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第七章续 静电场中导体有电介质时的高斯定理 电位移

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第七章 静电场02-高斯定理

第七章 静电场02-高斯定理
i =1 n
（4）仅高斯面内的电荷对通过高斯面的电通量有贡献。 对通过高斯面的电通量有贡献。 ） 高斯面内的电荷对通过高斯面的电通量有贡献 高斯面内外所有电荷有关 电荷有关。 （5）高斯面上的 E 与高斯面内外所有电荷有关。 ）
***下面从点电荷和点电荷系出发证明高斯定理。 下面从点电荷 点电荷系出发证明高斯定理。 下面从点电荷和 出发证明高斯定理
dΦe = E dS = EdS cos θ
dS⊥ = dS cosθ dΦ e E= dS⊥
π θ1 < , 2 π θ2 > , 2 d Φe1 > 0
E
dS
nθ
E
E
d Φe2 < 0
θ1
θ2
dS 2
E2
dS1
Φe =
∫ dΦ = ∫s E dS = ∫ E cos θ d S s
S e
E1
Φe =
∫ E dS = ε ∑ q
S 0 i =1
1
n
i
说明： 说明： 电场是有 （1）高斯定理描述了静电场的基本性质，说明静电场是有 ）高斯定理描述了静电场的基本性质，说明静电场是 源场。 源场。 （2）闭合曲面称为高斯面。 ）闭合曲面称为高斯面。 （3） ∑ qi 仅仅表示高斯面内的电荷的代数和。 ） 仅仅表示高斯面内的电荷的代数和。为通过这个面的电通量“ 称为通过这个面的电通量“Φ e ”。 单位：Nm 2C 1 或者 Vm 单位： 匀强电场 ，E 垂直平面
S
E
Φe = ES
均匀电场 ， 与平面夹角 θ E
S
Φ e = E S = ES cos θ
θ
θ
n
E
非均匀电场强度电通量

大学物理-电子教案第7章 静电场

大学物理-电子教案第7章 静电场

N⋅
⨯≈
m
9880c
10
/
通过曲面S 的总电通量 ⎰⎰⋅=Φ=ΦS S e e S d E d
S 为闭合曲面时 ⎰⋅=ΦS e S d E
无关，只与被球面所包围的电量q 有关
虚线表示等势面，实线表示电力线 二、场强与电势梯度的关系 电势与场强的积分关系：⎰⋅=零点
l d E U
，
求出场强分布后可由该式求得电势分布．
空腔内有带电体q时，空腔内表面感应电荷为-q，导体外表面感应电荷为静电屏蔽
）在导体内部有空腔时，空腔内的物体不受外电场的影响。

）接地的导体空腔，空腔内的带电物体的电场不影响外界。

三、有导体存在的静电场场强与电势的计算
有极分子电介质的极化：在外电场作用下分子偶极矩转向与外电场接近平行的方向，叫取向极化。

五、极化强度和极化电荷
极化强度P
)。

大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案

大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案

1第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。

用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1s 和2s 。

忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。

试证明：Rr =21s s。

证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R 的导体球的电势为的导体球的电势为R R V 0211π4e p s =014e s R =半径为r 的导体球的电势为的导体球的电势为r r V 0222π4e p s =024e s r = 用细导线连接两球，有21V V =，所以，所以Rr=21s s 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)(1)(1)相向的两面上，电荷的面密度总是相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；大小相等而符号相反；(2)(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1s ，2s ，3s ，4s （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得S S d E SD +==×ò)(10320s s e故+2s 03=s上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---e s e s e s e s又+2s 03=s 故 1s 4s =3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。

有电介质的高斯定理

有电介质的高斯定理

εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b

电位移、介质中的高斯定理复习

电位移、介质中的高斯定理复习

E'
q'
q0
E E0 E '
E0
S
1 ( E d S q ' ) q (1) 0 内 S 0 S
S
q ' P d S 内 (3) S
S
E'
q' 1 E d S q0 S
S （1）式 0 +（3）式
S S
得介质中的高斯定理
介质中的高斯定理： 穿出某一闭合曲面的电位移矢量的通量等于 这个曲面所包围的“自由电荷”的代数和。
D d S q 0
S S
注意：1）D 是一个辅助量，场的基本量仍是场 强 E 2） D 0 E P 是 D. E 关系的普遍式。 对各向同性的介质： P e 0 E D 0E P 0 E e 0 E (1 e ) 0 E 令： r 1 e 称为相对介电常数， 0 r 称为介电常数，则： D r 0 E E
dW 1 2 1 w E DE dV 2 2 一般地,推广到任意电场(非均匀,交变场).
dV体积中的电场能量为 : dW wdV 1 2 E dV 2
1 2 整个空间中的电场能量 : W wdV E dV V V 2
例 : 求均匀带电球体內外的电场能. 已知球体带电量为Q, 半径R,內外电容率分别为 1 , 2 .
E E0 E '
0
(q
S
S
0
q'内 ) (1)
E0
S
P dS q'内 (3)

电位移介质中的高斯定理复习课件

电位移介质中的高斯定理复习课件
理解电位移与电场强度的关系，有助于更好地理解高斯定理的物理意义。
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件

第七章续 静电场中导体有电介质时的高斯定理 电位移

第七章续 静电场中导体有电介质时的高斯定理 电位移

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金属球放入后电场线发生弯曲电场为一非均匀场
++ + + + ++
E
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导体球感应电荷激发的电场
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二、导体上电荷的分布
1. 实心导体静电平衡下,导体 所带的电荷只能分布在体的外 表面上，内部无净电荷。 证明：在导体内任取体积元 dV + + + + + E 0 + dV + + + + + + + + + + + + +
上底


en 0
E
由高斯定理
故 E外表面
, 矢量式：E外表面 en en 为导体表面 0 法向矢量 0
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E dS q / 0 S 底 / 0 S
S
3、对于孤立带电导体,电荷在其表面上的分 布由导体表面的曲率决定。
上节回顾
• 场强环路定理 E dl 0 • 电势 ua a E dl
• 电势差
• 电势能
• 电势能差 • 电势叠加
uab ua ub a E dl Wa q0 E dl a b Wab Wa Wb q0 E dl q0uab
b
a
u ui 或 u du
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上节回顾
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算

uP E dl

第七节 有电介质时的高斯定理

第七节 有电介质时的高斯定理

3
第七节 有电介质时的高斯定理
1. 有极分子和无极分子
电介质
无极分子：（氢、甲烷、石蜡等）
有极分子：（水、有机玻璃等）
有极分子— 极性电介质
特点：分子正负电重心不重合，有固有电偶极矩；
4
第七节 有电介质时的高斯定理
无极分子 — 非极性电介质 例如 H2、O2、CO2、CH4
特点：分子正负电中心重合，无固有电偶极
布求得合场强的分布。
11
第七节 有电介质时的高斯定理
例 7-13 设一带电量为Q 的点电荷周围充满电容率 为 的均匀介质，求场强分布。 解： 根据介质中的高斯定理
2 D ds D 4 r q0
S
r
q0 D 4 r 2
1 q0 E 2 4 r D
8
第七节 有电介质时的高斯定理
（2）有电介质时的高斯定理
1 SE dS ε0 (Q0 Q)
Q0 由 εr Q0 - Q
Q0
Q
Q0 得 E dS S ε0 ε r

S
0 r E dS Q0
9
第七节 有电介质时的高斯定理

S
0 r E dS Q0
S
D 2 π rl l
D

2πr


D E ε0 ε r 2 π ε0 ε r r
( R1 r R2 )
R2
r
R1
14
第七章 静电场
一 电介质的极化
二 有电介质时的高斯定理
1
第七节 有电介质时的高斯定理
一、电介质的极化
电介质指的是导电性极差的物质。在电介质内 几乎不存在自由电子（或正离子）。通常条件下的

电介质的极化和介质中的高斯定理

电介质的极化和介质中的高斯定理

串联 1 1 1 C C1 C2
C C1C2 C1 C2
0S d1 d2 r1 r2
②.已知 U，求0、E、D。
0
q S
CU S
0SU
S d1 d 2
0U
r1 r2
d1 d2
r1 r2
d1 d2
r1 r2 d
22
E1
Байду номын сангаас
0 0r1
d1
r1
0U
d2
r2
0r1
1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的宏观 效果都是产生了极化电荷。
综 2）两种极化都是外场越强，极化越厉害，所产生 述：的分子电矩的矢量和也越大。
3）极化电荷被束缚在介质表面，不能离开电介质 到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。它 不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走。
7
二、极化强度矢量
r
r 称为相对
介电常数或
电容率。
从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、
有极分子。
每个分子负电荷对外影响均可等效为 单独一个静止的负电荷 的作用。其大小为 分子中所有负电之和，这个等效负电荷的 作用位置称为分子的“负电作用中心”。
-
3
同样，所有正电荷的作用也可等效一
个静止的正电荷的作用，这个等效正电 荷作用的位置称为“正电作用中心”。
电场 E有如下关系：Pe0E
e 称为电极化率或极化率， 在各向同性线性电介质
中它是一个纯数。
14
D 在均匀0各E 向同P 性介0质E 中P e0E e 0(1 Ee)0E
r0E
r (1e) 称为相对介电常数或电
容率。
在各向同E性介质中D.rE0关称系为：介D 电常数r，0E E

2020-2021学年高二物理竞赛课件：7.9有电介质时的高斯定理电位移

2020-2021学年高二物理竞赛课件：7.9有电介质时的高斯定理电位移

+ + + + + +
- - - - - -
4
线、线、线

E 线

+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
起于正电荷、止于
负电荷，包括自由
电荷和极化电荷。

D 线

+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
起于正的自由
电荷，止于负
的自由电荷。
D 0E P

P线

7.10 静电场的能量
2
有电介质时的高斯定理
证明：由高斯定理：
1
1

E

dS

q

q

q
'
S 0 S
S
0 S
0

1
0
0 S1 ' S2
极化电荷： ' S 2 PS 2

S2
S1
0 + + + + + + + + + +
第七章 静止电荷的电场
§7-9 有电介质时的高斯定理
电位移
1
第七章 静止电荷的电场
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6

有电介质时的高斯定理 电位移

有电介质时的高斯定理 电位移

内外筒电势差
U
R1
E

dl

R2

dr ln R2
R2
R1 20 r r
20 r R1
代入得到电场的分0布为： r R1
r ln( R2 / R1)
E
U
R1 r R2 沿半径向里
0 r R2
有电介质时的高斯定理 电位移


由 P 0(r 1)E0得电极r化强度R1矢量的分布
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
有电介质时的高斯定理 电位移
例2. 一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷
的面密度分别为+和-，，电压U0=200V。撤去充 电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一
半空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚
电荷。（忽略边缘效应）
解：忽略 边缘效应，板间各
容器两极板的表面相平行）。
有电介质时的高斯定理 电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
VA－VB＝E1d1

E2d2



d1
1

d2
2


q S

d1
1

d2
2

q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
q
S
C VA－VB d1 d 2
1 2

D dS D 2rl
S
0
q0
S内 r

D
R1
1
2rl
q0
S内
2r
D
0
R1 r R2
r R2

大学物理课件有电介质时的高斯定理电位移

大学物理课件有电介质时的高斯定理电位移

1
0
( 0
' )S
E
1
0
(
0
')
'
(1
1
r
)
0
补充2 导体球置于均匀各向同性介质中
求 电场的分布 ，紧贴导体球表面处的
极化电荷，两介质交界处的极化电荷?
解 (1)电场的分布
D dS q0i ,内
S
i
4r2D Q0 (r R0 )
球形高 斯面
E1 0
(r R0 )
E2
Q0
40 r1r 2
S
E0
dS
1
0
0S
0
+
E E0
r
E0 r E
0 r E dS 0S
S
+
+
+
+
+
+
+
' - - - பைடு நூலகம் - - - - -
r
S
+
+
+
+
+
+
+
+
'
-----------------
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
D dS q 0i ,内
S
i
0
• 通过高斯面的电位移通量等于高 斯面所包围的自由电荷的代数和，
E3
Q0
40r2r 2
(R1 r R2 )
Q束缚 Q'Q'' 讨

静电场7-电解质的极化,束缚电荷,电解质中的高斯定理,电位移矢量

静电场7-电解质的极化,束缚电荷,电解质中的高斯定理,电位移矢量
§10.9 电介质的极化束缚电荷
电偶极子. 一对相距为l 的等量异号点电荷，若从电荷连线的中点 向场点 P 画一位矢 r ，且满足： r >> l 的条件，则这一对 等量异号点电荷叫做电偶极子(electric dipole)。
定义电偶极矩 (electric moment)： p ql
S1


S1
A
1
S2 d1
2
B
D1 S1 S1
D1
同理，做一个圆柱形高斯面 S2 SD dS qi ( S 2内） D2
2
d2
D1 D 2
2014-4-12
E1 E 2
第十章 -- 静电场
西安电子科技大学
12
§8.9 电介质

E1 o r1
R1
E2
E1
R2
E1 2 .5 E 2
u
R 2 2 . 5 R1
R
R2
1
E dr
*
R
R2
1
R2 R1 E ln R1 E * ln 2 . 5 R1
2014-4-12
dr R1 E 2 0 r r
* R2
R
1
dr r
r
第十章 -- 静电场
d1
d2
西安电子科技大学
13
例 一单芯同轴电缆的中心为一半径为R1的金属导线，外层一金 属层。其中充有相对介电常数为r 的固体介质，当给电缆加 一电压后，E1 = 2.5E2 ，若介质最大安全电势梯度为E 求 电缆能承受的最大电压？ 解 用含介质的高斯定理 * E 2 R E 0 r 1 2 0 r r

07--4、电介质中的电场高斯定理

07--4、电介质中的电场高斯定理

解： （1）自由电荷所产生旳场强（在真空中）为
E0
σ0 ε0
9.0 106 8.85 1012
1.02 106 V/m
(2)
由
E
E0 εr
εσrε00
σ0 ε
可知电介质内的场强为
E
σ0 ε
9.0 106 3.5 1011
2.57 105
V/m
（3）极化电荷面密度为：
0
0
3.5 1011 8.85 1010 3.5 1011
有电介质时旳高斯定理得（注意导体中
D=0）：
D dS S2
D dS
右底面
D1 A
A
与前面的式子相比较， 有D1 D2
+ +
S2
利用 D1 1E1 ，D2 2 E2 ，可求得：
E1
1
r1 0
,
E2
2
r 2 0
（2）正、负两极板间旳电势差为：
U
E1d1
E2d2
(d1 1
E1 E2
S D dS D S 0 S
D＝ 0
E1
D
1
0 0 r
E2
D
0
0 0
U
E1
d 2
E2
d 2
0d 2 0 r
0d 2 0
0d 0
r 1 2 r
3 5 U0
C1
Q1 U1
2 r 0 S
d
C2
Q2 U2
2 0 S
d
C1，C2串联：
C
C1C2 C1 C2
5 3 C0
由前面知：
例6、同轴电缆半径分别为R1和R2，其间充斥电介质 r1,，r2 ，

介质中的高斯定理

介质中的高斯定理

v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理

有电介质时的高斯定理

有电介质时的高斯定理

0
v E
dsv
q0
S
S
Ò
S
v E
dsv
q0
0
真空中的高斯定理
有介质时的高斯定理是真空中的高斯定理的推广，
也可以说真空是介质的一个特例，真空是特殊的介质。
例1：书P103例题1
的半均径匀为无R，限电大荷电量介为质q中0的，金求属电球介埋质在内绝的对场介强电E常及量电为介
质与金属交界面上的极化电荷面密度。
（2）交界面上的极化电荷总量为
q
4
R2
0
q0
即 q q0 ： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。
（3）交界面上的总电荷量为
q q0 q q0 r
总电荷减小到自由电荷的
1
r
倍。
（4）把介质换为真空，则场强为
q0
4 0 r 2
rˆ
q0
4 r2
q0
1
r
4 0 r2
充满均匀介质时场强减小到无介质时的
二 电位移.有电介质时的高斯定理
有介质存在时，电介质的内部或表面上出现极化电 荷，极化电荷也要激发电场。即有介质存在时，增加 了新的场源电荷即极化电荷。但是，新的场源只改变 原有静电场的大小，不改变静电场的性质。即对有介 质存在时的静电场，高斯定理和环路定理仍然成立。
1、有介质时的高斯定理
ÒS
v E
②如果 q0 0，则
Ò
v D
dsv
0
S
说明 D 对S面的通量为0，但 D 不一定为0；S面内
不一定无极化电荷 q和自由电荷 q0，只是 q0 的代数
和为0。
（4）
Ò
v D
dsv
q0

习题解答---大学物理第7章习题2

习题解答---大学物理第7章习题2

专业班级_____ 姓名________学号________ 第七章静电场中的导体和电介质一、选择题：1，在带电体A旁有一不带电的导体壳B,C为导体壳空腔内的一点，如下图所示。

则由静电屏蔽可知：[ B ]（A）带电体A在C点产生的电场强度为零；（B）带电体A与导体壳B的外表面的感应电荷在C点所产生的合电场强度为零；（C）带电体A与导体壳B的内表面的感应电荷在C点所产生的合电场强度为零；（D）导体壳B的内、外表面的感应电荷在C点产生的合电场强度为零。

解答单一就带电体A来说，它在C点产生的电场强度是不为零的。

对于不带电的导体壳B,由于它在带电体A这次，所以有感应电荷且只分布在外表面上（因其内部没有带电体）此感应电荷也是要在C点产生电场强度的。

由导体的静电屏蔽现象，导体壳空腔内C点的合电场强度为零，故选（B）。

2，在一孤立导体球壳内，如果在偏离球心处放一点电荷+q，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布情况为 [ B ]（A）球壳内表面分布均匀，外表面也均匀；（B）球壳内表面分布不均匀，外表面均匀；（C）球壳内表面分布均匀，外表面不均匀；（D）球壳的内、外表面分布都不均匀。

解答 由于静电感应，球壳内表面感应-q ，而外表面感应+q ，由于静电屏蔽，球壳内部的点电荷+q 和内表面的感应电荷不影响球壳外的电场，外表面的是球面，因此外表面的感应电荷均匀分布，如图11-7所示。

故选（B ）。

3. 当一个带电导体达到静电平衡时：[ D ](A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高。

(C)导体内部的电势比导体表面的电势高。

(D)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。

4. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ D ]（A ）E= （B ）E=0，（C ）E=0，（D ）E=0，5. 关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ [ C ]（A ）高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量为零。

4电位移 有介质时的高斯定理

4电位移 有介质时的高斯定理

P = χε 0 E
令 得
χ:
电极化率
D = ε 0ε r E = ε E
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 (1 + χ ) E 1+ χ = εr 介质的相对电容率
E= D = D
式中εຫໍສະໝຸດ ε 0ε rε 0 : 真空电容率 ε = ε 0ε r : 介质电容率
6
8-3 电位移矢量 有介质
高
有介质时的高斯定理
∫ D ⋅ dS = ∑ Q
S i =1
n
0i
电位移通量 电位移矢量
∫ D ⋅ dS
S
D = ε 0ε r E = ε E
7
电位移矢量 有介质
高
的电介质， 例1 把一块相对电容率εr =3的电介质， 的电介质 放在相距d=1mm的两平行带电平板之间 的两平行带电平板之间. 放在相距 的两平行带电平板之间 放入之前，两板的电势差是1000V . 试求 放入之前，两板的电势差是 两板间电介质内的电场强度E 两板间电介质内的电场强度 ，电极化强 度P ，板和电介质 的电荷面密度， 的电荷面密度， +++++++++++ 电介质内的电位 U εr d 移D.
S
Q0
S
Q'
−σ' - - - - -
+++++++++++
εr
+ σ' + + + + +
-----------
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处的电势应等于0，由此可以求得球心处的电势等于
点电荷Q在该处产生的电势：
u
Q 4 0 d
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（2）接地后，导体球的电势为零。即感应电荷与点电 荷Q在球心处电势的迭加为零。由于感应电荷都分布在 导体球表面，由电势迭加原理，有球心处的电势为：
u0
Q' 4 0 R

Q 4 0 d
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法拉第
花法 放拉 电第 的对 屏 蔽 千 实 伏 验 火
800
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例7-22.已知R1 R2 R3 q
Q
Qq
求 ①电荷及场强分布；球心的电势
②如用导线连接A、B，再作计算
B
q
q
A R1 O
R2
解: 电荷分布
q
q
Q q
r R1
2
R3
由高斯定理得
场 强 分 布
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2.腔内有带电体 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电 量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定 律决定，腔外导体和电场不影响腔内电场。


腔内电荷的位置不影响 导体外电场。
外表面接地，腔外电场 消失。
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静电屏蔽 在静电平衡状态下，空腔导体外面的带电体 不会影响空腔内部的电场分布；一个接地的空腔 导体，空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影 响。这种使导体空腔内的电场不受外界影响或利 用接地的空腔导体将腔内带电体对外界影响隔绝 的现象，称为静电屏蔽。 根据静电平衡时导体内部电场处处为零的特点， 利用空腔导体将腔内外的电场隔离，使之互不影响。
由高斯定理 E d S 0
S
qi dV 0 i
V
体积元是任取的
导体内各处 0
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2、导体的表面场强正比于该处的面电荷密度 由高斯定理可证明
E外表面
证明： E
E dS S E dS E dS E dS 上底 下底 侧面 E dS 0 0 E外表面 S 底
E
u
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例题7-20 两平行放置的带电大金属板A和B，面积 均为S，A板带电QA，B板带电QB，忽略边缘效应，求 两块板四个面的电荷面密度及空间的电场分布。 B A 解：设两板四个面的电荷面密度 3 ， 分别为 1 ， 4 。 2 ， 在两个板内各选一点P1、P2，由 1 2 于静电平衡，导体内任一点电 场强度为零
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若将B板接地，求电荷及场强分布
接地时 4 0
A B 1 2 3
a点
1 2 3 0 2 0 2 0 2 0
E 3 E 2 0 2 0 2 0 2 0
A板

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证明： 假设内表面一部分带正电，另 一部分带等量的负电，则必有电场 线从正电荷出发终止于负电荷。

L
取闭合路径L，一部分在空腔，一部分在导体中。
E dl E dl E dl 0
L 沿电场线 导体内
与静电场环路定理矛盾，原假设不成立。 导体内部及腔体的内表面处处无净电荷。
1 R
R1
Q1
l R1 导线
R2
Q2
Q1
R2
证明: 用导线连接两导体球
则
uR1 uR2
2
Q2 即 4 0 R1 4 0 R2
2
1 4R1 2 4R2 4 0 R1 4 0 R2
1 R2 2 R1
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对孤立导体电荷面密度和半径成反比，即曲 率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。
电场强度等于电势梯度的负值：（微分关系）
u u u E gradu u ( i j k) x y z
电场强度与电势的积分关系：
U
0势 r
E dr
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§7-6
静电场中的导体
一、导体的静电平衡
1. 金属导体与电场的相互作用
3 4
E p1 0
Ep2 0
P1
P2
x
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电场为四个面上电荷共同激发的，取x轴正方向如图。
对P1
对P2
1 2 3 4 E 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 E 0 2 0 2 0 2 0 2 0
1 0
1S 2 S Q
Q 2 3 S
b
电荷分布
E1 E 2 E 3
A
B
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电荷分布
1 0
Q 2 3 S
场 两板之间 强 分 布 两板之外
Q E 0S
A B 1 2 3
E
E0
由高斯定理可推出：若有多块无限大的带电平板平行 放置，则相对的两个面的面电荷密度符号一定相反。
B A
孤立 导体
+ ++ ++ + + + + + + + + ++ + + ++
C
c
A B C
孤导 立体 带球 电
曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小
曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小 孤立球体表面电荷均匀分布。
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q
E 0
q
－q
a. 腔内无带电体： 腔外电场不能穿入腔内， 腔内电场恒为零。
b. 腔内有带电体：
导体接地，可屏蔽内电场。
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静电屏蔽的应用
精密电磁仪器金属外罩使仪器免受外电场干扰。 高压设备金属外罩避免其 电场对外界产生影响。 电磁信号传输线外罩金属 丝编制屏蔽层免受外界影 响。 高压带电作业中工人师傅 穿的金属丝编制的屏蔽服 使其能够安全地实施等电 势高压操作。
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例7-22：如图所示，点电荷Q旁有一导体球,球心距点电 荷为d，d大于导体球的半径R,（1）用电势叠加原理求 导体球的电势；（2）把导体球接地后再断开，求导体 球上的感应电量.
d Q
R
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解:1）考虑导体球上感应电荷分布满足电荷守恒定律
及分布在表面距离球心等距的关系，感应电荷在球心
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金属球放入后电场线发生弯曲电场为一非均匀场
++ + + + ++
E
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导体球感应电荷激发的电场
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二、导体上电荷的分布
1. 实心导体静电平衡下,导体 所带的电荷只能分布在体的外 表面上，内部无净电荷。 证明：在导体内任取体积元 dV + + + + + E 0 + dV + + + + + + + + + + + + +
Q q
B
q q
b
a
u ui 或 u du
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上节回顾
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算

uP E dl
P
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
u ui
4 0 ri
qi
u du
dq 4 0 r
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尖端放电原理的应用
在高压设备中，为了防止因尖端放电而引起的危险 和漏电造成的损失, 具有高电压的零部件的表面必须 做得十分光滑并尽可能做成球面。 避雷针：利用尖端放电使 建筑物避免“雷击”的。 电晕现象
静电喷漆 静电除尘
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三、有导体存在时场强和电势的计算 电荷守恒定律 电荷分布 静电平衡条件
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电荷分布
QA QB 1 4 2S
QA QB 2 3 2S
A
B
1 2 3 4 E/ E E
场强分布
x
1 2 3 4 QA QB A 板左侧 E/ 2 0 2 0 S
1 2 3 4 QA QB 两板之间 E// 2 0 2 0 S 1 2 3 4 QA QB B 板右侧 E/// 2 0 2 0 S
导体的特征：导体内存在大量的自由电子 在外场 E0 中： 无外场时： 无规运动 宏观定向运动 无规运动 E0 E 静电感应：在电场力作用下，导体中自由电子作宏观 定向运动，使电荷产生重新分布的现象。
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导体达到静电平衡 静电感应过程
A
B
又由电荷守恒可得：
1 2
3 4
1 2 S QA 3 4 S QB
QA QB 所以 1 4 2S
P1
QA QB 2 3 2S
P2
x
可见，平行放置的带电大金属板相向两个面上电荷面密 度大小相等，符号相反；相背两个面上电荷面密度大小 相等，符号相同。
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总结：处于静电平衡状态的导体的性质：