课时作业33
- 格式：doc
- 大小：96.00 KB
- 文档页数：7
课时作业(三十三)一、选择题1．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( ) A ．1或－12B ．1C ．－12D ．－2解析：由数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 1q 2＝a 1＋a 1q . ∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12.答案：A2．(2010年北京高考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：a 1＝1，a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 35＝a 15q 10＝a 1q 10＝a 11， ∴m ＝11. 答案：C3．(2011年湖南省长沙一中第三次月考)设数列{a n }，{b n }分别为等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．a 3<b 3C ．a 5>b 5D ．a 6>b 6解析：设等差数列的公差为d ，等比数列公比为q ，由a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，得d ＝－1，q ＝322，于是a 2＝3>b 2＝232，故选A.答案：A4．(2011年上海高考)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)．则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －4，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 解析：依题意有A i ＝a i a i ＋1 ∴A n ＝a n a n ＋1，∴A n ＋1＝a n ＋1a n ＋2{A n }为等比数列⇔A n ＋1A n ＝q ，(q >0)q 为常数∵A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q .∴a 1，a 3，a 5…a 2n ＋1…和a 2，a 4…a 2n …都成等比数列且公比相同． 答案：D5．(2011年天津高考)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析：∵{a n }为等差数列，公差为－2， ∴a 7＝a 1－12，a 3＝a 1－4，a 9＝a 1－16. 又∵a 7为a 3与a 9的等比中项，∴a 72＝a 3·a 9，即(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16) ∴a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×(－2)＝110答案：D6．(2010年辽宁)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152 B.314 C.334 D.172 解析：由a 2a 4＝1得a 12q 4＝1，则a 1＝1q 2，又a 1(1＋q ＋q 2)＝7，所以(t ＋3)(t －2)＝0(t ＝1q>0)．所以q ＝12，a 1＝4.所以a 4＝4(12)3＝12，a 5＝4(12)4＝14.所以S 5＝7＋34＝314，选B.答案：B 二、填空题7．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝a 1(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝1－q 4q 3(1－q )＝1－124123×12＝15. 答案：158．(2011年南京二模)已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 32＝a 2·a 4＝4，又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为4. 答案：49．(2011年福建高考)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析：根据题目条件可知，c －a ＝x (b －a )，b －c ＝b －a －(c －a )＝(1－x )(b －a )，最佳乐观系数满足：c －a 是b －c 和b －a 的等比中项，所以有[x (b －a )]2＝(1－x )(b －a )(b －a )，又因为(b －a )>0，所以x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52，又0<x <1，所以x ＝－1＋52.答案：－1＋52三、解答题10．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求数列{a n }的通项公式．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n)1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ② 由②式得1－q 4＝5(1－q 2)， 即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0， 因为q <1，所以q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2， 所以通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，所以通项公式a n ＝12×(－2)n －1.11．(2011年高考课标卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 32＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n }的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 32＝9a 2a 6得a 32＝9a 42，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2. 故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)， 1b 1＋1b 2…＋1b n ＝－[2(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1.11．(2011年西安市第二次质检)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)23a 2解得a 2＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意，得q >1， ∴q ＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项是a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln23n＝3n ln2， 又b n ＋1－b n ＝3ln2， ∴数列{b n }是等差数列．∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n (3ln2＋3n ln2)2＝3n (n ＋1)2ln2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln2.12．(2012年山东泰安市高三上学期期中)已知等差数列{a n }为递增数列，满足a 32＝5a 1＋5a 5－25，在等比数列{b n }中，b 3＝a 2＋2，b 4＝a 3＋5，b 5＝a 4＋13.(1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．解：由已知a 32＝5(a 1＋a 5)－25，∴a 32＝10a 3－25整理得(a 3－5)2＝0， ∴a 3＝5设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q 由b 42＝b 3·b 5∴(a 3＋5)2＝(a 2＋2)·(a 4＋13)∴100＝(7－d )(18＋d )，∴d 2＋11d －26＝0∴(d ＋13)(d －2)＝0，∴d ＝2，d ＝－13(不合题意，舍去) ∴a 2＝a 3－d ＝3 ∴b 3＝5，∴q ＝b 4b 3＝2，b 1＝b 3q 2＝54∴b n ＝b 3·q n －3＝5·2n －3(b n ＝b 1q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3)(2)∵S n ＝b 1(1－q n)1－q ＝54(1－2n )1－2＝54·2n －54(n ∈N *)∴S n ＋54＝54·2n则S n ＋1＋54S n ＋54＝54·2n ＋154·2n ＝2(n ∈N *)∴数列{S n ＋54}是以52为首项2为公比的等比数列．[热点预测]13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)求证：数列{a n }成等比数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n .若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：证明：(1)由题意，得当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －a n －1)．所以a n ＝3a n －1，故有an a n －1＝3.又当n ＝1时，S 1＝32(a 1－1)＝a 1，解得a 1＝3，所以，数列{a n }成等比数列．(2)由(1)，得a n ＝3n ，则b n ＝log 3a n ＝log 33n ＝n . 故有c n ＝a n b n ＝n ·3n.设T n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n －1)·3n －1＋n ·3n，①3T n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n －1)·3n＋n ·3n ＋1.②则－2T n ＝(31＋32＋33＋ (3))－n ·3n ＋1＝3(1－3n )1－3n ·3n ＋1，所以T n ＝(2n －1)3n ＋1＋34.【备选题】1．(2011年龙岩质检)已知数列{a n }是首项为a 1的等比数列，则能保证4a 1，a 5，－2a 3成等差数列的公比q 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，∴2a 5＝4a 1＋(－2a 3)．设数列{a n }的公比为q ，则a 5＝a 1q 4，a 3＝a 1q 2，∴2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2. ∵a 1≠0，∴q 4＋q 2－2＝0，∴q 2＝1或q 2＝－2(舍去)，∴q ＝1或q ＝－1.选C 答案：C.2．(2011年江苏镇江一中第二次月考)若数列{a n }满足a n ＋2a n ＋1＋a n ＋1a n＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等比和数列，k 称为公比和．已知数列{a n }是以3为公比和的等比和数列，其中a 1＝1，a 2＝2，则a 2011＝________.解析：由a 3a 2＋a 2a 1＝3，且a2a 1＝2∴a 3a 2＝1 ，a 3＝a 2＝2，a 4a 3＋a 3a 2＝3 ∴a4a 3＝2 ∴a 4＝2a 3＝22 由a 5a 4＋a 4a 3＝3 ∴a5a 4＝1 a 5＝a 4＝22同理： a 6＝2a 5＝23，a 7＝a 6……∴a 2011＝21006 答案：210063．(2011年山西三市联考)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是正项等比数列，且满足a 1＝1，b 1＝4，a 2＋b 2＝10，a 26－b 3＝10.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，求数列{c n ＋2c n c n ＋1}的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋4q ＝10，1＋25d －4q 2＝10.解得d ＝1，q ＝2(舍去q ＝－27)． 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ，数列{b n }的通项公式是b n ＝4·2n －1＝2n ＋1. (2)由(1)得c n ＝n ·2n ＋1， 记d n ＝c n ＋2c n c n ＋1＝(n ＋2)·2n ＋3n (n ＋1)·22n ＋3 ＝n ＋2n (n ＋1)·2n＝2(n＋1)－n n(n＋1)·2n＝1n·2n－1－1(n＋1)·2n，所以S n＝d1＋d2＋…＋d n＝(11×20－12×21)＋(12×21－13×22)＋…＋[1n·2n－1－1(n＋1)·2n]＝1－1(n＋1)·2n。
