试卷类型：A广东省广州市2015年高考模拟考试数学（文科）2015．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按 以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂 的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 3. 命题“若0x >，则20x >”的否命题是A ．若0x >，则20x ≤B ．若20x >， 则0x >C ．若0x ≤，则20x ≤D ．若20x ≤，则0x ≤ 4. 设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , ⋅a b 1=-, 则实数x 的值是A ．2-B ．1-C ．13-D ．15-5. 函数()()1tan cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π6. 一算法的程序框图如图1，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为A ．1-B ．0C ．D ．5 7. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是 A ．① ② B ．② ③ C ．① ④ D ．② ④ 8. 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 A ．11a b> B ．()2log 0a b ->C ．1132ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．21a b-<9. 已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的 图1直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为 AB． CD． 10. 已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A ．4029B ．4029-C ．8058D ．8058-二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 不等式2230x x --<的解集是 ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .13. 已知实数x ,y 满足221x y xy +-=，则x y +的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2 在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______．三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R ，4π是函数()f x 的一个零点.（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.17．（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． OD E CBA（参考公式：()()()121ˆˆˆniii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑，．）18．（本小题满分14分）如图3，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF 平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：BC ∥EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．图319．（本小题满分14分） 已知首项为32，公比不等于的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22S -，3S ，44S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n n T b +6<.20．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．FEDCBA（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．2015年广州市高考模拟考试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．()1,3- 1213．2 14．1315．sin()4πρθ+=三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点，∴ sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. …………………………………………1分 ∴ 1a =-. ………………………………………………2分∴ ()sin cos f x x x =-x x ⎫=-⎪⎪⎭………………………………………………3分4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分 ∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z . …………………6分（2）解：∵4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=.∴ sin α=. ………………………………………………7分 ∵ 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ cos α==. ………………………………………………8分∵34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴ cos β=. ………………………………………………9分 ∵ 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ sin β==. ………………………………………………10分 ∴ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …………………………………………11分=+= ……………………………………………12分 17．（本小题满分12分）（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A . …………………………………1分所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种． …………3分 事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． …………5分∴ 42()105P A ==． …………………………………………6分 （2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==． ………8分()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b --+--+--+--+--==-+-+-+-+- ˆˆ4ay bx =-=， …………………………………………10分 ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． …………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF， ∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ． ………………………………4分 （2）解: 在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴DE BH ⊥. ………………………………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，ADDE D =，∴BH ⊥平面ADEF . ………………………………7分 ∴BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………………………8分 在Rt △ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故BH = ………………………………9分 ∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴ DE AD ⊥. ………………………………10分 由（1）知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，HFEDCBA∴ AD ∥EF . …………………………………………11分∴ DE EF ⊥. …………………………………………12分∴三棱锥B DEF -的体积11111332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=． …………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：由题意得324224S S S =-+， …………………………………………1分即()()42430S S S S -+-=，即()4340a a a ++=. …………………………………………2分 ∴4312a a =-. …………………………………………3分 ∴ 公比12q =-. …………………………………………4分 ∴ 13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分另解：由题意得324224S S S =-+，1q ≠， …………………………………………1分 ∴()()()3241111121111a q a q a q qqq---=-+---. …………………………………………2分化简得2210q q --=，解得12q =-， …………………………………………4分 ∴13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分（2）解：1313222n n n nnb n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， …………………………………………6分 ∴ 12312336932222n n nnT b b b b =++++=++++， ① ……………………………7分 ()23131136322222n n n n nT +-=++++， ② …………………………………………8分①-②得，1231133333222222n n n n T +=++++-111132231212n n n +⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⨯--13632n n ++=-， …………………………………………10分∴ 3662n nn T +=-. …………………………………………12分 ∴ 6662n n n T b +=-<. …………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =. …………………………………………1分∵222c a b c a ==+， …………………………………………2分 ∴24a =． …………………………………………3分∴椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ……………………………………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……………9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………………………………10分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OMk k ⨯=2211414414m k k km k+⨯=-≠--+. ……………………………………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……………………………………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ……………………………………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， …………………………………………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.………………………………9分 ∴ 12221N x x kmx k +==-+. ……………………………………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………………………………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ……………………………………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()2ln f x ax b x =-，其定义域为()0,+∞， ∴()2b f x ax x'=-. …………………………………………1分 依题意可得(1)1,(1)20.f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩…………………………………………2分 解得1,2a b ==. …………………………………………4分（2）解：2()()(1)(1)2ln ,(0,1]g x f x x m x m x x x =-+-=--∈，∴ 22()mx g x m x x-'=-=. …………………………………………5分 ① 当0m ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,1]上单调递减，∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………6分② 当02m <≤时，2()()0m x m g x x-'=≤，则()g x 在(0,1]上单调递减, ∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………7分③当2m >时，则20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；2,1x m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>， ∴()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增. 故当2x m =时，()g x 的最小值为2g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵2(1)0g g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. ∴min ()0g x ≠. …………………………………………8分综上所述，存在m 满足题意，其取值范围为(,2]-∞. …………………………………………9分（3）证法1：由（2）知，当1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减,∴ (0,1)x ∈时，()(1)0g x g >=, 即12ln x x ->. …………………………………………10分 ∵ 120x x <<,∴ 1201x x <<. …………………………………………11分∴112212ln x x x x ->. …………………………………………12分 ∴ 121222(ln ln )x x x x x ->-. …………………………………………13分 ∵ 21ln ln x x >, ∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分 证法2：设2222()2(ln ln )(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<， 则2222()1x x x x x x ϕ-'=-+=. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'<， …………………………………………10分∴()x ϕ在2(0,)x 上单调递减∴2()()0x x ϕϕ<=. …………………………………………11分∴2(0,)x x ∈时，2222(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………12分 120x x <<,∴221212(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………13分 21ln ln x x >, ∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分。
