下载文档原格式
时间序列—小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中,时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换)虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析.然而，地学中许多现象(如河川径流、地震波、暴雨、洪水等)随时间的变化往往受到多种因素的综合影响,大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度"结构，具有多层次演变规律.对于这类非平稳时间序列的研究,通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息.显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时—频多分辨功能的小波分析(Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能,它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势,并能对系统未来发展趋势进行定性估计.目前,小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足:⎰+∞∞-=0dt )t (ψ (1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中,0a R,b a,≠∈ (2） 式中,)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
小波分析及其应用小波分析是一种将信号分解成不同频率的方法，它具有时频局域性等优点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理、生物医学工程等领域。
本文将从小波分析的概念、算法及其应用等方面进行详细介绍。
小波分析最早由法国数学家莫尔。
尼斯特雷（Morlet）于20世纪80年代初提出。
它可以将原始信号分解成不同频率的小波基函数，通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩来适配信号的不同频率成分。
与传统的傅里叶变换相比，小波分析可以提供更精确的时频信息，适用于非平稳信号的分析。
小波分析的算法主要有两种：连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
连续小波变换是将信号与连续的小波基函数进行卷积得到小波系数，然后通过小波系数的时频表示来分析信号。
离散小波变换则是通过对信号进行多级滤波和下采样得到不同频率的小波系数，然后通过小波系数的分解和重构来还原信号。
小波分析的应用非常广泛。
在信号处理领域，小波分析可用于信号的去噪、特征提取和模式分析等。
例如，在语音信号处理中，小波分析可以提取出语音信号的共振峰位置和共振器参数，从而实现语音识别和语音合成。
在图像处理领域，小波分析可用于图像的边缘检测、纹理分析和压缩等。
例如，在图像压缩中，小波变换可以将图像的低频和高频信息分开编码，从而实现更高的图像压缩比。
在模式识别领域，小波分析可以用于图案识别和模式分类。
例如，在人脸识别中，小波分析可以对人脸图像的尺度和方向进行多尺度和多方向的分析，从而提取出不同特征，进而实现人脸的识别。
在生物医学工程领域，小波分析可用于心电信号的分析和疾病检测等。
例如，在心电信号的分析中，小波分析可以提取出心电信号的不同频率成分，从而实现对心脏疾病的检测和分析。
总之，小波分析是一种重要的信号分析方法，具有时频局域性和多分辨率分析的特点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理和生物医学工程等领域。
通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩，可以实现对信号不同频率成分的分解和分析，并提取出信号的时频特征，从而实现对信号的处理和分析。
小波分析的原理和应用1. 小波分析的基本概念小波分析是一种用于信号处理和数据分析的数学工具。
它的核心思想是将信号分解成不同频率的小波成分，以便更好地理解和处理信号。
小波是一种局部化的基函数，具有时频局部化的特点，因此可以更好地描述非平稳和非周期性信号。
2. 小波分析的原理小波分析的原理可以归结为两个关键步骤：小波变换和逆小波变换。
2.1 小波变换小波变换是将信号分解成不同尺度和频率的小波成分的过程。
它通过将信号与小波基函数进行内积运算来完成。
小波基函数可以用于描述信号中不同频率和时间域的特征。
小波变换的计算过程可以通过连续小波变换（CWT）或离散小波变换（DWT）来实现。
CWT适用于连续信号，DWT适用于离散信号。
2.2 逆小波变换逆小波变换是将小波表示的信号重构回原始信号的过程。
逆小波变换可以基于小波系数和小波基函数进行计算。
3. 小波分析的应用领域小波分析在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个主要的应用领域。
3.1 信号处理小波分析在信号处理领域中被广泛应用。
它可以用于信号压缩、滤波器设计、特征提取等方面。
由于小波具有时频局部化的特点，因此可以更好地处理非平稳和非周期信号。
3.2 图像处理小波分析在图像处理中也有重要的应用。
它可以用于图像压缩、图像增强、纹理分析等方面。
小波变换可以提取图像中的局部特征，并通过逆小波变换将处理后的图像重构回原始图像。
3.3 生物医学信号处理小波分析在生物医学信号处理领域起着重要的作用。
例如，可以将小波分析应用于心电信号分析、脑电信号分析等方面。
通过对生物医学信号进行小波变换，可以提取信号中的特征，并用于疾病诊断和监测等应用。
3.4 金融数据分析小波分析在金融数据分析中也有广泛的应用。
它可以用于金融时间序列数据的分析和预测。
通过对金融数据进行小波变换，可以识别出数据中的周期性和趋势性成分，从而帮助分析师做出更准确的预测。
4. 小结小波分析是一种重要的信号处理和数据分析工具。
小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。
小波由一族小波基函数构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。
采用小波分析最大优点是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。
小波分析具有发现其他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。
如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Morlet、Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal 小波等15种。
但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。
小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。
另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。
如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。
由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。
根据实际运用的经验，Morlet小波应用领域较广，可以用于信号表示和分类、图像识别特征提取；墨西哥草帽小波用于系统识别；样条小波用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解。
现在对小波分解层数与尺度的关系作如下解释：是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层。
但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的“分解尺度”跟上面那个“尺度”的意思一样吗？[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数, 不是尺度,'以wname'是DB小波为例, 如DB4, 4为消失矩,则一般滤波器长度为8, 阶数为7.wavedec针对于离散,CWT是连续的。
小波分析小波分析是一种在信号处理领域中常用的数学工具。
它可以分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像和视频等。
小波分析的概念来源于法国数学家Jean Morlet在20世纪80年代提出的一种数学理论，经过不断的发展和改进，如今已成为信号处理中不可或缺的技术之一。
小波分析的基本思想是将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。
这些小波基函数可以看作是时间和频率的局部性的权衡。
相比于传统的傅里叶分析和傅立叶变换方法，小波分析更加适用于处理非平稳信号，因为它允许信号在时间和频率上的变化。
小波分析的核心概念是小波变换，它将信号分解成不同频率的小波分量，并用小波系数表示。
这些小波系数可以提供关于信号的时间和频率信息。
小波变换可以通过离散小波变换（DWT）或连续小波变换（CWT）来实现。
DWT适用于离散信号，而CWT适用于连续信号。
小波分析有许多优点。
首先，它可以提供更精确的时间和频率信息。
由于小波基函数具有局部性，它们可以更好地捕捉信号的瞬时特性。
其次，小波分析可以有效地处理非平稳信号。
传统的傅里叶变换方法基于信号是稳态的假设，对于非平稳信号的处理效果会相对较差。
而小波分析通过局部分析的方式，可以更好地处理非平稳信号。
此外，小波分析还可以提供多分辨率分析的能力。
通过对小波系数的分层表示，可以在不同的分辨率下对信号进行分析，从而可以同时关注信号的整体结构和细节。
在实际应用中，小波分析有广泛的应用。
在音频和音乐领域，小波分析可以用于音频信号的压缩、去噪和特征提取等方面。
在图像和视频领域，小波分析可以用于图像压缩、边缘检测和运动分析等。
此外，小波分析还可以应用于金融领域的数据分析、生物医学信号的处理和地震信号的分析等。
总的来说，小波分析是一种强大的信号处理技术，它可以提供更精确和全面的信号分析。
小波分析在不同领域有广泛的应用，并且随着技术的发展和创新，其应用范围还会不断扩大。
通过深入研究和应用小波分析，我们可以更好地理解和处理各种类型的信号，为我们的生活和工作带来更大的便利和效益。
小波学习总结小波分析理论和方法是从傅立叶分析分析演变而来的。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反应了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分，是研究周期现象不可缺少的工具。
傅立叶变换虽然有很强的频域局域化能力，但并不具有时间局域化能力，而后一点，对于很多信号处理工作而言，特别是对于涉及非平稳信号处理的任务而言，是至关重要的。
小波变换以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷，其不仅能提供较精确的时域定位，也能提供较精确的频域定位。
我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，而小波变换恰恰是处理非平稳信号的有力工具。
从Fourier变换到小波变换，目的是要找到一组时频局域化特性都良好的正交基，即小波基它的伸缩和平移将形成一系列灵活窗，最终满足时频分析要求。
由Fourier变换、STFT和小波分析的基函数及相应的时间-频率窗可知，Fourier分析的基函数在时域上具有全局性，没有任何时间分辨特性，但在频域上是完全局部化的；短时Fourier 变换的基函数对信号进行等带宽分解，时频带宽恒定；小波分析的基函数由小波基伸缩而成，其时频窗宽度随信号自适应变化，高频时窗自动变窄，低频时窗自动变宽。
小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号，例如图像信号。
其核心就是对图像对应的像素值或者叫做图像位置的系数进行均值和差值的操作计算，产生新的由像素值的平均值和细节系数表示的图像，进一步去除一些微不足道的细节系数，从而提高小波图像的编码效率，达到取得较好的图像压缩率的目的。
小波分析中常用的三个基本概念是：连续小波变换、离散小波变换和小波重构。
（1）连续小波变换傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。
同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。
可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。
一、小波分析基本原理：信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。
傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。
与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。
对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。
相关原理详见附件资料和系统设计书。
注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。
本人找到了相对好理解些的两个外文的资料：Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.docTen.Lectures.of.Wavelets.pdf二、搜索到的小波分析源码简介（仅谈大体印象，还待继续研读）：１、83421119WaveletVCppRes.rar源码类型：VC++程序功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。
说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。
但这是为专业应用写的算法，通用性差。
２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序）源码类型：fortran程序功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。
说明：用的是墨西哥帽小波。
程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。
３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份功能是：气象应用。
小波分析知识点总结小波分析的基本思想是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，然后对这些成分进行分析。
小波函数通常具有局部化特性，能够反映信号的局部特征，在时域和频域上都具有一定的分辨率，因此可以更准确地描述信号的时频特性。
小波分析主要包括小波变换、小波系数的选择、小波包分析、小波域滤波等内容。
下面将从这些方面对小波分析进行介绍。
1. 小波变换小波变换是小波分析的核心内容，它将信号分解成不同尺度和频率的成分。
小波变换包括连续小波变换和离散小波变换两种形式。
连续小波变换将信号分解成不同尺度和频率的成分，并且可以实现任意精细程度的分解。
但是由于小波函数是连续的，计算复杂度较高，因此应用较为有限。
离散小波变换是将连续小波变换进行离散化处理，从而降低计算复杂度。
离散小波变换可以通过小波分解和小波重构过程来实现信号的分解和重构，具有较好的实用性和计算效率。
小波变换具有多重分辨率分析的特点，可以在不同尺度和频率上对信号进行分析，具有较好的时频局部化特性。
2. 小波系数的选择小波系数对信号的分解和重构效果具有重要影响。
通常情况下，小波系数是由小波函数的形状和尺度决定的，不同的小波函数对信号的分解和重构效果有一定的影响。
常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Meyer小波、Gabor小波等。
这些小波函数具有不同的形状和尺度特性，可以适用于不同类型的信号。
在选择小波系数时，需要考虑信号的特点和分析的目的，选择合适的小波函数和尺度参数，以实现更好的分解效果。
3. 小波包分析小波包分析是小波变换的一种扩展形式，它能够对信号进行更为细致的分解。
小波包分析将信号进行逐层分解，得到更为丰富的频率成分，能够更准确地描述信号的时频特性。
小波包分析通常采用二叉树结构进行信号分解，在每层分解中都能够获得更为细致的频率分量。
小波包分析可以实现任意精细程度的频率分解，能够更充分地利用小波函数的局部化特性，对信号进行更为全面的时频分析。
小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。
小波由一族小波基函数构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。
采用小波分析最大优点是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。
小波分析具有发现其他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。
如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Morlet、Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal 小波等15种。
但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。
小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。
另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。
如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。
由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。
根据实际运用的经验，Morlet小波应用领域较广，可以用于信号表示和分类、图像识别特征提取；墨西哥草帽小波用于系统识别；样条小波用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解。
现在对小波分解层数与尺度的关系作如下解释：是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层。
但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的“分解尺度”跟上面那个“尺度”的意思一样吗？[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数, 不是尺度,'以wname'是DB小波为例, 如DB4, 4为消失矩,则一般滤波器长度为8, 阶数为7.wavedec针对于离散,CWT是连续的。
多尺度又是怎么理解的呢？多尺度的理解: 如将0-pi定义为空间V0, 经过一级分解之后V0被分成0-pi/2的低频子空间V1和pi/2-pi的高频子空间W1, 然后一直分下去....得到VJ+WJ+....W2+W1. 因为VJ和WJ是正交的空间, 且各W子空间也是相互正交的. 所以分解得到了是相互不包含的多个频域区间,这就是多分辩率分析, 即多尺度分析.当然多分辨率分析是有严格数学定义的,但完全可以从数字滤波器角度理解它.当然,你的泛函学的不错,也可以从函数空间角度理解.是不是说分解到W3、W2、W1、V3就是三尺度分解？简单的说尺度就是频率，不过是反比的关系．确定尺度关键还要考虑你要分析信号的采样频率大小，因为根据采样频率大小才能确定你的分析频率是多少．（采样定理）．然后再确定你到底分多少层．假如我这有一个10hz和50hz的正弦混合信号，采样频率是500hz，是不是就可以推断出10hz和50hz各自对应的尺度了呢？我的意思是，是不是有一个频率和尺度的换算公式？实际频率＝小波中心频率×采样频率/尺度在小波分解中，若将信号中的最高频率成分看作是1，则各层小波小波分解便是带通或低通滤波器，且各层所占的具体频带为（三层分解）a1:0~0.5 d1: 0.5~1; a2:0~0.25 d2: 0.25~0.5; a3: 0~0.125; d3:0.125~0.25可以这样理解吗？如果我要得到频率为0.125~0.25的信号信息，是不是直接对d3的分解系数直接重构之后就是时域信息了？这样感觉把多层分解纯粹当作滤波器来用了，又怎么是多分辨分析？？怎样把时频信息同时表达出来？？这个问题非常好，我刚开始的时候也是被这个问题困惑住了，咱们确实是把它当成了滤波器来用了，也就是说我们只看重了小波分析的频域局部化的特性。
但是很多人都忽略其时域局部化特性，因为小波是变时频分析的方法，根据测不准原理如果带宽大，则时窗宽度就要小。
那么也就意味着如果我们要利用其时域局部化特性就得在时宽小的分解层数下研究，也就是低尺度下。
这样我们就可以更容易看出信号在该段时间内的细微变化，但是就产生一个问题，这一段的频率带很宽，频率局部化就体现不出来了。
对d3进行单支重构就可以得到0.125－0.25的信号了，当然频域信息可能保存的比较好，但如果小波基不是对称的话，其相位信息会失真。
小波变换主要也是用在高频特征提取上。
层数不是尺度，小波包分解中，N应该是层数，个人理解对应尺度应该是2^N小波分解的尺度为a，分解层次为j。
如果是连续小波分解尺度即为a。
离散小波分解尺度严格意义上来说为a＝2^j,在很多书上就直接将j称为尺度，因为一个j就对应者一个尺度a。
其实两者是统一的。
小波基：一般从线性相位，消失矩，相似性，紧支撑等来选择。
Daubechies小波基的构造% 此程序实现构造小波基% periodic_wavelet.mfunction ss=periodic_wavelet;clear;clc;% global MOMENT; % 消失矩阶数% global LEFT_SCALET; % 尺度函数左支撑区间% global RIGHT_SCALET; % 尺度函数右支撑区间% global LEFT_BASIS; % 小波基函数左支撑区间% global RIGHT_BASIS; % 小波基函数右支撑区间% global MIN_STEP; % 最小离散步长% global LEVEL; % 计算需要的层数(离散精度）% global MAX_LEVEL; % 周期小波最大计算层数[s2,h]=scale_integer;[test,h]=scalet_stretch(s2,h);wave_base=wavelet(test,h);ss=periodic_waveletbasis(wave_base);function [s2,h]=scale_integer;% 本函数实现求解小波尺度函数离散整数点的值% sacle_integer.mMOMENT=10; % 消失矩阶数LEFT_SCALET=0; % 尺度函数左支撑区间RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1; % 尺度函数右支撑区间LEFT_BASIS=1-MOMENT; % 小波基函数左支撑区间RIGHT_BASIS=MOMENT; % 小波基函数右支撑区间MIN_STEP=1/512; % 最小离散步长LEVEL=-log2(MIN_STEP); % 计算需要的层数(离散精度）MAX_LEVEL=8; % 周期小波最大计算层数h=wfilters('db10','r'); % 滤波器系数h=h*sqrt(2); % FI(T)=SQRT(2)*SUM(H(N)*FI(2T-N)) N=0:2*MOMENT-1;for i=LEFT_SCALET+1:RIGHT_SCALET-1for j=LEFT_SCALET+1:RIGHT_SCALET-1k=2*i-j+1;if (k>=1&k<=RIGHT_SCALET+1)a(i,j)=h(k); % 矩阵系数矩阵elsea(i,j)=0;endendend[s,w]=eig(a); % 求特征向量，解的基s1=s(:,1);s2=[0;s1/sum(s1);0]; % 根据条件SUM(FI(T))=1,求解;% 本函数实现尺度函数经伸缩后的离散值% scalet_stretch.mfunction [s2,h]=scalet_stretch(s2,h);MOMENT=10; % 消失矩阶数LEFT_SCALET=0; % 尺度函数左支撑区间RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1; % 尺度函数右支撑区间LEFT_BASIS=1-MOMENT; % 小波基函数左支撑区间RIGHT_BASIS=MOMENT; % 小波基函数右支撑区间MIN_STEP=1/512; % 最小离散步长LEVEL=-log2(MIN_STEP); % 计算需要的层数(离散精度）MAX_LEVEL=8; % 周期小波最大计算层数for j=1:LEVEL % 需要计算到尺度函数的层数t=0;for i=1:2:2*length(s2)-3 % 需要计算的离散点取值（0，1，2，3 -> 1/2, 3/2, 5/2)t=t+1;fi(t)=0;for n=LEFT_SCALET:RIGHT_SCALET; % 低通滤波器冲击响应紧支撑判断if ((i/2^(j-1)-n)>=LEFT_SCALET&(i/2^(j-1)-n)<=RIGHT_SCALET) % 小波尺度函数紧支撑判断fi(t)=fi(t)+h(n+1)*s2(i-n*2^(j-1)+1); % 反复应用双尺度方程求解endendendclear sn1=length(s2);n2=length(fi);for i=1:length(s2)+length(fi) % 变换后的矩阵长度if (mod(i,2)==1)s(i)=s2((i+1)/2); % 矩阵奇数下标为小波上一层(0,1,2,3)离散值elses(i)=fi(i/2); % 矩阵偶数下标为小波下一层(1/2,3/2,5/2)(经过伸缩变换后)的离散值endends2=s;end% 采用双尺度方程求解小波基函数PSI(T)% wavelet.mfunction wave_base=wavelet(test,h);MOMENT=10; % 消失矩阶数LEFT_SCALET=0; % 尺度函数左支撑区间RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1; % 尺度函数右支撑区间LEFT_BASIS=1-MOMENT; % 小波基函数左支撑区间RIGHT_BASIS=MOMENT; % 小波基函数右支撑区间MIN_STEP=1/512; % 最小离散步长LEVEL=-log2(MIN_STEP); % 计算需要的层数(离散精度）MAX_LEVEL=8; % 周期小波最大计算层数i=0;for t=LEFT_BASIS:MIN_STEP:RIGHT_BASIS; % 小波基支撑长度s=0;for n=1-RIGHT_SCALET:1-LEFT_SCALET % g(n)取值范围if((2*t-n)>=LEFT_SCALET&(2*t-n)<=RIGHT_SCALET) % 尺度函数判断s=s+h(1-n+1)*(-1)^(n)*test((2*t-n)/MIN_STEP+1); % 计算任意精度的小波基函数值endendi=i+1;wave_base(i)=s;end一维数字滤波器filter():Y=filter(B, A, X) 由传递函数模型向量B、A描述的滤波器对向量X中的元素进行滤波，并将结果数据存放在向量Y中。
