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探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册

探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册
在公元前300年左右，著名的数学家希腊的欧几里得提出了一套简洁而准确的几何方法，以求证在给定直角三角形中已知两直角边与斜边，斜边与另外两条边的平方和的关系。
1637年，路易十四命令巴黎学院组织了一场盛大的比赛，将法国的贵族们集结起来解决了这道难题，当时获胜的人可以得到很丰厚的奖品。
有关于勾股定理的趣味历史
勾股定理的介绍
目录
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
用勾股定理解决实际问题
勾股定理的跨学科
勾股定理的验证推导
什么是勾股定理
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
有关于勾股定理的趣味历史
据说在古埃及文明中，他们建造金字塔时使用了“几何法则”来确定石块之间的距离和角度。这个神秘的几何法则据说与古代建筑物的外形有关系，可能就是指勾股定理。
折叠毕达哥拉斯定律
勾股定理的验证推导
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理．这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角．他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形．他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
在语文课堂上的应用
在科学实验中的应用
用勾股定理解决实际问题
物理学中的应用
勾股定理在物理学中被广泛运用，可以用于建筑结构分析、机械设计以及其他类似问题的解决，同时也是桥梁设计的重要理论基础之一。
有不少现代的编程语言内置了计算器功能，提供了简便易用的库支持。而且在算法领域也能看到它的踪影，如分治算法、动态规划算法等

勾股定理ppt课件

勾股定理ppt课件
图3-1
C
C
A
B
图3-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 正方形的面积吗？
（2）你能发现
A B
图3-1
C
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
A
B
图3-2
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2 2 2 a +b =c
AC
2

AB BC 1 2
5 ≈2.236
2
2
2
2
5
D
C
因此,AC=
2m
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
大于 木板的宽, 因为AC______ 能 从门框内通过. 所以木板____
一个3m长的梯子AB,斜 靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ a b
Sa+Sb=Sc
c
2 2 2 a +b =c
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦 c
股 b
a 勾
┏
2 2 2 a +b =c
证明1：
作业
教材第77页习题18.1第1、2、3题
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。

勾股定理数学优秀ppt课件

勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。

勾股定理定理 课件

勾股定理定理 课件

a cc b
c c
a
b
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
学以致用
1.如图，已知：a＝3，
ac
b＝4，求c。
b
2.如图，已知： c ＝10，a＝6，求b。
3.如图，已知： c ＝13，a
c
＝5，求阴影总分面积。
长度) 长度) 长度)
图2
4
9
13
图3
9 25
34
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
命题１：如果直角三角形的两直角边长分 别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
a
c
b
证法一：
激励引导
赵爽弦图的证法
S S 4S ＝ ＋ 大正方形
小正方形
A B DC
学以致用
6.妮妮爸爸买了一部29英寸（74厘米） 的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现 屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你 能解释这是为什么吗？
∵ 582 462 5480
742 5476
742 5476
46厘米
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
a
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2 结论变形
c2=a2 + b2
cb
a
学以致用
4.在 ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC

《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)

《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)

A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，

(精选幻灯片)勾股定理ppt课件

(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边

《趣味勾股定理》课件

《趣味勾股定理》课件
对未来的展望
随着科技的发展和社会的进步，勾股定理的应用将更加广泛和深入。未来，我们可以通过数学建模、 计算机模拟等技术手段，更加深入地研究和应用勾股定理，为解决实际问题提供更加有效的工具和方 法。
鼓励探索和发现的精神
探索和发现的重要性
学习勾股定理的过程是一个探索和发现 的过程。在这个过程中，我们需要不断 尝试、思考、推理，才能真正理解和掌 握这个定理。这种探索和发现的精神是 学习数学的重要品质，也是我们在生活 中需要具备的品质。
欧几里得的证明方法具有严谨性和系 统性，是几何学中的经典证明之一。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边满足勾股定理 的条件，即直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角 形是直角三角形。
这一逆定理在几何学中有着广泛的应用，可以用来判断一个 三角形是否为直角三角形，也可以用来证明一些与直角三角 形相关的性质和定理。
03
勾股定理的应用
在几何学中的应用
01
02
03
证明三角形
勾股定理常用于证明某些 三角形的性质，如直角三 角形、等腰三角形等。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题 中有着广泛的应用，如求 三角形的高、面积等。
确定图形关系
利用勾股定理可以确定不 同图形之间的关系，如确 定两个相似三角形是否相 等。
在物理学中的应用
04
勾股定理的趣味扩展
勾股定理与自然界的联系
勾股定理与植物生长
植物的叶子和茎干生长过程中，往往 遵循着勾股定理的规律，这是因为这 种生长方式能使植物更好地吸收阳光 和水分。
勾股定理与动物行为
一些动物在寻找食物、逃避天敌或进 行其他活动时，也会表现出与勾股定 理相关的行为模式，这有助于它们更 有效地适应环境。

勾股定理课件ppt

勾股定理课件ppt

过程需要运用数学归纳法和反证法等数学方法。
05
勾股定理的挑战和未 解之谜
寻找最大的整数勾股数
总结词
寻找最大的整数勾股数是一个挑战，因为随着数字的增大，计算量也急剧增加 。
详细描述
目前已知的最大勾股数是(377, 384, 405)，这是一个非常大的数，计算过程中 需要大量的计算资源和时间。寻找更大的勾股数是一个未解之谜，需要借助计 算机和数学算法来解决。
勾股定理在日常生活中也有广泛的应 用，如建筑、工程、航海、航空等领 域。
在航海和航空领域，勾股定理可以用 于确定航向、航程、高度等导航参数 ，以及解决与直角三角形相关的导航 问题。
在建筑和工程领域，勾股定理可以用 于确定建筑物的稳定性，计算建筑结 构的承载能力，以及解决与直角三角 形相关的工程问题。
古巴比伦人
在约公元前1800年至公元前500年之 间，巴比伦数学文献《默森尼默斯》 中记载了直角三角形的边长关系。
欧几里得与《几何原本》
• 欧几里得（约公元前330年-公元前275年）：古希腊数学家， 他在《几何原本》中首次完整地证明了勾股定理，并给出了基 于该定理的多种证明方法。
中国的勾股之学
勾股定理课件
目录
• 勾股定理的起源和历史 • 勾股定理的证明方法 • 勾股定理的应用 • 勾股定理的推广和变种 • 勾股定理的挑战和未解之谜
01
勾股定理的起源和历 史
古代文明中的勾股定理
古埃及人
古希腊人
在建筑金字塔和尼罗河泛滥后测量土 地时，使用了直角三角形的边长关系 。
毕达哥拉斯学派在公元前6世纪发现 了直角三角形三边的关系，但未形成 完整的定理。
《周髀算经》
约成书于公元前1世纪，书中记载 了周朝初期的数学家商高提出了 “勾三股四弦五”的勾股定理的 特例。

勾股定理ppt课件

勾股定理ppt课件
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习 (1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？
(2) 在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3， b=4，则求c的值？ ②c =24，b=25，则求a的值？
(3) 在直角△ABC中，∠c=90°，
若a:c=5:13,b=24,求a,c的长
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
A
C
4 1 431 2
25（面积单位）
B
图3-1
C A
B
图3-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
A
C
1 （72 1） 2
图1-1
图1-2
勾股定理（1）
看
发们映友 现，直家
一
什我角作 相 么们三客 传
2500
看
？也角， 来形发
观三现年
察边朋前
下的友，
面某家一
的种用次
图数砖毕
案量铺达
，关成哥
看系的拉
看，地斯
你同面去
能学反朋
（1）观察图2-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
9 个单位面积。
B 图2-1
A a
SA+SB=SC
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
a
SA+SB=SC

勾股定理的应用PPT课件1

勾股定理的应用PPT课件1
B
A
B
B
10
A
10
10
C
A
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有
多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面;
2
(2)经过前面和右面;
1
(3)经过左面和上底面.
A
3
C
B
B
A
3
1 2C
B 2
A
A1
3
C
解:(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
B
B
2
1
A
3
C
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 32 32 ＝ 18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B
1
A
A
3
2C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 52 12 ＝ 26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路
程为
B 1m
一个门框的尺寸如图所示， 一块长3m、宽2.1m的薄木板能否
D 从门框内通过?为什么?
解：联结AC，在Rt△ABC中AB=2m, BC=1m ∠B=90°,根据勾股定理：
AB2 BC2 AC2
AC AB2 BC2
12 22 2.236m ＞2.1m
∴薄木板能从门框内通过。
C
超越自我
6 米
棵树折断之前有多高
吗？ A
8米
6
米
B
C
8米
问题二
帮卡车司机 排忧解难。
一辆装满货物的 卡车，其外形高2.5 米，宽1.6米，要开 进厂门形状如图的 某工厂，问这辆卡 车能否通过该工厂 的厂门?说明理由
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问题：图3是由三国时期的数 学家赵爽在为《周髀算经》 作注时给出的。在图3中用同
样的办法研究，你有什么发 现？你能验证a2+b2=c2吗？
分析：S正方形= c2 =（a-b）
图3
2+ 4× ab
化简可得：a2+b2 = c2
返回目录
拼法三
3.问题： 图3是伽菲尔德总
A
统的拼法，你知道他是如
何验证的吗？你能用两种
理来测量两地的地势差。著名物理学家爱因斯
坦和艺术家达芬奇都曾经对勾股定理的证法进
行过研究。迄今为止，关于勾股定理的证明方
法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知
识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让
我们动起手来，拼一拼，想一想，去感悟数学 的神奇和妙趣吧！
图1
返回目录
拼法一
1.用四个相同的直角三角形（直 角边为a、b，斜边为c）图2
返回目录
拓展练习
1.一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔 群，在A处看见小岛C在船北偏东 60°.40分钟后， 渔船行至 B处，此时看见小岛 C在船的北偏东 30°，已知小岛C为中心周围10海里以内为我军 导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继 续航行（追赶鱼群），是否有进入危险区的可能？
教学目标 例题讲解
趣味故事 精选试题
趣味拼图 拓展练习
教学目标
1、能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决 简单问题。
2、经历探索勾股定理的过程。 3、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，
发展用数学的眼光观察现实世界，感受勾 股定理的文化价值。
返回目录
趣味故事
几何学中，勾股定理发挥着重要作用。在毕达哥拉斯的时代， 却因此发生一件血案。勾三股四弦五，是一个理想的数字，都是整数， 这样的组合也叫勾股数，可以列举出不少，符合毕达哥拉斯学派对于 世界的完美诠释。然而，这里面藏着一个“妖孽”，等腰直角三角形 给了毕达哥拉斯及其信徒们痛苦一击，出现了根号2，这个被如今戏 称为“意思意思”的数是个小数，（根号2的数值是1.414）如果只是 一般的小数还不是大问题（一般的小数都是有循环的），偏偏这个数 循环不起来，无穷无尽，毫无规律，这一点显然破坏了对于和谐世界 的认识。于是，一桩血案发生了，发现这个问题的西帕索斯被杀死了， 因为他破坏了万物皆数的和谐。
问题：你能把图5转化为
图c吗？通过位置变换，
图5
你发现了什么？你能
发现边长分别为a、b、
c的正方形吗？能否验
证到：a2+b2 = c2呢？
把你的发现与同学交
流。
图c
返回目录
总结
品味各种拼图，方法各异，妙趣横生， 证明思路别具匠心，极富创新。它们充分 运用了几何图形的截、割、拼、补来证明 代数式之间的恒等关系，既具严密性，又 具直观性，深刻体现了形数统一、代数和 几何紧密结合、互不可分的独特魅力。
返回目录在趣味拼图中感悟勾 Nhomakorabea定理勾股定理是一坛千年佳酿，品之芬芳，余
味无穷，令人陶醉神往。它以其简洁、优美的
形式，丰富、深刻的内容，展现了自然界的和
谐关系。著名网络科普作家塔米姆·安萨利在其
近著中提出的对社会有重大影响的10大科学发
现，勾股定理就是其中之一。据说4000多年前，
中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定
这是科学史上的一桩暴行，以科学的名义，很恐怖。这个数后来被 称为无理数，是众多无理数中最著名的之一，当然最著名的永远是那 个圆周率，而当时没有人知道这个“山巅一寺一壶酒乐煞吾……”是 一个无理数，还是以周三径一的简单算法，毕达哥拉斯知道圆周率是 个超强的无理数，而这个秘密则保留了很久。（中国的祖冲之算出 3.1415926-3.1415927之间，足足领先欧洲千年之久，方法好像也是 与祖冲之一样。）
D
方法表示图3的面积吗？
伽菲尔德总统是这样分析的：
S梯形ABCD= (a+b)2
B
E
S梯形ABCD=S△ABE+
C
S△ECD+ S△AED
图3
= ab+ ab+c2
则有：(a+b)2= ab+ ab+c2
化简可得：a2+b2 = c2
返回目录
图6 图a
拼法四
4.用四个直角三角形（直角 边为a、b，斜边为c）， 边长分别为a、b、c正方 形，拼成图4。
操作：动手拼一拼，摆一摆，看 能否拼出含有边长c的正方形？
问题：你能用两种方法表示左图
的面积吗？对比两种不同的表示 方法，你发现了什么？
分析：S正方形=（a+b）2= c2 +
图2
4× ab
化简可得：a2+b2 = c2
返回目录
拼法二
2.用四个完全相同的直角三角 形（直角边为a、b，斜边为c） 图3
解： 设小岛C与AB的垂直距离为a，
则：易求得a2＝300＞102， 所以：这艘渔船继续航行不会进入危险区。
返回目录
•
1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
•
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二〇年八
问题：观察图4，你能发现 边长分别为a、b、c的正 方形吗？与你的同桌讨论。
你们能通验证到：a2+b2 = c2吗？
分析：图6可以转化为下面 两图。
图a的面积可表示为： a2+b2+2× ab
图b的面积可表示为： c2+2× ab图7
比较两式，你发现了什么？
图b
返回目录
拼法五
5.用四个直角三角形（直 角边为a、b，斜边为 c）。
返回目录
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精选试题
1．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个 这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿1＿08＿． 2．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方 体内能容下的最长的木棒为＿1＿3 ＿. 3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗 牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到 C点，需要＿12＿＿分的时间． 4．一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行 2小时后到达C处.则AC间的距离是＿ 50海＿里＿ . 5．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形 内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿3 ＿．