小波分析学习心得

浅谈Python⼩波分析库Pywavelets的⼀点使⽤⼼得本⽂介绍了Python⼩波分析库Pywavelets，分享给⼤家，具体如下：# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport mathimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdimport datetimefrom scipy import interpolatefrom pandas import DataFrame,Seriesimport numpy as npimport pywtdata = np.linspace(1, 4, 7)# pywt.threshold⽅法讲解：# pywt.threshold（data，value，mode ='soft'，substitute = 0 ）# data：数据集，value：阈值，mode：⽐较模式默认soft，substitute：替代值，默认0，float类型#data: [ 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. ]#output：[ 6. 6. 0. 0.5 1. 1.5 2. ]#soft 因为data中1⼩于2，所以使⽤6替换，因为data中第⼆个1.5⼩于2也被替换，2不⼩于2所以使⽤当前值减去2，，2.5⼤于2，所以2.5-2=0.5..... print(pywt.threshold(data, 2, 'soft',6))#data: [ 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. ]#hard data中绝对值⼩于阈值2的替换为6，⼤于2的不替换print (pywt.threshold(data, 2, 'hard',6))#data: [ 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. ]#data中数值⼩于阈值的替换为6，⼤于等于的不替换print (pywt.threshold(data, 2, 'greater',6) )print (data )#data: [ 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. ]#data中数值⼤于阈值的，替换为6print (pywt.threshold(data, 2, 'less',6) )[6. 6. 0. 0.5 1. 1.5 2. ][6. 6. 2. 2.5 3. 3.5 4. ][6. 6. 2. 2.5 3. 3.5 4. ][1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. ][1. 1.5 2. 6. 6. 6. 6. ]#!/usr/bin/env python# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport pywtimport pywt.dataecg = pywt.data.ecg()data1 = np.concatenate((np.arange(1, 400),np.arange(398, 600),np.arange(601, 1024)))x = np.linspace(0.082, 2.128, num=1024)[::-1]data2 = np.sin(40 * np.log(x)) * np.sign((np.log(x)))mode = pywt.Modes.smoothdef plot_signal_decomp(data, w, title):"""Decompose and plot a signal S.S = An + Dn + Dn-1 + ... + D1"""w = pywt.Wavelet(w)#选取⼩波函数a = dataca = []#近似分量cd = []#细节分量for i in range(5):(a, d) = pywt.dwt(a, w, mode)#进⾏5阶离散⼩波变换ca.append(a)cd.append(d)rec_a = []rec_d = []for i, coeff in enumerate(ca):coeff_list = [coeff, None] + [None] * irec_a.append(pywt.waverec(coeff_list, w))#重构for i, coeff in enumerate(cd):coeff_list = [None, coeff] + [None] * iif i ==3:print(len(coeff))print(len(coeff_list))rec_d.append(pywt.waverec(coeff_list, w))fig = plt.figure()ax_main = fig.add_subplot(len(rec_a) + 1, 1, 1)ax_main.set_title(title)ax_main.plot(data)ax_main.set_xlim(0, len(data) - 1)for i, y in enumerate(rec_a):ax = fig.add_subplot(len(rec_a) + 1, 2, 3 + i * 2)ax.plot(y, 'r')ax.set_xlim(0, len(y) - 1)ax.set_ylabel("A%d" % (i + 1))for i, y in enumerate(rec_d):ax = fig.add_subplot(len(rec_d) + 1, 2, 4 + i * 2)ax.plot(y, 'g')ax.set_xlim(0, len(y) - 1)ax.set_ylabel("D%d" % (i + 1))#plot_signal_decomp(data1, 'coif5', "DWT: Signal irregularity")#plot_signal_decomp(data2, 'sym5',# "DWT: Frequency and phase change - Symmlets5")plot_signal_decomp(ecg, 'sym5', "DWT: Ecg sample - Symmlets5")plt.show()725将数据序列进⾏⼩波分解，每⼀层分解的结果是上次分解得到的低频信号再分解成低频和⾼频两个部分。

小波分析专题研讨【目的】(1) 掌握正交小波分析的基本原理。

(2) 学会Haar 小波分解和重建算法，理解小波分析的物理含义。

(3) 学会用Matlab 计算小波分解和重建。

(4) 了解小波压缩和去噪的基本原理和方法。

【研讨题目】 基本题题目目的:(1)掌握小波变换分解和重建算法的基本原理和计算方法； (2)掌握小波变换中Haar 基及其基本特性； (3)学会用Haar 基进行小波分解和重建的计算。

8-1 (1)试求信号=T x [2, 2, 2, 4, 4, 4]T的Haar 小波一级变换系数]|[11T T d c 。

(2)将Haar 小波一级变换系数中的细节分量 1d 置零，试计算由系数]0|[1TT c 重建的近似信号1a ， 求出x 与1a间的最大误差ε。

解：（1）[]0108642144422211000110000*********000110000001121]|[11-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=T T d c 由matlab 验证：x=[2 2 2 4 4 4]; [ca,cd]=dwt(x,'db1');得到的结果:[]0 1.4142-0 5.6569 4.2426 2.8284]|[11=TT d c（2）[]000864]0|[1=TT c[]88664421000864100100100100010010010010001001001001211=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=T a 由matlab 验证：c=[4 6 8]; d=[0 0 0];x0=idwt(c,d,'db1')得到：[] 5.6569 5.65694.24264.24262.82842.8284=T x8-2 (1) 试求信号=T x [2, 2, 4, 6,−2,−2,−2, 0]T的Haar 小波三级变换系数]|||[1233T T T T d d d c 。

小波分析及其应用（学习总结）一、 初步认识小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier 变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。

小波变换被人们称为“数学显微镜”。

从数学的角度来看，小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数（通常具有鲜明的物理意义）对数学表达式的展开与逼近。

作为一种快速高效、高精度的近似方法，小波理论构成调和分析领域中Fourier 分析的重要发展。

与Fourier 变换由三角基函数构成相比，小波基函数大多具有快速衰减、充分光滑、能量集中在一个局部区域的函数()x ψ经过伸缩与平移得到的函数集合，其中b 起到平移的作用，而a 为伸缩因子（a 作为一种尺度在变化时产生多分辨特性）。

因此，从信号处理的角度来看，作为一种新的时频分析工具，小波克服了Fourier 分析方法表示信息时能够清晰的揭示出信号的频率特性而不能反映时间域上的局部信息的缺陷，而局部性质的描述无论是在理论上还是在实际应用方面都十分重要。

当利用小波实施视频分析时，由于同时具有时间和频率的局部特性以及多分辨分析特性，使得对非平稳信号的处理变得相对容易。

二、 第一代小波由L 2(R)空间的正交分解和变换相关知识，对于给定信号f(t)，关键是选择合适的标准正交基g i (t)，使得f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能得到我们需要的函数表示。

常用的变换有：(1) K-L 变换 (2) Walsh 变换 (3) Fourier 变换 (4) 小波变换如图1所示是信号f(t)的Fourier 变换示意图。

浅谈小波分析理论及其应用
小波分析是一种在时间上和频率上非常灵活的方法，它将函数分解为不同频率的小波，从而更好地理解信号特征。

小波分析对于信号和图像处理领域有着广泛的应用，它可以用于去噪、压缩、特征提取和模式识别等方面。

小波分析的基本原理是根据小波函数的特点进行信号的分解。

小波函数有时域和频域的双重特性，这使得小波分析可以在时间和频率上同时分析信号。

小波函数有许多种类，其中最著名的是Morlet小波函数和Haar小波函数。

不同类型的小波函数有着不同的特点，可以用于处理不同类型的信号。

小波分析的应用非常广泛，其中最重要的是信号的去噪。

小波去噪可以利用小波分解的多尺度分析特性，将信号分成多个不同的频率带，去除噪声后再进行重构。

由于小波函数的好处在于可以在不同的时间尺度和频率上描述函数的特征，因此可以避免传统傅里叶变换中产生的频域和时间域之间的不确定性问题。

小波分析还可以用于信号的压缩。

小波变换可以将信号表示为一组小波系数，这些小波系数可以提供基于特征的图像压缩，以适合数字传输。

此外，小波变换还可以使用不同的频带系数来减少压缩过程中所需的位数，从而减小数据存储和传输的成本。

除了去噪和压缩之外，小波分析还可以用于图像处理中的特征提取、形态学分析和模式识别。

小波分析可以提供对图像特征的多尺度分析和检测，以便更有效地检测和分类图像。

在医学图像处理和物体识别领域，小波分析成为了一种广泛使用的工具。

总之，小波分析是一种非常有用的信号和图像分析工具，它在不同领域中有着广泛的应用。

随着技术的进步，小波分析的应用还将不断发展和拓展，成为更有效的数学工具。

小波分析学习心得学习小波分析这门课程已经有一段时间了，我对于这一门课程已经有了一定程度的认识。

由于学科专业所限，我平时接触小波分析的机会并不是很多，很高兴在这个学期能够有机会专门学习小波分析。

经过这一段时间小波分析的学习，虽然我还不能说是精通小波分析，不过也是对其中的一些基本概念有了一定的理解。

后文中，我将会对在小波分析学习过程中所得到的一些学习心得进行总结。

我们通常说的波一般指的是物质的一种运动方式，在数学中它对应于时间域或空间域的震荡方程。

正弦波就是一种最为常见的波，它的振幅均匀的分布时域中，并不收敛，所具有的能量是无穷的。

小波，顾名思义，就是小的波，它的能量是有限的，相对于正弦波而言，它的振幅在时域上是收敛的，能量并不是无穷的。

傅里叶变换将函数投影到正弦波上，将函数分解成了不同频率的正弦波，这是一个非常伟大的发现，但是在大量的应用中，傅里叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中，傅里叶变换已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，傅里叶变换在奇异点的表现就令人非常不满意，从对方波的傅里叶逼近就可以看出来，用了大量不同频率的正弦波去逼近其系数衰减程度相当缓慢。

其内在的原因是其基底为全局性基底，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。

很多应用场合要求比较精确的时频定位，傅里叶变换的缺点就越来越突出了。

窗口傅里叶变换将信号乘上一个局部窗，然后再做傅里叶变换，获得比较好的时频定位特性，再沿时间轴滑动窗口，得到整个时间轴上的频率分布，似乎到这里就应该结束了，因为我们可以把窗设计小点获得较高的时间分辨率，并期望有同样高的频率分辨率，但测不准原理无情的告诉我们，没有这么好的窗能在时间和频率都任意小的，最优的就是高斯窗了（窗的选取还需满足频率域也为窗函数，并不是每个时窗都满足这个条件的）。

通过短时傅里叶变换我们可以画出时频图，但是存在问题：当我们分析频率较高部分信号时应该用更窄的窗，反之用宽窗，但短时傅里叶变换一旦选定窗过后，分辨率就固定了，若要其他分辨率则需要更换窗。

小波分析小结（小编整理）第一篇：小波分析小结小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。

小波理论的形成经历了三个发展阶段：Fourier变换阶段：Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。

设信号f(t)，其Fourier变换为：F(ω)=⎰f(t)e-iωtdt-∞∞F(ω)确定了f(t)在整个时间域上的频谱特性。

但Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。

例：f(t)=1,(-2<=t<=2)，其Fourier变换对应图如下：短时Fourier变换阶段：短时Fourier变换即加窗Fourier变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。

其表达式为：Gf(ω,τ)=〈f(t),g(t-τ)ejωt〉=⎰f(t)g(t-τ)e-jωtdtR式中，g(t)为时限函数，即窗口函数，e-jωt起频限作用，Gf(ω,τ)大致反映了f(t)在τ时、频率为ω的信号成分含量。

由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。

小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。

小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。

对信号可以进行概貌和细节上的分析。

小波的定义：∝(ω)，若满足设ψ(t)∈L2(R)（为能量有限的空间信号），其Fourier变换为ψ容许条件：|ψ(ω)|2⎰-∞|ω|dω<+∞∞∝∝(0)=∞ψ(t)dt=0，说明ψ(t)具有波动则称ψ(t)为母小波，由容许条件可得：ψ⎰-∞性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.t-12以Marr小波ψ(t)=(1-t)e2为例，如下图：2π2将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:ψb,a(t)=1t-bψ(),a>0aa其中a为伸缩因子，b为平移因子。

小波分析学习笔记小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。

小波由一族小波基函数 构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。

采用小波分析最大优点 是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。

小波分析具有发现其 他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械 故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。

如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有 Haar 、 Daubechies(dbN)、 Morlet 、 Meryer 、Symlet 、Coiflet 、Biorthogonal 小波等15种。

但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。

小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。

另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。

如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。

由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。

小波基：一般从线性相位，消失矩，相似性，紧支撑等来选择。

二进离散小波变换是最常用的离散小波变换，它对变换域的尺度参数a ，平移参数b 进行二进离散化处理，即a=2j ,b=k2j ; j,k ∈Z 。

其小波函数及变换系数表达式如下：二进小波函数：()-j/2-j j,k ψ(t)=2ψ2t-k ；二进小波变换： ()()()-j/2+j j -j -WT 2,k2=2ψ2t-k dt ff t ∞∞⎰； 二进小波逆变换： ()()++-12a,b ψf --da=C ψt WT a,b db a ()f t ∞∞∞∞⎰⎰()2+ψ-ˆψωC =d ωω;∞∞⎰其中()()ˆψω=FT ψ(t)； 多分辨率分析（Multi Resolution Analysis, MRA ）通过构造在频率上高度逼近L 2(R)空间的正交小波基（相当于带宽各异的带通滤波器组），将信号分解为低频部分（近似分量）和高频部分（细节分量）。

小波方法率参数，b 是时空参数。

在实际应用中，常选取h 与hˆ为在有界区间外为0或衰减较快的函数，所以小波可以实现时频的局部化。

加上小波的自适应能力，可使小波在描述信号时具有变焦的能力，这就解决了傅里叶函数和傅里叶加窗函数不能满足的特性。

概括的来说小波变换就是能满足这样要求的一种变换，小波函数中存在与局部频率相对应的尺度因子，可以改变时频窗口的形状，却不改变窗口的面积，当尺度因子逐渐减小时，小波函数的频谱便渐趋高频方向，而其宽度则渐趋狭小。

据此满足了信号的频度愈高，它在时空域上的分辨率愈高的要求。

小波分析由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，故赢得了“数学显微镜”得美誉。

虽然从原则上讲，以往使用付里叶分析的场合现在都可采用小波分析，尤其对非平稳信号的处理，小波分析因能更好地反映其频率特性而取得更好的结果。

但小波分析并不能完全取代付里叶分析，在处理渐变信号时，付里叶或加窗付里叶分析较之小波分析更为有效。

二者配合才可适应任意信号的分析与处理。

二、小波方法1、尺度函数空间假设是在三维空间里表达一个向量，我们需要建立一个三维的坐标系，只要坐标系建立我们就可以用三个点（x,y,z ）来简单的表示一个向量，同样的在一个信号我们设为f(t)，要想表示它，我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系，然后将f(t)映射在这些简单的正交函数上，产生一个系数，这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的不好想象。

总之就是利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t)。

这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是小波函数的作用了。

泛函分析知识总结与举例、应用学习感悟一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间nR （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

1.1举例1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点x,y ∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y≠⎧⎨⎩，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。

小波分析和变换课程学习报告1 课程概述小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier 变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。

有人把小波变换称为“数学显微镜”。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier 分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier 分析之后的又一有效的时频分析方法。

2 课程学习过程 2.1 绪论本节课，吴老师通过最基础的和差变换，深入浅出的指导我们初步认识到小波的基本知识面貌，在X(i)至Y(i)至Z(i)的变换与恢复过程中，我们认识到这其实是一种非常普遍的数据压缩与解压缩的过程，我们在生活和学习过程中经常会运用到。

引申到图像处理中，小波分析的运用更为直接和有效。

在该领域小波变换存在以下几个优点：a) 小波分解可以覆盖整个频域；b) 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；c) 小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）；d) 小波变换实现上有快速算法（Mallat 小波分解算法）。

2.2 小波变化原理2.2.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。

小波分析及其应用的读书报告及心得体会吴萍萍 51303310103第一章 信号的时间-频率分析1.1小波的发展史1807年 Fourier 提出傅里叶分析-伟大的数学史诗 ， 1822年发表 “热的解析理论”论文 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。

1984年～1988年，Meyer 、Battle 和Lemarie 分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer 小波、Battle-Lemarie 样条小波。

1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies 提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。

1987年，Mallat 将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat 算法）。

它标志着第一代小波的开始：（1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。

（2）优点：Mallat 算法在小波分析中的地位相当于FFT 在经典傅立叶分析中的地位。

它是小波分析从纯理论走向实际应用。

（3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。

1988年，Daubechies 基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies 基）。

Chui 和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。

1988年，Daubechies 在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。

1.2 傅立叶变换1、一维信号的傅立叶变换 ：正变换核函数：e iwt2、傅里叶变换度量了信号所有不同频率的震荡信息。

可以写成：3、傅里叶的反变换反变换核函数：e-iwt4、傅立叶的变换性质5、傅立叶统计特征1()()2i t f t F e d ωωωπ+∞-∞=⎰()()i t F f t e dtωω+∞--∞=⎰)()()(ωθωωi e F F -=零频分量F(0,0)也即直流分量 反映了图像的平均亮度对于大多数无明显颗粒噪声的图像来说，低频集中了图像85%的能量，这将成为图像压缩的理论依据。

小波实验报告
《小波实验报告》
小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具。

在本次实验中，我们将探索小波分析的基本原理，并通过实验验证其在信号处理中的有效性。

首先，我们介绍了小波分析的基本概念和原理。

小波分析是一种基于窗口函数的信号分析方法，它可以将信号分解成不同频率和时间尺度的成分。

与傅里叶变换不同，小波分析可以同时提供频域和时域的信息，因此在处理非平稳信号和非线性系统时具有独特优势。

接下来，我们进行了一系列实验，验证了小波分析在信号处理中的应用。

我们首先使用小波分析对一段包含多个频率成分的信号进行了分解，并成功地提取出了各个频率成分的时域和频域信息。

接着，我们对一个非平稳信号进行了小波变换，并观察到了小波分析在处理非平稳信号时的优越性。

最后，我们还利用小波分析进行了信号去噪和压缩，结果表明小波分析在这些应用中具有良好的效果。

通过本次实验，我们深刻理解了小波分析的原理和应用，并验证了其在信号处理中的有效性。

小波分析不仅可以帮助我们更好地理解信号的时频特性，还可以在实际工程中发挥重要作用。

我们相信，在未来的研究和应用中，小波分析将会得到更广泛的应用和发展。

小波分析读书报告---何鹏举2009-12-20一、概述小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。

幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法，多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。

它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了F ourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。

现在，它已经在科技资讯产业领网域取得了令人瞩目的成就。

电子资讯技术是六大高新技术中重要的一个领网域，它的重要方面是影像和信号处理。

现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。

从数学地角度来看，信号与影像处理可以统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。

对小波分析的自我理解肖志利 1015203053 控制科学与工程自动化学院第一次接触小波是在13年做毕业设计的时候，之所以接触它也是本能的觉得这个小波很高端，用这个小波可能会给我的毕业设计加分。

但那时只知道小波变换的一个很复杂很难懂的公式。

在通过MATLAB使用的时候也并不太清楚每个函数的具体内涵。

第二次接触小波是在14年，在研究生阶段信号分析的时候，之所以用它，是因为我觉得之前用过，如果说小波是工具，那我只有这一个工具，我并不了解它，只能硬生生的搬过来解决我想解决的问题。

但第二次相比第一次有了深一层次的理解，我知道了MATLAB在用函数分解完之后系数的长度在减少（所谓的下采样），但并不明白为什么会这样。

当我在博士选课时发现有这么一门小波分析的课程的时候，我毫不犹豫的选择了它，我想搞清楚我用过这么多次的小波到底是什么。

当老师说小波变换就是基底函数的拟合时，我有种恍然大悟的感觉，傅里叶变换使用正弦波作为基底函数，而小波就是用小波函数作为基底函数。

傅里叶变换的公式中一个参数w，它把信号从时域映射到频域，而小波变换的公式中有两个参数，一个尺度参数a，一个平移参数b，a反应频率信息，b反应时间信息，于是小波变换就把信号从时域映射到时频域。

经过第三次作业对MATLAB中关于小波分解和重构的函数进行使用和分析，重新发现，三个分解函数wavedec，detcoef，appcoef以及两个重构函数wrcoef，waverec的含义。

再经过第二次的作业详细的完成一次Haar小波的分解与重构，终于理清楚了小波变换的小波函数与尺度函数的关系。

小波分解过程就是首先用尺度函数表示原信号，在根据双尺度关系，用小波函数和尺度函数共同表示原信号，其中小波函数的系数就是小波系数，也就是细节系数，尺度函数的系数就是近似系数。

小波重构的过程就是小波分解过程的逆过程，根据已知的小波系数和近似系数用小波函数和尺度函数表示原信号，在根据双尺度关系，用尺度函数表示原信号。

小波分析期末总结在这门课程的学习过程中，我首先学习了小波分析的基本概念和原理。

小波分析是一种通过将信号分解成不同尺度和频率的小波成分来研究信号特征的方法。

小波分析与傅里叶分析相比，具有更好的时域和频域分辨率。

学习小波分析的过程中，我深入理解了小波基函数、尺度函数、小波变换等重要概念。

然后，我学习了小波分析的数学理论和算法。

在小波分析中，我学会了如何选择适当的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等，并且了解了它们的特点和适用范围。

在小波变换算法方面，我学会了离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）的数学表达式和计算方法。

通过学习小波分析的理论和算法，我对小波分析的原理和实现有了更深入的了解。

在实际应用方面，我学习了如何利用小波分析来处理和分析信号。

在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测、图像增强等。

通过学习小波变换的应用算法，我可以将图像分解成具有不同尺度和频率特征的小波成分，并根据需要选择相应的小波成分进行处理。

在语音处理中，小波分析可以用于语音信号的压缩、降噪、语音识别等。

通过学习小波分析的应用技巧，我可以将语音信号分解成不同尺度和频率的小波成分，并根据需要对小波成分进行相应的处理。

此外，我还学习了小波分析的一些拓展应用。

在金融领域，小波分析可以用于金融市场的波动性分析、股票价格的预测等。

通过学习小波变换在金融分析中的应用，我可以将金融时间序列数据分解成具有特定频率特征的小波成分，进而对金融市场进行研究和预测。

在地震学中，小波分析可以用于地震信号的处理和地震波形的分析。

通过学习小波分析的应用原理和方法，我可以提取地震信号的时频特征，并研究地震波形的物理特性。

总之，在本学期的小波分析课程中，我不仅学习了小波分析的基本理论和算法，还学习了小波分析在不同领域中的应用技巧。

通过理论学习和实践应用，我对小波分析有了深刻的认识和理解。

小波分析作为一种强大的信号处理工具，可以在多个领域中发挥重要作用。

给我们一个信号时，我们从时域中观察这个信号时，我们得到的信息是信号的持续的时间，随着时间的变化，信号的幅度起起伏伏。

如果我们更进一步，就是起伏速度较快的部分对应着信号中高频部分。

变换缓慢的部分对应着代表信号中的频率低频部分。

我们也可以估算信号中直流分量的大小。

当然这都是我们直观的理解。

这种单纯的从时域中的信号的波形得到的信息是不全面的。

有的时候我们想要知道我们的信号中含有那些频率成分，相应频率的强度，相位。

这就是从从频域的角度来看待我们的信号。

这就需要一个数学变换的工具，将我们的信号变换到频域。

这个强大的数学工具就是傅里叶变换，变换后我们希望我们还可以回到时域中，也就是我们的变换是可可逆的，事实上，傅里叶变换就有这个信息不损失的性质。

如今傅里叶变换已经成为一个体系。

一切来自于数学中的分解思想，在这里我们选择一组正交基。

对我们信号函数的分解就像是对空间中某一一向量分解到三个坐标系一样，只不过函数的坐标是傅里叶系数而已。

这样，我们经过傅里叶变换就可以知道我们的信号中含有的频率成分。

但是这里有一个隐含的假设，或者说是傅里叶变换的致命弱点，那就是他潜在的假设了我们的信号是平稳信号。

何为平稳信号？所谓的平稳信号就是信号的各种频率成分在信号的全部持续时间中都存在。

举个例子，假如我们对一个持续时间在[0,100s]的平稳信号做傅里叶变换，得出信号中有59HZ，那么就说明，对该平稳信号，59HZ从0开始，在这100s中的任何一个时刻都存在。

可是，当我们的信号不是平稳信号时，例如59HZ产生50s 处，强度和上一个信号的完全相同，其他频率也完全相同，如果我们对这一个信号做傅里叶变换，由于傅里叶变换的积分域是从负无穷到正无穷，所以不幸的是，我们得到了和上一信号完全一样的结果，我们无法再从频域回到时域了。

也就是FT并没有告诉我们非平稳信号的各种频率分别出现在那个时间段上。

事实上，在现实生活中，非平稳信号和平稳信号交织在一起的。

浅谈小波分析摘要：小波分析已成为当代最重要的数学工具之一。

本文简要叙述了小波的由来和发展过程，并且阐述了本人对小波的理解，以及进行了小波分析与傅里叶分析之间的比较，最后对小波发展进行一些展望。

关键字：小波变换；傅里叶变换；0．引言当代社会时信息社会，诸多领域都会涉及到信号处理的问题。

长期以来，傅里叶变换一直是信号处理最重要的工具，并且己经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。

但是，傅里叶变换分析方法存在着一定的局限性与弱点，傅里叶变换虽然提供了信号在频率域上的详细特征，却把时间域上的特征完全丢失了。

而在实际中，瞬变信号(非平稳信号)大量存在，对这一类信号进行处理分析，通常需要提取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频域段所对应的时间信息。

小波变换不仅继承和发展了傅里叶变换的一些思想和理论，也克服了其缺点，是一种比较理想的信号处理的数学工具。

小波变换作为信号处理的一种手段，被越来越多的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果，同传统的处理方法相比，产生了质的飞跃，证明了小波技术作为一种调和分析方法，具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。

小波分析虽然已形成了一门独立的学科，但傅里叶分析的方法、理论和命题，是小波分析理论中不可缺少的部分。

前文已指出傅里叶分析是频谱分析，而小波分析是频带分析，二者具有互补的作用。

尽管小波分析具有种种优越性，但对某些信号，傅里叶分析还是适用的、方便的。

小波分析是对傅里叶分析的发展，而傅里叶分析是对小波分析的支撑。

它们同是信号分析中的方法。

小波理论的进一步发展仍然离不开傅里叶分析的理论和方法。

1．小波理论的来源傅里叶分析是一种频谱分析，它能清楚揭示信号()f t的频谱结构，因此在信号分析中长期占据着突出的地位。

但是它也存在着不可避免的缺点，即傅里叶系数是信号()f t在f t在整个时间域上的加权平均。

要想用它们的系数来反映信号()时间域上的局部性质是不可能的，而信号的局部性质无论是在理论研究方面，还是在实际应用方面都是十分重要的。

浅谈小波分析教学[摘要]：本文介绍了如何利用学科发展的线索串联起教学内容，让学生通过实践掌握抽象理论的实质，并结合了教学实际讲授学科的最新发展，拓展了学生的眼界和知识面。

[关键词]：小波分析教学内容学科发展一、引言小波作为信号处理的强有力的工具已经在图像处理、语音处理、时频分析、故障诊断、金融分析、模式识别等众多领域得到了广泛的应用。

JPEG2000就采用了小波变换作为图像压缩的标准。

在很多高校，小波分析已是数学学科和信息学科的研究生的必修课和高年级本科生的选修课程。

笔者在扬州大学信息工程学院也多次讲授了这门课程。

选课对象是以信息与信号处理专业为主的硕士研究生和部分高年级本科生。

鉴于选课学生并没有学过课程所涉及到的调和分析和泛函分析等较深的数学知识，甚至对Fourier分析也缺乏较深入的了解，笔者不得不从Fourier分析的内容开始讲授。

因此笔者所讲授的这门课程涵盖了从Fourier分析到小波分析的基本内容。

二、以时频局部化分析为中心任务，利用学科发展线索串联教学内容考虑到学生起点较低的实际状况，我们紧紧围绕时频局部化这一中心任务，依次介绍Fourier变换、加窗Fourier变换、加伸缩窗的Fourier变换、小波变换的基础知识。

按照这条线索串联教学内容不仅顺应了学科的自我发展规律，而且由浅入深、从低到高的知识阶梯让学生容易掌握。

在这条线索中，把加伸缩窗的Fourier变换中的频率部分eiξ去掉，就自然引出了小波变换。

也即仅依靠伸缩率和时间变量也能够分解和重构一个信号，这就是小波变换。

因为取消了具有频率或者周期性的指数函数eiξ，小波变换要求“窗函数”（在小波变换中称为小波函数）具有某种震荡性。

跟周期性相比，震荡性显然要来得更宽松。

如果采用一般教科书上直接给出小波变换的定义的方法，而缺乏学科发展背景的铺垫的话，学生不容易掌握其实质且无法从总整体上把握小波变换在学科发展中的作用和地位。

信号处理学科中最重要的主题是时频局部化的研究。

小波方法年级：研一专业：高压姓名：吕树明学号：0920300072第1章绪论小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。

小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。

经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。

小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。

因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。

小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。

AbstractWavelet Analysis (order Wavelet), Wavelet transform is mid 80's developed a new mathematical theory and method, it is believed to be the Fourier Analysis method, it is the breakthrough of many excellent properties. The basic thought of wavelet transform is similar with Fourier signal in gens function of space projection lodged open like the signal representation. The Fourier transform of the classical signal by triangle is, the yankees will be arbitrarily, cosines with different frequency function for the linear superposition of harmonic function, can characterize the signal frequency characteristics, but when it without any resolution airspace, cannot make local analysis, it in theory and application are brought much inconvenience. Wavelet analysis is superior to Fourier, wavelet analysis in time domain and frequency domain, also have good properties, because the localization of wavelet function is tight, and triangle is a collection of interval is infinite, cosine interval, so the wavelet transformation of high frequency components can be refined by gradually replacing time or space domain, which can step length on any object to details. Therefore, the wavelet transform is regarded as the microscope, the analysis of signal in the history of the Fourier analysis, a new milestone. Wavelet analysis is a new branch of mathematics, it is the functional analysis, Fourier analysis, numerical analysis of the most perfect, In the fields of application, especially in the image processing and signal processing, analysis and pattern recognition, quantum physics, biomedical engineering, computer vision, fault diagnosis and nonlinear science is widely used in the field.Key words: wavelet Analysis, harmonic function, diagnosis第2章 傅立叶变换2.1周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。