高中数学 第二章 向量在物理中的应用举例例题讲解素材 北师大版必修4

向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。

证：设BE 、CF 交于一点H ，−→−AB = a , −→−AC = b , −→−AH = h ,则−→−BH = h - a , −→−CH = h - b , −→−BC = b - a∵−→−BH ⊥−→−AC , −→−CH ⊥−→−AB∴0)()()(0)(0)(=-∙⇒∙-=∙-⇒⎭⎬⎫=∙-=∙-a b h a b h b a h a a h b a h ∴−→−AH ⊥−→−BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点[展示投影]预备知识：1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)注意几个问题：①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在②始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21 则P 分−→−12P P 的定比λ=2 2．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2)由向量的坐标运算 −→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)∵−→−P P 1=λ−→−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。

向量在物理中的应用举例向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念.物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决.用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．１．解决力学问题例1 质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对于物体的摩擦力和支持力的大小．解：如图1，物体受三个力：重力G （竖直向下，大小为mg Ｎ），斜面对物体的支持力F （垂直于斜面，向上，设其大小为F Ｎ），摩擦力f （与斜面平行，向上，大小为f Ｎ）．由于物体静止，故这三个力平衡，合力为0， 即G F f ++=0． ①记垂直于斜面向下、大小为1N 的力为e 1，与斜面平行向下、大小为1N 的力为2e ，以e 1，e 2为基底，则()()F F f f =-=-00，，，，由e 1旋转到G 方向的角为θ，则=G (cos sin )θθ，mg mg ．由①得过且过++=G F f （cos θ-mg F ，sin θ-mg f ）(00)=，， cos mg θ∴-F 0=，sin θ-mg f 0=，故F cos mg θ=，f sin mg θ=．例2 有两根柱子相距20m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2m ，求此时绳子所受的张力．的力分别记为解：如图2所示，设重力作用点为C ，绳子AC BC ，所承受CE CF ，，重力记为CG ．由C 为绳子的中点知CE CF =．由CE CF CG +=，知四边形CFGE 为菱形．又cos cos 0.02FCG DCB ∠=∠=≈，18.92445cos 0.02CGCE CFFCG ∴====∠．即绳子所受的张力为445N ．2．解决与位移、速度有关的问题例3 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4m/s ，这时气象台报告实际风速为2m/s ．试求风的实际方向和汽车的速度大小．分析：这是一个需要用向量知识解决的物理问题，因此，先要用物理概念建立解题意向，再使用向量形象描述，进而分析题意，创建数学模型，最后利用解直角三角形的技巧把问题解决．解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地． 风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地=v 风车+v 车地． 如图3，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v 风地的有向线段AD 是ACDB 的对角线．4m/s AC =，302m/s ACD AD ∠==，，90ADC ∴∠=．在Rt ADC △中，cos3023(m/s)DC AC ==·．即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为．例4 一位模型赛车手摇控一辆赛车，向正东方向前进1米，逆时针方向转弯α度，继续按直线向前行进1米，再按逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此法继续操作下去．（1） 作图说明，当45α=时，操作几次赛车的位移为0．（2） 若按此操作赛车能回到出发点，α应满足什么条件，请写出其中两个． 解：（1）作图，如图4，赛车位移路线构成一个正八边形． 赛车所行路程为8米，操作8次赛车的位移为0．（2）若按此法操作n 次赛车能回到出发点，则操作n 次赛车的位 移为0，赛车位移路线构成一个正n 边形，由平面几何知识，360n α=（多边形外角和定理），360(3)n n n α*∴=∈N 且≥．若60α=，则6n =，即操作6次可回到起点． 若15α=，则24n =，即操作24次可回到起点．评注：本题是向量位移的应用，培养了同学们动手操作绘图能力，分析问题及解决问题的能力．。

§7 向量应用举例知识点一 向量在解析几何中的应用[填一填]1．若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则它的方向向量为(B ，－A )，它的法向量为(A ，B )．[答一答]1．向量在解析几何中的作用是什么？提示：在平面直角坐标系中，有序实数对(x ，y )既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．知识点二 向量在平面几何中的应用[填一填]3．可运用向量的方法证明有关直线平行和垂直、线段的相等及点共线等问题，其基本方法有：(1)要证明两线段AB ＝CD ，可转化为证明AB →2＝CD →2；(2)要证明两线段AB ∥CD ，只要证明：存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证明两线段AB ⊥CD ，只要证明它们的数量积AB →·CD →＝0即可；(4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →；或若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，只要证明存在一个实数t ，使c ＝t a ＋(1－t )b ；(5)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |. [答一答]2．用向量法证明或解决几何问题的基本步骤是什么？提示：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．知识点三 向量在物理中的应用[填一填]4．(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的三角形法则或平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．[答一答]3．用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？提示：一般来说分为三步：①问题的转化，把物理问题转化为数学问题；②建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学模型的相关解；③问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的数值去解释一些物理现象．对直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量及法向量的两点说明(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量(1，y 2－y 1x 2－x 1)与P 1P 2→共线，因此向量(1，－A B )＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量． (2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量.类型一 直线的方向向量与法向量的应用 【例1】 已知点A (2，－1)，求：(1)过点A 且与向量a ＝(5,1)平行的直线的方程； (2)过点A 且与向量a ＝(5,1)垂直的直线的方程．【思路探究】 可利用直线的方向向量和弦向量求直线的方程．【解】 解法一：(1)设所求直线上任意一点P (x ，y )，由题意，知AP →∥a .AP →＝(x －2，y ＋1)，a ＝(5,1)，∴5(y ＋1)－(x －2)＝0， 即x －5y －7＝0.故过点A 且与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )． 由题意，知AP →⊥a ，即AP →·a ＝0. ∵AP →＝(x －2，y ＋1)，a ＝(5,1)， ∴5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 且与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0. 解法二：(1)∵所求直线与向量a ＝(5,1)平行， ∴所求直线的斜率为15.又所求直线过点A (2，－1)，∴所求直线方程为y －(－1)＝15(x －2)，即x －5y －7＝0.(2)∵所求直线与向量a ＝(5,1)垂直，∴所求直线的斜率为－5，又所求直线过点A (2，－1)， ∴所求直线方程为y －(－1)＝－5(x －2)， 即5x ＋y －9＝0.规律方法 解法一采用了求轨迹方程的方法，先在所求直线上设一动点P (x ，y )，再利用向量平行、垂直的条件建立x ，y 的关系；解法二应用了直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系求解．过点A (－1,2)且与直线l ：4x －5y ＋1＝0垂直的直线m 的方程是5x ＋4y －3＝0. 解析：取直线l 的法向量n ＝(4，－5)．设点P (x ，y )在所求直线m 上， 则AP →＝(x ＋1，y －2)． 由题意，知AP →与n 平行， 即4(y －2)－(－5)(x ＋1)＝0， 故直线m 的方程为5x ＋4y －3＝0.类型二 向量在平面几何中的应用【例2】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝3，点D 在线段BC 上，且BD ＝12DC .求：(1)AD 的长； (2)∠DAC 的大小．【思路探究】 (1)由于AB →，AC →的模及夹角已知，因此可以以AB →，AC →为基底表示AD →，结合向量的数量积求解|AD →|；(2)∠DAC 的求解需利用公式cos ∠DAC ＝AD →·AC→|AD →||AC →|.【解】 (1)设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b .∴|AD →|2＝AD →2＝(23a ＋13b )2＝49a 2＋2×29a ·b ＋19b 2＝49×9＋2×29×3×3×cos120°＋19×9＝3.故AD ＝ 3.(2)设∠DAC ＝θ，则θ为向量AD →与AC →的夹角．∵cos θ＝AD →·AC→|AD →||AC →|＝(23a ＋13b )·b 3×3＝13b 2＋23a ·b 33＝13×9＋23×3×3×cos120°33＝0，∴θ＝90°，即∠DAC ＝90°.规律方法 利用向量解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模长或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，坐标易表示或易建立平面直角坐标系的题目适合用坐标法．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：BC ⊥AC .证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系． 设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)， ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)．∵BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0，∴BC ⊥AC .类型三 向量在物理中的应用【例3】 设作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1和F 2的夹角为2π3(如图所示)．求：(1)F 3的大小． (2)〈F 3，F 2〉的大小．【思路探究】 第(1)问根据受力平衡原理可知F 3＝－(F 1＋F 2)，从而|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2；第(2)问以点O 为坐标原点，F 2的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，将F 1，F 3正交分解，根据受力平衡建立方程并求解．【解】 (1)F 1，F 2，F 3处于平衡状态，故F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)， 所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝1＋4＋2×1×2cos 2π3＝ 3.(2)如图，以点O 为坐标原点，F 2的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系．将向量F 1，F 3正交分解，设∠MOF 3＝θ.由受力平衡知|F 3|sin θ＝|F 1|cos π6，即3sin θ＝32，所以θ＝π6，所以〈F 3，F 2〉＝π－π6＝5π6.规律方法 用向量解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．(1)如果一架飞机先向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，设飞机飞行的路程为s km ，位移为a ，则( A )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小(2)已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝( D )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：(1)物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s ＝500，由位移的合成易得|a |<500，故s >|a |.(2)由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．类型四 向量在平面解析几何中的应用【例4】 已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【思路探究】 设出M 点坐标，利用AM →＝－32MQ →，可以将A 点的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用P A →·AM →＝0确定所求轨迹．以向量为载体考查解析几何的问题．【解】 设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a >0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2，即A (0，－y 2)，Q (x 3，0).P A →＝(3，－y 2)，AM →＝(x ，3y2)．∵P A →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0.即所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．规律方法 利用向量的运算求轨迹要理解几何关系与向量表示的内在联系，正确理解向量条件是解题的基础．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)．因为MA →＝2AN →， 所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －2，1－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，又因为点M (x 0，y 0)在圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4上， 所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4， 所以(2x )2＋(2y )2＝4，即x 2＋y 2＝1， 所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.——易错警示—— 向量在几何应用中的误区【例5】 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 的形状为________．【错解】 直角三角形【正解】 因为向量AB →|AB →|，AC →|AC →|①分别表示与向量AB →，AC →同向的单位向量，所以以AB→|AB →|，AC→|AC →|为邻边的平行四边形是菱形．根据平行四边形法则作AD →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|②(如图所示)，则AD 是∠BAC 的平分线．因为非零向量满足(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线AD 垂直于BC ，所以AB ＝AC ，又cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，且∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．【错解分析】 解答过程中，若未能分析出①所表示的几何意义，或者未能根据平行四边形法则分析出②所表示的几何意义，就会直接根据数量积为零的条件判断△ABC 是直角三角形．【答案】 等边三角形【防范措施】 1.注意知识的积累向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据，如本例中AB →|AB →|，AC→|AC →|的含义，邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线平分对角．2．树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( B )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：由题知，(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝0，如图所示，其中AB →＋AC →＝2AD →(D 为BC 中点)， 所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ， 即△ABC 为等腰三角形，故选B.一、选择题1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( A )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：根据题目提供的选项，首先要看是否有两边平行．因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，所以AD →∥BC →.而AB →与CD →不平行，则四边形ABCD 为梯形，应选A.2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( D ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：本小题主要考查点到直线的距离公式． 由点到直线的距离公式得d ＝|0＋2·0－5|12＋22＝55＝ 5.3．某人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度大小为( C ) A ．v 1－v 2B ．－v 1－v 2C ．|v 1|v 2|D ．|v 1v 2|解析：逆风行驶的速度为v ＝v 1＋v 2，因为v 1∥v 2，且方向相反，,所以|v |＝|v 1|v 2|(|v 1|>|v 2|)．二、填空题4.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB →·AC →＝1.解析：如图所示，AB →＝(0,1)，AC →＝(－1,1)，AB →·AC →＝(0,1)·(－1,1)＝1.5.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于2.解析：∵OA →－3OB →＋2OC →＝0，∴(OA →－OB →)－2(OB →－OC →)＝0.∴BA →＝2CB →. ∴|BA →|＝2|CB →|.∴|AB →||BC →|＝2.三、解答题6.如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线DB 的延长线及反向延长线上分别取E 、F 两点，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 也是平行四边形．证明：由题意得：BE →＝FD →，AB →＝DC →，,所以AE →＝AB →＋BE →＝DC →＋FD →＝FC →. 即AE ∥FC ，且|AE →|＝|FC →|.所以四边形AECF 是平行四边形．。

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2.证法一：如图2-7-1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a.图2-7-1∴|AC|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，|BD|2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2-7-2=OB＋OD=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，BD=AD-AB=OD-OB=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).∴|AC|2=（c+a）2+b2，|BD|2=（a-c）2+b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2c2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2c2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道：1.向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-7-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明：EF∥BC.图2-7-3 思路分析：证明EF ∥BC，转化为证明EF ∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一（基向量法）：设AB =a ，AD =b ，则有BD =AD -AB =b -a . ∵AD ∥BC ，∴存在实数λ＞1使BC =λAD =λb . ∵E 为BD 的中点，∴BE =21BD =21 (b -a ）. ∵F 为AC 的中点， ∴BF =BC +CF =BC +21CA =BC +21(BA -BC ）=21(BA +BC ）=21(BC -AB ）=21 (λb -a ）.∴EF =BF -BE =21 (λb -a ）-21 (b -a ）=（21λ-21）b . ∴EF =［（21λ-21）·λ1］BC . ∴EF ∥BC .EF ∥BC.证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以BC 为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A （a,b ）,D(c,b),C(d,0).图2-7-4∴E(2,2b c )，F(2,2b b a +). ∴EF =(2,2b b a +)-(2,2b c )=(0,2c d a -+)，BC =(d,0).∵2c d a -+×0-d×0=0. ∴EF ∥BC .∴EF ∥BC.例2如图2-7-5，一艘船从A 点出发以32km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-5 思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可. 解：如图2-7-5所示，设AD =a 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB =b 表示水流的速度，以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行速度,即AC =a +b ， ∵|a |=32，|b |=2,a ·b =0，∴|AC |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=16，即|AC |=4. ∵AC ·AB =（a +b ）·b =a ·b +b 2=4， ∴cos〈AC ,AB 〉21424||||=⨯=AB AC . 又∵0°≤〈AC ,AB 〉≤180°，∴〈AC ,AB 〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为60°.绿色通道： 用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤） ①把物理问题中的量用向量来表示；②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；③把结果还原为物理问题.变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠AC W=150°，∠BC W=120°,求A 和B 处所受力的大小.（忽略绳子的质量）思路分析：由于力和重量都是向量，求A 和B 处所受力的大小转化为求向量的模|CE |和|CF |.A 和B 处所受力的合力是10 N ，即物体W 的重量，用平行四边形法则解决.图2-7-6解：由题意，得四边形CEWF 是矩形， 则有CF +CE =CW ,CF ⊥CE |，CW |=10,∠FCW=60°.∴CF ·CE =0， ∴|CW |2=（CF +CE ）2=|CF |2+2CF ·CE +|CE |2. ∴|CF |2+|CE |2=100.① 又∵CF ·CE =0，〈CF ，CW 〉=60°，∴CF ·CW =CF ·（CF +CE ）=2CF +CF ·CE =2CF . ∴cos〈CF ，CW 〉||||CW CF 21||=CW . ∴|CF |=21|CW |=5,| CE |=35, 即A 和B 处所受力分别是35N 和5 N.例3（2006某某高三百校第二次考试卷，文9）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈［0，+∞),则P 的轨迹一定通过△A BC 的（ ） A.外心 B.垂心C.内心D.重心思路解析：OP =OA +λ(AB +AC )可以化为AP =λ(AB +AC ).所以AP ∥（AB +AC ）.又AB +AC 所在直线平分BC .所以AP 所在直线也平分BC .所以P 的轨迹一定通过△ABC答案：D绿色通道：判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.变式训练1在四边形ABCD中,AB·BC=0,且AB=DC,则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由AB·BC=0，得AB⊥BC,又AB=DC,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C变式训练2（2005全国高考卷Ⅰ，文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点思路解析：由OA·OB=OB·OC，得OA·OB-OB·OC=0.∴OB·（OA-OC）=0，即OB·CA=0,∴OB⊥CA.同理可证OA⊥CB,OC⊥AB.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.答案：D问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳臂受伤，试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决，针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析，建立数学|F 1|=2cos 2||θG ,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤.图2-7-7探究：设小孩的体重为G ，两胳膊受力分别为F 1，F 2，且F 1=F 2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-7-7（不计其他因素产生的力），不难建立向量模型：|F 1|=2cos 2||θG ，θ∈［0,π］，当θ=0时|F 1|=2||G ；当θ=3π2时，|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2π)时，|F 1|单调递增，故当θ∈(0, 3π2)时，F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（3π2，π）时，|F 1|＞|G |.此时，悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.。

2.7.2 向量的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联. 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念, 向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中, 可以使物理题解答更简捷、更清晰. 并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象, 研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量, 比如力、速度、加速度、位移等都是向量, 这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1) 力、速度、加速度、位移等既然都是向量, 那么它们的合成与分解就是向量的加、减法, 运动的叠加亦用到向量的合成;(2) 动量是数乘向量;(3) 功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法. ①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题; ②认真分析物理现象, 深刻把握物理量之间的相互关系; ③利用向量知识解决这个向量问题, 并获得这个向量的解; ④利用这个结果, 对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题. 教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较, 得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型. 同时, 注重向量模型的运用, 引导解决现实中的一些物理和几何问题. 这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型, 掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤, 明了向量在物理中应用的基本题型, 进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决, 进一步培养学生的数学应用意识, 提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用. 养成善于发现生活中的数学, 善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1. 运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点: 将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1 课时教学过程导入新课思路1. (情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法. 那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样, 是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中, 教师展示物理模型, 由此展开新课. 思路2. ( 问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等, 既有大小又有方向, 都是向量, 学生很容易就举出来. 进一步, 你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具, 对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识. 我们可以通过对下面若干问题的研究, 体会向量在物理中的重要作用. 由此自然地引入新课.推进新课 应用示例例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单 杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度解释这种现象吗？图1活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题 •这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题•只要分析清楚F 、G 0三者之间的关系（其中，F 为F i 、F 2的合力）， 就得到了问题的数学解释•在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察 | F|、|G 、0之间在变化过程中所产生的相互影响 •由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤 ，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证•用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化 ，即把物理问题转化为数学问题；②模 型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解一一理 论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象• 解:不妨设|F i |=| F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道通过上面的式子，我们发现：当0由0°到180。

平面向量的运算与应用平面向量是数学中重要的基本概念之一，向量知识是进一步学习数学、物理及其它科学的有效工具，尤其是向量加减法，向量的倍积与数量积的运算律在运算中扮演着重要角色．一、向量的几何运算向量运算有着丰富的几何背景，三角形法则与平行四边形法则是向量加减法运算的最基本而直观的运算方法．例1已知点G是△ABC的重心，O为平面内任意一点．证设AD、AE分别是△ABC的中线，交点为G(如图1)．什么？∴当0≤t≤1时，点P的轨迹为线段AB，当t≥1时，点P的轨迹为射线BC，当t≤0时，点P的轨迹为射线AD．综上所述，当t∈R时，点P的轨迹为直线AB．二、向量的坐标运算平面向量的坐标表示为向量的坐标运算提供了依据．特别是平面向量的数量积定义与有关性质，可以解决有关长度、夹角与垂直等问题．位向量的坐标．三、向量的应用向量运算在平移变换与力学中有广泛的应用．例5：系式．解设曲线F上任意一点P(x，y)，曲线F'上的对应点为P'(x'，y')，则x'＝x＋m，y'＝y＋n，∴x＝x'－m，y＝y'－n，将它们代入y＝f(x)得y'－n＝f(x'例6：两绳的夹角为θ(如图3)．边形法则及余弦定理得由于y＝cosx在[0，π)上为减函数，另外，向量的数量积用来推导证明正、余弦定理也非常简便，不再赘述．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

1 2.4.
2 向量在物理中的应用
课前导引
情景导入
如图，一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°,并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移
.
解：如图所示，设A 在东西基线与南北基线的交点处. 依题意，AB 的方向是北偏西60°,|AB |=1 000 km.
的方向是南偏西60°,||=2 000 km ，
∠BAC=60°.过B 作东西基线的垂线，交AC 于点D,
则△ABD 为正三角形，
∴BD=CD=1 000 km.
∴∠CBD=∠BCD=
21∠BDA=30°. ∴∠ABC=90°. 于是，BC=AC·sin60°=2 000×2
3=31000 km ，||=31000 km. ∴飞机从B 地到C 地的位移大小是31000 km,方向是南偏西30°.
知识预览
1.力学中的向量与前面学过的自由向量有所不同，它不仅包括大小、方向两个要素，还有作用点.
2.速度向量可用有向线段表示.
3.由于力、速度是向量，它的分解与合成与向量的加、减法相类似，可以用向量的方法来解决.。