π2]上的图象. 15.【解析】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象. 【解析】(1)f(x)＝2sin(2x －π4)＋1的振幅为2， 最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4.(2)列表并描点画出图象：x－π2－3π8－π8π8 3π8 π2 y 2 1 1－ 211＋ 22故函数y ＝f(x)在区间[－π2，π2]上的图象是16．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f (π4)＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？16【解析】．解：(1)由f (0)＝32，得2a －32＝32， ∴2a ＝3，则a ＝32，由f (π4)＝12，得32＋b 2－32＝12，∴b ＝1. ∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin(2x ＋π3)， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤32π＋2k π，得π12＋k π≤x ≤712π＋k π， ∴f (x )的单调递减区间是[π12＋k π，712π＋k π](k ∈Z)．(3)∵f (x )＝sin2(x ＋π6)，∴奇函数y ＝sin2x 的图象左移π6，即得到f (x )的图象．故函数f (x )的图象右移π6个单位后对应的函数成为奇函数．。

函数()sin y A x w j =+解析式的求解在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()()sin f x A x w j =+的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得,,A w j 得到，本讲主要介绍求解()sin y A x w j =+解析式的一些技巧和方法一、基础知识：（一）表达式的化简：1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）（1）降幂公式：221cos 21cos2cos ,sin 22a aa a +-==（2）2sin cos sin 2a a a=（3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos a b a b b a +=+()sin sin cos sin cos a b a b b a -=-()cos cos cos sin sin a b a b a b +=-()cos cos cos sin sin a b a b a b-=+（4）合角公式：()sin cos a b a a a j +=+，其中tan baj =（这是本讲的主角，也是化简的终结技）2、关于合角公式：()sin cos a b a a a j +=+的说明书：（1）使用范围：三个特点：①同角（均为a ），②齐一次，③正余全（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为()()sin f x A x w j =+的形式了，通过以下三步：，表达式变为：sin cos a b a a a a ö+÷ø②二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称j 为辅助角），如cos j j ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b a a j a j a +=+③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b a a a j +=+（3）举例说明：sin y x x=+①12sin cos 22y x x æö=+ç÷èø②1cos ,sin 2cos sin sin cos 232333y x x p p p p æö==Þ=+ç÷èø③2sin 3y x p æö=+ç÷èø（4）注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：12sin cos 22y x x æö=+ç÷èø，可视为1sin ,cos 2626p p ==，那么此时表达式就变为：2sin sin cos cos 66y x x p p æö=+ç÷èø，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x p æö=-ç÷èø所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。

第七讲 正弦型三角函数[学习目标]1. 掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2. 能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． [知识链接] 1．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)．2．物理中，简谐运动的图象就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) ，x ∈[0，＋∞)的图象，其中A ＞0，ω＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？ 答 A 是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T ＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f ＝1T ＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx ＋φ称为相位；φ称为初相，即x ＝0时的相位． [预习导引]1．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 (1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到． (2)ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到． (3)A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为[－A ，A ]，最大值为A ，最小值为－A . 注意事项由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：一是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位；二是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质如下典型例题要点一 图象的变换例1 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象是由函数y ＝sin x 的图象通过怎样的变换得到的？解 方法一 (先伸缩后平移)： y ＝sin x ――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y ＝2sin x ――→各点的横坐标伸长到原来的12倍纵坐标不变 y ＝2sin 2x ――→向右平移π12个单位y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6――→向上平移1个单位y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.方法二 (先平移后伸缩)：y ＝sin x ――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变 y ＝2sin x ――→向右平移π6个单位 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6――→各点的横坐标伸长到原来的12倍纵坐标不变 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6――→向上平移1个单位y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤： (1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构．(2)找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.(3)明确平移的方向．跟踪演练1 要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 C解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．要点二 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例2 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间．解 (1)列表如下：(2)向左、向右扩展，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；x ∈R 的简图．由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练2 作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解 列表：描点画图(要点三 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法) 由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝⎛⎭⎪⎫5π6，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎨⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.规律方法 三角函数中系数的确定方法：给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一“零点”法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取第一“零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练3 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x 轴交于点(6,0)，试求函数的解析式．解 由已知条件知A ＝22，又T4＝6－2＝4，∴T ＝16，ω＝2πT＝2π16＝π8，∴y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ. ∵图象过点(6,0)，∴0＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ，∴3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2. ∴令k ＝1，得φ＝π4，∴y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.1．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( ) A ．y ＝f (x )是奇函数 B ．y ＝f (x )的周期为π C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称 答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对．3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4. ∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，∴φ＝π4. 4．作出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4一个周期上的图象．解 (1)列表：描点、连线，如图所示：。

正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)1.简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______．3、五点法作y=Asin （ωx+五点取法是设X =ωx +ϕ，由X 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.4．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωAy ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可。

5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

07高中数学会考复习提纲（2）（三角函数）第四章 三角函数1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角； （2）、与α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ}（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。

2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1（2）、度数与弧度数的换算：π= 180弧度，1弧度)180( =π（3）、弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 扇形面积：2||2121r lr S α===3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号： yry x r x xrx y r y ======ααααααcsc cot cos sec tan sin （3）、 特殊角的三角函数值4、同角三角函数基本关系式（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：1cos sin 22=+αα αααc o ss i nt a n = 1c o t t a n =αα αα22sec tan 1=+ αααs i nc o sc o t =1csc sin =αα αα22csc cot 1=+ 1sec cos =αα（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）αsinx y++ _ _ O xy++__ αcosOαtanxy+ +__O=r αsec αsinαtan αcotcsc①、αα22cos 1sin -=， αα2cos 1sin -±=；αα22sin 1cos -=， αα2sin 1cos -±=；②θθθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， |cos sin |2sin 1ααα±=± 5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）公式一： ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=︒⋅+=︒⋅+=︒⋅+k k k 公式二： 公式三： 公式四： 公式五：ααααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-︒-=-︒=-︒ ααααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(=+︒-=+︒-=+︒ ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-︒=-︒-=-︒ 补充：ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(=-=-=- ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(-=+-=+=+ ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(=--=--=- ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(-=+=+-=+6、两角和与差的正弦、余弦、正切)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- )(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ )(βα-T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-)(βα+T 的整式形式为：)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-⋅+=+例：若︒=+45B A ，则2)tan 1)(tan 1(=++B A ．（反之不一定成立）7、辅助角公式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 )sin()sin cos cos (sin 2222ϕϕϕ+⋅+=⋅+⋅+=x b a x x b a（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点),(b a ，ab =ϕtan ） （多用于研究性质） 8、二倍角公式：（1）、α2S ： αααcos sin 22sin = （2）、降次公式：（多用于研究性质） α2C ： ααα22sin cos2cos -= ααα2sin 21cos sin =1cos 2sin2122-=-=αα 212cos 2122cos 1sin 2+-=-=ααα α2T ： ααα2t a n1t a n 22t a n -= 212cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα （3）、二倍角公式的常用变形：①、|sin |22cos 1αα=-， |cos |22cos 1αα=+；②、|sin |2cos 2121αα=-， |cos |2cos 2121αα=+③、22sin 1cos sin 21cos sin 22244ααααα-=-=+； ααα2cos sin cos 44=-；④半角：2cos 12sinαα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan +-±=ααααcos 1sin sin cos 1+=-= 9、三角函数的图象性质（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f （x ），若存在一个非零常数T ，当x 取定义域内的每一个值时，都有：f （x +T ）= f （x ），那么函数f （x ）叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；②、如果函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f （x ）的最小正周期。

函数y=Asin(ωx＋φ)的图像与性质的教学设计教材分析：函数y=Asin(ωx＋φ)（x∈R，A﹥0，ω﹥0）在物理与工程领域有着广泛的应用，教材不仅介绍了该函数图像的画法，更重要的是通过例题给出了一个理解与讨论图像变换的程序，让学生能从中初步学会从不同的角度（解析式、表、图）理解并参数讨论A、ω、φ对图像的影响及其图像变换的数学实质。

本节通过例1、例2与例3分别讨论了函数y=Asinx 、y=sinωx 、y=sin(x＋φ) 与y=sinx的关系，归纳分析出参数A、ω、φ对图像变换的影响，每个例题中都是按照同一个程序展开讨论，在这里列表不是为了画图像，而是为了给学生提供一个观察问题的角度，希望学生能从自变量与函数值的对应表格中观察函数值的变化规律，观察出所给函数与函数y=sinx的区别与联系，接着再利用五点作图法画出函数的图像，从几何直观中感受这种函数之间的区别与联系，列表和五点法画图像从两个不同的角度让学生去发现或验证所给函数与函数y=sinx的关系，即感受参数对图像的影响，在此基础上再利用函数的解析式进一步讨论所给函数的周期以及函数的其他性质，经过这种多角度的观察和讨论，最后抽象出从函数y=sinx的图像到y=Asinx 的图像，或从y=sinx到y=sin(x＋φ) 或从y=sinx到y=sinωx所需作的图像变换。

学情分析：通过对正弦函数与余弦函数图像与性质的学习，学生对函数图像之间的关系有了初步的认识和了解，但本班学生数学水平总体较弱，对新知理解与掌握能力较弱，教学中应尽量用学生熟悉的知识引入，由于本节主要研究的是三角函数的图像变换问题，因此应注意多让学生亲自画图操作，同时还应注意控制例题与练习的难度以利于其对图像变换规律的理解与掌握。

教学策略：1.教学中，在条件许可时可以利用几何画板等数学软件从整体研究参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx＋φ)图像变化的影响，通过取A、ω、φ的多组值作出函数y=Asin(ωx＋φ)图像，对比参数变换前后图像的变化体会A、ω、φ对函数y=Asin(ωx＋φ)图像变化的影响。

1定义编辑数学术语正弦函数是三角函数的一种.定义与定理定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C 在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）2性质编辑图像图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)正弦函数x∈&amp定义域实数集R值域[-1，1] （正弦函数有界性的体现）最值和零点①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1零值点：（kπ,0) ，k∈Z对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形。

1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称周期性最小正周期：y=sinx T=2π奇偶性奇函数（其图象关于原点对称）单调性在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.3正弦型函数及其性质编辑正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h各常数值对函数图像的影响：φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）作图方法运用“五点法”作图“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.单位圆定义图像中给出了用弧度度量的某个公共角。

注重数学思想，研究正弦型曲线y=Asin（wx+Φ）【摘要】三角函数中含有丰富的数学思想方法，认真挖掘与提炼其数学思想，对培养学习能力，优化思维品质有着重要意义。

【关键词】数学思想正弦型三角函数是中职数学的重要内容之一，在其他学科应用普遍，特别是正弦型曲线不论是在电工专业基础课的电工学中，还是在机械运动中都有广泛的应用，并且是其他学科的基本工具，物理学和运动学都离不开它，正弦型曲线部分也就成了高考命题的重要内容之一，那么如何学好正弦型曲线呢？我就这个问题进行研究，积累了一些做法。

一是要熟悉三角函数的性质（单调性，奇偶性，周期性）和公式，切实夯实基础；二是灵活运用三角函数的图象和性质；三是注意挖掘正弦型曲线中丰富的数学思想方法，这对掌握知识，培养能力，优化思维品质有着重要意义。

1 数型结合思想类型一：由y=Asin（wx+Ф）的图象求函数式。

这类由图象求函数式的问题中，如果对所求的函数式中的A，w，Ф不加限制（Aw正负，Ф的范围等），那么所求函数式应有无数多个不同的形式，这是因为所求的函数是周期函数，那解这样的问题就要数形结合，通过“五点法”的逆用，寻找“五点”中的第一零点（-Ф/w，0）或已知点作为突破口。

例1：下列函数中，图象的一部分如图是（）。

（A）y=sin（x+π/6）（B）y=sin（2x-π/6）（C）y=cos（4x-π/3）（D）y=cos（2x-π/6）解：从图象看出，T/4=π/12+π/6=π/4，所以函数的最小周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了π/6个单位，即y=sin2（x+π/6）=sin（2x+π/3）=cos（-π/2+2x+π/3）=cos（2x-π/6），所以选D。

例2：y=2sin（wx+Ф），｜Ф｜＜π的图象过点A（7π/9，0），且图象关于点B（5π/18，0），且A、B是图象在x轴上相邻的两点，则Ф的一个值为：A.2π/9 B.4π/9 C.-2π/9 D.-4π/9分析：如图T/2=7π/9-5π/18=9π/18=π/2，w=2π/T=2π/π=2，分类：若B为起点，即wx+Ф=0，代入B（5π/18，0）得2×5π/18+Ф=0，Ф=-5π/9，若B为第三点，即wx+Ф=π代入B（5π/18，0）得2×5π/18+Ф=π，Ф=4π/9。