高中数学圆锥曲线论文

探究圆锥曲线的某些性质河北省石家庄市正定中学高二零班 赵钊指导教师：鲍军峰【摘要】圆锥曲线是高考的必考内容，其许多性质的论证与探究都体现着数学思考的价值，本文从一道习题出发，探索可能的一般结论，并给出该结论的一个应用。

【关键词】圆锥曲线 光学性质 切线 垂足一、由特殊问题到一般结论。

2014年河北正定中学期中考题有一道圆锥曲线的题，如下：22、已知椭圆C2212516x y +=。

1F 、2F 为左右焦点，过椭圆上一点P 做其切线l ,过2F 作2F M ⊥l 于M 。

求M 的轨迹。

本题中M 的轨迹为以O 为圆心，5为半径的圆。

通过此题，证明此题中的结论是否具有普遍性。

预期结论：过焦点作椭圆切线的垂线，垂足与中心距离为定值。

二、一般结论的证明。

1、分析探索可行的证法。

①设出P 点坐标，求出切线方程。

②用参数方程简化运算。

2、证明一般结论。

已知一椭圆22221x y a b+=（0a b >>），1F 、2F 为其左右焦点。

过椭圆上一点P 作其切线l 。

过2F 作2F M ⊥l 于M 。

求M 的轨迹。

证明：设P （cos a θ，sin b θ） 则切线l 方程为cos sin 1x y a bθθ+= 即cos sin b x a y ab θθ+= ∵2F M l ⊥l 且过2F∴2F M l 方程为cos sin cos a x b y ac θθθ-= ∵M 为l 与2F M 交点∴ cos sin b x a y ab θθ+= ① sin cos sin a x b y ac θθθ-= ② ①2+②2：（2222sin cos a b θθ+）（22x y +）=2a （2222sin cos a b θθ+） 显然2222sin cos a b θθ+≠0 故M 轨迹为222x y a +=。

3、结论的另一证法。

思路：①由于出现切线，有椭圆的光学性质。

②出现垂直，有一系列几何关系。

浅析高中数学的圆锥曲线问题高中数学的圆锥曲线问题是数学中的一个重要内容，也是数学教学中的难点和重点之一。

圆锥曲线是几何学和代数学的重要分支，其研究具有深刻的理论意义和广泛的应用价值。

在高中数学中，圆锥曲线问题是数学教学中的一个难点，学生往往感到困惑和不知所措。

那么，如何系统地学习和掌握高中数学中的圆锥曲线问题呢？本文将从几何和代数两个方面对高中数学的圆锥曲线问题进行浅析，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。

几何方面的圆锥曲线问题主要涉及椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

这三种圆锥曲线在平面直角坐标系中的方程分别为：椭圆：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1；双曲线：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1；抛物线：y^2=2px。

从这三种圆锥曲线的方程可以看出，它们在平面直角坐标系中各具特点，有着不同的几何性质。

椭圆是位于圆心处的一种闭合曲线，它在两个坐标轴上都有对称性，是一种对称图形。

双曲线则有两个分支，分别位于两条渐近线的两侧，它的几何性质也与椭圆有所不同。

抛物线则是一种开口向上或向下的曲线，它在平面直角坐标系中的形状也十分特殊。

学生在学习圆锥曲线时，首先要通过分析和比较这三种不同类型的曲线方程，理解它们在几何上的特点和区别。

在代数方面，圆锥曲线问题主要涉及曲线的参数方程、焦点、直径、离心率等内容。

曲线的参数方程是描述曲线上各点坐标与一个参数之间的关系式，通过参数方程可以更直观地描绘出曲线的形状。

而曲线的焦点则是椭圆、双曲线和抛物线的一个重要性质，通过计算焦点的坐标可以更清晰地了解曲线的几何特点。

曲线的直径是曲线上的最大距离，它也是曲线的一个重要性质。

而曲线的离心率则是描述曲线形状的一个重要参数，通过计算离心率可以更直观地了解曲线的形状特点。

通过对几何和代数两个方面的分析，可以看出高中数学的圆锥曲线问题具有复杂的性质和丰富的内涵，学生在学习时往往会感到困惑和不知所措。

新特点，新趋势对圆锥曲线复习的启示圆锥曲线试题充分体现了“稳中求变”，如立足基础知识和基本技能，突出对能力，特别是思维能力的考查，重视数学思想方法的树立和应用，但我们特别关注的是2015年圆锥曲线试题中的一些新特点和新趋势，并以此为指导原则，在未来的复习工作中，在打好基础的同时，在应变上多下点功夫。

1、 位置前移，难度下降以往，圆锥曲线解答试题大都在试卷的尾部，甚至是“压轴”题，这几乎成一种命题趋势，但今年的几道试题发出了一个信息，即这类试题在某些试卷中的位置前移的趋势。

19.【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+． 【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为2，二是右焦点F 到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过F ，所以求直线AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出AB 长，再根据中点坐标公式求出C 点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC 长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.试题解析：（1）由题意，得2c a =且23a c c +=，解得a =1c =，则1b =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）当x AB ⊥轴时，AB C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k x k x k +-+-=， 则1,2x =C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k k +AB ==+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点晴】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 20.【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点， 判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(Ⅰ)22142x y +=；(Ⅱ) G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,b c a a b c ìïïï=íïï=+ïî解得2a b c ì=ïï=íïïî 所以椭圆E 的方程为22142x y +=． (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得 所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，从而022y m 2=+. 所以222222200000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=. 22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--==22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-, 故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),GB (,).44x y x y =+=+ 由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++， 从而121212129955GA GB ()()(my )(my )4444x x y y y y =+++=+++ 22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y =+++=-+++ 22172016(m 2)m +=>+ 所以cos GA,GB 0,GA GB 狁> 又，不共线，所以AGB Ð为锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点G 的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：0GA GB ⋅< ⇔点G 在圆内；0GA GB ⋅> ⇔点G 在圆外；0GA GB ⋅= ⇔点G 在圆上，本题综合性较高，较好地考查分析问题解决问题的能力．2、 向量介入 强强联合平面向量是十分活跃的一个“角色”，它融数形于一体，与圆锥曲线问题自然交汇、亲密接触，无论对试题的表述，还是揭示曲线的几何性质方面都已显示出它的独特优势，尽管有些题中没有向量，但若引进向量，则能出奇制胜。

用《几何画板》探究“圆锥曲线”摘要：数学具有抽象性，许多数学概念、数学模型之所以成为学生学习的难点和疑点，就是因为太抽象。

如果利用计算机进行动态、形象直观的信息显示，将能抓住重点，使新知化难为易，变抽象为具体。

利用几何画板能动态地揭示圆锥曲线的相关性，达到较好的教学效果。

关键词：几何画板；椭圆；双曲线；抛物线随着信息技术在教育领域的广泛应用，教育理念、教学内容、教学环境、教学方式等诸多方面正在发生深刻的变革。

我国2003年公布的《普通高中数学课程标准（实验）》中明确提出：“教师应当恰当地使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容、探索、研究一些有意义、有价值的数学问题”。

数学具有抽象性，许多数学概念、数学模型之所以成为学生学习的难点，就是因为太抽象。

如果仅凭教师的描述与讲解，往往是教师花了很大的力气，教学效果却事倍功半；如果利用计算机进行动态、形象直观的信息显示，将能抓住重点、突破难点，使新知化难为易，变抽象为具体。

高中数学中的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面解析几何的重点，也是学习高等数学的基础，如何用计算机动态地揭示圆锥曲线的相关性，是很多老师长期探索的一个问题，利用几何画板，能较好地解决这一问题，改变了单调乏味的运算、作图，取而代之的是赏心悦目的多媒体效果，提高了探究活动的效率。

美国著名数学家和数学教育家G·波利亚指出，“学习任何东西最好的途径是自己去发现”。

“实验—发现—证明”的学习环境，不仅能充分发挥学生在学习过程中的主动性，而且更利于教师关注学习的体验，情感和实践过程，体现“以学生发展为本”的教学理念。

下面就用几何画板来探究圆锥曲线。

一、 对抛物线进行探索与发现抛物线定义：到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。

问题1：取一张长方形纸片ABCD ，将纸片折叠多次，使每次折叠时A 点都落在CD 边上，猜一猜，折出来的折痕的图形是什么？探究：动手操作后很容易猜想到答案是“抛物线”，但该抛物线是哪个点的轨迹？抛物线的焦点是什么？抛物线的准线是什么？图1 图2利用几何画板验证猜想结论的可行性。

上海地区教学论文：关于有心圆锥曲线的“垂径定理”；定义：.圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为221x y m n+=.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：定理：“已知直线l 与曲线C ：221x y m n+=交于,A B 两点，AB 的中点为M ，若直线AB 和OM (O 为坐标原点)的斜率都存在，则AB OM n k k m ⋅=-”，这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.例1：证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；证明 设11220012(,),(,),(,)()A x y B x y M x y x x ≠2211222211x y m n x y mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得 12121212()()()()0x x x x y y y y m n +-+-+=注意到 1201202,2x x x y y y +=+=有 00121222()0()x y y y m n x x -+=-012012y y y n x x x m -∴=--即AB OM n k k m ⋅=-例2：利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：① 过点(1,1)P 作直线l 与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，求AB 的中点M 的轨迹W 的方程；② 过点P (1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22:1(0)C kx y k '+=≠交于E 、F 两点，是否存在这样的直线l '使点P 为线段EF 的中点？若存在，求直线l '的方程；若不存在，说明理由. 解：①设1(,),,1AB OM y y M x y k k x x -==-则 由垂径定理，12AB OM k k ⋅=-即 1112y y x x -=-- 化简得 22220x y x y +--=当AB 与x y 或轴平行时，M 的坐标也满足方程.故所求AB 的中点M 的轨迹W 的方程为22220x y x y +--=；② 假设过点P(1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22:1C kx y '+=交于E 、F 两点，且P为EF 的中点，则EF OP k k k⋅=- 由于1,OP k = EF k k ∴=-直线:(1)1l y k x '=--+，即1y kx k =-++，代入曲线C '的方程得22(1)1kx kx k +-++=即 2(1)2(1)(2)0k k x k k x k k +-+++=由 2224(1)4(1)(2)0k k k k k ∆=+-++> 得1k <-. 故当1k <-时，存在这样的直线，其直线方程为1y kx k =-++；当1,0k k ≥-≠且时，这样的直线不存在.上海大屯一中zhangtaishu。

浅析高中数学的圆锥曲线问题
圆锥曲线是高中数学中重要的内容，是数学平面分析几何的重要内容之一。

它在绘制
三维物体的几何曲面和圆周面形状时得以广泛应用，能够帮助人们以更加简单和形象的方
式来理解它。

圆锥曲线是以圆心O和极轴（即与圆心O相连最近的轴）为基础所构成的几何曲线，
它可以由一条直线、一个圆弧和一个圆的关系作为其极轴来绘制。

它的特征是当x、y、z
轴处于圆形区域时，圆锥曲线的轨迹总是会有某种形状。

圆锥曲线常常用于定义三维空间中物体表面的几何特征，它以圆弧形状和圆形轮廓以
及围绕在极轴上的弧线建立三维物体的外形。

这种曲线在构成球面和半球面时让几何变得
更加方便、更加简单明了，这种圆锥曲线可以用来描述球面和半球面的几何特征。

圆锥曲线也用于形容张力绑扎的工程结构的几何曲面，它可以用来描绘桥梁、地面等
结构的曲面特性。

而且，圆锥曲线也可以用于描绘管道弯头、压力容器、抛物面以及多边
形曲面等零件结构。

圆锥曲线可以通过等式来描述。

其中，球面曲线的计算公式是：z=f(x,y)=C-x^2-y^2，其中C为一常量。

而半球曲线的计算公式则为：z=f(x,y)=C-x^2-y^2，其中C为一乘数。

其实由于其特殊的几何曲面，它可以被分解为算式等比数列的形式，以便捕获其几何变化
的方式。

运用圆锥曲线对物体表面几何特性的描述，能够实现几何图形的复杂运算，同时也能
实现三维物件外部形状及表面特性的模拟。

这有很大帮助，能帮助我们更好、更全面的理
解物体的几何形状、结构特征以及表面状态等。

浅析高中数学的圆锥曲线问题【摘要】本文主要浅析了高中数学中的圆锥曲线问题。

在介绍了高中数学的圆锥曲线问题的概述。

接着在正文部分分别讨论了圆锥曲线的定义和分类、椭圆、双曲线、抛物线的特征及方程，并探讨了圆锥曲线在实际问题中的应用。

最后在结论部分总结了高中数学的圆锥曲线问题。

通过本文的阐述，读者可以更加深入地了解圆锥曲线在数学中的重要性和应用价值。

希望本文能够对读者对圆锥曲线问题有一个清晰的认识，并且能够在学习和探索数学领域中起到一定的帮助和启发。

【关键词】高中数学、圆锥曲线、椭圆、双曲线、抛物线、定义、分类、特征、方程、实际问题、应用、总结1. 引言1.1 高中数学的圆锥曲线问题概述高中数学的圆锥曲线问题是高中数学中的一个重要内容，也是学生在学习数学时常常遇到的难点之一。

圆锥曲线是二次方程的图形，包括椭圆、双曲线和抛物线三种，它们的性质各不相同，解题方法也各异。

在高中数学的学习中，圆锥曲线的定义和分类是学生们需要掌握的重要内容。

椭圆是一个闭合的曲线，其特征是中心对称，焦点在同一直线上，且具有两个短半轴和两个长半轴。

椭圆的方程可以用标准方程表示。

双曲线是一个开口的曲线，其特征是中心对称，焦点在同一直线上，且具有两个短半轴和两个长半轴。

双曲线的方程也可以用标准方程表示。

抛物线是一个开口朝上或者朝下的曲线，其特征是焦点在其对称轴上，且具有焦距和顶点等重要特点。

抛物线的方程同样可以用标准方程表示。

除了掌握圆锥曲线的定义和分类外，学生们还需要了解圆锥曲线在实际问题中的应用。

在工程中，椭圆和双曲线常常用于设计椭圆仪或反射望远镜等光学仪器；抛物线则常常用于设计抛物面天线等。

在物理学或工程学中，圆锥曲线也可以用于描述物体的运动轨迹等实际问题。

高中数学的圆锥曲线问题是一个涉及到数学知识、物理知识和工程知识的综合性问题，学生们需要认真学习并掌握其中的概念和解题方法，才能更好地应对考试和实际问题的挑战。

2. 正文2.1 圆锥曲线的定义和分类圆锥曲线是平面中一类特殊的曲线，它们可以通过剖面光滑得的锥面与一个平面的交线来定义。

关于圆锥曲线中的存在性、定点与定值问题的探究 摘要：圆锥曲线的问题包括曲线的对称性、变量的取值范围以及某些曲线具有的独特性质，还包括解决存在性、定点、定值等问题。

关键词：存在性、定点、定值、假设、特例、参数 正文：圆锥曲线每年必考一个小题与一大题，相对较难，且大题往往是压轴题，具有较大的区分度，往往考查学生逻辑思维能力的同时，还考查运算求解能力。

因此理清基本解题策略，非常重要。

提高学生的探究能力是新课程改革的重要目标，而探索性问题的灵活性，知识运用综合性、技能和数学思想方法的结合性，有利于培养学生的良好的思维品质和创造性地分析问题、解决问题的能力，也能有效地考查学生的数学能力，因此探索性问题也成为近几年高考的热点和亮点。

鉴于存在性、定点与定值问题涉及面广、综合性强，下面作分类说明。

一、探索存在性问题探索存在性问题即是从假设相关结论的存在出发，运用条件进行推理。

若得到相应的正确结论，则可下结论认为这个假设对象是存在的；若出现矛盾，则否定先前假设，断言对象是不存在的。

【例1】已知曲线C:22x +y 2=1(y ≠0),点问是否存在经过点且斜率为k 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点P 和Q,使得向量OP +OQ 与AB 共线?若存在,求出k 值;若不存在,请说明理由。

分析:问是否存在的问题，一定是先假设存在，在假设存在的情况下,求出k 值,看k 值是否符合要求即可。

假设k 存在,则设代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2因为直线l 与椭圆有两个不同的交点,所以Δ2-8(1+2k 2)>0,解得k 2>12由于所求的轨迹不包括椭圆长轴的端点,所以k ≠±1,即k 2>12且k 2≠1设P(x1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1+x 2,得y 1+y 2=k(x 1+x 2=OP +OQ =(x 1+x 2,y 1+y 2),AB 向量OP +OQ 与AB 共线,等价于x1+x 2=-1+y 2).由×,解得，不在k 的取值范围之内,所以不存在这样的直线。

圆锥曲线定义论文：圆锥曲线定义的妙用在历届高考中圆锥曲线都是考查的重点，不论大题还是小题往往都是考查的难点；不光考查学生的计算能力，还特别强调学生解决问题的灵活性，技巧性。

下面我将以几个小题简单谈谈如何巧用圆锥曲线的定义解题：一、巧用圆锥曲线的第二定义解决与焦点弦有关的问题；例1；（2009全国2卷11）.已知双曲线：（﹥1，﹥1）的右焦点为f且斜率为的直线交c于a、b两点，若，则c的离心率为（）（a）（b）（c）（d）常规解析：设，由得，又由焦半径得，解出；又设直线方程为：y= (x-c)代入曲线c消去y得：：所以;;从而有：；即：；所以有:或(舍去)。

以上解法思路直接明了，但运算复杂易丢分；如果我们巧妙运用定义求解则将会容易快捷。

请看：解析2：如图所示，过点a作ad垂直于右准线于点d，过点b作be垂直于右准线于点e，过点b作bg┴ad于g 。

因为，所以设fb=m,则af=4m,ab=5m.又由双曲线的第二定义知：所以，则ag=又因为直线ab的斜率k= ，所以，从而ab=2ag 即所以.例2；已知定点，点f为椭圆的右焦点，点m在该椭圆上移动时，求的最小值，并求出此时点m的坐标。

分析1：设m（x,y）,则有｛由（2）可将y用x表示出来，将其代入（1）则式子可化为一个关于x的一元函数，再求其最小值。

以上解法，思路简单可行，但计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法。

解析2：∵如图，右焦点f（2,0），右准线方程设点到右准线的距离为d,则得∴由于点在椭圆内，过作为垂足，易证为的最小值，其值为这时点的纵坐标为，得横坐标为∴的最小值为10，点的坐标为（，）以上两例我们发现：巧妙运用圆锥曲线的第二定义解题，有时能使问题变得简单易解。

一般地，如果遇到圆锥曲线中过焦点弦的问题都可以联想到圆锥曲线的第二定义。

二、巧用圆锥曲线的第一定义解决与焦点三角形有关的问题例3;. （2010全国卷1文数11）已知、为双曲线c:的左、右焦点，点p在c上，∠ = ，则（）a.2b.4c. 6d. 8分析1：设点p（x , y）,则由夹角公式得……①又因为……②联立①②解之求出 .再代入焦半径公式求出，即可。

玉林师范学院本科生毕业论文（设计）院系玉林师范学院数学与计算机科学系专业数学与应用数学学生班级2000级本科班姓名指导教师单位指导教师姓名指导教师职称副教授中文摘要本文指出了圆锥曲线在解题中的作用，总结论证了圆锥曲线的第二定义、切线方程、参数方程及公共焦点的一些规律，利用这些规律，通过具体应用实例，阐述了圆锥曲线在解题中的应用。

关键词：圆锥曲线；公共焦点；参数方程；切线方程。

AbstrctThis text pointed out the cone curve at solve a function in, Summary argument curvilinear the second in cone definition, Square distance in square distance, parameter in tangent and public and focal and some regulation, Make use of these regulationses,Pass concrete applied solid example, Expatiated the cone curve at solve a function in.Key words：Cone curve；public focus；square distance in parameter；square distance in tangent.引言圆锥曲线是研究曲线的基础，更是探索曲线的重点，在科学技术上已被广泛地应用，如光学、航海、航空、天体运动等。

而圆锥曲线在中学是平面解析几何的重要内容之一，在每年高考中约占全卷15%左右，求圆锥曲线轨迹方程又是重点考查问题。

本人试从圆锥曲线在解题中的应用作一初步探讨，希望得到读者的批评指正。

平面内与定点距离等于定长的点的轨迹叫圆；平面内与两定点的距离的和等于常数（大于这两点之间的距离）的点的轨迹叫椭圆；平面内与两顶点的距离之差的绝对值是常数（小于这两点之间的距离）的点的轨迹叫做双曲线；平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

圆锥曲线离心率e以往和同学们谈及高考数学，大家似乎都有同感：高中数学难，解析几何更是难中之难.现在不同了，随着新课改、新课程方案的颁布，江苏的高考对解析几何的要求降低，纵观近几年的新高考，通常考查一个填空题、一个中档题.填空题考查以圆锥曲线的定义和离心率为重点，大题目以椭圆环境下的直线与圆位置关系为重点.所以现在解析几何题以中档题为主，是我们大家拿分的题目.那么我们高考复习要立足于基础知识和基本方法的掌握，但要避免简单的重复和罗列，要在提高上下工夫，因此复习时要凸现针对性、启发性、概括性、综合性，要把关联知识综合起来复习，形成一个较为完整的知识体系.求与离心率e有关的问题是近几年江苏高考解析几何题常常考查的一类题，它涉及的知识面广，综合性强，所以难度也较大，且能很好地考查学生的综合能力和数学素养，但是学生往往因为建立不了不等式关系，或理不清思路感到无从下手.由离心率e=c[]a，则要求离心率e,就要求a,b,c的关系.所以要在题目条件中寻找a,b,c的关系.本文通过几个例题谈谈几类常见的求离心率e的解题策略.一、利用圆锥曲线的定义求离心率例1 （2009年全国卷ⅱ理）已知双曲线c:x2[]a2-y2[]b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为f,过f且斜率为3的直线交双曲线于a,b两点，若af=4fb,则双曲线的离心率为( ).a.6[]5b.7[]5c.5[]8d.9[]5解设双曲线c:x2[]a2-y2[]b2=1的右准线为l,过a,b 分别作am⊥l于m,bn⊥l于n,bd⊥am于d,由直线ab的斜率为3,知直线ab的倾斜角为60°,∴∠bad=60°,|ad|=1[]2|ab|.由双曲线的第二定义有|am|-|bn|=|ad|=1[]e(|af|-|fb|)=1[]2|ab|=1[]2（|af|+|fb|）.又∵af=4fb,∴1[]e·3|fb|=5[]2|fb|,∴e=6[]5.故选a.二、利用圆锥曲线的范围例2 （2009年重庆卷理）已知双曲线x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为f1(-c,0),f2(c,0)，若双曲线上存在一点p使sin pf1f2[]sin pf2f1=a[]c，则该双曲线的离心率的取值范围是．解因为在△pf1f2中，由正弦定理得pf2[]sin pf1f2=pf1[]sin pf2f 1.则由已知，得a[]p1f2=c[]p1f1，即apf1=cpf 2，且知点p在双曲线的右支上.设点(x0,y0)，由焦点半径公式，得pf1=a+ex0,pf2=ex0-a，则a(a+ex0)=c(ex0-a).解得x0=a(c+a)[]e(c-a)=a(e+1)[]e(e-1).由双曲线的几何性质知x0>a,则a(e+1)[]e(e-1)>a，整理得e2-2e-1b>0)与x轴正方向交于点a，如果在这个椭圆上总存在点p使op⊥oa，o为原点，求椭圆离心率e的范围.解设p（a cosθ,b sinθ）θ≠kπ[]2,k∈z.∵op⊥oa,∴b sinθ[]a cosθ·b sinθ[]a cos θ-a=-1.化简，得a2[]b2=cosθ(1-cosθ)[]1-cos2θ= cosθ[]1+cosθ=a2-c2[]a2=1-e 2.∴e2=1[]1+cosθ.∴e2∈1[]2,1,∴e∈2[]2,1.点评本题关键在于建立e和三角函数的关系式，再利用三角函数的取值范围求出e的范围，是一种常见的求e的方法.除以上三种常见的求离心率e的解题策略，还有借助已知不等式求解和借助一个参数的范围求解，在此不一一举例.纵观近几年江苏高考对解析几何的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点等方面不会有太大的变化.我们江苏的考查还应该以一个填空题、一个解答题为主，填空题考查圆锥曲线的基本概念，解答题以直线和圆的位置关系为主，可以简单与圆锥曲线联系.。

有关圆锥曲线的作文素材
《圆锥曲线的那些事儿》
嘿，大家知道吗，圆锥曲线这玩意儿可有意思啦！就拿我那次去逛公园来说吧。

那天阳光正好，我在公园的小径上慢悠悠地走着，突然看到前面有个喷泉，那喷泉的水呀，喷得老高了，就像抛物线一样。

我站在那儿盯着看了半天，瞧那水珠从下往上，再落下来的轨迹，可不就是一条完美的抛物线嘛。

我就在想啊，这圆锥曲线在生活中还真是无处不在呢！
那些抛物线，椭圆啥的，看似很复杂，其实仔细观察，真的到处都有它们的影子呀。

就像我逛个公园都能碰到，要是平时多留意留意，肯定能发现更多和圆锥曲线有关的有趣事儿。

每次想到公园里的那个喷泉，我就会忍不住笑，原来数学也可以这么生动有趣呀，圆锥曲线也不是那么遥不可及嘛，它就在我们身边的点点滴滴里呀。

所以呀，不要觉得圆锥曲线只是课本上死板的知识，只要我们用心去感受生活，就能发现它其实挺好玩的呢！嘿嘿，这就是我和圆锥曲线的一次小邂逅啦。

高中圆锥曲线两条教学论文摘要：圆锥曲线是高中数学最重要的知识之一，也是高中数学的难点知识之一，那么如何才能让学生把这块知识学好？笔者通过深入地研究，对圆锥曲线的教学提出了以下两条策略：1、融入数学史，提高学习兴趣；2、结合建构主义理论，提高学习的主动性。

关键词：圆锥曲线，教学策略，数学史，学习主动性圆锥曲线是高中数学中的经典内容，它充分体现了解析几何的基本思想。

然而圆锥曲线内容对每一届高中学生来说都是学习难点，也是高考经常出压轴题的热点，大部分学生对学这块知识没有信心、很吃力。

那么，教师如何才能真正地把这块知识教好？学生如何才能把这块知识学好？带着这种困惑，笔者以浓厚的兴趣开始了对圆锥曲线教学策略的研究。

最终，提出以下两条教学策略。

1、融入数学史，提高学习兴趣数学史是研究数学发展的历史和规律的一门学科，数学史教育体现数学的文化价值。

数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。

只要充分发挥数学史对数学教育的作用，深入挖掘数学史中对数学课程具有启发意义和教育价值的文化要素，并应用于具体的数学教学，就可以有效地促进高中圆锥曲线的教学，从而更好地实现课程目标，同时激发同学们学习圆锥曲线的兴趣。

那么如何将数学史融入到高中圆锥曲线的教学中呢？那么下来用几个例子简单介绍一下。

例如：为什么解析几何中的圆锥曲线又称作二次曲线？它们的地位、背景及研究价值又如何？这些内容都有必要结合数学史向学生作一个简单的讲解。

历史上第一个考查圆锥曲线的是梅纳库莫斯；大约100年后，阿波罗尼奥更加细致地研究了圆锥曲线。

而且阿波罗尼奥还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置一个光源，那么经过椭圆镜反射的光线全部通过另一个焦点F，光也和热一样发生反射，所以便会被烤焦，这也就是焦点名称的来历。

如果我们回过头来审视今天的教材，不难看出现在研究、叙述的路子正好反过来了，形式抽象的东西不少，但离实际似乎远了一点。

浅谈圆锥曲线离心率问题的解题策略离心率是圆锥曲线的一个重要的几何性质，事实上，我们知道，离心率相同的圆锥曲线都相似，它对圆锥曲线的形状起着决定性的作用.而近几年层出不穷的高考题对离心率的考查越来越多，对学生的要求也越来越高，因为思路的灵活性，运算的繁复性，学生想在这一块拿分也确实不容易.其实，只要我们悉心体会，归纳总结，形成有效的解题策略，有关离心率的问题还是有迹可循的.本文就高考中的离心率的问题谈谈自己的体会，不足之处，恳请批评指正.
接着刚才的问题，由，联想到过a作轴的垂线，则该直线为椭圆的准线，过e作轴的垂线，与准线和轴分别交于两点，过b作垂直于左准线于，设左焦点为f，由，，又，从而，轴，即，代入椭圆方程得.
总结：本题的解决方法比上一种方法要简捷的多，那么，如何利用圆锥曲线的几何性质解决离心率的问题呢？
椭圆与双曲线的几何性质主要要：横坐标、纵坐标的范围、对称性、长轴（实轴）、短轴、焦距。

因涉及离心率，故准线和焦半径也是我们常见的考虑对象。

本题使用几何性质中的横坐标范围及焦半径范围求解，思路明晰，可操作性强.
反思：利用椭圆上的焦点到准线距离的最小值为，构建不等式解出的范围.
本文主要介绍了圆锥曲线离心率的常见解法，在高考激烈的竞
争中，每一道问题的解决都应该合理高效，希望这些解法能给即将走向高考考场的学生一些帮助.。

帕斯卡的《圆锥曲线论》
《圆锥曲线论》是芬兰数学家拉普拉斯·帕斯卡于1850年发表的创论文，是
一部大作，在后世影响深远。

该文章在一般意义上可以被称为数学史上的经典之作，改变了后来人们对几何及曲线的认知。

在《圆锥曲线论》中，帕斯卡梳理了圆锥曲线的抽象思想，对圆锥及其交叉的
复杂的几何关系形成了系统的解释，获得了一系列新的定理，并以此分析了相关向量的计算及其平面特征。

帕斯卡发现，几何模型可用来分析向量，其交叉的特征可以通过三角函数记录，两个向量可用其夹角来表示，而空间则可以通过曲线论定义其长度。

他在这篇文章中推导出了完整的圆锥曲线论，其论题可以被经验数学、理论数学、以及当时仍在兴起中的微积分技术所应用。

帕斯卡的《圆锥曲线论》不仅把圆锥曲线融入到几何和曲线理论中，而且将一
系列其他数学理论应用到此论文中，为数学发展开辟了一条新的道路。

因为圆锥曲线的独特性及其应用的多样性，它已经普遍应用在航行系统开发制图，重力、相对论等领域，以及电子学、机器人技术等行业，成为现代技术和工程发展中必不可少的重要组成部分。

总之，帕斯卡的《圆锥曲线论》在数学发展史上独树一帜，其中散发出的富含
智慧的光芒影响到后来的一大批科学家及科研工作者，使得圆锥曲线有了更广阔的应用前景，并成为计算机应用技术中的核心技术和重要组成部分。

学号：2009040638哈尔滨师范大学学士学位论文题目巧用圆锥曲线定义解题学生葛慧云指导教师张洪伟副教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院学士学位论文题目巧用圆锥曲线定义法解题学生葛慧云指导教师张洪伟副教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2013年4月巧用圆锥曲线定义法解题葛慧云摘要：圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学教学过程中的重点章节之一，在教学过程和高考试卷中都占有很大的比例。

在历年高考的命题中都是热点和重点之一。

圆锥曲线的定义在初高中数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。

本论文首先对圆锥曲线的定义进行归纳总结概述，运用类比和大量的举例对圆锥曲线概念作了说明；其次给出了利用圆锥曲线定义巧解题的一些方法以及解题过程，然后对利用圆锥曲线定义巧解题中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习利用圆锥曲线定义解题中常出错的地方，并给出了应对方法。

关键词：圆锥曲线定义解题方法一、圆锥曲线的定义圆锥曲线包括三类曲线，分别为椭圆，双曲线，抛物线。

对于圆锥曲线，国际上总体上有两大类的定义，第一种定义明确的标出了圆锥曲线的三类曲线的特性，第二种定义则概括出了各圆锥曲线的本质上的联系。

在数学中，定义是展现数学概念之间区别的强有力的工具，定义反映了数学对象的本质属性和特征，对与数学定义的深刻理解，能够为提高解题能力打下坚实基础。

在圆锥曲线中，有相当多的问题是可以化归到运用定义从而得以简捷求解。

1.1圆锥曲线的第一定义高中数学教材中对与圆锥曲线给出了两种定义，第一定义展示了三类曲线各自独特性质和几何特征，分别为：椭圆：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

双曲线：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

高巾圆锥曲线不会做的原因作文摘要：数学学习本身难度就较大，再加上它十分抽象，许多学生学起来十分吃力，高中的数学就更不用说了。

圆锥曲线作为高中数学的重难点以及高考的重要内容，它在整个高中的数学课程中都占有很大的比重，在实际的教学中，会遇到很多的困难，因为圆锥曲线问题和其他知识相比较难度系数很大。

关键词：圆锥曲线;学习障碍;应对措施因为圆锥曲线比较难，下文将针对这一问题进行分析，找出高中生在学习中的障碍，以及解决这些障碍的有效措施。

一、高中生圆锥曲线的学习障碍（一）没有养成良好的课前预习习惯如果高中生在教师讲课之前，自己不提前对这一章节的内容进行预习，那么很有可能在教师讲课时他们就处于听天书的状态。

课前预习对于数学学习来说是十分有必要的，数学学习本身就很困难，不预习学生就很难跟上教师的讲课节奏，觉得教师讲课速度快，久而久之，就丧失了对于数学学习的兴趣。

高中数学知识相对于初中，学习的知识更多，学习的内容也更加抽象，难度增加，再加上圆锥曲线在数学中是重难点，所以高中生想要学好该知识，就必须做好课前预习这一工作。

（二）高中生解题思路不清晰，不能活学活用高中数学的解题技巧在学习中有很大的用处，可是在实际的学习中，许多学生很难做到解题思路清晰、很难有属于自己的解题技巧，一般都是靠着教师的引导去学习数学，可是仅仅靠教师是不够的，自己要有解题的实力，才能够在数学学习中做到活学活用。

所以高中生在学习数学知识的时候，要善于去发现知识的内在知识结构以及知识体系，这样才能逐渐地掌握数学的解题方法和数学法则，最终提升自己的解题思路，在数学学习中能够做到有效的活学活用。

二、高中生圆锥曲线教学措施（一）教师应向学生渗透常用的解题方法高中的数学知识都是较为抽象的，圆锥曲线就更不用说了，它是归属于解析几何这一方面的，所以想要很好的解答出圆锥曲线的问题，教师就应该培养高中生们拥有一个良好的解题思维和技巧。

圆锥曲线比其他知识点难的原因在两点，第一是学生不理解问题的实质，不知道题目要求算什么;第二个就是圆锥曲线的计算量较大，算起来比较复杂，许多学生如果没弄清楚题目的意思，就很难快速准确的解决圆锥曲线的问题。