圆锥曲线解答题中存在性问题 (2)

专题16圆锥曲线中的存在性问题1．（2022·上海黄浦·二模）已知双曲线 ：221412x y ，F 为左焦点，P 为直线1x 上一动点，Q 为线段PF 与 的交点．定义：||()||FP d P FQ ．(1)若点Q()d P 的值；(2)设()d P ，点P 的纵坐标为t ，试将2t 表示成 的函数并求其定义域；(3)证明：存在常数m 、n ，使得()||md P PF n ．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b （a >b >0）的离心率为2，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点 2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k 时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.3．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆22:143x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 交 于,A B两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆 上存在点C 使得||||AC BC ，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程．4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y 与x 轴的两个交点分别为 12,0A ， 22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my 交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F ：，，是左、右焦点．设M 是直线 2l x t t ：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆 于 0N N y ．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58，，求四边形2PMNF 的面积；(2)若PN 与椭圆 相切于N 且1214NF NF ，求2tan PNF 的值；(3)作N 关于原点的对称点N ，是否存在直线2F N ，使得1F N 上的任一点到2F N若存在，求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在△ABC 中， 2,0B ， 2,0C ，动点A满足AB 90ABC ，AC 的垂直平分线交直线AB 于点P ．(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)直线 x m m 交x 轴于D ，与曲线E 在第一象限的交点为Q ，过点D 的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，与直线3x m交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，①求证：123k k k 是定值．②若直线l 的斜率为1，问是否存在m 的值，使1236k k k 若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由．7．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知△ABC 的顶点 4,0A ， 4,0B ，满足：9tan tan 16A B ．(1)记点C 的轨迹为曲线 ，求 的轨迹方程；(2)过点 0,2M 且斜率为k 的直线l 与 相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP MQ NQ MP 恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A ，离心率为12，过点 3,0M 的直线l 与椭圆C 顺次交于点Q ，P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定直线:l x t 与直线2A P 交于点G ，使1A ，G ，Q 共线．9．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知1(2,0)F ，2(2,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b的左、右焦点，且A 5(2,)3为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线2y x t 与抛物线22(0)y px p 相交于,P Q 两点，射线1F P ，1FQ 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p D 时，总存在实数t ，使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.10．（2022·江西师大附中三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b的右焦点为F ，上顶点为M ，O 为坐标原点，若OMF的面积为12，且椭圆的离心率为2．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 点恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．11．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，已知离心率为2的椭圆 2222:10x y M a b a b 的左右顶点分别为A ､B ，P 是椭圆M 上异于A ､B 的一点，直线AP ､BP 分别交直线:4l x 于C ､D 两点.直线l 与x 轴交于点H ，且퐴⋅퐴=36.(1)求椭圆M 的方程；(2)若线段CD 的中点为E ，问在x 轴上是否存在定点N ，使得当直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在时，NP NE k k 为定值？若存在，求出点N 的坐标及NP NE k k 的值；若不存在，请说明理由.12．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A 关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP的斜率之积等于13．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线y t 与第（1）问的曲线C 交于不同的两点E 、F ，以线段EF 为直径作圆D ，圆心为D ，设 ,G G G x y 是圆D 上的动点，当t 变化时，求G y 的最大值；(3)设直线AP 和BP 分别与直线3x 交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C ：22221x y a b （0a b ）过点，直线l ：y x m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1m 时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．14．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，不过原点的直线l 交抛物线C 于A ，B 两不同点，交x 轴的正半轴于点D ．(1)当ADF 为正三角形时，求点A 的横坐标；(2)若||||FA FD ，直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ；①证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．15．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为等轴双曲线 2222:10,0x y a b a b的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且12||||AF AF 2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线 交于P ，Q两点．(1)若1122(,),(,)A x y B x y ，求证： 1221214x y x y y y ；(2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k ，试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理出．16．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）如图，过抛物线2:2(0)E y px p 的焦点F 的直线1l 交抛物线于第一象限的点02,Q y ，且3QF ，过点()(,00)P a a （不同于焦点F ）的直线2l 与抛物线E 交于A ，B ，过A 作抛物线的切线交y 轴于M ，过B 作MP 的平行线交y 轴于N．(1)求抛物线方程及直线1l 的斜率；(2)记1S 为,AM BN 与y 轴围成三角形的面积，是否存在实数 使1 OAB S S ，若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由．17．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆22:143x y 的右焦点为F ， 11,A x y ， 22,C x y 为 上不同的两点，且122x x ，31,2B．(1)证明：AF ，BF ，CF 成等差数列；(2)试问：x 轴上是否存在一点D ，使得DA DC ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，曲线C 上有一点 0,Q x p 满足2QF .(1)求抛物线C 的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B ，直线AB 与x 轴相交于N ，试探究x 轴上存在一点是否存在异于N 的定点M 满足AMANBM BN 恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.19．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，点D 为线段1F O 的中点，过2F 的直线l 与C 的右支交于 1122,,,M x y N x y 两点，延长,MD ND 分别与C 交于点,P Q 两点，若C的离心率为 为C 上一点.(1)求证： 1221212x y x y y y ；(2)已知直线l 和直线PQ 的斜率都存在，分别记为121,,0k k k ，判断21k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.20．（2022·辽宁大连·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p 的焦点为F ，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，且32OP PF .(1)抛物线E 的标准方程；(2)如图所示，过点(,0)M t 和点(2,0)(26)N t t 分别做两条斜率为k 的平行弦分别和抛物线E 相交于点A ，B 和点C ，D ，得到一个梯形ABCD .记梯形两腰AD 和BC 的斜率分别为1k 和2k ，且12120k k k k .（i ）试求实数k 的值；（ii ）若存在实数 ，使得OAB ABCD S S 梯形△，试求实数 的取值范围.。

圆锥曲线存在性问题的探究目录题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值方法技巧总结解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．必考题型归纳题型一：存在点使向量数量积为定值1(2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为-2,0 ，离心率为e =22．1 求椭圆E 的方程；2 过点1,0 作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP ⋅MQ为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023·山西大同·高二统考期末)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ,0)，使PE ⋅QE 恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.3(2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为2 3.点P 在椭圆C 上，且满足ΔPF 1F 2的周长为6.(I )求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点(-1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得MA ⋅MB 恒为定值？若存在，求出该点M 的坐标；若不存在，请说明理由.1(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆经过点A -1,22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交C 于M ,N 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点P ，使PM ⋅PN为定值？若存在，求出这个定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)已知F 1､F 2为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，E 的离心率为5,M 为E 上一点，且MF 2 -MF 1 =2.(1)求E 的方程；(2)设点M 在坐标轴上，直线l 与E 交于异于M 的A ､B 两点，且点M 在以线段AB 为直径的圆上，过M 作MC ⊥AB ，垂足为C ，是否存在点D ，使得CD 为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.3(2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，且直线y =x +b 是抛物线C 2:y 2=4x 的一条切线．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点S 0,-13的动直线L 交椭圆C 1于A ,B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．4(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值4(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为O 坐标原点，A 2,0 ,B 0,1 ,C 0,-1 ,D 2,1 ，OE =λOA ,DF=λDA,0<λ≤1，CE 和BF 交点为P .(1)求点P 的轨迹G ；(2)直线y =x +m (m ≠0)和曲线G 交与M ，N 两点，试判断是否存在定点Q 使k MQ k NQ =14如果存在，求出Q 点坐标，不存在请说明理由.5(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A -2,0 ，B 2,0 ，P x ,y 是异于A ，B 的动点，k AP ，k BP 分别是直线AP ，BP 的斜率，且满足k AP ⋅k BP =-34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)在线段AB 上是否存在定点E ，使得过点E 的直线交P 的轨迹于M ，N 两点，且对直线x =4上任意一点Q ，都有直线QM ，QE ，QN 的斜率成等差数列.若存在，求出定点E ，若不存在，请说明理由.6(2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q43,253(1)求C的方程.(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.5(2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1 =0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.6(2023·河北·高三校联考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，实轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由.7(2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长是6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点F 2且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8(2023·全国·高三专题练习)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P 0,1 的动直线L 于椭圆相交于A ,B 两点，当直线L 平行于x 轴时，直线L 被椭圆C 截得弦长为22．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)在y 上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得直线AQ 和BQ 的倾斜角互补？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等7(2023·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)的左右焦点分别为F 1、F 2，A ,B 分别为椭圆C 1的上，下顶点，F 2到直线AF 1的距离为3．(1)求椭圆C 1的方程；(2)直线x =x 0与椭圆C 1交于不同的两点C ,D ，直线AC ,AD 分别交x 轴于P ,Q 两点．问：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．8(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点A-2,0且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得∠AME=∠EFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.9(2023·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-12+y2=16上的任意一点，点F-1,0，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点G3,0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点B2,0．问：x 轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．9(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>0)经过点-1,32，过点T3,0的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.10(2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点1,2 2，且上顶点与右顶点的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P3,0的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+∠PQB=π，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到点D2,0的距离等于点M到直线x=1距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l：y=12x+t t≥2与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P,Q满足∠APB=∠AQB=90°，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立10(2023·福建漳州·统考模拟预测)已知R是圆M：x+32+y2=8上的动点，点N3,0，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若过点P-2,0的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.11(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点B 0,b 且与直线BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且2F 1F 2 +F 2D =0．(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若过B 、D 、F 2三点的圆恰好与直线l :x -3y -6=0相切，求椭圆Γ的方程；(3)设a =2．过椭圆Γ右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．12(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得x P =4x T (其中x P ，x T 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．12(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点和右焦点分别为A ,F ，动点P 满足|PA |2+12|PF |2=92，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设点Q 在E 上，过Q 作C 的两条切线，分别与y 轴相交于M ,N 两点.是否存在点Q ，使得MN 等于E 的短轴长？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.13(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知点M 到点F 0,32 的距离比它到直线l ：y =-2的距离小12，记动点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若过点F 的直线交E 于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得PA ，PB 分别交E 于另外两点C ，D ，且AB =3CD？若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.14(2023·北京海淀·中关村中学校考三模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)过点M-3,0且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x轴的对称点为B .问：平面内是否存在定点P，使得B 恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.题型五：存在点使线段关系式为定值13(2023·全国·高三专题练习)椭圆E经过两点1,2 2，22,32，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；(3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明．14(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.15(2023·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，AB =3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当直线l 的斜率为k k ≠0 时，在x 轴上是否存在一点P (异于点F )，使x 轴上任意一点到直线PA 与到直线PB 的距离相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．15(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A 2,0 ，B 1,32 .直线x =t (不经过点B )与椭圆E 交于M ,N 两点，Q 1,0 ，直线MQ 与椭圆E交于另一点C ，点P 满足QP ⋅NC=0，且P 在直线NC 上.(1)求E 的方程；(2)证明：直线NC 过定点，且存在另一个定点R ，使PR 为定值.16(2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.17(2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．18(2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点F 1,0 的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径；②点P 到F 1,0 的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线C 的方程；(2)在x 轴正半轴上是否存在一点M ，当过点M 的直线l 与抛物线C 交于Q ，R 两点时，1MQ +1MR为定值？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.19(2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为e=22，且经过点1,e．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．(1)若A a,0，B0,b，求△ABP面积的最大值；(2)是否存在点P，使得过点P作圆M:x+12+y2=1的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且DE= 143．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．。

第11讲圆锥曲线中的存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。

要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。

它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。

1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。

解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。

在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。

在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。

3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。

此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。

一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。

应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。

浅谈高考圆锥曲线中的存在性问题
邹玲平吴瑾
厦门第六中学　福建厦门３６１０１２
摘要：在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科解析几何试题与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，这些试题不论在考试评价、命题研究还是高考复习，都成为专家、教师探讨的重点、热点，也是高考命题改革的一块试验田．本文通过对近几年高考数学解析几何试题存在性问题的探究来揭示这些试题是如何贯彻课程标准，反应考试说明的意图，进而思考教师在解析几何的教学与高三复习策略。

课程标准；数学高考； 解析几何；存在性问题；思考
＠＠ ［１］中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社２００３
＠＠ ［２福建省教育考试院编．２０１２年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明［Ｍ］．福建：福建教育出版社２０１２
＠＠ ［３］王尚志．数学教学研究与案例［Ｍ］．北京：高等教育出版社２００６
＠＠［１］郭秀兰．构建我国现代高等教育的ＫＡＱ人才培养模式［Ｄ］．华中师范大学，２０００．
＠＠ ［２］姜运生．地方院校应用型本科人才培养模式研究与实践［Ｄ］．东北师范大学，２００６．
浅谈高考圆锥曲线中的存在性问题
作者：邹玲平， 吴瑾
作者单位：厦门第六中学 福建厦门361012
刊名：
新教育时代电子杂志（教师版）
英文刊名：New Education Era
年，卷(期)：2014(15)
本文链接：/Periodical_xjysddzzz-e201415076.aspx。

基础训练 1. 抛物线的焦点到准线的距离为_____________2. 已知命题,命题,则下列判断正确的是( ) A. 是假命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D.是真命题3. 设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知,若,使得,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 两定点，点在椭圆上，且满足，则为( )A. B. C.D.圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题考点一：定点问题例1：已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与 轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点． [解] (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2，①x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③ 将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，∴直线l 过定点(1,0)．小结：1．求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．练习：如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标．点的坐标．解：(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x .得y 2－4my －4n ＝0.由Δ＞0，得m 2＋n ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n . ∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.又x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0，∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，∵Δ＞0恒成立．∴n ＝2m ＋5.∴直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)， ∴直线PQ 过定点(5，－2)． 考点二;定值问题例2：椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．[解] (1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0，k ≠±12，①把①代入x24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为：y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．小结：1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．练习：已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证：|MA |，|MC |，|MB |成等比数列；(2)设MA ＝αAC ，MB ＝βBC ，试问α＋β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解析：(1)证明：由题意知，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去y 并化简整理得：k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k 2.② ∵|MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝(1＋k 2)·|x 1x 2|＝4(1＋k 2)k 2，|MC |2＝⎝⎛⎭⎫1＋k 2⎪⎪⎪⎪－2k －02＝4(1＋k 2)k2，∴|MC |2＝|MA |·|MB |， 即|MA |，|MC |，|MB |成等比数列．(2)由MA ＝αAC ，MB ＝βBC 得，(x 1，y 1－2)＝α⎝⎛⎭⎫－x 1－2k ，－y 1， (x 2，y 2－2)＝β(－x 2－2k ，－y 2)，即得：α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2，得α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，由(1)中②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值且定值为－1.考点三：探究存在性问题例3：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP ＝OA ＋OB (其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP ·TQ 为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP ·TQ 的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点，即a ＝2.又c a ＝12， 故c ＝1，b ＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12.得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km4k 2＋3，6m 4k 2＋3代入椭圆E 的方程，得64k 2m 24(4k 2＋3)2＋36m 23(4k 2＋3)2＝1. 整理，得4m 2＝4k 2＋3.设T (t,0)，Q (－4，m －4k )．∴TQ ＝(－4－t ，m －4k )，OP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km4k 2＋3，6m 4k 2＋3.即OP ·TQ ＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m (m －4k )4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt 4k 2＋3.∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP ·TQ ＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k (1＋t )m .要使OP ·TQ 为定值，只需⎣⎡⎦⎤2k (1＋t )m 2＝4k 2(1＋t )2m 2＝(4m 2－3)(1＋t )m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1，∴在x 轴上存在一点T (－1,0)，使得OP ·TQ 为定值32. 变式：本例(2)中条件变为“过椭圆E 的右焦点F 2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点，线段OF 2上是否存在点M (m,0)使得QP ·MP ＝PQ ·MQ ？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由. 解：假设存在这样的点M 符合题意．设线段PQ 的中点为N ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，直线PQ 的斜率为k (k ≠0)，注意到F 2(1,0)，则直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1).得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3，又点N 在直线PQ 上，所以N ⎝⎛⎭⎫4k 24k 2＋3，－3k 4k 2＋3.由QP ·MP ＝PQ ·MQ 可得PQ ·(MQ ＋MP )＝2PQ ·MN ＝0，即PQ ⊥MN ，所以k MN ＝0＋3k4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k， 整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k2∈⎝⎛⎭⎫0，14，所以线段OF 2上存在点M (m,0)符合题意，其中m ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 小结：解决存在性问题应注意以下几点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 练习：1．已知椭圆C 过点M ⎝⎛⎭⎫1，62 ，点F (－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF |，|MF |，|QF |成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎨⎧1a 2＋64b 2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1，可知|PF |＝ (x 1＋2)2＋y 21＝()x 1＋22＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF |＝2＋22x 2，|MF |＝(1＋2)2＋⎝⎛⎭⎫622＝2＋22，∵2|MF |＝|PF |＋|QF |，∴2⎝⎛⎭⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2.(ⅰ)当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，得线段PQ 的中垂线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. (ⅱ)当x 1＝x 2时，P ⎝⎛⎭⎫1，－62，Q ⎝⎛⎭⎫1，62或P ⎝⎛⎭⎫1，62，Q ⎝⎛⎭⎫1，－62， 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点A ⎝⎛⎭⎫12，0.综上，线段PQ 的中垂线过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程；＝－b 2a2.(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ·k BD 求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)由题意e ＝c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4，故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝8.得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)＞0, ① 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2.∵k AC ·k BD ＝－b 2a 2＝－12，∴y 1y 2x 1x 2＝－12，∴y 1y 2＝－12x 1x 2＝－12·2m 2－81＋2k 2＝－m 2－41＋2k2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 22m2－81＋2k 2＋km －4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2，∴－m 2－41＋2k 2＝m 2－8k 21＋2k 2，∴－(m 2－4)＝m 2－8k 2，∴4k 2＋2＝m 2. 设原点到直线AB 的距离为d ，则S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k 2＝|m |2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|m |2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－81＋2k 2＝|m |28m 2(1＋2k 2)2＝22，∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝82，即四边形ABCD 的面积为定值．3.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点F 1，F 2分别为其左、右焦点，点A 为左顶点，直线l 的方程为x ＝4，过点F 2的直线l ′与椭圆交于异于点A 的P ，Q 两点．(1)求AP ·AQ 的取值范围；(2)若AP ∩l ＝M ，AQ ∩l ＝N ，求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值． 解：(1)①当直线PQ 的斜率不存在时，由F 2(1,0)可知PQ 的方程为x ＝1，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得点P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32， 又点A (－2,0)，故AP ＝⎝⎛⎭⎫3，32，AQ ＝⎝⎛⎭⎫3，－32，AP ·AQ ＝274. ②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)·(x 2－1)＝k 2(－x 1－x 2＋x 1x 2＋1)＝－9k 23＋4k 2，故AP ·AQ ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝27k 23＋4k 2＝273k 2＋4∈⎝⎛⎭⎫0，274， 综上，AP ·AQ 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，274. (2)证明：由(1)知，直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，与直线l 的方程x ＝4联立，得M ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，同理，得N ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，故M ，N 两点的纵坐标之积y M y N ＝6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝36y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4. ①当直线PQ 的斜率不存在时，y M y N ＝36×32×⎝⎛⎭⎫－321×1＋2(1＋1)＋4＝－9；②当直线PQ 的斜率存在时，由(1)可知，y M y N ＝ －324k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2＋16k 23＋4k 2＋4＝－9.综上所述，M ，N 两点的纵坐标之积为定值，该定值为－9.又k AB ＝k AD ＝－12y 0＋y 0x 0＋x 0＝y 04x 0，代入上式可得k PB ＝⎝⎛⎭⎫－14÷y 04x 0＝－x0y 0， 所以k P A k PB ＝y 0x 0·⎝⎛⎭⎫－x 0y 0＝－1，即P A ⊥P B.。

圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题（一）存在性问题是近几年高考试题对解析几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数是否存在，证明直线与圆锥曲线的位置关系，数量关系(等量或不等量)为主要呈现方式，多以解答题的形式考查；对这类问题，若存在，需要找出来，若不存在，需说明理由，其解法有：一、假设法 假设法的一般解法是，先假定存在，然后根据已知条件或其他定理、公理、法则等推导下去，如与已知定理、公理、法则等不发生矛盾，即推出的结果合理，并经验证成立，那么结论成立，若发生矛盾，则结论不成立。

1.（2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为， 且过点31(,)22A .（1）求椭圆的方程；（2）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）不存在k 满足条件2. 【2015届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学（理）】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）(-∞，-7]∪[7，+∞)3. （河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知点A (-2,0),B (2,0),直线P A 与直线PB 的斜率之积为34-，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)设M ,N 是曲线C 上任意两点,且OM ON OM ON -=+，问是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠(2) 存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆，其方程为22127x y +=4. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】如图，椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）2λ=5. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】（本小题满分12分） 已知椭圆长轴的左右端点分别为A ，B ，短轴的上端点为M ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB uur ＝1，｜OF uu u r｜＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，方程为43y x =-6. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】（本题满分12分）已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M . (1),求M 的方程； (2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221189x y +=（2）y x y x =+=-7. 直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。