1-第一章 数值计算中的误差分析

数值计算中的误差分析研究在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。

无论是数学模型的建立还是计算方法的选择，都会引入不同程度的误差。

因此，对误差进行准确的分析和评估，对于保证计算结果的可靠性至关重要。

一、误差类型及来源分析在数值计算中，误差可分为四大类：截断误差、舍入误差、模型误差和数据误差。

下面将针对每一类误差进行详细的分析。

1. 截断误差截断误差是由于采用近似方法而引起的误差，主要来源于数值计算中尽可能使用有限计算量的方法。

常见的截断误差包括级数截断误差和差分截断误差。

级数截断误差是在将无穷级数截断为有限项时引入的误差，而差分截断误差则是在对导数或积分进行差分时产生的误差。

2. 舍入误差舍入误差是由于计算机无法进行无限精度的计算而引入的误差。

计算机在进行计算时都需要将浮点数转化为有限位的二进制表示，从而导致了舍入误差的出现。

常见的舍入误差包括绝对误差和相对误差。

绝对误差是实际值与近似值之间的差异，而相对误差是绝对误差与实际值之间的比率。

3. 模型误差模型误差是由于在数值计算中所采用的数学模型与实际问题之间存在差异而引入的误差。

在数学模型的建立过程中，通常会进行一系列的简化和假设，这些简化和假设都会对计算结果产生一定的影响。

模型误差的大小主要取决于模型的准确性和适用性。

4. 数据误差数据误差是由于实际测量或输入数据的有限精度而引入的误差。

无论是实验数据还是观测数据，在进行数值计算时都需要进行一定的近似处理，而这种近似处理往往会导致数据误差的产生。

数据误差的大小与测量设备的精度、数据采集的方法以及数据传输的过程有关。

二、误差分析方法与评估误差分析是对误差进行定量评估和分析的过程，其目的是确定误差的大小和对计算结果的影响程度。

常见的误差分析方法包括误差界定、误差传递和灵敏度分析等。

1. 误差界定误差界定是通过确定近似值与真实值之间的差异来评估误差的大小。

在数值计算中，常常使用绝对误差和相对误差来界定误差。

第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。

定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。

与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。

1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。

1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。

对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。

2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。

由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。

比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。

3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。

4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。

我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。

提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。

1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。

数值计算中的误差分析在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。

无论是在实际应用中还是在理论研究中，我们都需要对计算结果中的误差进行分析和评估。

本文将探讨数值计算中的误差分析方法和其在实际应用中的重要性。

一、误差的来源与分类在数值计算中，误差可以来源于多个方面。

主要可以分为以下两类：1.截断误差截断误差是由于数值计算中采用有限的近似方法而引入的误差。

在求解数学问题时，为了简化运算或逼近实际情况，我们通常需要对数学模型进行近似处理。

这个过程中，我们往往需要将无穷级数截断为有限项，或者使用近似公式。

这些近似方法往往会引入截断误差。

当近似的项数增多时，截断误差会减小。

因此，截断误差可以通过增加计算的精确度来降低。

2.舍入误差舍入误差是由于计算机内部存储数值时产生的。

计算机内部采用有限的二进制表示数值，因此会存在舍入误差。

特别是在进行数值计算时，计算机需要将结果截断或者四舍五入到有限位数。

这个过程中，会引入舍入误差。

舍入误差的大小取决于计算机的精度和数值的表示范围。

为了减小舍入误差，我们需要选择合适的计算精度或者采用更高级别的计算机。

二、误差分析方法为了评估数值计算中的误差，我们需要采用一些误差分析方法。

以下是常用的几种方法：1.绝对误差与相对误差绝对误差和相对误差是最直观、常用的误差度量方法。

绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距，用于衡量计算结果的准确性。

相对误差是绝对误差除以真实值的比值，用于衡量计算结果的相对准确性。

绝对误差和相对误差越小，计算结果越接近真实值。

2.截断误差估计在数值计算中，我们经常需要通过截断误差来评估近似方法的精度。

截断误差估计方法可以根据近似方法的性质和推导出来的误差界，对近似结果进行误差估计。

这种方法通常需要对数学模型和数值方法有一定的了解和掌握。

3.稳定性分析稳定性分析是评估数值计算方法对输入数据中扰动的敏感程度。

当输入数据存在微小变化时，计算结果也会相应地发生变化。

稳定性分析可以帮助我们判断计算方法的可靠性，并找到对输入数据扰动不敏感的计算方法。

第一章数值计算中的误差分析数值计算方法(也称计算方法，数值方法)：是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的一个数学分支，它的涉及面很广，涉及代数、微积分、微分方程数值解等问题。

●数值计算方法的主要任务：研究适合于在计算机上使用的数值计算方法及与此相关的理论，如方法的收敛性、稳定性以及误差分析等，此外，还要根据计算机的特点研究计算时间最短、需要计算机内存最少等计算方法问题．●数值计算主要过程：实际问题→建立数学模型→设计高效、可靠的数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。

●数值计算方法不同于纯数学：它既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际试验的技术性，它是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论系统的计算数学课程。

●数值计算方法的特点：应提供能让计算机直接处理的，包括加减乘除运算和逻辑运算及具有完整解题步骤的，切实可行的有效算法与程序，它可用框图、算法语言、数学语言或自然语言来描述，并有可靠的理论分析，能逼近且达到精度要求，对近似算法应保证收敛性和数值稳定性、进行必要的误差分析。

此外，还要注意算法能否在计算机上实现，应避免因数值方法选用不当、程序设计不合理而导致超过计算机的存贮能力，或导致计算结果精度不高等．根据“数值计算”的特点，首先应注意掌握数值计算方法的基本原理和思想，注意方法处理的技巧及其与计算机的密切结合，重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次还要注意方法的使用条件，通过各种方法的比较，了解各种方法的异同及优缺点。

§1.1 误差的来源在数值计算过程中，估计计算结果的精确度是十分重要的工作，而影响精确度的因素是各种各样的误差，它们可分为两大类：一类称为“过失误差”，它一般是由人为造成的，这是可以避免的，故在数值计算中我们不讨论它；而另一类称为“非过失误差”，这在“数值计算”中往往是无法避免的，也是我们要研究的。

按照它们的来源，误差可分为以下四种：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。