向量在物理中的应用

向量的应用
向量是几何中重要的概念，也是数学中常常用到的工具，广泛应用于物理、工程、计
算机科学等各个领域。

下面将介绍一些向量的常见应用。

1. 平面几何中的向量应用：
在平面几何中，向量可以表示平面上的点、线段、三角形等。

我们可以用两个向量表
示平面上的一条直线，可以用三个向量表示一个平面，可以用向量的线段来表示一个位移
和距离等。

向量的叉积可以用来判断两个向量是否平行、垂直，以及求解平面上的面积
等。

2. 物理学中的向量应用：
在物理学中，向量被广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。

位移
向量可以用来表示物体的位置变化，速度向量可以用来表示物体的运动速度和方向，加速
度向量可以用来表示物体的速度变化率等。

通过向量的运算，可以方便地计算物体之间的
相对速度、加速度，以及其他相关的物理量。

4. 计算机科学中的向量应用：
在计算机科学中，向量被广泛应用于描述二维和三维图形的坐标和方向。

我们可以用
二维向量表示平面上的一个点的坐标，用三维向量表示空间中的一个点的坐标，用向量的
加法和减法进行坐标的变换和计算。

向量的点乘和叉乘可以用来计算向量之间的夹角、距
离和面积等。

向量是数学中非常重要的概念和工具，被广泛应用于物理、工程、计算机科学等各个
领域。

通过对向量的运算和应用，我们可以更方便地描述和计算各种物理量、几何关系和
图形形状等。

向量的应用不仅仅局限于上述几个领域，还有很多其他的应用，如信号处理、优化问题等，具有非常广泛的应用前景。

向量在物理中的关键应用作文向量在物理中的关键应用在物理学中，向量是一种重要的数学工具，它被广泛地应用于各个领域，从机械力学到电磁学，从热力学到光学。

向量的运算和表示方法可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。

本文将探讨向量在物理中的关键应用。

一、力学在力学中，向量的应用尤为突出。

我们可以使用向量来描述物体的运动和作用力。

例如，当我们想要描述一个物体受到的作用力以及它的运动状态时，我们可以使用位移向量、力向量和加速度向量。

位移向量表示物体从一个位置到另一个位置的移动，力向量表示作用在物体上的力，而加速度向量则表示物体在单位时间内的速度变化。

通过对这些向量的运算和研究，我们可以得出关于物体运动和力的有关性质和规律。

例如，根据牛顿第二定律，我们可以得出力等于物体质量乘以加速度的公式，即F = m*a。

这个公式便是基于向量的概念和运算得出的。

二、电磁学向量在电磁学中也扮演着重要的角色。

对于电磁力和电场、磁场的研究和描述，向量起到了至关重要的作用。

在电磁学中，我们可以使用电场强度向量和磁感应强度向量来描述电场和磁场的性质。

电场强度向量表示电场的强度和方向，磁感应强度向量则表示磁场的强度和方向。

通过对电场和磁场的向量运算，我们可以计算出电荷之间的作用力，以及电流在导线上产生的磁场等。

同时，远距离电磁相互作用的描述和计算也离不开向量的运算。

例如，在电磁波的传播过程中，我们可以通过电场和磁场的向量叠加得到电磁波的传播方向和强度。

这些都是基于向量的运算和分析得出的。

三、热力学在热力学中，向量也有着广泛的应用。

温度梯度、热流等热学量的计算和描述都需要运用向量的概念和方法。

例如，当我们想要计算物体内的温度分布时，我们可以使用温度梯度向量来表示温度在空间的变化率。

这样，我们就可以通过对温度梯度向量的运算和分析来得出物体内部的温度分布规律。

另外，热流的描述和计算也依赖于向量的应用。

热流向量表示单位时间内单位面积内热量的流动方向和强度。

向量分析在物理学中的应用向量分析是现代数学中非常重要的一个分支，其应用范围涵盖了物理学、工程学、计算机科学等众多领域。

在物理学中，向量分析被广泛应用于研究各种物理现象，包括力学、物理光学、电磁学等领域。

本文将从这些方面介绍向量分析在物理学中的应用，探讨向量分析在实际问题中的重要价值。

一、力学中的向量分析在力学中，向量分析理论被广泛用于描述运动物体的运动状态。

力学中的向量分析包括向量场、矢量微积分、张量分析等方面，这些理论在力学中的应用非常广泛。

例如在运动物体的运动分析中，向量场可以被用来表达速度、加速度、力等物理量的分布情况。

同时，矢量微积分可以用于描述运动物体的位置、速度和加速度等物理量之间的关系。

还有一些高级的向量分析技术，比如张量分析可以用于描述运动物体中介质的流动性质，这对流体力学的研究具有重要的意义。

二、物理光学中的向量分析在物理光学中，向量分析被广泛应用于描述光传播的性质和光场的分布情况。

光波是一种横波，它在传播方向和垂直传播方向的平面上都有电场和磁场的振动。

而向量分析理论提供了一种非常方便的描述电场和磁场的方法，这种方法称作麦克斯韦方程组。

通过这种方法，我们可以方便地描述光波在介质中传播的速度、功率和偏振等特性，这对解决光学现象中的许多问题非常有用。

三、电磁学中的向量分析电磁学是物理学中一个非常重要的领域，它研究的是电荷、电场和磁场的相互作用。

在电磁学中，向量分析理论被广泛应用于描述电场和磁场的分布和强度。

例如，通过向量分析理论，我们可以方便地计算和比较不同情况下的电场和磁场的强度、方向和分布情况，这对解决电磁现象中的许多问题非常有用。

总结向量分析是现代数学中非常重要的一个分支，其应用范围涵盖了各种领域。

在物理学中，向量分析被广泛应用于研究各种物理现象，包括力学、物理光学、电磁学等领域。

在力学中，向量分析可以被用来描述运动物体的运动状态；在物理光学中，向量分析可以被用来描述光传播的性质和光场的分布情况；在电磁学中，向量分析可以被用来描述电场和磁场的分布和强度。

向量的应用向量是数学中的重要概念，它在很多领域中都有着广泛的应用。

在物理学、工程学、计算机科学等领域中，向量被用来描述和求解各种问题。

一、物理学中的向量应用在物理学中，向量被用来描述物体的位置、速度、加速度等物理量。

一个物体在二维平面上的位置可以用一个二维向量表示，其中向量的两个分量分别表示物体在 x 方向和y 方向上的位置，这样可以方便地描述物体的位置关系和运动轨迹。

速度和加速度也是向量，它们的方向和大小可以通过向量的几何性质进行分析和计算。

二、工程学中的向量应用工程学中的向量应用主要集中在力学、电路分析和信号处理等方面。

在力学中，向量被用来描述力的大小和方向，可以方便地求解物体的平衡和运动问题。

在电路分析中，向量被用来描述电压和电流的相位关系，可以通过向量运算方便地分析电路中的功率和效率。

在信号处理中，向量被用来描述信号的幅度和相位，可以方便地进行滤波和频谱分析等操作。

三、计算机科学中的向量应用在计算机科学中，向量被广泛应用于图像处理、机器学习等领域中。

在图像处理中，向量被用来表示图像的像素值，在图像的压缩、增强和分析等操作中起到关键作用。

在机器学习中，向量被用来表示样本的特征向量，通过向量的相似性和距离度量可以进行分类和聚类等操作。

四、其他领域中的向量应用除了上述领域外，向量还在金融学、经济学、生物学等领域中有着广泛的应用。

在金融学中，向量被用来描述资产的收益和风险，可以通过向量运算进行资产组合和风险管理等操作。

在经济学中，向量被用来描述经济指标和变量之间的关系，可以进行经济模型和政策分析等操作。

在生物学中，向量被用来描述基因组的序列，可以进行基因组测序和突变检测等操作。

向量在各个科学和工程领域中都有着广泛的应用。

通过向量的几何性质和运算规律，可以方便地描述和求解各种问题，扩展了数学在实际问题中的应用范围，提高了问题的求解效率和精度。

深入理解和掌握向量的概念和应用是学习数学和科学的重要基础。

平面向量在物理问题中的应用平面向量是解决物理问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的位移、速度和加速度等性质，广泛应用于力学、电磁学、动力学等物理学领域。

本文将从力学、电磁学和动力学三个方面介绍平面向量在物理问题中的应用。

一、力学中的平面向量应用力学是研究物体运动和受力情况的学科，平面向量在力学问题中扮演着重要的角色。

1. 位移和速度：位移是物体从一个位置到另一个位置的变化，速度是物体在单位时间内位移的变化率。

在力学问题中，我们可以利用平面向量来表示位移和速度。

假设一个物体位于平面上的点P，其位移向量为r，那么P点的速度向量v就是位移向量r对时间的导数。

2. 力和加速度：力是物体所受的作用，而加速度是物体单位时间内速度的改变量。

根据牛顿第二定律，力的大小等于物体质量乘以加速度的大小。

在力学问题中，我们可以使用平面向量来描述力和加速度。

假设一个物体受力F，质量为m，加速度向量为a，则根据牛顿第二定律可以得到F = ma。

二、电磁学中的平面向量应用电磁学是研究电荷和电流、电场和磁场相互作用的学科，平面向量在电磁学问题中也有重要应用。

1. 电场和电势：电场是由电荷产生的一种力场。

在电磁学问题中，平面向量可以用来描述电场的强弱和方向。

假设一个电荷在空间中的位置为点P，电场向量E就是点P处的电场强度对于位置的导数。

而电势则是描述电场能量的标量量，是电场在单位正电荷上的做功。

在电磁学中，我们可以利用平面向量来计算电势。

2. 磁场和磁感应强度：磁场是由电流产生的一种力场。

在电磁学问题中，平面向量可以用来描述磁场的强弱和方向。

假设一个电流在空间中的位置为点P，磁感应强度向量B就是点P处的磁场强度对于位置的导数。

磁场力的大小可以通过安培力定律来计算，利用平面向量可以方便地进行计算。

三、动力学中的平面向量应用动力学是研究物体运动的原因和规律的学科，平面向量在动力学问题中也有广泛应用。

1. 动量和力矩：动量是物体的运动状态的度量，等于质量乘以速度。

一、教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念;向量是既有大小、又有方向的量;它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系;将向量这一工具应用到物理中;可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具;而且用数学的思想方法去审视相关物理现象;研究相关物理问题;可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量;比如力、速度、加速度、位移等都是向量;这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.1力、速度、加速度、位移等既然都是向量;那么它们的合成与分解就是向量的加、减法;运动的叠加亦用到向量的合成;2动量是数乘向量;3功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括;把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象;深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题;并获得这个向量的解;④利用这个结果;对原物理现象作出合理解释;即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较;得出抽象的数学模型.例如;物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时;注重向量模型的运用;引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.二、教学目标1．知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型;速度的合成与分解的物理模型;掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤..2．过程与方法：明了向量在物理中应用的基本题型;进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.3．情感态度与价值观：通过对具体问题的探究解决;进一步培养学生的数学应用意识;提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学;善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.三、重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学设想一导入新课思路1.章头图引入章头图中;道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢它就像章头图中的高速公路一样;是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中;教师展示物理模型;由此展开新课.思路2.问题引入你能举出物理中的哪些向量比如力、位移、速度、加速度等;既有大小又有方向;都是向量;学生很容易就举出来.进一步;你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗你是怎样解决的教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具;对向量在物理中的研究;有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究;体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.二应用示例例1在日常生活中;你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包;夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动;两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型;引导学生由向量的平行四边形法则;力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系其中F为F 1、F 2的合力;就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体;在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后;与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤;也可以由学生自己完成;还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化;即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立;即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得;即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案;即回到问题的初始状态;解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|;由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识;可以知道通过上面的式子;我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时;2θ由0°到90°逐渐变大;cos 2θ的值由大逐渐变小;因此|F 1|由小逐渐变大;即F 1;F 2之间的夹角越大越费力;夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题;学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图;启发学生将物理现象转化成模型;从数学角度进行解释;这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型;为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现;这是一个很简单的向量问题;这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20km/h 的速度向西行驶;感到风从正南方向吹来;而当其速度变为40km/h 时;他又感到风从西南方向吹来;求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度;在无风时;此人感到的风速为-v 1;实际的风速为v ;那么此人所感到的风速为v +-v 1=v -v 1. 令AB =-v 1;AC =-2v 1;实际风速为v .∵DA +AB =DB ; ∴DB =v -v 1;这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA +AC =DC ;∴DC =v -2v 1;这就是当车的速度为40km/h 时;骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°;DB ⊥AB;AB=BC;∴△DCA 为等腰三角形;DA=DC;∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202km/h. 答:实际的风速v 的大小是202km/h;方向是东南方向.例2如图3所示;利用这个装置冲击摆可测定子弹的速度;设有一砂箱悬挂在两线下端;子弹击中砂箱后;陷入箱内;使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M;求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度;由于水平方向上动量守恒;所以m|v |=M+m|v 0|.①由于机械能守恒;所以21M+m v 02=M+mgh.②联立①②解得|v |=.2gh m m M 又因为m 相对于M 很小;所以|v |≈gh m M 2;即子弹的速度大小约为gh m M 2. 三知能训练 1.一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行;已知河水流速为2km/h;则经过3小时;该船实际航程为A.215kmB.6kmC.84kmD.8km图4 2.如图4;已知两个力的大小和方向;则合力的大小为N;若在图示坐标系中;用坐标表示合力F ;则F =___________. 3.一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶;而该船实际航行的方向与水流方向成30°角;求水流速度与船的实际速度.解答: 1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理;所以要通过作高来求.2.415;4图53.如图5所示;设OA 表示水流速度;OB 表示船垂直于对岸的速度;OC 表示船的实际速度;∠AOC=30°;|OB |=5km/h.因为OACB 为矩形;所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66km/h;|OC |= 30cos ||OA =2335=10km/h. 答:水流速度为8.66km/h;船的实际速度为10km/h.点评:转化为数学模型;画出向量图;在直角三角形中解出.四课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化;即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立;即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得;即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案;即回到问题的初始状态;解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv是数乘向量;冲量Δt F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积;即W=F·s.五作业。

向量在物理中的应用举例高中数学　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语　向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1　如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解　如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1　用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案　10解析　设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2　(教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2　某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案　60　30°解析　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3　已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解　如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3　一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案　－40解析　∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案　C 解析　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案　D解析　两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案　D 解析　F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案　D解析　作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案　A解析　在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案　D解析　因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案　D解析　为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案　B解析　由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案　D解析　如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案　BD解析　根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案　π4解析　设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案　0.5解析　如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解　如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案　B解析　对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案　D解析　设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案　－53737解析　因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案　0　98解析　物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案　AC 解析　设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解　设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。

向量在物理中的应用1.向量是既有大小又有方向的量，物理中有许多量：力、速度、加速度等都是向量.2.用向量研究物理问题的相关知识：(1)力、速度、加速度、位移都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法、运动的叠加亦用到向量的合成；(3)动量m 是数乘向量；(4)功定义即力与产生位移的内积. 典型例题例1 A、B两人同拎着有绳相缚的某一货物，当A、B所拉着的绳子与铅垂线分别成30°、45°角时，试求A、B手上所承受的力的比.解：取绳与货物的交叉位置为O，这时作用在货物上的力有三个：重力G，A、B的手对货物的拉力、，因为作用于平衡物体上的合力为0，∴=0，设、的相反向量为，，则按照向量加法的意义可知四边形OPGQ是一个平行四边形.由正弦定理得：= ∴｜｜∶｜｜= = ∶1即A、B 两人手上所承受的拉力之比为∶1例2 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度｜v1｜=10km/h，水流速度｜v2｜=4km/h，那么v1与v2的夹角多大时，船才能垂直到达对岸B处?船行驶多少时间? 分析：若水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了.由于水流动的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于河岸方向.解：设表示水流速度，表示船向对岸行驶速度，以AE、AB分别为平行四边形的一条边和一条对角线作平行四边形，根据向量的平行四边形法则和解直角三角形知识得：v= = =2 (km/h)由于sin∠FAB= = 所以v1与v2的夹角为arcsin ∵2 km/h= m/min= m/min.∴船行驶时间t= = (min)答：v1与v2的夹角为arcsin 时，船才能垂直到达对岸B处，船行驶时间是min.向量是代数的对象。

运算及其规律是代数学的基本研究对象。

向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。

向量在物理中的应用数学和物理在很多方面都有着密切的联系。

把数学与物理沟通起来把，既有利于理解数学，也有利于理解物理。

比如说，数学中的向量概念及其运算法则，在物理中就有着广泛的应用。

现举例把二者的联系说明一下。

一、向量即为物理中的矢量数学中的向量，定义如下：向量：把既有大小又有方向的量叫向量。

物理学中的矢量概念：力既有大小，又有方向，象这样的物理量叫做矢量。

二、向量的运算法则同矢量的运算法则相同1.向量的加法—力与运动的合成向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法（2）法则：①三角形法则：②平行四边形法则：力的合成：（1）定义：求几个力的合力叫做力的合成。

（2）平行四边形法则：实验表明，如果用表示两个力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示出来。

可见，力的合成就是向量的加法。

2.向量的减法—力的分解向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法（2）法则：①三角形法则②平行四边形法则：力的分解：（1）定义：求一个已知力的分力叫做力的分解。

（2）法则：平行四边形法则：把一个已知力F作为平行四边形的对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力。

同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力。

可见，力的分解其实就是向量的减法三、向量的数量积—力的功向量的数量积定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作ab，即ab=|a||b|cosθ。

几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a上的投影|b|cosθ的乘积。

功定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功。

如，W=Fscosα 。

这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。

可见，功就是两向量的数量积。

四、实数与向量的积—安培力实数与向量的积定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（1）|λ a|=|λ||a|（2）当λ>0时，λ a的方向与a的方向相同；当λ<0时，λ a的方向与a的方向相反；当λ=0时，λ a=0。

高中物理向量在物理中的应用在高中物理的学习中，向量是一个非常重要的概念，它为我们解决物理问题提供了强大的工具。

向量不仅具有大小，还具有方向，这种特性使得它能够准确地描述许多物理量，帮助我们更清晰地理解物理现象和规律。

首先，我们来谈谈位移。

位移是一个典型的向量。

当我们描述一个物体从一点移动到另一点时，仅仅知道移动的距离是不够的，还需要明确移动的方向。

比如，一个人从 A 点先向东走了 5 米，再向北走了3 米，那么他的位移就不能简单地用 8 米来表示，而应该用一个既有大小又有方向的向量来描述。

这个向量的大小可以通过勾股定理计算得出，方向则可以用与正东方向的夹角来表示。

力也是一个常见的向量。

在分析物体的受力情况时，我们不仅要知道力的大小，更要清楚力的方向。

例如，一个放在斜面上的物体，受到重力、支持力和摩擦力的作用。

重力的方向竖直向下，支持力垂直于斜面向上，摩擦力沿着斜面方向。

只有明确了这些力的方向和大小，我们才能运用平行四边形定则或三角形定则来合成或分解力，从而进一步分析物体的运动状态。

速度同样是向量。

一辆汽车以 30 米每秒的速度向东行驶，这里的“向东”就是速度的方向。

当物体做曲线运动时，速度的方向时刻在改变。

比如一个做平抛运动的物体，水平方向的速度不变，竖直方向的速度均匀增加，其合速度的大小和方向都在不断变化。

我们通过分析速度的向量变化，可以更好地理解物体的运动轨迹。

在研究电场和磁场时，向量的应用更是不可或缺。

电场强度和磁感应强度都是向量。

电场强度的方向规定为正电荷在该点所受电场力的方向，磁感应强度的方向则通过小磁针北极在磁场中的指向来确定。

通过对这些向量的分析，我们可以了解电荷在电场中的受力情况，以及电流在磁场中受到的安培力等。

接下来，让我们看看向量在解决物理问题中的具体方法。

合成与分解是向量运算的重要手段。

以力的合成与分解为例，当一个物体同时受到多个力的作用时，我们可以将这些力合成一个合力，来分析物体的整体运动情况。