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2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷
2009年1月12日
一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）
1．2lim 1n
n n n →∞-⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
．
2．设2log y =d y = ．
3．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= ．
4．设函数)(x y y =由方程3
3
1,
x t y t t
⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，则1
d d t y x == ．
5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 ．
6．设()d cos f x x x C =+⎰，则()
()d n f x x ⎰= ．
7．3
12
11d 1x
x x -+=+⎰ ．
二、单选题（共7道小题，每小题3分，满分21分）
1．下列叙述正确的是
（A ）有界数列一定有极限． （B ）无界数列一定是无穷大量． （C ）无穷大量数列必为无界数列． （D ）无界数列未必发散． [ ]
2．设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1
lim 0n n n a a +→∞=，则 （A ）lim 0n n a →∞=．
（B ）lim 0n n a C →∞
=>．
（C ）lim n n a →∞
不存在．
（D ）{}n a 的收敛性不能确定．
[ ]
3．设()f x ，()g x 在区间[,]a b 上可导，且()()f x g x ''>，则在[,]a b 上有 （A ）()()0f x g x ->．
（B ）()()0f x g x -≥．
（C ）()()()()f x g x f b g b ->-．
（D ）()()()()f x g x f a g a ->-． [ ]
4．设()f x 有三阶连续导数，且满足000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,则下列结论正确的是
（A ）()f x '的极小值为0． （B ）0()f x 是()f x 的极大值．
（C ）0()f x 是()f x 的极小值． （D ）点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．[ ]
5．已知||e d 1k x x +∞
-∞=⎰，则k =
（A ）0．
（B ）－2．
（C ）－１．
（
D
）
－
0.5． [ ]
6．摆线(sin )
(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨
=-⎩
的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积
x V =
（A ）2220(1cos )d[(sin )]a
a t a t t ππ--⎰． （B ）2220(1cos )d a t t π
π-⎰．
（C ）2220(1cos )d a
a t t ππ-⎰．
（D ）2220(1cos )d[(sin )]a t a t t π
π--⎰． [ ]
7．设向量,a b 满足||||-=+a b a b ，则必有 （A ）-=a b 0． （B ）+=a b 0． （C ）0⋅=a b ． （D ）⨯=a b 0． [ ]
三、计算题（共5道小题，每小题8分，满分40分）
1．设2
1cos ,0,
()0,
0,x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '．
2．求极限 0
lim →x 2
2
20
10
cos d x x t t
x
-⎰．
3．设()f x 的一个原函数为sin x ，求 2()d x f x x ''⎰．
4．计算 12
x ⎰．
5．若点M 与(2,5,0)N 关于直线4120
:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩
对称，求点M 的坐标．
四、应用题（满分8分）
设曲线2
=->．过点(2,0)
(4)(0)
y a x a
-及(2,0)作曲线的两条法线，求a的值，使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小．
五、证明题（共2道小题，每小题5分，满分10分）
1．设()f x 在[0,1]上连续，在()0,1可导，且(1)0f =．证明在()0,1至少存在一点ξ，使得 ()()
f f ξξξ
'=-．
2. 设1
30
d 1sin n n t
x t t
=+⎰
，12n n u x x x =+++，证明数列{}n u 收敛．
2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷 答案 2009年1月12日
一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）
1．2lim 1n
n n n →∞-⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
3e - ．． 2．设2log y =，则dy =
223(1)ln 2
x
dx x -- ．
． 3．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= 2 ．
4．设函数)(x y y =由方程3
31,x t y t t
⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，则1t dy dx == 2
3 ． 5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 2 ．
6．设()d cos f x x x c =+⎰，则()()d n f x x ⎰=cos 2
n C
x π⎛
⎫++
⎪⎝⎭
． 7．3
1
211d 1x x x -+=+⎰ 2
π ．
