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小波变换完美通俗解读
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠这小波变换！这玩意儿可神奇啦！
你看啊，就好比我们听音乐。
那音乐里有各种不同的声音吧，高音、低音啥的。
小波变换呢，就像是一个超级厉害的音乐分析师，能把这音乐里的各种成分给分得清清楚楚！比如我们平时说话的声音，有高有低，语调也不一样，小波变换就能把这些不同的部分准确地分辨出来。
再想想看，我们看一幅画，上面有各种色彩和线条。
小波变换就像是一个能把这些元素都拆解开来的大师！它可以把画里的细节，什么线条的走向啦，颜色的分布啦，都弄得明明白白。
那这小波变换到底有啥牛的呢？嘿，你想啊，我们在生活中，有时候会遇到很复杂的信息，就像一团乱麻。
而小波变换就能像一把神奇的剪刀，把这团乱麻给理清咯！
比如说医生要看 X 光片，那么多复杂的影像，小波变换就能帮忙找出关键的地方，难道这还不厉害吗？或者是在气象研究中，那么多变幻莫测的气候数据，小波变换就能从中找出规律！你说神不神奇！
“哎呀，那这小波变换也太了不起了吧！”这时候可能有人就问了，“那咱普通人能用它干啥呀？”嘿，用处可大了去了！如果你喜欢摄影，它可以帮你更好地处理照片，让照片更清晰更漂亮。
要是你对声音处理感兴趣，它能让你的音乐听起来更棒！这不就是让我们的生活变得更美好嘛！
总之，小波变换真的是一个超级神奇又超级实用的东西！大家可得好好去了解了解它，说不定就能给你的生活带来意想不到的惊喜呢！别小瞧它哦，它真的超厉害！。
小波变换名词解释
小波变换 (wavelet transform) 是一种时空局部化的数据变换方法，它通过对数据进行多尺度分析，从而实现数据的压缩、重构、滤波、边缘检测等操作。
小波变换的基本概念包括小波函数、小波基、小波变换系数、多分辨率分析等。
其中，小波函数是一种构造小波变换的基础，它可以用来描述信号或图像在不同尺度上的特征。
小波基是小波函数的线性组合，它用来实现小波变换的多尺度分析。
小波变换系数是小波基在数据上的投影，它可以用来描述数据的局部特征。
多分辨率分析是小波变换的一个重要概念，它表示数据在不同尺度上的分析，通过多分辨率分析，小波变换可以实现数据的分辨率增强。
小波变换在信号处理、图像处理、模式识别、数据压缩等领域有着广泛的应用。
一、三维数据的概念三维数据是指在三维空间中表现出的数据，通常包含了三个方向的信息，比如长度、宽度和高度。
在现实生活中，我们经常会遇到三维数据，比如地理空间数据、医学影像数据、工程结构数据等。
三维数据的处理和分析是一项重要的工作，涉及到许多领域，如计算机图形学、地理信息系统、医学影像处理等。
二、小波变换的概念小波变换是一种信号分析的方法，它可以将信号分解成不同尺度和频率的成分，从而更好地理解信号的特性和结构。
小波变换在信号处理、数据压缩、模式识别等领域有着广泛的应用。
其中，haar小波是一种最简单的小波函数，它具有良好的局部性质，可以方便地用于分析和处理信号和数据。
三、matlab中的小波变换matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的工具和函数，方便用户进行数据分析和处理。
在matlab中，小波变换被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域。
matlab提供了丰富的小波变换函数和工具箱，用户可以方便地对三维数据进行小波变换和分析。
四、三维数据的小波变换1. 三维数据的小波变换可以通过将三维空间中的信号进行分解和重构来实现。
2. 通过小波变换，可以将三维数据分解成不同尺度和频率的成分，从而更好地理解和分析数据的特性。
3. 小波变换可以帮助我们发现数据中的隐藏信息，提高数据压缩和分析的效率。
五、matlab中的三维数据小波变换实现1. 在matlab中，可以使用wavelet3函数来实现三维数据的小波变换。
这个函数可以指定小波基函数和分解尺度，方便用户进行灵活的小波分析。
2. matlab提供了丰富的图形界面和交互式工具，用户可以直观地对三维数据进行小波变换和分析。
3. 利用matlab中的小波变换工具，用户可以方便地对三维数据进行可视化、分解和重构，实现对数据的深入分析和理解。
六、结论三维数据的小波变换是一种重要的数据分析方法，它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用前景。
基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。
小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。
具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。
4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。
傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。
在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。
定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。
可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。
尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。
但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。
小波变换 python 小波变换python频谱一、小波变换概述小波变换是一种基于多尺度分析的信号处理方法，可以将信号分解成不同尺度的成分，并具有在时间域和频率域上进行局部分析的优势。
通过对信号进行小波变换，可以得到信号的时频分布，并找到信号中的瞬时特征。
小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
二、小波变换的基本原理小波变换通过使用小波基函数对信号进行分解和重构，其中小波基函数是一组局部化的基函数。
与傅立叶变换采用正弦和余弦函数作为基函数不同，小波变换采用的是一组波形具有有限持续时间的小波基函数。
小波基函数可以通过缩放和平移变换得到不同尺度和位置的小波函数，从而可以对信号进行多尺度分解。
小波变换的基本原理可以用数学公式表示为：\[W(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\psi_{a,b}(t)dt\]其中，\(W(a, b)\)表示小波系数，\(x(t)\)表示原始信号，\(\psi_{a,b}(t)\)表示小波基函数，\(a\)和\(b\)表示尺度和位置参数。
三、使用Python进行小波变换Python语言有着丰富的信号处理库和数学计算库，例如 NumPy, SciPy 和 PyWavelets，这为进行小波变换提供了便利。
下面，我们将介绍如何使用Python进行小波变换，并绘制小波变换后的频谱图。
1.导入相关库我们需要导入相关的Python库，例如 NumPy 和 PyWavelets：```pythonimport numpy as npimport pywtimport matplotlib.pyplot as plt```2.生成测试信号为了进行小波变换，我们需要先生成一个测试信号。
这里我们以正弦信号为例：```pythont = np.linspace(0, 1, 1000, endpoint=False)f0 = 50f1 = 100f = np.sin(2*np.pi*f0*t) + np.sin(2*np.pi*f1*t)```3.进行小波变换接下来，我们使用PyWavelets库进行小波变换。
小波分解和小波变换小波分解和小波变换是一种信号解析的数学方法，可以将信号分解成多个不同的频率和幅度的成分，从而更好地了解信号的特性。
小波分解和小波变换的应用广泛，在信号处理、图像处理、数据分析和物理学等领域中都有重要的应用。
一、小波分解小波分解是指将信号分解成一组不同频率和幅度的分量，其中小波函数被用来作为分解的基函数。
这些小波函数可以有不同的特性，例如有限长度和平滑度等。
通常情况下，小波函数是由一个母小波函数递归生成得到的。
小波分解的基本步骤如下：1.选择一个小波基函数，并确定其尺度和位移参数。
2.将这个小波函数与信号进行卷积。
3.将卷积结果分为两部分，一部分是高频成分，另一部分是低频成分。
4.重复以上步骤，递归地对低频成分进行分解，直到无法再进行分解。
小波分解的结果是一个小波系数数组，其中每个小波系数表示了对应频率和振幅的成分的大小。
二、小波变换小波变换是指将信号在小波基函数下的分解。
它将信号分解成不同的频率和振幅成分的过程，可以用于信号去噪、数据压缩和特征提取等应用。
4.对低频成分进行下采样，得到一个新的序列。
三、小波分析的优点相对于傅里叶变换和小波变换，小波分析有一些明显的优点：1.小波分析可以适应各种信号类型，包括非平稳信号和非线性信号。
2.小波分析可以分析信号中的时空分布，而傅里叶变换只能分析信号中的频率分布。
3.小波分析可以将信号分解成有限的、宽带的频率组件，而傅里叶变换需要使用无限多的单色波组成信号。
4.小波分析可以快速地处理并行信号，因为它可以进行高效的多尺度分解。
小波分析在许多领域中都有广泛的应用，例如信号处理、图像处理、音频处理、数据压缩和特征提取等。
以下是一些常见的应用：1.信号去噪：小波分析可以有效地去除信号中的噪声和干扰。
2.数据压缩：小波分析可以将信号分解成有限的频率组件，从而能够进行高效的数据压缩。
3.图像处理：小波分析可以使用不同的小波基函数对图像进行分解，从而能够进行图像去噪、特征提取和边缘检测等处理。
小波变换算法实现小波变换是现代信号处理领域中一种重要的分析方法，用于将一个时间域上的信号转换成频率-时间域上的信号。
小波变换具有时频局部化的特性，可以更好地描述信号的瞬时特征。
下面将介绍小波变换的基本原理和算法实现。
一、小波变换的基本原理小波变换本质上是将一个信号分解成不同频率和时间的成分。
它利用小波函数作为基函数，通过对信号的卷积和迭代分解，将信号分解为近似系数和细节系数。
近似系数表示信号在不同尺度上的低频成分，而细节系数表示信号在不同尺度上的高频成分。
通过迭代分解和重构，可以得到一系列尺度不同的近似系数和细节系数。
这些系数可以用于信号的压缩、去噪、边缘检测等各种信号处理任务，具有很强的应用价值。
二、小波变换的实现步骤小波变换的实现分为分解和重构两个步骤。
下面将详细介绍每个步骤的算法实现。
1.分解（1）选择小波基函数：需要选择一种合适的小波基函数作为分解的基础。
常见的小波基函数有Haar、Daubechies、Symlets等。
（2）信号补零：为了使信号长度满足小波变换的要求，需要对信号进行补零操作，通常在信号末尾添加0。
（3）小波滤波器：通过卷积操作将信号分解为低频和高频的部分。
低频部分即近似系数，高频部分即细节系数。
（4）采样：将滤波后的信号进行降采样，得到下一层的近似系数和细节系数。
（5）重复分解：将降采样后的近似系数和细节系数作为输入，重复进行上述分解操作，得到更高阶的近似系数和细节系数。
2.重构（1）插值：将近似系数和细节系数进行上采样，补齐0，得到重构所需的长度。
（2）小波滤波器：将插值后的系数与小波滤波器进行卷积操作，得到重构后的信号。
（3）重复重构：将重构信号作为输入，重复进行上述重构操作，得到原始信号的近似恢复。
三、小波变换的优缺点小波变换有以下几个优点：（1）时频局部化：小波函数具有时频局部化的特性，能更好地描述信号的瞬时特征。
（2）多分辨率分析：小波变换能够将信号在不同尺度上进行分解，分析信号的低频和高频成分。
小波变换的通俗理解嘿，朋友们，咱们今天来聊聊一个听起来高大上的数学名词——小波变换。
别紧张，咱们不用把它想得太复杂，就当作是一次有趣的数学探险吧！咱们平时看电影、听音乐，都离不开信号处理。
傅里叶变换这个名字你们可能听说过，它就像一把神奇的钥匙，能把信号从时间的世界带到频率的世界。
但傅里叶变换有个缺点，就是它只能告诉我们信号里有哪些频率，却说不出这些频率具体出现在什么时候。
这有点像你只知道一部电影有哪些角色，却不知道他们在哪个时间段出场一样。
为了解决这个问题，科学家们就想出了小波变换这个妙招。
小波变换就像是给信号戴上了一副“变焦眼镜”，既能看清信号的整体面貌，又能捕捉到每一个细节的瞬间。
它就像是一个能伸缩、能平移的“时间-频率”窗口，让我们可以随时调整视野，看到信号在不同时间和频率上的表现。
小波变换的神奇之处在于，它不仅能覆盖整个频域，还能根据不同的频率调整时间分辨率。
在低频段，它用高频率分辨率和低时间分辨率来看清信号的“大模样”；在高频段，它又用低频率分辨率和高时间分辨率来捕捉信号的“小动作”。
这种“变焦”特性，让小波变换在处理非平稳信号时特别有用，比如生物电信号、股票市场的波动等等。
而且啊，小波变换还有很多不同的小波基函数可以选择，就像我们平时选衣服一样，可以根据不同的需求和喜好来挑选。
这些小波基函数各有特色，有的紧凑、有的平滑，有的对称、有的不对称，真是五花八门，应有尽有。
当然啦，小波变换也不是万能的，它也有自己的局限性和挑战。
比如计算复杂度高、小波基选择难、边界效应等问题，都需要我们在实际应用中仔细考虑和解决。
但总的来说，小波变换还是一种非常强大和有趣的数学工具，它让我们能更深入地理解和处理信号，就像打开了一个全新的世界大门。
怎么样，听了我的介绍，你们是不是也对小波变换产生了兴趣呢？那就让我们一起继续探索吧！。
小波变换公式推导
1、定义小波函数：小波函数ψ(t)是一个具有零平均值的振荡函数，它在时间域和频率域都是局部化的。
2、小波变换的积分形式：对于信号f(t)，其连续小波变换（CWT）定义为
其中，a是尺度参数，控制小波的宽度；b是平移参数，控制小波的位置。
3、小波函数的性质：小波函数需要满足一定的条件，如可容许性条件，以确保小波变换的存在性和唯一性。
4、逆变换：连续小波变换的逆变换为
其中，Cψ是一个与ψ有关的常数。
5、离散小波变换：在实际应用中，常常使用离散小波变换（DWT），它是对连续小波变换的尺度和平移参数进行离散化得到的。
6、多分辨率分析：小波变换的一个重要特性是多分辨率分析，它允许我们在不同的尺度上观察信号，从而揭示信号的局部特征。
7、小波基的选择：在实际应用中，需要选择适合信号特点的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波等。
8、快速小波变换：为了提高计算效率，可以使用快速小波变换（FWT）算法，它利用了小波变换的某些性质来减
少计算量。
小波变换原理公式小波变换是一种信号处理和数据分析的方法，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分。
小波变换的原理公式如下：W(a, b) = ∫f(t)ψ*[(t-b)/a]dt其中，W(a, b)表示小波系数，a和b分别表示尺度参数和平移参数。
f(t)是原始信号，ψ(t)是小波基函数。
小波变换的原理可以通过对其公式进行解释。
首先，尺度参数a控制小波基函数的压缩或扩展程度，即决定了小波基函数在时间轴上的拉伸。
当a较大时，小波基函数会被拉伸，从而对应较低频率的成分；而当a较小时，小波基函数会被压缩，对应较高频率的成分。
平移参数b则决定了小波基函数在时间轴上的平移，即决定了小波基函数的起始位置。
通过改变平移参数b，可以对不同时间段的信号进行分析。
小波变换的过程可以分为两个步骤：分解和重构。
首先，通过不同尺度和平移参数的组合，对原始信号进行分解，得到一系列小波系数。
这些小波系数表示了不同频率和时间范围的信号成分。
然后，通过逆小波变换，将这些小波系数重构成原始信号。
小波变换具有多尺度分析的特点，可以对信号的局部特征进行捕捉。
相比于傅里叶变换，小波变换更适用于非平稳信号的分析，因为小波基函数在时间和频率上都有局部性。
小波变换在许多领域都有广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、特征提取、边缘检测等。
在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、图像增强等。
在金融分析中，小波变换可以用于股票价格预测、风险管理等。
在生物医学领域，小波变换可以用于心电信号分析、脑电信号分析等。
小波变换是一种强大的信号处理和数据分析工具，其原理公式提供了一种理论基础。
通过对尺度和平移参数的调节，可以对不同频率和时间范围的信号成分进行分析和提取。
小波变换在许多领域都有广泛的应用，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。
小波变换完美通俗解读要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。
要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。
很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。
变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。
如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。
那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。
小波变换自然也不例外的和basis有关了。
再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。
既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。
一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。
比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。
而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n=av_n，a是eigenvalue)。
总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。
好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。
当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。
接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。
傅立叶级数最早是Joseph Fourier这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于function space。
小波变换的基本原理嘿呀，宝子，今天咱来唠唠小波变换这个超有趣的东西。
小波变换呢，就像是一个超级神奇的魔法工具。
你可以把它想象成一个特别聪明的小侦探，专门去探究信号里面的小秘密。
比如说，你听到一段音乐，这里面有高音有低音，有长音有短音，这些声音信号看起来乱乱的，但是小波变换就能像把这些声音信号拆成一个个小零件一样，仔细地研究每个零件是啥样的。
一般来说，我们平常接触到的信号啊，就像是一团乱麻。
传统的方法去看这个信号，就有点像只看这个乱麻的整体，很难发现里面细致的结构。
可是小波变换就不一样啦。
它有自己独特的小波函数，这个小波函数就像一把特制的梳子。
这把梳子的齿儿大小啊、形状啊都是可以根据要分析的信号来调整的。
那这个小波函数怎么工作呢？它就像在信号这个大仓库里，这里翻翻，那里找找。
它会在信号的不同地方进行“扫描”。
比如说，在信号开始的地方，它用一种方式去和信号匹配，看看能发现啥。
然后再到信号中间，又换一种方式去匹配。
这就好比你找东西，在房间的角落用小镊子找小物件，在大柜子里就用大钩子找大物件一样。
而且啊，小波变换特别擅长发现信号里面那些突然变化的地方。
就像你看一幅画，画里突然有个特别鲜艳的颜色在一堆暗淡颜色里冒出来，小波变换就能很快地找到这个特别的地方。
它能把信号里那些隐藏的信息，像宝藏一样挖掘出来。
你知道吗？在图像领域，小波变换也超级厉害。
一张图片看起来就是一个整体的画面，但是里面有很多不同的细节啊，有颜色深的地方，颜色浅的地方，有边缘的地方。
小波变换就像一个超级细心的画家，把这幅画一层一层地剥开，先看大的轮廓，再看小的细节。
它把图像分解成不同的频率成分，就像把一幅画分成了背景、主体、小装饰这样不同的层次。
在工程领域，小波变换也有大用场。
比如说检测机器的故障。
机器运行的时候，会发出各种各样的声音信号或者振动信号。
正常的时候，这些信号有一定的规律，一旦机器出故障了，信号就会发生变化。
小波变换就像一个超级灵敏的听诊器，能听出这个信号里不正常的地方，然后告诉工程师，这个机器这里出问题啦。
小波变换的若干直观解释唐常杰川大计算机学院说明：１假定听者已经听说过或阅读过小波，但觉得缺乏直观感觉，本PPT的直观解释仅仅为了辅助理解，不能取代严格的描述和证明２仅仅是讲稿草案，还不成熟，待修改小波简史（与石油勘探中人工地震技术相关）n由法国石油信号处理的工程师J.Morlet在1974提出n通过物理直观和信号处理实际需要的建立反演公式，未得认可。
n1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place以及A.M.Legendre的认可n七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备n J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年小波简史n比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》推动小波普及n它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，n通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），n解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题n被誉为“数学显微镜”小波特点与应用n压缩比高，速度快n压缩后能保持信号与图象的特征不变n传递中可以抗干扰。
n基于小波分析的压缩方法：小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
n小波在信号分析中的应用n边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测。
n工程应用。
n包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学启示与哲理复杂由简单构成。
宇宙基本法则实数域内有意义的曲线都可以分解为若干个正弦曲线的叠加。
傅立叶变换与分形的原理同源。
大自然只”懂”自然数。
自然对象的比较，都是整数倍的。
分数是人类思维的抽象结果。
H要分析一个较小的对象，要用比它更小的尺子。
否则“测不准”。
H尺子不一定要求平直，可用鸡蛋或米粒作尺子度量包装箱W大小例如W=3*鸡蛋+1024*米粒, 是可以理解和交流的，客观的。
H用紫外光波可以量度比紫外光波长尺寸大的对象。
H用一组尺度小的小波作尺子，可以度量比它大的波形H使用有限宽度基函数进行变换的方法。
这些基函数在频率上，在位置上变化，H这些有限宽度的波被称为“小波”（Wavelet）H相应变换被称为“小波变换”（Wavelet transforms）n 向量内积n 对于R n 上的两个向量X=(x 1,x 2,…,x n ) 和Y=(y 1,y 2,…,y n )，其Euclidean内积为：n |X|.|Y|Cos(β)复习：向量内积å==nj jj y x YX 1,复习：向量内积的多种直观解释n1.相关系数, β= 0, 90, 180n2.加权, x1+x2+…+x n=1 , <X,Y>是Y的分量的加权平均n 3.度量相似性和投影大小，n v=2i+０j+4K, 用坐标向量k作尺子去度量它，４，说明与k比较相似，用坐标向量j作尺子去度量,为０，完全不像j。
n正交坐标基底上分解向量特别简单，n向量表达为基底向量的线性组合n即在坐标基上各分量的组合复习：函数看作向量，作内积nL 2空间n对于a ≤t ≤b ，空间L 2([a,b])表示所有平方可积的函数组成的空间，nL 2内积n空间L 2([a,b])表上的L 2内积定义为]),([,)()(,22b a L g f dt t g t f gf baLÎ=ò；{}ò¥<®=b adt t f C b a f b a L 22|)(|;],[:]),([Fourier 级数(0aa f(x)k kk+=åò-=p ppkx x f b k)sin()(21ò-=p pp dx x f a )(210ò-=p pp dx kx x f a k )cos()(21其中：n•f 在第k 维上量上的偶函数分量坐标基底的单位性和正交性ò-ïîïíì==³==p pp 其它00211)cos()cos(1k n k n dx kx nx ò-îíì==ppp 其01)sin()sin(1n dx kx nx ò-=ppp)sin()cos(1dx kx nx n理解波与倍频波正交n例如SIn(x) 和Ｓin（2x）正交：黑板上画图，n Sin(x) 正的部分sin(2x)加权成为正负相抵的两部分n所以构建小波正交基时喜欢倍频和２^k倍频n音乐：低音C0：130.5, 中音C1,261, 高音C2：522 倍频，….n8度，中间12个半音，成为等比级数，公比为2(1/12)n高低合唱时，频率相差2K 倍，唱的人并不觉得难，不干扰，因为正交。
n唱和声时，两个声部不是倍频，不正交，唱低音部的觉得比较难，会受到差频的影响Fourier 级数应用（变换处理的思想见下页）)60sin(3.0)3cos(2)sin(t t t f(x)++=（1）滤除噪声变换--去掉高频项—再变回去)3cos(2)sin(t t f(x)+=（2）数据压缩变换--去掉小系数项—再变回去))sin cos (0(kx b (kx)aa f(x)k k k ++=å对于给定的域值，去掉小于域值的a k 和b k ，然后进行合成和还原用空间变换处理对象运算的思想log(xy)= log(x)+ log(y) 积像像和1-1射积像像和：保持一定性质。
1-1射：还可以变回去。
像空间中比源空间更易处理，变X / 为＋—,倒车镜（拓扑变换）相邻关系保持,拉氏变换，变微积分为乘除科幻小说中，坐时光机器倒流若干年，杀敌人的祖辈。
前提：变换保持父子关系，母子关系，敌我关系等等有些变换忽略了不需要的，突出了需要的，处理后再变回去。
Fourier 级数应用局限性（1）基底：周期性的正弦和余弦函数。
适合于处理近似周期性的波动信号。
（2）无限区间上用，对于具有显著局域性且在有限区间持续周期较短的波动信号，难于处理。
傅氏级数的系数公式n 把积分分区间变成（-∞，+∞），得到傅立叶变换见下页ò-=ppp dx kx x f b k )sin()(21ò-=p p p dx x f a )(210ò-=p p p dx kx x f a k)cos()(21傅立叶变换（是傅氏级数的极限）·傅立叶变换Fourier Transformdt e t f F t j ò+¥¥--=w w )()(主信号函数•加权，保证远处变小，收敛源空间：振幅随时间变化的波傅立叶变换的缺点傅立叶变换的缺点Gabor ’：短时傅立叶变换Short Time Fourier Transform 信号在观察窗口内. 这一思想启发的尺子不一定要求平直，作尺子的波，不一定要求是正弦波：度量包装箱W 大小例如W=3*鸡蛋+1024*米粒,例如唐山地震= a*海城地震+ b*邢台地震一般用小的对象去度量大的对象，引入小波ò--=''2'')]()([),(dt e t t g t x f t STFT ft j x pFourier àGaborà小波 wavelets 特点 ：一小 二波 三速降（只影响本地不影响远处）·远处为０ 或接近０ 中间类似sin（x） 一个周期， 变方了注意， １ 它与它的平移正交，你 不为０时，我为０（远处 近０ 的妙用）Haarwavelet２它与它的倍频波正交。
如sin(x)和sin(2x)，前面讲 过小波变换直观解释CS_Dept.Sichaun Univ.21/70小波基底n Harr方波及其适当的平移和一切倍频波构成正交基底。
{ei} n 任一函数 f ，可在此基底上 线性分解， nf=∑ ai ei 注意每个ei 有不同的频率（尺度），或用ei 作尺子去度量fn 表示 f中含 ai 个 ei 分量 n ai =f . ei 内积结果为ain 由于小波 速降性 ，远地的小波基 影响小， n 较大的分量中 主要是本地的频率成分 ，用阈值去掉系数小的８０%分量，反变回来，，小失真压缩n 比喻1：小波变换直观解释CS_Dept.Sichaun Univ.22/70小波基底 比喻 （不严格， 不太准确，有助于理解）n 比喻1： n 音乐合成：波 表，不是 用纯正弦波， 而是用各种 乐器的发音段 作 基向量(类似Ascii表 ， 用编码代替字符 图像 ) Cx= 3*（提 琴C）+2*（ 钢琴C), 传递Cx到有波表的地方， 可以恢复发音， 很紧凑。
n 比喻2：若干不同尺度（ ２^k倍）的涌泉口，在水池中平移，分布，造出一池波，反过来，给定水面波，要找出涌泉 口，并确定其加权系数，就是小波分解。
（类似于地震与海啸）小波变换直观解释CS_Dept.Sichaun Univ.23/70比喻 仅为辅助理解，不能代替数学推理,C.tangn 下雨，雨滴激起 一池波，相当于 雨滴激波（是小波）的合 n n nn成波 反过来由池面波 要找雨滴 位置和大小（加权系数），接近 连续小波分解。
扔几个石头激起一池波，反过来由池面波 要找石头位置和 大小（加权系数），接近离散小波分解 这样，把扔石头看成原因，池面波 看成结果。
调整石头位 置和大小，就可以对池面波 进行（小失真）压缩，分析， 分解等等。
基底的选择是主观的，在给定的基底上的分解 依赖于对小 波基底的选择 （类似于坐标 平移，旋转后 看到的椭圆方程 不同），CS_Dept.Sichaun Univ.小波变换直观解释24/70Gaboar 小波的实部和虚部n Sheikholeslami, hatterjee, and Zhang (VLDB’98)Gaboar 小波的实部和虚部小波变换直观解释CS_Dept.Sichaun Univ.25/70小波变换 wavelet transform? 要点 ·把函数分解成为 互为正交的 小波基函数 的线性组合 ·各小波基函数 有不同的分辨率（间接制约 频率） ·小波基函数 是同 一个母函数 克隆出来，再平移shifts、伸 缩 . (scaling)得到的 ·平移的作用， · （１）为以当地为中心的一小段对象函数服务， · （２）为了基底的正交，你为０时，我不为０。
