向量在物理中的应用举例

(数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
P
作 业
3、 4
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缘一见。没想到眼前这位个头1.68米左右，满头白发的中老年人，皮肤却保养得极好，白白净净、面容和气、浑身充满书生气 的就是厂长。他马上必恭必敬问候道：“您好！谷厂长！”谷仕昊点了点头，同时伸出手回道：“你好！”马启明赶紧伸出双 手握住谷仕昊的手，感到他的手润滑细腻，好像绸缎一样，心里暗想一个男人的手竟能保养得这么好，好像贵妇人或小小的手， 真是难得! 跟他握手简直是一种人间莫名地享受，圆润、温热。“这位是冯总工程师，他是我们厂的高级工程师，是中国培养 的第一批啤酒专家！”蒋明辉指着一位年长者介绍道。马启明心里“咯噔”一下，暗自心喜，没想到花开啤酒厂还有这样的稀 缺人物。他谦虚地问候道：“您好！冯工，今后要请你多多指教！”“您好！欢迎欢迎！！！”冯力雄微笑着说道。他个子很 高，有1.84米左右，背有点驼，身体略显瘦弱单薄，感觉特平易近人、特有亲和力。在蒋明辉的介绍下，马启明才知道冯力雄 在啤酒界是凤毛麟角的技术领军人物。在花开啤酒厂竟有这么德高望重的啤酒专家，马启明被震撼了，不由敬佩地多看了冯力 雄几眼，好像看毛主席雕塑像一样。“这位是人保科的张科长。”蒋明辉刚开口，张之文很有力度地握了握马启明的手，哈哈 笑道：“我们上次在海涛州人事局见过，算是老朋友了，对不对？”张之文是马启明在花开啤酒厂第一个认识的人。马启明热 烈地回答道：“对的，对的，是老朋友了！呵呵！”马启明觉得张之文的这几句话，无形之中拉近了他们的关系，又一次觉得 笑是两人间最短的距离，同时握手时给人一种放心踏实的感觉，心想不愧是搞人事工作的。他个子1.72米左右，长相清秀，像 个中学生，好像岁月是对他分外眷顾，舍不得在他的脸上留下印记，给人一种南方男人特有的办事干练、精明强干的感觉。马 启明觉得自己跟着蒋明辉到处烧香拜佛似的，几路神仙都拜到了。谷仕昊召召手说道：“小马，来，我们坐下来边吃边谈。” 马启明和刘丽娟拘谨地坐了下来，谷仕昊一边吃菜一边问了马启明和刘丽娟的专业情况。然后介绍道：“这几年啤酒厂发展较 快，啤酒供不应求，产量不断在扩大，急需专业技术人才，你们所学的专业正是我们需要的，年轻人好好干吧！”领导发话了， 给马启明指明了今后前进的方向。马启明不住地点头，连敬酒也没有敬。傻里吧唧，傻愣货一个。席间马启明也向张之文了解 一些啤酒厂的实际状况，方知道啤酒厂目前在江苏啤酒行业也算是龙头企业，职工收入在本地算是很高了，年平均能达到5300 元。5300元在1993年确实算高收入，足够马启明两口子用的了，而在当时海涛州年社会平均工资是3000元左右。听到收入这么 高，“钱景”大好，马启明两口子顿时不由得会心地

向量在物理中的应用举例
知识点归纳
向量在物理中的应用 (1)物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成 与向量的加法与减法相类似，可以用向量来解决． (2)物理中的功是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即 W＝f·s＝|f|·|s|cos θ.
用向量方法解决力学问题
如图，在重300 N的物体 上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的 两侧，与铅垂线的夹角为30°和60°， 求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
【思路分析】力的合成与分解，可用向量的平行四边形法 则解决．
【规范解答】如右图，作平行四边形 OACB， 使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC 中，∠ ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|O→A|＝|O→C |cos 30°＝ 150 3 (N) ， | A→C | ＝ | O→C |sin 30°＝ 150(N)，|O→B|＝|A→C|＝150 N.
力所做的功
已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N，F拉着80 N的木块在摩擦系数为μ＝0.02的水平 面上运动了20 m，问F和摩擦力f所做的功分别是多少？
【思路分析】利用向量数量积的物理意义求解．
【规范解答】设木块的位移为 s，则 F·s＝|F||s|·cos 30°＝
【规范解答】设船速为 v1，水速为 v2， 船的实际速度为 v3.建立如图所示坐标系， 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝250 m/s＝4 m/s.
由 v3＝v1＋v2，得 v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)， ∴|v2|＝3，即 v2＝3 m/s.
用向量解决相关的物理问题，要将相关的 物理量用几何图形正确地表示出来；根据物理意义，将物理问 题转化为数学问题求解．最后将数学结论还原为物理问题．

F3 S
F1 F2
S (4 2,4 2) F2 (2 3,2)
东X
F3 (3,3 3)
三、巩固练习
练习：某人骑车以 a km/h(a 0)的速度向东行驶， 感觉风从正北方向吹来；而当速度为2a km/h时，感
到风从东北方向吹来。实际上风的速度和方向一直 没变。试求实际风速和方向。
四、总结提升
向量在物理中的应用举例
晋江市毓英中学 苏素素
一、前置学习
1、用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具， 如图所示，已知每根绳子的拉力大小为10 N，则 灯具重为________ N.
物理解法： 利用平行四边形法则，作图， 求合力
一、前置学习
2、已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的 位移S的大小为100m，且F与S的夹角为60°，则力F 所做的功W=_______J
北
F3 S
F1 F2
东
二、新知探究
变式2、一个物体受到平面内三个力F1,F2,F3的作用，
沿北偏东45°的方向移动了8m，其中力F1大小2N，
方 向 为 北 偏 东 30 ° ， 力 F2 大 小 4N ， 方 向 为 北 偏 东
60°，力F3大小6N，方向为北偏西30°，求合力所
作的功。
北Y
F1 (1, 3)
求解参数 利用向量知识求模、夹角、数量积等
回答问题 把所得结论回归物理问题
五、课后作业
1、必做题：①课本P113 A组 第4题 ②用等长的两根绳子挂一个物体,物体受到的重力 为G。请用向量的知识证明两绳之间的夹角θ越大， 绳子受到的拉力越大。
2、选做题：某质量为G的物体用绳子绑着，某人 手拉着绳子在水平面上匀速行走。若物体与地面 的动摩擦系数为 ，3 则当绳子与地面所成角多大 时，拉力最小？ 3

§6.4.2 向量在物理中的应用举例一、内容和内容解析内容：向量在物理中的应用内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．物理学家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算.数学家在物理家使用向量的基础上，对向量又进行了深入研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用.通过实例，引导学生用向量方法解决物理中的速度、力学问题，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）会用平面向量知识解决简单的物理问题，培养数学建模的核心素养．（2）体会向量在解决速度、力学等一些简单实际问题中的作用，提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）向量在物理中的应用实际上是先把物理问题转化为向量问题，然后利用向量运算解决问题，最后再用所得的结果解释物理现象.（2）借助具体实例，体会将物理问题转化为数学问题和用数学模型来解释物理现象，以此培养学生数学建模素养，提高从向量角度分析和解决实际问题的能力．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量在物理中的应用的教学中，将物理问题转化为向量问题是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：将物理问题转化为数学问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：从日常中经常遇到的实际问题入手，结合具体体验，完成建立数学模型的过程.2．教学问题二：如何用数学模型解释问题中所反映的物理现象是本节课的第二个教学问题．解决方案：借助信息技术工具，将数学模型还原成物理问题，解释物理现象.基于上述情况，本节课的教学难点定为：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生能够用向量的方法解决物理中的相关问题，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用小组讨论，代表发言的形式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数学建模的过程，让学生体会到数学思想方法的应用．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题[问题1]图1中两个人提一重物怎样提最省力？图2中一个人静止地垂挂在单杠上，手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？[问题2]向量的数量积与功有什么联系？教师1：提出问题1．学生1：两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力.教师2：提出问题2．学生2：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.通过生活中的实际问题，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流，解决问题[问题3]如何利用向量研究力、速度、加速度、位移、功等物理问题？[问题4]利用向量方法解决物理问题的基本步骤是什么？教师3：提出问题3．学生3：学生思考，力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等；力所做的功的问题一般可以利用两向量的数量积来处理，如图所示，一物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功为W＝F·s.教师4：提出问题4．学生4：学生小组讨论.利用向量方法解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．通过探究、思考，进一步完善用向量方法解释实际现象及其步骤，提高学生分析问题、概括能力.典例分析巩固落实例1.（1）在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.（2）一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m，一艘船从A处出发到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10km/h，水流速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少(精确到min) ？2.向量的数量积在物理中的应用例2.质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离.(g＝9.8N/kg)(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？教师5：完成例1．学生5：（1）如图，两根绳子的拉力之和OA→＋OB→＝OC→，且|OC→|＝|OG→|＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，从而|OA→|＝|OC→|·cos 30°＝1503(N)，|AC→|＝|OC→|·sin 30°＝150(N)，所以|OB→|＝|AC→|＝150(N).答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.（2）解析：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短，如图，设12v v v=+，则()221296/v v v km h=+=此时，船的航行时间()0.560 3.1min96dtv==⨯≈所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min.教师6：完成例2．学生6：(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力F N，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；支持力F N与位移方向垂直，不做功，所以W N＝F N·s＝0；重力G对物体所做的功为W G＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝－19.6(J).通过例题让学生了解用向量方法解释日常生活中的现象，提高学生的解决问题、分析问题的能力.[课堂练习]1.一条渔船距对岸4 km，以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________ km/h.2.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为()(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝W F＋W N＋W G＝0.4(J).教师7：布置课堂练习1、2．学生7：完成课堂练习，并核对答案.课堂小结升华认知[问题5]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J.3．一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则教师8：提出问题5．学生8：学生9：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.10；；；4.v3的方向是北偏西60°，大小是 3 km/h.师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．。

平面向量在物理问题中的应用平面向量是解决物理问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的位移、速度和加速度等性质，广泛应用于力学、电磁学、动力学等物理学领域。

本文将从力学、电磁学和动力学三个方面介绍平面向量在物理问题中的应用。

一、力学中的平面向量应用力学是研究物体运动和受力情况的学科，平面向量在力学问题中扮演着重要的角色。

1. 位移和速度：位移是物体从一个位置到另一个位置的变化，速度是物体在单位时间内位移的变化率。

在力学问题中，我们可以利用平面向量来表示位移和速度。

假设一个物体位于平面上的点P，其位移向量为r，那么P点的速度向量v就是位移向量r对时间的导数。

2. 力和加速度：力是物体所受的作用，而加速度是物体单位时间内速度的改变量。

根据牛顿第二定律，力的大小等于物体质量乘以加速度的大小。

在力学问题中，我们可以使用平面向量来描述力和加速度。

假设一个物体受力F，质量为m，加速度向量为a，则根据牛顿第二定律可以得到F = ma。

二、电磁学中的平面向量应用电磁学是研究电荷和电流、电场和磁场相互作用的学科，平面向量在电磁学问题中也有重要应用。

1. 电场和电势：电场是由电荷产生的一种力场。

在电磁学问题中，平面向量可以用来描述电场的强弱和方向。

假设一个电荷在空间中的位置为点P，电场向量E就是点P处的电场强度对于位置的导数。

而电势则是描述电场能量的标量量，是电场在单位正电荷上的做功。

在电磁学中，我们可以利用平面向量来计算电势。

2. 磁场和磁感应强度：磁场是由电流产生的一种力场。

在电磁学问题中，平面向量可以用来描述磁场的强弱和方向。

假设一个电流在空间中的位置为点P，磁感应强度向量B就是点P处的磁场强度对于位置的导数。

磁场力的大小可以通过安培力定律来计算，利用平面向量可以方便地进行计算。

三、动力学中的平面向量应用动力学是研究物体运动的原因和规律的学科，平面向量在动力学问题中也有广泛应用。

1. 动量和力矩：动量是物体的运动状态的度量，等于质量乘以速度。

向量的表示方法
总结词
向量可以用箭头表示，箭头的长度代 表大小，箭头的指向代表方向。
详细描述
在数学和物理中，向量通常用箭头表 示，箭头的长度代表向量的模长，箭 头的指向代表向量的方向。在坐标系 中，向量也可以用坐标表示。
向量的运算规则
总结词
向量具有加法、减法、数乘等基本运算规则，这些运算规则遵循平行四边形法 则或三角形法则。
04
向量在物理中的重要性
描述物理现象的数学工具
向量是描述物理现象的重要数 学工具，如力、速度、加速度 等物理量都可以用向量表示。
向量具有大小和方向两个要素， 能够准确地描述物理量的变化 和方向。
向量运算（加法、数乘、向量 的模等）能够描述物理量的合 成与分解。
解决物理问题的有效方法
向量在解决物理问题中具有高效性和准确性，通过向量的运算和变换可以简化问题。
向量在解决力学、电磁学、振动与波动等问题中具有广泛的应用，能够提供简洁明 了的解决方案。
向量方法可以避免复杂的解析过程，提高解题效率。
连接数学与物理的桥梁
向量作为数学和物理之间的桥梁，能 够将数学理论应用于实际物理问题。
向量的引入和发展推动了数学和物理 学的发展，促进了科学技术的进步。
通过向量的应用，能够将抽象的数学 概念与具体的物理现象联系起来，促 进数学与物理的相互理解和应用。
详细描述
在物理中，力的合成与分解是常见的运算。例如，当一个物体受到两个力的作用时，可 以通过向量的合成求出这两个力的合力；同样地，当需要将一个力分解为若干个分力时， 也可以通过向量的分解来实现。力的合成与分解在工程、力学等领域有着广泛的应用。
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通 过向量运算可以方便地描述它们的方向和大小。

一、教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念;向量是既有大小、又有方向的量;它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系;将向量这一工具应用到物理中;可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具;而且用数学的思想方法去审视相关物理现象;研究相关物理问题;可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量;比如力、速度、加速度、位移等都是向量;这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.1力、速度、加速度、位移等既然都是向量;那么它们的合成与分解就是向量的加、减法;运动的叠加亦用到向量的合成;2动量是数乘向量;3功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括;把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象;深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题;并获得这个向量的解;④利用这个结果;对原物理现象作出合理解释;即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较;得出抽象的数学模型.例如;物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时;注重向量模型的运用;引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.二、教学目标1．知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型;速度的合成与分解的物理模型;掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤..2．过程与方法：明了向量在物理中应用的基本题型;进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.3．情感态度与价值观：通过对具体问题的探究解决;进一步培养学生的数学应用意识;提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学;善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.三、重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学设想一导入新课思路1.章头图引入章头图中;道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢它就像章头图中的高速公路一样;是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中;教师展示物理模型;由此展开新课.思路2.问题引入你能举出物理中的哪些向量比如力、位移、速度、加速度等;既有大小又有方向;都是向量;学生很容易就举出来.进一步;你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗你是怎样解决的教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具;对向量在物理中的研究;有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究;体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.二应用示例例1在日常生活中;你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包;夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动;两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型;引导学生由向量的平行四边形法则;力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系其中F为F 1、F 2的合力;就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体;在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后;与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤;也可以由学生自己完成;还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化;即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立;即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得;即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案;即回到问题的初始状态;解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|;由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识;可以知道通过上面的式子;我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时;2θ由0°到90°逐渐变大;cos 2θ的值由大逐渐变小;因此|F 1|由小逐渐变大;即F 1;F 2之间的夹角越大越费力;夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题;学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图;启发学生将物理现象转化成模型;从数学角度进行解释;这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型;为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现;这是一个很简单的向量问题;这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20km/h 的速度向西行驶;感到风从正南方向吹来;而当其速度变为40km/h 时;他又感到风从西南方向吹来;求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度;在无风时;此人感到的风速为-v 1;实际的风速为v ;那么此人所感到的风速为v +-v 1=v -v 1. 令AB =-v 1;AC =-2v 1;实际风速为v .∵DA +AB =DB ; ∴DB =v -v 1;这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA +AC =DC ;∴DC =v -2v 1;这就是当车的速度为40km/h 时;骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°;DB ⊥AB;AB=BC;∴△DCA 为等腰三角形;DA=DC;∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202km/h. 答:实际的风速v 的大小是202km/h;方向是东南方向.例2如图3所示;利用这个装置冲击摆可测定子弹的速度;设有一砂箱悬挂在两线下端;子弹击中砂箱后;陷入箱内;使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M;求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度;由于水平方向上动量守恒;所以m|v |=M+m|v 0|.①由于机械能守恒;所以21M+m v 02=M+mgh.②联立①②解得|v |=.2gh m m M 又因为m 相对于M 很小;所以|v |≈gh m M 2;即子弹的速度大小约为gh m M 2. 三知能训练 1.一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行;已知河水流速为2km/h;则经过3小时;该船实际航程为A.215kmB.6kmC.84kmD.8km图4 2.如图4;已知两个力的大小和方向;则合力的大小为N;若在图示坐标系中;用坐标表示合力F ;则F =___________. 3.一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶;而该船实际航行的方向与水流方向成30°角;求水流速度与船的实际速度.解答: 1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理;所以要通过作高来求.2.415;4图53.如图5所示;设OA 表示水流速度;OB 表示船垂直于对岸的速度;OC 表示船的实际速度;∠AOC=30°;|OB |=5km/h.因为OACB 为矩形;所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66km/h;|OC |= 30cos ||OA =2335=10km/h. 答:水流速度为8.66km/h;船的实际速度为10km/h.点评:转化为数学模型;画出向量图;在直角三角形中解出.四课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化;即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立;即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得;即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案;即回到问题的初始状态;解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv是数乘向量;冲量Δt F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积;即W=F·s.五作业。

向量在物理中的应用举例高中数学　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语　向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1　如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解　如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1　用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案　10解析　设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2　(教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2　某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案　60　30°解析　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3　已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解　如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3　一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案　－40解析　∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案　C 解析　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案　D解析　两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案　D 解析　F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案　D解析　作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案　A解析　在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案　D解析　因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案　D解析　为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案　B解析　由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案　D解析　如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案　BD解析　根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案　π4解析　设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案　0.5解析　如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解　如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案　B解析　对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案　D解析　设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案　－53737解析　因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案　0　98解析　物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案　AC 解析　设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解　设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。

向量空间在物理学中的应用讨论向量空间是现代数学中的一个重要概念，在各个领域的应用十分广泛，其中包括物理学。

本文将围绕向量空间在物理学中的应用展开讨论。

一、向量空间的基本概念向量空间是指一个集合V，其中定义了向量的加法和数量乘法两种运算，同时满足以下几个条件：加法符合交换律和结合律、存在零向量、存在加法逆元、数量乘法满足结合律、分配律和单位元等基本性质。

这些基本性质使得向量空间很自然地展现了出来在各个领域中的重要性。

二、向量空间在物理学中的应用1. 向量的表示在物理学中，向量空间常常被用来表示物理量。

例如，我们可以把一个物体的速度看作一个向量，速度大小就是向量的模，速度的方向就是向量的方向。

因此，我们可以用向量空间中的向量来表示出物理量的大小和方向。

2. 向量的加法在物理学中，向量的加法也非常重要。

例如，如果一个物体同时受到两个力的作用，那么这两个力的合力就可以用向量的加法来表示。

另外，在描述场时，也需要将不同的向量叠加起来，得到一个总的向量描述整个场，可以是电场、磁场等。

3. 向量的数量乘法向量的数量乘法在物理学中也有广泛的应用。

例如，在描述电场时，我们常常需要计算一个电荷在电场中所受的力，这个力可以用电荷的电量和电场的强度两个量来描述，其中电量是标量，电场强度是向量。

在这个过程中，我们需要使用向量的数量乘法来计算受力的大小和方向。

4. 向量的内积在物理学中，向量的内积也十分重要。

例如，在描述能量时，我们需要计算物体的动能或势能。

这些能量可以用物体的质量和速度或者高度来表示。

在计算能量时，我们需要使用向量的内积。

另外，向量的内积还可以用来表示两个向量之间的夹角，这在描述磁场中的磁力时也有应用。

5. 向量的外积向量的外积在物理学中也有应用。

例如，在描述电磁感应时，我们需要计算磁场中的磁通量和电线圈的面积。

这个面积可以用两个向量的外积来计算。

三、总结向量空间在物理学中的应用非常广泛，涉及到许多物理量和物理现象的描述。

向量在物理中的应用举例教案一、教学目标1. 让学生理解向量的概念及其表示方法。

2. 培养学生掌握向量的加法、减法、数乘和点乘运算。

3. 引导学生了解向量在物理中的应用，提高解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 向量的概念及其表示方法。

2. 向量的加法、减法、数乘和点乘运算。

3. 向量在物理中的应用举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、表示方法以及向量的运算。

2. 教学难点：向量在物理中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解向量的概念、表示方法和运算。

2. 采用案例分析法讲解向量在物理中的应用。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量在实际问题中的运用。

五、教学过程1. 引入新课：讲解向量的概念及其表示方法。

2. 讲解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。

3. 应用举例：分析向量在物理中的应用，如速度、加速度、力等。

4. 小组讨论：让学生结合生活实际，探讨向量在其他领域中的应用。

5. 总结与反馈：对本次课程的内容进行总结，收集学生的反馈意见。

6. 布置作业：让学生运用所学的向量知识解决实际问题。

六、教学评估1. 课堂讲解评估：观察学生对向量概念、表示方法和运算的理解程度，以及能否熟练运用向量解决物理问题。

2. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的参与程度，以及他们的创新思维和问题解决能力。

3. 作业评估：检查学生作业中向量知识的应用情况，以及解题的准确性和完整性。

七、教学拓展1. 引入其他物理概念：如动量、角动量等，进一步展示向量在物理中的应用。

2. 探讨向量在其他学科的应用：如数学、工程、计算机科学等。

3. 组织学生进行小研究：深入研究向量在某一领域的应用，如流体力学、电磁学等。

八、教学资源1. 教材：提供相关教材，如《线性代数》、《物理学》等。

2. 多媒体课件：制作并向学生提供包含图像、动画和示例的课件。

3. 网络资源：提供在线学习资源，如学术文章、视频教程等。

九、教学反馈与改进1. 课堂反馈：在每节课结束后，收集学生的反馈意见，了解他们的学习需求和困难。

个系统恰好处于平衡状态，求∠的大小.
学习目标
1、用向量解决几何中的平行、垂直、长度/距离、角度等问题；
2、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系；
3、通过平面向量基本定理，将向量的运算化归为实数的运算.
6.4.1 平面几何中的向量
方法
高一下学期
典例精析
例题：在正方形中，点，分别是，的中点，求证： ⊥

.
法一(几何法)：∆ ≅ ∆
验证： ∙ = 0 ？
法二(基底)： = + = +
1

2
1

2
= − =
−
1
1
∙ = (
+ ) ∙ ( − )
2
1
2
2
2
3

4
1
2
2
=
−
∙ −
又∵在正方形中， = ， ⊥
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 2 + 2 = 2(2 + 2 ).
新知探究
思考：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？

2 + 2 = 2(2 + 2 )
平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍
思考： 2 = (Ԧ + )2 = Ԧ 2 + 2Ԧ ∙ + 2 ； 2 = (Ԧ − )2 = Ԧ 2 − 2Ԧ ∙ + 2 ，
向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法：先建直角坐标系，写出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明.
6.4.2 向量在物理中的应
用举例
高一下学期

向量在物理中的应用1.向量是既有大小又有方向的量，物理中有许多量：力、速度、加速度等都是向量.2.用向量研究物理问题的相关知识：(1)力、速度、加速度、位移都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法、运动的叠加亦用到向量的合成；(3)动量m 是数乘向量；(4)功定义即力与产生位移的内积. 典型例题例1 A、B两人同拎着有绳相缚的某一货物，当A、B所拉着的绳子与铅垂线分别成30°、45°角时，试求A、B手上所承受的力的比.解：取绳与货物的交叉位置为O，这时作用在货物上的力有三个：重力G，A、B的手对货物的拉力、，因为作用于平衡物体上的合力为0，∴=0，设、的相反向量为，，则按照向量加法的意义可知四边形OPGQ是一个平行四边形.由正弦定理得：= ∴｜｜∶｜｜= = ∶1即A、B 两人手上所承受的拉力之比为∶1例2 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度｜v1｜=10km/h，水流速度｜v2｜=4km/h，那么v1与v2的夹角多大时，船才能垂直到达对岸B处?船行驶多少时间? 分析：若水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了.由于水流动的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于河岸方向.解：设表示水流速度，表示船向对岸行驶速度，以AE、AB分别为平行四边形的一条边和一条对角线作平行四边形，根据向量的平行四边形法则和解直角三角形知识得：v= = =2 (km/h)由于sin∠FAB= = 所以v1与v2的夹角为arcsin ∵2 km/h= m/min= m/min.∴船行驶时间t= = (min)答：v1与v2的夹角为arcsin 时，船才能垂直到达对岸B处，船行驶时间是min.向量是代数的对象。

运算及其规律是代数学的基本研究对象。

向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。

3.质量 m＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10 N 的作用下，沿倾斜角 θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m 的距离.(g＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多 少？
解：(1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和 支持力 FN，如图所示， 拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为 WF＝ F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)； 支持力 FN 与位移方向垂直，不做功，所以 WN＝FN·s＝0； 重力 G 对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝ －19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝ 0.4(J).
[典例 2] 已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一 质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质 点所做的功.
[解] 设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W ＝F·s.∵―AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).
＋F22＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2 5. 答案：C
3.一条河宽为 800 m，一船从 A 处出发想要垂直到达河正对岸 的 B 处，若船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________min. 解析：由题意作出示意图，如图， ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h， |v2|＝12 km/h，
二、创新应用题 5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速
度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30°，受风力影响， 静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂 直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速 度大小及方向.

2.5.2向量在物理中的应用举例自主学习知识梳理1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑____________又要考虑________．(2)不同点：向量与________无关，力和__________有关，大小和方向相同的两个力，如果__________不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的__________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是____________．(4)功即是力F与所产生位移s的__________．自主探究向量在物理学科和生活实践中都有着广泛的应用，请利用向量的方法解决下列这个问题．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h，(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？对点讲练知识点一力向量问题例1如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．回顾归纳利用向量法解决有关力的问题时，常常先把力移到共同的作用点，再作出相应图形，以帮助建立数学模型．变式训练1用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，求每根绳子的拉力？知识点二速度向量问题例2在风速为75(6－2) km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．回顾归纳速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．变式训练2一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h.水速为12 km/h，求船到达B处所需时间．知识点三恒力做功问题例3已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．回顾归纳物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.其中θ为F与s的夹角．变式训练3已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.课时作业一、选择题1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为() A．|F|·s B．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40 N B．10 2 NC．202N D．10 3 N3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．24．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)二、填空题5．已知向量a表示“向东航行3 千米”，b表示“向南航行3千米”则a＋b表示______．6．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是___________________________________________________________________．7. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．三、解答题8. 如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW ＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．9．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e 1＋2e 2，设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P 0、Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间t 为多少？2.5.2 向量在物理中的应用举例答案知识梳理1．(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点 2．(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积 自主探究解 (1)如图甲所示，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图乙所示，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →.∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →，在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝42，cos ∠BAO ＝|OA →||AB →|＝ 33.故此人应沿与河岸夹角余弦值为33，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4 2 km/h. 对点讲练 例1 解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G ＝F 1＋F 2，|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ， 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)由|F 1|＝|G |cos θ，|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.变式训练1 解 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G都成60°角，且|F 1|＝|F 2|.∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N.∴每根绳子的拉力都为10 N. 例2 解设风速为v 0，有风时飞机的飞行速度为v a ，无风时飞机的飞行速度为v b ， 则v a ＝v b ＋v 0，且v a ，v b ，v 0可构成三角形(如图所示)， ∵|AB →|＝|v a |＝150， |BC →|＝|v 0|＝75(6－2)，|AC →|＝|v b |，作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ， 则∠BAD ＝45°， ∴|CD →|＝|BE →|＝|EA →|＝752， ∴|DA →|＝|DE →|＋|EA →|＝|CB →|＋|EA →| ＝75(6－2)＋752＝756，从而tan ∠CAD ＝|CD →||DA →|＝752756＝33，∴∠CAD ＝30°， ∴|AC →|＝1502，∴v b ＝150 2 km/h ，∴没有风时飞机的飞行速度为150 2 km/h ，方向为北偏西60°. 变式训练2 解v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2 |v 1|＝20，|v 2|＝12， ∴|v |2＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km/h)．∴所需时间t ＝0.816＝0.05(小时)＝3(分钟)．∴该船到达B 处所需的时间为3分钟．例3 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.变式训练3 解 AB →＝(－4,3)，W ＝F·s ＝F ·AB →＝(2,3)·(－4,3) ＝－8＋9＝1 (J)．∴力F 对物体所做的功为1 J. 课时作业 1．D2．B [|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102， 当θ＝ 120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ．] 3．D [F 1＋F 2＝(1,2lg 2)． ∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2.]4．A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设合力f 的终点为P (x ，y )，则 OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．] 5．向东南方向航行3 2 千米 6．10 J解析 W G ＝G·s ＝|G|·|s |·cos 60°＝20×1×12＝10 J.7．①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ.∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大． ∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小． 8．解设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10 N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝5 3.|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5.∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N.9．解 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为(22，22)；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为(313，213)，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ，∴P 0P →＝|P 0P →|(22，22)＝(t ，t )，Q 0Q →＝|Q 0Q →|(313，213)＝(3t,2t )，由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)，∴P 0Q 0→＝(－1，－3)， PQ →＝(2t －1，t －3)，由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2.∴当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s .。

向量场的性质及其在物理中的应用向量场是一个数域上的向量函数，将每一个点映射到一个向量上。

在数学领域中，向量场具有很多重要的性质和应用。

本文将对向量场的性质进行详细讨论，并介绍它在物理中的应用。

首先，向量场具有局部平滑性的性质。

在定义域上，向量场的各个分量函数应是连续可微的，这使得向量场在局部范围内具有平滑的特性。

这一性质在许多领域中都非常实用，特别是在物理学中，因为它使得我们能够对向量场进行更深入的分析和计算。

其次，向量场的发散和旋度是两个非常重要的性质。

发散描述了向量场的流出和流入的情况，它是向量场的散度运算符应用于向量场得到的标量场。

在物理学中，发散可以用来描述物质的输运和扩散过程。

旋度描述了向量场的自旋情况，它是向量场的旋度运算符应用于向量场得到的矢量场。

在物理学中，旋度可以用来描述流体的涡旋和电磁场的旋转。

此外，向量场还具有线积分和曲面积分的性质。

线积分是将向量场沿着曲线进行积分，其结果是一个标量。

曲面积分是将向量场通过曲面进行积分，其结果是一个矢量。

这些积分在物理学中被广泛应用，例如计算沿着闭合回路的电流以及计算电场对电荷的作用力。

在物理学中，向量场有广泛的应用。

以下是几个例子：1. 电磁场：电磁场由电场和磁场组成的向量场。

电场和磁场都可以由向量场的性质进行描述。

电场可以通过电荷的发散和电荷密度来计算，而磁场可以通过电流的旋度来计算。

电磁场的性质对于电磁学和电磁感应等领域都非常重要。

2. 流体力学：流体力学涉及到液体和气体的运动和力学性质。

在流体力学中，速度场是一个重要的向量场。

通过分析速度场的发散和旋度，可以得到流体的质量输运和旋转情况，这对于研究流体的流动性质和力学行为非常有帮助。

3. 引力场：引力场由质点或物体的引力场构成。

引力场是一个向心的向量场，其大小和方向由引力源的质量和位置决定。

通过分析引力场的发散和旋度，可以推导出质点或物体的运动方程，这对于天体力学和行星运动等领域非常重要。

事实上，要使| |最小，只需
此时


= ，可得 = .

于是| |的最小值为 .

若要使| | = ||，只需

此时

=

最大，


，即

=

.



=

，

技巧总结
用向量解力学问题
对物体进行受力分析
画出受力分析图
转化为向量问题
例题解析
例2.在如图，一条河两岸平行，河的宽度 = ，一艘船从河岸边的
6.4 平面向量的应用
§6.4.2 向量在物理中的应用举例
情境引入
➢ 向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都
是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了
有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为
向量问题来解决.
➢ 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问
模型的建立
建立以向量为主体的数学模型
参数的获得
求出数学模型的有关解—理论参数值
问题的答案
回到问题的初始状态，解释相关的物理现象
随堂练习
1.一物体在力的作用下，由点(, )移动到点 , ．已知 =
， − ，求对该物体所 做的功
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点
程需要多长时间(精确到. )？
解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际
沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图，设 = + ，则|| =
此时，船的航行时间 =

||
=
.

| | − | | = (/).

2.一艘船从 O 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂 直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；