18.1勾股定理讲解与例题

专题18.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】【沪科版】【题型1 勾股定理的运用】 (1)【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 (2)【题型3 勾股定理解勾股树问题】 (3)【题型4 勾股定理解动点问题】 (4)【题型5 勾股定理的验证】 (5)【题型6 直角三角形的判定】 (7)【题型7 勾股数问题】 (8)【题型8 格点图中求角的度数】 (9)【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】 (10)【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A ．32B ．74C ．2D ．52【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC 中AB ＝AC ＝10，BC ＝16，若∠BAD ＝3∠DAC ，则CD ＝ ．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝30，D 是AC 上一点，AD ：CD ＝25：7，且DB ＝DA ，过AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 长是 ．【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝15，BC 边上的高为12．则△ABC 的面积为（ ） A ．24或84B ．84C ．48或84D ．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长是（ ） A ．42B ．32C ．42或32D ．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（ ） A ．30B ．√119+17C ．√119+17或30D ．36【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，AB ＝5．点P 在直线AC 上，且BP ＝6，则线段AP 的长为 ．【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）A ．225B ．250C ．275D ．300【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（ ）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12 D ．62596或252或24【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝40cm ，AC ＝30cm ，动点P 从点B 出发沿射线BA 以2cm /s 的速度运动．则当运动时间t ＝ s 时，△BPC 为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A ﹣B ﹣C 运动．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）BC 的长是 ．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8 格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠P AB+∠PBA＝°．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠P AB﹣∠PCD＝．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD ＝10，AD＝10√2．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．。

第十八章 勾股定理18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

三、课堂引入让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长.你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？四、例习题分析例1(补充）已知：在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2. 分析：⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明.⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证:a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。

左边S=4×21ab ＋c 2右边S=（a+b)2左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2化简可证。

六、课堂练习1．勾股定理的具体内容是： 。

2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°,（用几何语言表示）A Bbb b b aa⑴两锐角之间的关系: ; ⑵若D 为斜边中点,则斜边中线 ；⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边: ； ⑷三边之间的关系: 。

勾股定理证明题试题及参考答案勾股定理是数学常见的定理，这些定理该怎么证明呢？证明的方法是怎样的呢？下面就是店铺给大家整理的勾股定理证明题内容，希望大家喜欢。

勾股定理证明题一已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形，使每个矩形的宽为长的一半，S1、S2、S3分别表示这三个矩形的面积，则S1、S2、S3之间有什么关系?并证明你的结论。

(要详细解题过程)因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC即，∠DFB=∠AED=90度根据勾股定理则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)BF^2=BD^2-DF^2-------(2)又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2) 即 EF^2=AE^2+BF^2因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC即，∠DFB=∠AED=90度根据勾股定理则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)BF^2=BD^2-DF^2-------(2)又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2) 即 EF^2=AE^2+BF^2勾股定理证明题二设MD,ME,MF分别交AC,BC,AB于P,Q,R,连接MA.MB,MC由勾股定理MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)由(1)(2)(3)(4)(5)可得AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2即AE^2=AF^2AE=AF中学勾股定理课堂实录师:我们知道，数学是一门基础学科，它用概念、公式、定理演绎着数学的神奇和魅力，今天我们在一起继续学习一个古老而著名的数学定理。