上海市崇明区2018届高三第一次模拟考试数学试题含答案.doc

2018年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．不等式＜0的解是．4．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．5．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a= ．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项 a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若?=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“Ｓ4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．。

【题干序号】1已知集合{}{}1,2,52,A B a ==，若{}1,2,3,5A B ⋃=，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】3【解析】因为集合{}{}1,2,52,A B a ==，，且{}1,2,3,5A B ⋃=，所以3a =，故答案为3.【题干序号】2抛物线24y x =的焦点坐标是______．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.【题干序号】3 不等式01xx <+的解是_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】()1,0- 【解析】由01x x <+可得，()10x x +<解得10x -<< ，所以不等式01x x <+的解是()1,0-. 故答案为：()1,0-.【题干序号】4若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z =__________．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】1i -【解析】由1iz i =+，得()1111i ii z i i ++===--.故答案为：1i -.【题干序号】5在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.【题干序号】6 若函数()2103y sin x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】2【解析】因为函数()203y sin x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，所以2ππω=，解得2ω=，故答案为2.【题干序号】7若函数()af x x =的反函数的图象经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】12【解析】函数()af x x =的反函数的图象经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，所以，函数()a f x x =的图象经过点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，1142a =（），12a =，故答案为12.【题干序号】8将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327πcm ，则该圆柱的侧面积为______2cm ．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】18π【解析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327cm π，设正方体的边长为cm a ，则227V a a ππ=⋅=，解得3cm,a =∴该圆柱的侧面积为223318cm S ππ=⨯⨯=，故答案为18π.【题干序号】9已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2xf x ax =-，且()22f =，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】98-【解析】()y f x =Q 是奇函数，且当0x <时，()2xf x ax =-，()()()222222f f a -∴=--=-+=，解得98a =-，故答案为98-.【题干序号】10若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a = ，公比为32a -，且lim n x S a →∞= ，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】2【解析】Q 无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为11a =，公比32a -，且()lim n n S a n N*→∞=∈，21,2520312a a a a ∴=∴-+=-+，2a ∴=或12a =，3122a ∴-=或312a -=-，31,22a a -<∴=Q ，故答案为2.【题干序号】11从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】780【解析】第一类，先选1女3男，有315330C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有3012360⨯= 种；第二类，先选2女2男，有225330C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有3012360⨯=种；第三类，先选3女1男，有13535C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有51260⨯=种，根据分类计数原理共有360360+60780+=种，故答案为780.【题干序号】12在ABC ∆中,BC 边上的中垂线分别交,BC AC 于点,D E 若6,2AE BC AB ⋅==u u u v u u u v u u u v,则AC =_______【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】4【解析】设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则()()1,,02AD a b BC b a DE BC =+=-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v v v v v ， ()AE BC AD DE BC ⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()12AD BC DE BC AD BC a b b a =⋅+⋅=⋅=+⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v v v v()222216,122b a b a =-=-=v v v v ，又2,||4a b =∴=v Q v，即4AC =，故答案为4.【题干序号】13展开式为ad bc -的行列式是（ ） A ．a b d cB ．a cb dC ．a db cD ．b a d c【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】B 【解析】a b ac bd d c=-,错误；a c ad bcb d=-，正确;a d ac bdb c=-，错误；b a bc ad d c=-，错误， 故选B.【题干序号】14设,a b ∈R ，若a b >，则（ ） A ．11a b< B ．lg lg a b > C ．sin sin a b >D ．22a b >【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】D【解析】,,a b R a b ∈>，当0,0a b ><时，A 不成立，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故B 不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故C 不成立， 根据指数函数的单调性可知，D 正确，故选D.【题干序号】15已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【题干序号】16直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若(,,0OP aOA bOB a b R =+∈u u u v u u u v u u u v为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A ．221a b +≥B ．1ab ≥C ．1a b +≥D ．2a b -≥【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】C【解析】由题意，双曲线渐近线方程为2xy =±，联立直线2x =，解得1,y =±∴不妨设()()()2,1,2,1,,A B P x y -，OP aOA bOB =+u u u v u u u v Q u u u v，22,x a b y a b ∴=+=-，P Q 为双曲线C 上的任意一点，()()222214a b a b +∴--=，141,4ab ab ∴==，()222241a b a b ab ab ∴+=++≥=a b （= 时等号成立），可得1a b +≥，故选C.【题干序号】17如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,AB BC AC ==与底面ABCD 所成的角为60o .（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A B 与 11B D 所成角的大小．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1)3；（2）cos14arc . 【解析】（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，∴AA 1⊥平面ABCD ，AC==2， ∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∴∠A 1CA=60°，∴AA 1=AC•tan60°=2√2⋅√3=2√6，∵S 正方形ABCD =AB×BC=2×2=4， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积：V =13×AA 1×S 正方形ABCD =13×2√6×4=8√63（2）∵BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）．∵BD =√4+4=2√2，A 1D =A 1B =√22+(2√6)2=2√7∴cos∠A 1BD =A 1B 2+BD 2−A 1D 22×A 1B ×BD =2×2√7×2√2=√1414 ∴∠A 1BD =arccos √1414∴异面直线A 1B 与B 1D 1所成角是arccos √1414．【题干序号】18已知()2cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角 ,,A B C 所对的边，若a b ==，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求边c 的值．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】(1)6x k ππ=+，2；（2）2.【解析】2()cos 2cos 12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+（1）当2262x k πππ+=+时，即()6x k k Z ππ=+∈，()f x 取得最大值为2；（2）由()2Af =，即2sin()6A π+=可得sin()6A π+=∵0＜A ＜π7666A πππ∴<+<2633A πππ∴+=或62A ππ∴=或当A π=时，222cos 2c b a A bc +-==a b ==Q 解得：c=4 当A π=时，222cos 02c b a A bc +-==a b ==Q 解得：c=2．【题干序号】192016 年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长0050．记 2016 年为第1年，()f n 为第1年至此后第()n n N *∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1)3272nn ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）2023.【解析】（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N ∗）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n +6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为1211131313()()()2222222n -+⨯+⨯+⋯+⨯ 131()322()13212n n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==--（千万元）． 33()()1(26)()27()22n n f n n n ∴=--+=--千万元（2）方法一：13313(1)()()2(1)7()24 27()22 2n n n f n f n n n +⎥⎡⎤+-=-+--⎦⎡⎤--=⎢⎣⎡⎤-⎢⎥⎦⎥⎢⎣⎣⎦Q∴当3n ≤时，(1)()0f n f n +-<，故当4n ≤时，()f n 递减； 当4n ≥时，(1)()0f n f n +->，故当4n ≥时，()f n 递增． 又71532733(1)0,(7)()2152102288f f =-<=-≈⨯-=-< 83(8)()232523202f =-≈-=>∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利；【题干序号】20在平面直角坐标系中，已知椭圆()222:10,1x C y a a a+=>≠的两个焦点分别是12,F F ，直线():,l y kx m k m R =+∈与椭圆交于,A B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值； （2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】或2；（2）()221m a +=22a ；（3）证明见解析. 【解析】（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ，当a ＞11=，解得a =当0＜a ＜1a =，解得2a =， （2）当1k =时，y x m =+，设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2221y k m x y a ⎧⎪=+⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，即222222(1)20a x a mx a m a +++-=， ∴2221212222,11a m a m a x x x x a a-+=-=++，222121212122()()()1m a y y x m x m x x m x x m a -∴=++=+++=+，∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形， 12120,0,OA OB x x y y ∴⋅=∴+=u u u r u u u r2222220,11a m a m a a a--∴+=++ 222222220(1)2a m a m a m a a ∴-+-=∴+=（3）证明：当a =2时，2244x y +=， 设11(,)A x y 22(,)B x y ，14koA kOB ⋅=-Q ，121214y y x x ∴⋅=-， 12124x x y y ∴=-，由2244x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得222(14)8440k x kmx m +++-= 2121222844,1414km m x x x x k k --∴+==++，22212212()()()yy kx m kx m k Xx km x x m ∴=++=+++ 222222222224484141414m k k k m m k m k k k ---=++=+++， 2222244441414m m k k k --∴=-⨯++， 22241m k ∴-=，∴||AB ====∵O 到直线y =kx +m的距离d ==222112|| 1.221414OABm S AB d k k ∆∴=====++【题干序号】21若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”． （1）若函数()()14f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】(1)12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）若函数f(x)=√x （1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1,x 2(x 1,≠)，均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k|x 1−x 2|成立， 不妨设x>x ，则12k=211114,,42x x <∴<<Q 剟∴k 的最小值为12．（2）2()log f x x =的定义域为（0，+∞），令1211,24x x ==，则221111()()log log 1(2)12424f f -=-=---=， 而12121212||,()()2||,2x x f x f x x x -=∴->- ∴函数2()log f x x =不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f(x)的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内(),()f a M f b m ==，则|12()()()()||f x f x M m f a f b a b -≤-=-≤-．若||1a b -„，显然有12|()()||| 1.f x f x a b --剟．若||1a b ->，不妨设,021a b b a ><+-<，12|()()|()(2)|2| 1.f x f x M m f a f b a b ∴--=-+--<剟综上，12|()()|1f x f x -„．。

2018年一模汇编——排列组合与概率统计专题一、知识梳理排列组合【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为m n P ，由乘法原理易知)!(!m n n P m n -=.【例1】一只蚂蚁从四面体的某个顶点出发，沿着棱走遍所有顶点，任何顶点只走一次，这样的路径有几条？【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为mn C .由乘法原理可知m n mm m n P P C =⋅，由此知!)!(!m m n n C m n-=.【例1】一个圆上有n 个点，这n 个点互相联接形成若干条线段，这些线段任三线不共点，问在圆内一共有几个交点？【例2】点P 的坐标为),(n m ，m ，n 均为正整数，一只蚂蚁从原点出发，每次只能向上或向右走一格，最终走到P 点，问有多少种可能的路径？【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式：m n n m n C C -=；111+++=+m n m n m nC C C . 【例1】化简：2241302-++++n n C C C C .【知识点4】排列组合基本方法所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式. 【知识点4.1】 应用乘法原理 【例1】120有多少个正约数？【例2】1,2,3,4,5这五个数排成一列，要求1必须在5前，2在4前，求可能的种数.【例3】现有8个不同的球，放在三个相同的箱子里，要求3+3+2分组，问有多少种分法？【知识点4.2】应用加法原理【例1】有三名男生，四名女生，从中选出四人参加辩论赛，要求至少有一名男生，问有多少种选法. 【例2】ABCDE五人排队，要求A不能站排头，B不能站排尾，问有几种排法？【知识点4.3】捆绑法与插空法、隔板法【例1】（捆绑法）有5人排队，其中甲乙相邻，问有多少种排法？【例2】（插空法）有5人排队，其中甲乙不相邻，问有多少种排法？【例3】（隔板法）有七个相同的球放入三个不同的盒子，要求所有盒子都要有球放入，问几种放法？二项式定理【知识点1】二项式定理公式nn n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N通项公式：k k n k n k b a C T -+=1(0,1,2,,)k n = ;其中：k n C (0,1,2,,)k n = 叫做二项式系数.【例1】求291()2x x-展开式中9x 的系数？【例2】在二项式3241()nx x+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数.【知识点2】二项式系数的性质① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：kn nk n C C -= ； ② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n2，即：n n n n n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：1531422-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C N n ∈.【例1】若35211()nx x +的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项.概率论初步【知识点1】古典概率把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率 （1）一次试验所有的基本事件只有有限个例如掷一枚硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.掷一颗骰子试验中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】盒子中装有编号为9,8,7,6,5,4,3,2,1的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率为（结果用最简分数表示）.【例2】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每个人选择其中的两个项目，则有且只有两个人选择一样的项目的概率是．（结果用最简分数表示）【知识点2】事件概率的和一般的，事件B A ，的和的概率等于事件B A ，出现的概率减去事件B A ，同时出现的概率()()()()AB P B P A P B A P -+=⋃公式叫做概率加法公式.不可能同时出现的两个事件叫做不相容或互斥事件，如果B A ，为互不相容事件，那么其和的概率就等于概率和，()()()B P A P B A P +=⋃.【例1】抛掷一枚骰子，记向上的点数为偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于5的事件为B ，事件B A ⋃的概率为()=⋃B A P .【例2】袋中有20个球，其中17个红球，3个黄球，从中任取3个.求至少有一个黄球的概率.【知识点3】独立事件积的概率互相独立事件定义：如果事件A 和事件B 出现之间没有影响，那么事件B A ,互相独立.两个相互独立事件发生的概率，等于积的概率为：()()()B P A P AB P ⋅=.【例1】一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9,、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为.【例2】甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以21A A 、和3A 表示从甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号) ①();52=B P ② 时间B 与事件1A 相互独立； ③321A A A 、、是两两互斥的事件；④()B P 的值不能确定，因为它与321A A A 、、中哪一个事件发生关系. 统计统计的基本思想方法是用样本来估计总体，即用局部推断整体.这就要求样本应具有很好的代表性.而样本的良好客观代表性，则完全依赖抽样方法，主要有：随机抽样、分层抽样、系统抽样.用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）. 基本统计量：若样本容量为n ，其个体数值分别为,,,21n x x x 则 样本平均数：nx x x x n+++= 21样本方差：()()()[]()[]22222122221211x n x x x nx x x x x x n S n n -++=-++-+-=样本标准差S 是2S 的算术平方根，它们依次作为总体平均数μ、总体方差2σ、总体标准差σ的估计值 总体均值的点估计值：12nx x x x n+++=总体标准差的点估计值：()()()222121n x x xx x x s n -+-++-=- 其中,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的σ区间估计，2,2x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的2σ区间估计. 【例1】某学校高一年级有x 个学生，高二年级有y 个学生，高三年级有z 个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有学生300人，则此学校共有多少人？【例2】若数据,,,21n x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则53,531++n x x 的平均数和方差分别为（ ）A.2,S xB.2,53S x +C.29,53S x +D.25309,532+++S S x【例3】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）.A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D.该把班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数二、一模真题汇编一、填空题1.在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是.2.某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为.3.若从五个数1-，0，1，2，3中任选一个数m ，则使得函数2()(1)1f x m x =-+在R 上单调递增的概率为 （结果用最简分数表示）. 4.在23()nx x+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于. 5.二项式41()2x x-的展开式中的常数项为. 6.已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a=. 7.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为.8.若1(2)nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为.9.91()x x-的二项展开式中的常数项的值为.10.设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为.11.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要 求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则 该生的可能选法总数是.12.在62()x x-的二项展开式中，常数项的值为.13.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是.14.从一副混合的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽 得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）.15.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 不同选法种数是（用数字作答）.16.在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）.17.用1,2,3,4,5共个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有________个.518.的二项展开式中，常数项的值为________. 19.在代数式721()x x +的展开式中，一次项的系数是（用数字作答）. 20.从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）二、选择题1.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ ）.A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D.8486P P -2.二项式10(3)i x -（i 为虚数单位）的展开式中第8项是（ ）. A. 7135x - B. 7135x C.73603ix D.73603ix -921()x x+。

崇明区2018学年度第一次高考模拟考试试卷数学考生注意：1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分） 1. 20lim31n n n →∞+=+.2. 已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂.3. 若复数z 满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则=z .4. 821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含7x 项的系数为（用数字作答）.5. 角θ的终边经过点()y P ，4，且53sin -=θ，则=θtan . 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x y 42=上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是. 7. 圆04222=+-+y x y x 的圆心到直线0543=++y x 的距离等于.8. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于. 9. 若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a . 10. 2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种. 11. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为.12. 已知数列{}n a 满足：①01=a ，②对任意的*∈N n 都有n n a a >+1成立.函数()n n a x nf -=1sin，[]1,+∈n n a a x 满足：对于任意的实数[)1,0∈m ，()m x f n =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13. 若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11>.B b a >-.C 22b a >.D 33b a < 14. “2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件15. 已知a b c ，，满足++=0a b c ，且222a b c << ，则a b b c a c ⋅⋅⋅ ，，中最小的值是（ ） .A a b ⋅ .B b c ⋅ .C a c ⋅.D 不能确定16. 函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ）.A 11.B 13.C 14.D 18三、解答题（本大题共有5题，满分56分）17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,直线1A C 与平面ABCD 所成角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小. 解：（1）联结AC ， 因为1AA ABCD ⊥平面，所以1ACA ∠就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，……………………………………2分 所以14A CA π∠=，所以1AA =4分所以11113A BD ABD ABD A A V V S A A --==⋅7分（2）联结1A D ，BD因为11//A B CD ，所以11//AD B C 所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………3分ABCD 1A 1B 1C 1D在1BA D 中，12cos 3BA D ∠==所以12arccos3BA D ∠=……………………………………6分 所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2arccos 3……………………………………7分18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）已知函数()2cos sin f x x x x =⋅+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,3,42f A a b ===.求ABC ∆的面积.解：（1）2()cos sin f x x x x =⋅+1sin 22sin(2)23x x x π=+=+……………………………………3分 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得：51212k x k ππππ-≤≤+ 所以函数()f x 的单调递增区间是5[,],1212k k k Z ππππ-+∈…………………………6分 （2）1()sin(2)32f A A π=+=因为(0,)2A π∈，所以42(,)333A πππ+∈所以5236A ππ+=，4A π=……………………………………2分由222cos 2b c a A bc +-==1c =……………………………………5分因为ABC △是锐角三角形，所以1c =……………………………………6分所以ABC △的面积是1sin 22ABC S bc A == ……………………………………8分19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.）（1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； （2）已知函数()()51g x a =-≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围. 解：（1）因为525(25)1065f =>， 即函数()f x 不符合条件③所以函数()f x 不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分 （2）因为1a ≥，所以函数()g x 满足条件①，……………………………………2分 结合函数()g x 满足条件①，由函数()g x 满足条件②，得：575≤，所以2a ≤ ………………………………………………………………4分 由函数()g x 满足条件③，得：55x≤对[25,1600]x ∈恒成立即a ≤对[25,1600]x ∈恒成立因为25+≥，当且仅当25x =时等号成立……………………………………7分 所以2a ≤………………………………………………………………8分 综上所述，实数的取值范围是[1,2]a ∈……………………………………9分20. （本题满分16分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分7分）已知椭圆()2222:10y x a b a bΓ+=>>，12,B B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点12,B B 的点，若112B F B ∆的边长为4的等边三角形. （1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； （3）设点R 满足：1122,RB PB RB PB ⊥⊥,求证：12PB B ∆与12RB B ∆的面积之比为定值.解：（1）221164x y +=………………………………………4分 （2）由题意，得：直线1PB 的方程为2y x =+…………………………………1分由2221164y x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：21121605,265x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩…………………………………3分 a故所求圆的圆心为84(,)55-，半径为5………………………………………4分 所以所求圆的方程为：2284128()()5525x y ++-=………………………………………5分（3）设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．将2y kx =+代入221164y x +=，得()2241160k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点，所以P x =21641k k -+．……………3分 所以21'4P P y k x k+==- …………………………………4分 由22RB PB ⊥，所以直线2RB 的方程为42y kx =-． 由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩，得2441R k x k =+． …………………………………6分所以12120216414441PB B RB B R k S x k S x kk ∆∆-+===+． …………………………………7分21. （本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知数列{}{},n n a b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N *+=+∈. （1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 解：（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===.………………………4分 （2）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②， ①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③， 所以111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+，………………………3分所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，………………………5分 又因为101n b q+≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以1{}1n b q+- 为等比数列。