人教版本高中数学选修22课后学习的练习习题参考标准标准答案.doc

数学选修22课后习题答案数学选修22课后习题答案在学习数学选修22这门课程时，我们经常会遇到各种各样的习题。

这些习题是我们巩固知识、理解概念和培养解决问题能力的重要工具。

然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。

在这篇文章中，我将为大家提供数学选修22课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习和理解数学知识。

第一章：函数的概念与性质1. 1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的关系，通常用符号f(x)表示。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

2. 2. 函数的性质：函数可以是奇函数或偶函数。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

函数的图像可以是对称的。

3. 3. 函数的图像：函数的图像可以通过绘制函数的曲线来表示。

在坐标系中，自变量表示横轴，因变量表示纵轴。

4. 4. 函数的极值：函数在某个区间内取得最大值或最小值的点称为极值点。

极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。

第二章：函数的运算与初等函数1. 1. 函数的四则运算：函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

两个函数相加得到的函数称为它们的和函数，两个函数相减得到的函数称为它们的差函数，两个函数相乘得到的函数称为它们的积函数，两个函数相除得到的函数称为它们的商函数。

2. 2. 初等函数：常见的初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

这些函数在数学中具有重要的地位，广泛应用于各个领域。

3. 3. 函数的复合：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

复合函数可以通过将函数的表达式代入另一个函数来求得。

4. 4. 函数的逆运算：函数的逆运算是指将函数的自变量和因变量互换。

如果一个函数存在逆函数，那么它们的复合函数等于自变量。

第三章：导数与微分1. 1. 导数的定义：函数在某个点的导数表示函数在该点的变化率。

导数可以通过求函数的极限来定义。

⼈教版⾼中数学选修课后习题参考答案新课程标准数学选修2—2第⼀章课后习题解答第⼀章导数及其应⽤ 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度⼤约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度⼤约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近⽐在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学⽣，然后让学⽣根据导数的⼏何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然⽽10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--?--?≥-?-?. 所以，企业甲⽐企业⼄治理的效率⾼.说明：平均变化率的应⽤，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t+-==--，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t+-==+，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =??= J.4、设车轮转动的⾓度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时⾓速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ?+?-==?+??，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时⾓速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表⽰的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率⼤于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，⼏乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应⽤.6、第⼀个函数的图象是⼀条直线，其斜率是⼀个⼩于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所⽰；第⼆个函数的导数()f x '恒⼤于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x ⼩于零时，()f x '⼩于零，当x ⼤于零时，()f x '⼤于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满⾜上述条件的导函数图象中的⼀种.说明：本题意在让学⽣将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、⾼度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的⼤致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. ⾸先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的⼤致形状. 下⾯是⼀种参考答案.说明：这是⼀个综合性问题，包含了对导数内涵、导数⼏何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯⼀. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-；（6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π?+?-==+，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ?→'=+?=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+. 3、3213()34r V Vπ'=.4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨⽓的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=??.（2）(7)25.5A '=-，它表⽰氨⽓在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越⼩时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的⽅程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮⽔的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮⽔的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮⽔的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮⽔的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应⽤练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯⼀.其中2x x =是函数()y f x =的极⼤值点，4x x =是函数()y f x =的极⼩值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为211149()6()212121224f =?--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为54；当3x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为54-. （3）因为3()612f x x x=+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为10-；当2x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为2-；当1x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极⼩值，并且极⼩值为149()1224f =-. ⼜由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最⼤值是20、最⼩值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极⼤值，并且极⼤值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极⼩值，并且极⼩值为(3)54f =-；⼜由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最⼤值是54、最⼩值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极⼤值，并且极⼤值为(2)22f =.⼜由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最⼤值是22、最⼩值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-⽆极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最⼤值是2-、最⼩值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极⼤值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极⼩值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极⼤值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极⼩值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为211149()6()212121224f -=?---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为16；当2x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±.下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为22；当2x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为128-；当4x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极⼩值，并且极⼩值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最⼤值和最⼩值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极⼤值，并且极⼤值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极⼩值，并且极⼩值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最⼤值和最⼩值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1-上⽆极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最⼤值和最⼩值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最⼤值和最⼩值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；⼜11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象⼤致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有⼀个极⼤值和⼀个极⼩值，从图象上能⼤致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下⾯分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形：①当0a >，且230b ac ->时，设⽅程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设⽅程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4⽣活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正⽅形的边长分别为4x ，4l x -，两个正⽅形的⾯积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极⼩值点，也是最⼩值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2时，两个正⽅形的⾯积和最⼩.2、如图所⽰，由于在边长为a 的正⽅形铁⽚的四⾓截去四个边长为x 的⼩正⽅形，做成⼀个⽆盖⽅盒，所以⽆盖⽅盒的底⾯为正⽅形，且边长为2a x -，⾼为x .（1）⽆盖⽅盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，当6ax =时，⽆盖⽅盒的容积最⼤.3、如图，设圆柱的⾼为h ，底半径为R ，则表⾯积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极⼩值点，也是最⼩值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐⾼与底⾯直径相等时，所⽤材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极⼩值点，也是最⼩值点.这个结果说明，⽤n 个数据的平均值11ni i a n =∑表⽰这个物体的长度是合理的，这就是最⼩⼆乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的⾯积为28x π2m ，矩形的⾯积为28x a π-2m ，矩形的另⼀边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极⼩值点，也是最⼩值点.时，所⽤材料最省. 6、利润L 等于收⼊R 减去成本C ，⽽收⼊R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再⽤导数求最⼤利润.收⼊211(25)2588R q p q q q q =?=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，产量为84时，利润L 最⼤,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最⼤. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+?=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最⼤利润.1．5定积分的概念练习（P42） 83. 说明：进⼀步熟悉求曲边梯形⾯积的⽅法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'?≈?=?=-+?=-?+?，1,2,,i n =L .于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=?≈?=?∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-?+?∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-?--?-?+L2231[12]2n n=-++++L31(1)(21)26n n n n ++=-?+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进⼀步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进⼀步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的⽅法和步骤. 练习（P48）2304x dx =?. 说明：进⼀步熟悉定积分的定义和⼏何意义.从⼏何上看，表⽰由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的⾯积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）1001111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-?=∑?；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-?=∑?；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-?=∑?. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的⽅法.2、距离的不⾜近似值为：18112171310140?+?+?+?+?=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167?+?+?+?+?=（m ）.3、证明：令()1f x =. ⽤分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个⼩区间，在每个⼩区间1[,]i i x x -上任取⼀点(1,2,,)i i n ξ=L作和式11()nni i i b af x b a nξ==-?==-∑∑，从⽽11lim nbn i b adx b a n→∞=-==-∑，说明：进⼀步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的⼏何意义，0表⽰由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的⾯积，即四分之⼀单位圆的⾯积，因此4π=.5、（1）03114x dx -=-. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -?表⽰由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的⾯积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -?等于位于x 轴上⽅的曲边梯形⾯积减去位于x 轴下⽅的曲边梯形⾯积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -?等于位于x 轴上⽅的曲边梯形⾯积减去位于x 轴下⽅的曲边梯形⾯积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是⾮正的，在区间[0,2]上是⾮负的，如果直接利⽤定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项⼜有负项，⽽且⽆法抵挡⼀些项，求和会⾮常⿇烦. 利⽤性质3可以将定积分231x dx -?化为02331x dx x dx -+??，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利⽤定积分的定义，容易求出031x dx -?，230x dx ?，进⽽得到定积分231x dx -?的值. 由此可见，利⽤定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进⼀步体会定积分的⼏何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间⾛过的路程⼤约为145 m.说明：根据定积分的⼏何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正⽅形的个数来估计物体⾛过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i ==??=∑（m ）；不⾜近似值：81111879.819.8168.672242i i =-??==∑（m ）（3）49.81tdt ?；49.81d 78.48t t =?（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插⼊1n -个分点，将它分成n 个⼩区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =L ），其长度为 (1)il i l l x n n n-?=-=.把细棒在⼩段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m L ，则细棒的质量1ni i m m ==?∑.（2）近似代替当n 很⼤，即x ?很⼩时，在⼩区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很⼩，近似地等于⼀个常数，不妨认为它近似地等于任意⼀点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在⼩段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ?≈?=（1,2,i n =L ）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====?≈?=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =?..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（3）533-；（4）24；（5）3ln 22-；（6）12；（7）0；（8）2-.。

2019人教版精品教学资料·高中选修数学复数及其运算课后练习题一： 在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为（ ） A ．(1, 3) B ．(3, 1) C ．(-1, 3) D ．(3, -1)题二：当23<m <1时,复数z m m i =-+-()()321在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限a 的值是 ．题四：若复数i z +=1（i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -2的虚部为（）．A ．0B ．-1C ．1D ．-2题五：复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（ ）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i题六：若12iz i +=，则复数z =（ ）A ．i -2-B ．i -2+C ． i 2-D ．i 2+题七：复数z 满足i i i z +=-2)(，则z =（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i 31+-D ．i 21-题八：若复数z 满足(2)117(z i i i -=+为虚数单位)，则z 为（ ）A ．3+5iB ．3－5iC ．－3+5iD ．－ 3－5i题九：复数11i =+（ ）A ．1122i - B ．1122i + C ．1i - D ．1i +题十：1+2i +32i +…+1000999i =_____．题十一：已知复数z 与(z +2)2-8i 均是纯虚数，则z = ．题十二：复数a +bi 与c +di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数的充要条件是（ ）A ． 0=-bd acB ．0=+bc adC ．00=+≠-bc ad bd ac 且D ．00≠+=-bc ad bd ac 且题十三：解方程1||2=-i z z （z 为复数）．题十四：已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若21z z -<|z 1|，求a 的取值范围．题十五：已知复数z 1=3+4i , z 2=t +i , 且12z z ⋅是实数,则实数t =( )A ．34 B ．43 C ．-43 D ．-34题十六：若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=复数及其运算课后练习参考答案题一： A ． 详解：i i i i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．题二： D ．详解：考查复数的有关概念,不等式的性质等知识．当23<m <1时,得3m -2>0, m -1<0, 故复数z 对应的点位于第四象限.题三：详解：因为1122||||z z z z ==a= （先化简再求模也可以做）题四： A ．详解：因为i z+=1，所以i z -=1，所以022)1()1(2222=-=-++=+i i i i z z ．题五： D ． 详解：i i i i i i i i z +-=+--+-+-=++-=1555)2)(2()2)(3(23，所以其共轭复数为i z --=1． 题六： D ． 详解：12i z i+=()221222211i i i i i i i ++-+====---，所以2z i =+．题七： B ． 详解：2()21i z i ii z i i i +-=+⇔=+=-．题八： A ．详解:i i i i i i i i z5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=．故选A ．题九： A ．详解：11111(1)(1)222i i i i i i --===-++-．题十： -500-500i ．详解：法1：原式=(1+2i -3-4i )+(5+6i -7-8i )+…+(997+998i -999-1000i ) =250(-2-2i )=-500-500i法2：设 S ＝1+2i +32i +…+1000999i ，则iS ＝i +22i +33i +…+999999i +10001000i ， ∴(1-i )S ＝1+i +2i +…+999i -10001000i =10001100010001i i--=-- ∴10005005001Si i-==--- 题十一： -2i ．详解：设z =ai , a ∈R ，则(z +2)2-8i = 4-a 2+(4a -8)i∵(z +2)2-8i 均是纯虚数 ∴4-a 2=0且4a -8≠0，解得a =-2．题十二： D ．详解：∵复数a +bi 与c +di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数，（a +bi ）（c +di ）=ac -bd +（ad +bc ）i ，∴ac -bd =0且ad +bc ≠0题十三： z =i 或i z 31-=． 详解：设z =x +yi （x ，y ∈R ），则1)(222=--+yi x i y x 即1)2(22=--+xi y y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+⇔01222x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇔3110或y x ∴z =i 或i z31-=．题十四： 1<a <7．详解：由题意得 z 1=i i ++-151=2+3i ， 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ，1z =13．4)4(2+-a <13，得a 2－8a +7<0，1<a <7．题十五： A ． 详解：12z z ⋅=(3+4i )(t -i ) =(3t +4)+(4t -3)i∵12z z ⋅是实数 ∴4t -3=0，故t =34．题十六： D ． 详解：因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根， 则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(， 所以解得2-=b ，3=c ，选D ．。

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答案包括选修2-1 2-2 2-3 4-4极坐标与参数方程4-5 不等式- 7 左整合人教版数学选修2—1第一章常用逻辑用语1．1．命题及其关系1．1．1命题1．1．2 四种命题1．C 2．C 3．D 4．若A不是B的子集，则A∪B≠B 5．① 6．逆7．(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数．真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．假命题8．原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交．逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行．否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交．逆否命题：在平面中?若两条直线相交，则这两条直线不平行。

以上均为真命题9．若ab≠0，则a，b都不为零．真命题10．逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b)，则a+b＜0，真命题．证明略11．甲1．1．3 四种命题间的相互关系1．C 2．D 3．B 4．0个、2个或4个 5．原命题和逆否命题6．若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数；真7．逆命题：若a^2＝b^2，则a＝b．假命题．否命题：若a≠b，则a^2≠b^2．假命题．逆否命题：若a^2≠b^2，则a≠b．真命题8．用原命题与逆否命题的等价性来证．假设a,b,c都是奇数，则a^2,b^2,c2也都是奇数，又a^2+b^2=c^2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a，b，c不可能都是奇数9．否命题：若a^2+b^2≠0，则a≠0或b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0，或b≠0，则a2+b2≠0．真命题10．真┌(4a)2一4(一4a+3)＜0，11．三个方程都没有实数根的情况为┤(a－1)2一4a2＜0， =>－3/2＜a＜－l└4a2+8a＜0 所以实数a的取值范围a≥一l，或a≤－3/21．2 充分条件与必要条件1．2．1 充分条件与必要条件1．A 2．B 3．A 4．(1) ≠> (2) ≠> (3) ≠> (4)≠> 5．充分不必要6．必要不充分 7．“c≤d”是“e≤f”的充分条件 8．充分条件，理由略9．一元二次方程ax^2+2x+l＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a＜010．m≥9 11．是1．2．2 充要条件1．C 2．B 3．D 4．假；真 5．C和D 6．λ+μ=1 7．略 8．a=－39．a≤l 10．略 11．q=－1，证明略1．3 简单的逻辑联结词1．3．1 且(and)1．3．2 或(or)1．3．3 非(not)1．A 2．C 3．C 4．真 5．①③ 6．必要不充分7．(1)p:2＜3或q:2=3；真 (2)p:1是质数或q:1是合数；假 (3)非p,p:0∈φ；真(4)p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分；真8，(1)p∧q:5既是奇数又是偶数，假；p∨q:5是奇数或偶数，真；┑p:5不是偶数，真(2)p∧q:4＞6且4+6≠10，假；p∨q:4＞6或4+6≠10，假；┑p:4≤6，真9．甲的否定形式：x∈A，且x∈B；乙的否命题：若(x－1)(x－2)＝0，则x=1，或x=2 10．m＜－l 11．(5/2，+∞)1．4 全称量词与存在量词1．4．1 全称量词1．4．2 存在量词1．D 2．C 3．(1)真 (2)真 4，③5．所有的直角三角形的三边都满足斜边的平方等于两直角边的平方和6．若一个四边形为正方形，则这个四边形是矩形；全称；真7．(1)x，x^2≤0 (2)对x，若6｜x则3｜x (3)正方形都是平行四边形8．(1)全称；假 (2)特称；假 (3)全称；真 (4)全称；假9．p∧q:有些实数的绝对值是正数且所有的质数都是奇数，假；p∨q:有些实数的绝对值是正数或所有的质数都是奇数，真；┑p:所有实数的绝对值都不是正数，假10．(1)存在，只需m＞一4即可 (2)(4，+∞) 11．a≥一21．4．3 含有一个量词的命题的否定1．C 2．A 3．C 4．存在一个正方形不是菱形 5．假6．所有的三角形内角和都不大于180°7．(1)全称；┑p假 (2)全称；┑p假 (3)全称；┑p真8．(1)┑p:存在平方和为0的两个实数，它们不都为0(至少一个不为0)；假⑵┑p: 所有的质数都是偶数；假 (3)┑p:存在乘积为0的三个实数都不为0；假9．(1)假 (2)真 (3)假 (4)真 10．a≥3 11．(一√2，2)单元练习1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．D 9．C 10．D11．5既是17的约数，又是15的约数：假 12．[1，2)13．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角 14．充要；充要；必要 15．b≥016．既不充分也不必要 17．①③④ 18．a≥319．逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假；否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假；逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真；命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假20．充分不必要条件21．令f(x) = x^2+(2k一1)x+k^2，方程有两个大于1的实数根┌ △=(2k2－1)－4k2≥0，<=>┤－＞1，即是k＜－2，所以其充要条件为k＜－2．└ f (1)＞0，22．(－3，2]10．a√3/3第一章导数及其应用第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入。

新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+. 3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立.2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B+=所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-， 即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=. 另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=--即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++ 即证3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法 练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=.那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+.所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.（3）略.2、1111122S ==-⨯，2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯，3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯.由此猜想：111n S n =-+.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n =时，左边＝111111222S ==-=⨯，右边＝11111122n -=-=+，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，猜想成立. （2）假设当n k =时，猜想成立，即111111122334(1)1k k k ++++=-⨯⨯⨯++.那么，11111111122334(1)(1)(2)1(1)(2)k k k k k k k +++++=-+⨯⨯⨯++++++.111(1)12k k =--++ 121111122k k k k +-=-⋅=-+++所以，当1n k =+时，猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n N *∈都成立. 习题2.3 B 组（P96）1、略2、证明：（1）当1n =时，左边＝111⨯=，右边＝11(11)(12)16⨯⨯+⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2)6k k k k k k k ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++.那么，1(1)2[(1)1]3[(1)2](1)1k k k k ⨯++⨯+-+⨯+-+++⨯.[12(1)3(2)1][123(1)]k k k k k =⨯+⨯-+⨯-++⨯++++++11(1)(2)(1)(2)62k k k k k =+++++ 1(1)(2)(3)6k k k =+++ 所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题A 组（P98）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *∈）个圆圈.2、333n 个（n N *∈）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.4、运算的结果总等于1.5、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A '，B '，C '，D '，则1OA OB OC OD AA BB CC DD''''+++=''''用“体积法”证明： OA OB OC OD AA BB CC DD ''''+++'''' O BCD O CDA O DAB O ABCA BCDB CDAC DABD ABCV V V V V V V V --------=+++1A BCD A BCDVV --==6、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=（第5题）即证 tan tan 1tan tan A B A B +=-由54A B π+=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k ππ+≠+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式. 所以，命题得证.7、证明：（1）当1n =时，左边＝1-，右边＝1(1)11-⨯=-，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即135(1)(21)(1)k k k k -+-++--=-.那么，1135(1)(21)(1)[2(1)1]k k k k +-+-++--+-+-.1(1)(1)[2(1)1]k k k k +=-+-+- 1(1)[2(1)1]k k k +=--++- 1(1)(1)k k +=-+所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分； （2）2n 条线段；（3）最多将圆分割成1(1)12n n ++部分.下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.②假设当n k =时，结论成立，即：k 条线段，两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分当1n k =+时，其中的k 条线段12,,,k l l l 两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++ 部分，第1k +条线段1k a +与线段12,,,k l l l 都相交，最多增加1k +个部分，因此，1k +条线段，两两相交，最多将圆分割成11(1)1(1)(1)(2)122k k k k k ++++=+++ 部分所以，当1n k =+时，结论也成立.根据①和②，可知结论对任何n N *∈都成立.2、要证 cos 44cos 43βα-=因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=⨯-⨯ 2212sin 24(12sin 2)βα=--⨯-222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--⨯- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---⨯-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---⨯--= 由已知条件，得 sin cos sin 2θθα+=，2sin sin cos βθθ=， 代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---⨯-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++-222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43βα-=。

选修第二章一、选择题．用反证法证明命题“如果>>，那么>”时，假设的内容应是( )．＝．<．≤．<，且＝[答案]．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程＋＋＝(≠)有有理根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )．假设、、都是偶数．假设、、都不是偶数．假设、、至多有一个偶数．假设、、至多有两个是偶数[答案][解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．．实数、、不全为等价于( )．、、均不为．、、中至多有一个为．、、中至少有一个为．、、中至少有一个不为[答案][解析]“不全为”的含义是至少有一个不为，其否定应为“全为”．．下列命题错误的是( )．三角形中至少有一个内角不小于°．四面体的三组对棱都是异面直线．闭区间[，]上的单调函数()至多有一个零点．设，∈，若，中至少有一个为奇数，则＋是奇数[答案][解析]＋为奇数⇔，中有一个为奇数，另一个为偶数．故错误．．设、、∈＋，＝＋－，＝＋－，＝＋－，则“>”是、、同时大于零的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件[答案][解析]若>，>，>，则必有>；反之，若>，也必有>，>，>.因为当>时，若、、不同时大于零，则、、中必有两个负数，一个正数，不妨设<，<，>，即＋<，＋<，两式相加得<，这与已知∈＋矛盾，因此必有>，>，>.．若、∈*，则“>”是“＋＋＋>＋”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[答案][解析]＋＋＋－－＝(－)＋(－)＝(－)(－)>⇔(\\(>>))或(\\(<<))，不难看出>⇒＋＋＋>＋，＋＋＋>＋⇒>.二、填空题．“＝且＝”的否定形式为[答案]≠或≠[解析]“且”的否定形式为“¬或¬”．．和两条异面直线、都相交的两条直线、的位置关系是[答案]异面[解析]假设与共面于平面α，则，，，都在平面α内，∴⊂α，⊂α，这与，异面相矛盾，故与异面．．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是[答案]①[解析]四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形中，可以有＝，＝，例如将平行四边形沿对角线折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题．(·吉林高二检测)已知，，，∈，且＋＝＋＝，＋>，求证：，，，中至少有一个是负数[解析]假设，，，都是非负数，因为＋＝＋＝，所以(＋)(＋)＝，又(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋，所以＋≤，这与已知＋>矛盾，所以，，，中至少有一个是负数．。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

数学选修22习题答案数学选修22习题答案数学选修22是高中数学课程中的一门选修课程，主要内容包括数列、概率与统计以及解析几何等。

本文将为读者提供一些数学选修22习题的答案，帮助读者更好地掌握这门课程的知识。

一、数列1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前5项。

解：将n分别代入1、2、3、4、5，得到数列的前5项为5、8、11、14、17。

2. 求等差数列{an}的通项公式，已知该数列的首项为3，公差为2。

解：设等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 3 +(n-1)2，化简得到通项公式an = 2n + 1。

二、概率与统计1. 在一次抽奖活动中，有5个一等奖，10个二等奖和15个三等奖。

如果从中随机抽取3个奖品，求至少抽到一等奖的概率。

解：总共有30个奖品，从中抽取3个奖品的组合数为C(30,3) = 4060。

抽到至少一等奖的情况有两种：抽到一等奖的组合数为C(5,1) = 5，其余两个奖品可以从剩下的25个奖品中抽取，组合数为C(25,2) = 300；抽到两个一等奖的组合数为C(5,2) = 10，剩下一个奖品可以从剩下的25个奖品中抽取，组合数为C(25,1) = 25。

因此，至少抽到一等奖的概率为(5*300 + 10*25)/4060 ≈ 0.368。

2. 某班级有40个学生，其中男生25人，女生15人。

从中随机抽取3个学生，求抽到至少一个男生的概率。

解：总共有40个学生，从中抽取3个学生的组合数为C(40,3) = 9880。

抽到至少一个男生的情况有三种：抽到一个男生的组合数为C(25,1) = 25，剩下两个学生可以从剩下的39个学生中抽取，组合数为C(39,2) = 741；抽到两个男生的组合数为C(25,2) = 300，剩下一个学生可以从剩下的39个学生中抽取，组合数为C(39,1) = 39；抽到三个男生的组合数为C(25,3) = 2300。

3V 34新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1 变化率与导数练习（P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和 3. 它说明在第 3 h 附近，原 油温度大约以 1 ℃／h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数h (t ) 在t = t 3 附近单调递增，在t = t 4 附近单调递增. 并且，函数h (t ) 在t 4 附近比在t 3 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1 的思想.练习（P9）函数r (V ) = (0 ≤ V ≤ 5) 的图象为根据图象，估算出r '(0.6) ≈ 0.3 ， r '(1.2) ≈ 0.2 .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题 1.1 A 组（P10）1、在t 处，虽然W (t ) = W (t ) ，然而W 1 (t 0 ) -W 1 (t 0 - ∆t ) ≥ W 2 (t 0 ) -W 2 (t 0 - ∆t ) .0 1 0 2 0-∆t -∆t所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、 ∆h = h (1+ ∆t ) - h (1) = -4.9∆t - 3.3 ，所以， h '(1) = -3.3 .∆t ∆t这说明运动员在t = 1s 附近以 3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s (t ) 在t = 5 时的导数.∆s = s (5 + ∆t ) - s (5) = ∆t +10 ，所以， s '(5) = 10 . ∆t ∆tt 因 此 ， 物 体 在 第 5 s 时 的 瞬 时 速 度 为 10 m ／ s ， 它 在 第 5 s 的 动 能 E = 1⨯ 3⨯102 = 150 J. k24、设车轮转动的角度为，时间为t ，则= kt 2 (t > 0) . 由题意可知，当t = 0.8 时，= 2. 所以k =25，于是= 25 2. 88车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数(t ) 在t = 3.2 时的导数. ∆=(3.2 + ∆t ) -(3.2) = 25∆t + 20，所以'(3.2) = 20.∆t∆t8因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为20s -1 .说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f (x ) 在 x = -5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x = -5 附近单调递增. 同理可得，函数 f (x ) 在 x = -4 ， -2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f '(x )的图象如图（1）所示；第二个函数的导数 f '(x ) 恒大于零，并且随着 x 的增加， f '(x )的值也在增加；对于第三个函数，当 x 小于零时， f '(x ) 小于零，当 x 大于零时，f '(x ) 大于零，并且随着 x 的增加， f '(x ) 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题 3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻 画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.1 2 x -11 33 4V 23 2、说明：由给出的v (t ) 的信息获得 s (t ) 的相关信息，并据此画出 s (t ) 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数 f (x ) 的图象在点(1, -5) 处的切线斜率为-1，所以此点 附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2 导数的计算练习（P18）1、 f '(x ) = 2x - 7 ，所以， f '(2) = -3 ， f '(6) = 5 .2、（1） y ' = 1x l n 2；（2） y ' = 2e x ；（3） y ' = 10x 4 - 6x ；（4） y ' = -3sin x - 4 cos x ；（5） y ' = - 1 sin x；（6） y ' =.3 3习题 1.2 A 组（P18）1、 ∆S = S (r + ∆r ) - S (r ) = 2r + ∆r ，所以， S '(r ) = lim(2r + ∆r ) = 2r .∆r ∆r∆r →02、h '(t ) = -9.8t + 6.5 .3、r '(V ) =.2 x =0 4、（1） y ' = 3x 2 +1x l n 2； （2） y ' = nx n -1e x + x n e x ；（3） y ' 3x 2 sin x - x 3 cos x + cos x sin 2x； （4） y = 99(x +1)98；（5） y ' = -2e -x ；（6） y ' = 2 s in(2x + 5) + 4x cos(2x + 5) .5、 f '(x ) = -8 + 2 2x . 由 f '(x 0 ) = 4 有 4 = -8 + 2 2x 0 ，解得 x 0 = 3 .6、（1） y ' = ln x +1； （2） y = x -1.7 、 y = - x +1.8、（1）氨气的散发速度 A '(t ) = 500 ⨯ln 0.834 ⨯ 0.834t .（2） A '(7) = -25.5 ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 25.5 克／天的速率减少. 习题 1.2 B 组（P19） 1、（1）（2） 当h 越来越小时， y =sin(x + h ) - sin x就越来越逼近函数 y = cos x .h（3） y = sin x 的导数为 y = cos x .2、当 y = 0 时， x = 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P (0, 0) .y ' = -e x ，所以 y ' = -1 .所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y = -x .2、d '(t ) = -4 sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为-0.42 m ／h ；上午 9:00 时潮水 的速度为-0.63 m ／h ；中午 12:00 时潮水的速度为-0.83 m ／h ；下午 6:00 时潮水的速度为-1.24 m ／h.1.3 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为 f (x ) = x 2 - 2x + 4 ，所以 f '(x ) = 2x - 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 1 时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递增；= '当 f '(x ) < 0 ，即 x < 1时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = e x - x ，所以 f '(x ) = e x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x > 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递增； 当 f '(x ) < 0 ，即 x < 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递减. （3）因为 f (x ) = 3x - x 3 ，所以 f '(x ) = 3 - 3x 2 .当 f '(x ) > 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递增； 当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1或 x > 1 时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递减. （4）因为 f (x ) = x 3 - x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < - 1或 x > 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递增；3 当 f '(x ) < 0 ，即- 1< x < 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递减.32、注：图象形状不唯一.3、因为 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，所以 f '(x ) = 2ax + b .（1）当a > 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x > - b2a f '(x ) < 0 ，即 x < - b2a（2）当a < 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x < - b 2a f '(x ) < 0 ，即 x > - b2a时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.4、证明：因为 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 ，所以 f '(x ) = 6x 2 -12x .当 x ∈(0, 2) 时， f '(x ) = 6x 2 -12x < 0 ，因此函数 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 在(0, 2) 内是减函数.练习（P29）1、 x 2 , x 4 是函数 y = f (x ) 的极值点，1 1 其中 x = x2 是函数 y = f (x ) 的极大值点， x = x 4 是函数 y = f (x ) 的极小值点.2、（1）因为 f (x ) = 6x 2 - x - 2 ，所以 f '(x ) = 12x -1 .令 f '(x ) = 12x -1 = 0 ，得 x =1.12调递减.当 x >1时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；当 x < 112 12时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单 所 以 ， 当x = 1时 ， 12f (x ) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为f ( ) = 6 ⨯( )2 - 1 - 2 = - 49. 12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 - 27x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 27 .令 f '(x ) = 3x 2 - 27 = 0 ，得 x = ±3 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -3 或 x > 3 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-3 < x < 3 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x = -3 时， f (x ) 有极大值，并且极大值为 54； 当 x = 3 时， f (x ) 有极小值，并且极小值为-54 . （3）因为 f (x ) = 6 +12x - x 3 ，所以 f '(x ) = 12 - 3x 2 .令 f '(x ) = 12 - 3x 2 = 0 ，得 x= ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即-2 < x < 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：=-因此，当x =-2 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-10 ；当x = 2 时，f (x) 有极大值，并且极大值为22（4）因为 f (x) = 3x -x3，所以 f '(x) = 3 - 3x2.令 f '(x) = 3 - 3x2= 0 ，得 x =±1 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即-1 <x < 1时；②当f '(x) < 0 ，即x <-1或x > 1 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-1 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-2 ；当x = 1 时，f (x) 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0, 2] 上， 当 x =1 49f ( ) .12 24 1 时，12f (x) = 6x2-x - 2 有极小值，并且极小值为又由于 f (0) =-2 ， f (2) = 20 .因此，函数 f (x) = 6x2-x - 2 在[0, 2] 上的最大值是 20、最小值是-49.24（2）在[-4, 4] 上，当 x =-3 时， f (x) =x3- 27x 有极大值，并且极大值为 f (-3) = 54 ；当x = 3 时， f (x) =x3- 27x 有极小值，并且极小值为 f (3) =-54 ；又由于 f (-4) = 44 ， f (4) =-44 .(0, ) ，所以 f (x )因此，函数 f (x ) = x 3 - 27x 在[-4, 4] 上的最大值是 54、最小值是-54 .（ 3） 在[- 1, 3] 上， 当 x = 2 时， 3f (x ) = 6 +12x - x 3 有极大值， 并且极大值为f (2) = 22 .又由于 f (- 1) = 55， f (3) = 15 .3 27因此，函数 f (x ) = 6 +12x - x 3 在[- 1 , 3] 上的最大值是 22、最小值是 55.3 27（4）在[2, 3] 上，函数 f (x ) = 3x - x 3 无极值.因为 f (2) = -2 ， f (3) = -18 .因此，函数 f (x ) = 3x - x 3 在[2, 3] 上的最大值是-2 、最小值是-18 . 习题 1.3 A 组（P31）1、（1）因为 f (x ) = -2x +1，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = -2x +1是单调递减函数.（2）因为 f (x ) = x + cos x ， x ∈ ' = 1- sin x > 0 ， x ∈ 2(0, ) . 2 因此，函数 f (x ) = x + cos x 在 (0, ) 上是单调递增函数. 2（3）因为 f (x ) = -2x - 4 ，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = 2x - 4 是单调递减函数.（4）因为 f (x ) = 2x 3 + 4x ，所以 f '(x ) = 6x 2 + 4 > 0 .因此，函数 f (x ) = 2x 3 + 4x 是单调递增函数.2、（1）因为 f (x ) = x 2 + 2x - 4 ，所以 f '(x ) = 2x + 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > -1 时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递增.当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 ，所以 f '(x ) = 4x - 3 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递增.4当 f '(x ) < 0 ，即 x < 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递减.4（3）因为 f (x ) = 3x + x 3 ，所以 f '(x ) = 3 + 3x 2 > 0 .因此，函数 f (x ) = 3x + x 3 是单调递增函数.（4）因为 f (x ) = x 3 + x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 + 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < -1或 x > 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递增.3 当 f '(x ) < 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递减.33、（1）图略. （2）加速度等于 0.4、（1）在 x = x 2 处，导函数 y = f '(x ) 有极大值；（2） 在 x = x 1 和 x = x 4 处，导函数 y = f '(x ) 有极小值；（3） 在 x = x 3 处，函数 y =（4） 在 x = x 5 处，函数 y = f (x ) 有极大值；f (x ) 有极小值.5、（1）因为 f (x ) = 6x 2 + x + 2 ，所以 f '(x ) = 12x +1.令 f '(x ) = 12x +1 = 0 ，得 x = - 1.12当 x > - 112 当 x < - 112时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减.所 以 ，x = - 1 时 ， 12f (x ) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为 f (- 1 ) = 6 ⨯(- 1 )2 - 1 - 2 = - 49 .12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 -12x ，所以 f '(x ) = 3x 2 -12 .令 f '(x ) = 3x 2 -12 = 0 ，得 x = ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-2 < x < 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 16；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-16 .（3）因为 f (x) = 6 -12x +x3，所以 f '(x) =-12 + 3x2.令 f '(x) =-12 + 3x2= 0 ，得 x =±2 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 22；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-10 .（4）因为 f (x) = 48x -x3，所以 f '(x) = 48 - 3x2.令 f '(x) = 48 - 3x2= 0 ，得 x =±4 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-4 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-128 ；当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[-1,1] 上，当 x =-112时，函数f (x) = 6x2+x + 2 有极小值，并且极小值为47.24由于f (-1) = 7 ，f (1) = 9 ，所以，函数f (x) = 6x2+x + 2 在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为9，47.24（2）在[-3, 3] 上，当 x =-2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极大值，并且极大值为 16； 当x = 2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极小值，并且极小值为-16 .由于f (-3) = 9 ，f (3) =-9 ，所以，函数 f (x) =x3-12x 在[-3, 3] 上的最大值和最小值分别为 16， -16 .（3）在[-1,1] 上，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上无极值.3 3由于f (-1) =269，f (1) =-5 ，3 27所以，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为269，-5 .3 27（4）当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128..由于f (-3) =-117 ，f (5) = 115 ，所以，函数 f (x) = 48x -x3在[-3, 5] 上的最大值和最小值分别为 128， -117 . 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设 f (x) = sin x -x ，x ∈(0,) .因为 f '(x) = cos x -1 < 0 ， x ∈(0,)所以f (x) = sin x -x 在(0,) 内单调递减因此 f (x) = sin x -x <f (0) = 0 ， x ∈(0,) ， 即 sin x <x ， x ∈(0,) . 图略（2）证明：设 f (x) =x -x2， x ∈(0,1) .因为 f '(x) = 1- 2x ， x ∈(0,1)又1 1所以，当 x ∈1(0, )2时，f '(x) = 1- 2x > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =x -x2> f (0) = 0 ；当 x ∈1时，f '(x) = 1- 2x < 0 ，f (x) 单调递减，( ,1)2f (x) =x -x2> f (1) = 0 ；f ( ) => 0 . 因此， x -x22 4>0 ，x ∈(0,1) . （3）证明：设 f (x) =e x-1-x ， x ≠ 0 .因为 f '(x) =e x-1， x ≠ 0所以，当x > 0 时，f '(x) =e x-1 > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =e x-1-x > f (0) = 0 ；当x < 0 时，f '(x) =e x-1 < 0 ，f (x) 单调递减，f (x) =e x-1-x >f (0) = 0 ；综上，e x-1 >x ，x ≠ 0 . 图略（4）证明：设 f (x) = ln x -x ，x > 0 .因为 f '(x) =1-1 ，x ≠ 0 x所以，当0 <x < 1时，f '(x) =1-1 > 0 ，f (x) 单调递增，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x > 1 时，f '(x) =1-1 < 0 ，f (x) 单调递减，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x =1 时，显然ln1 <1. 因此，ln x <x .由（3）可知， e x>x +1 >x ， x > 0 .. 综上，ln x <x <e x，x > 0 图略2、（1）函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象图略( ) 上能大致估计它的单调区间.（2）因为 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ，所以 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c . 下面分类讨论：当a ≠ 0 时，分a > 0 和a < 0 两种情形： ①当a > 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减.12当a > 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≥ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递增.②当a < 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递12增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递减.当a < 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≤ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减 1.4 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l - x ，则这两个正方形的边长分别为 x ， l - x，4 4两个正方形的面积和为 S = f (x ) = x 2 + (l - x )2 = 1 (2x 2- 2lx + l 2 ) ， 0 < x < l .4 4 16 令 f '(x ) = 0 ，即4x - 2l = 0 ， x = l.2当 x ∈ l (0, ) 2时， f '(x ) < 0 ；当 x ∈ l( , l ) 2 时， f '(x ) > 0 .因此， x = l是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.2V3 2 V321 ni 所以，当两段铁丝的长度分别是 l时，两个正方形的面积和最小.22、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a - 2x ，高为 x .（1）无盖方盒的容积V (x ) = (a - 2x )2 x ， 0 < x < a.2（2）因为V (x ) = 4x 3 - 4ax 2 + a 2 x ，所以V '(x ) = 12x 2 - 8ax + a 2 .令V '(x ) = 0 ，得 x = a （舍去），或 x = a.（第 2 题）当 x ∈ a (0, ) 6 2 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈ 6 a a( , ) 6 2 时，V '(x ) < 0 . 因此， x = a是函数V (x ) 的极大值点，也是最大值点.6 所以，当 x = a时，无盖方盒的容积最大.63、如图，设圆柱的高为h ，底半径为 R ，则表面积 S = 2Rh + 2R 2由V = R 2h ，得h =V .R 2因此， S (R ) = 2R2V V R 2 + 2R 2 = 2V + 2R 2 ， R > 0 . R令 S '(R ) = - + 4R = 0 ，解得 R = .R当 R ∈(0, 3 V) 时， S '(R ) < 0 ；2当 R ∈( 3 V2, +∞) 时， S '(R ) > 0 .（第 3 题）因 此 ， R =是 函 数 S (R ) 的 极 小 值 点 ， 也 是 最 小 值 点 . 此 时 ，h = V R 2 = 23 V= 2R .2所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.n 4、证明：由于 f (x ) = ∑(x - a )2，所以 f '(x ) = 2 ∑(x - a ) .n i =1 n i =1i8a 4 + 令 f (x ) = 0 ，得 x = n ∑ = n ∑ n ∑ )x ' 1 na i =11 n可以得到， x a i是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.i =11 n这个结果说明，用 n 个数据的平均值 a i 表示这个物体的长度是合理i =1的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 x 2m ，半圆的面积为x 2 8m 2 ，矩形的面积为a -x 2 8 m 2 ，矩形的另一边长为( a x - x ) m8因此铁丝的长为l (x ) =x + x + 2a - x = (1+ + 2a， 0 < x < 2 x 4 4 x令l '(x ) = 1+ - 4 2a = 0 ，得 x = x2（负值舍去）.当 x ∈(0, ) 时， l '(x ) < 0 ；当 x ∈( 8a ,8a ) 时， l '(x ) > 0 .因此， x = 4 +是函数l (x ) 的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为m 时，所用材料最省.6、利润 L 等于收入 R 减去成本C ，而收入 R 等于产量乘单价. 由此可得出利润 L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入 R = q ⋅ p = q (25 - 1 q ) = 25q - 1q 2 ，8 8 利润 L = R - C = (25q - 1 q 2 ) - (100 + 4q ) = - 1q 2 + 21q -100 ， 0 < q < 200 .8 8求导得 L ' = - 1q + 214 令 L ' = 0 ，即- 1q + 21 = 0 ， q = 84 .4当 q ∈(0,84) 时， L ' > 0 ；当 q ∈(84, 200) 时， L ' < 0 ；8a8a 4 + 8a4 + 8a4 +i ，n ∆ ( ) ⋅ + ⋅ ] 因此， q = 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84 时，利润 L 最大,习题 1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润 L (x ) = (50 - x -180)(x - 20) = - 110 10令 L '(x ) = - 1x + 70 = 0 ，解得 x = 350 .5x 2 + 70x -1360 ，180 < x < 680 .当 x ∈(180, 350) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈(350, 680) 时， L '(x ) > 0 .因此， x = 350 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为 x 元／件时，利润 L (x ) = (x - a )(c + c b - x ⨯ 4) = c (x - a )(5 - 4 x ) ， a < x < 5b.b b 4令 L '(x ) = - 8c x + 4ac + 5bc = 0 ，解得 x = 4a + 5b.b b 8 当 x ∈(a , 4a + 5b ) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈( 4a + 5b , 5b) 时， L '(x ) < 0 .8 8 4 当 x = 4a + 5b 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.8所以，销售价为 4a + 5b元／件时，可获得最大利润.81.5 定积分的概念练习（P42） 8 . 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、∆s ≈ ∆s ' = v ( i )∆t = [-( i )2 + 2]⋅ 1 = -( i )2 ⋅ 1 + ⋅ 2， i = 1, 2, , n .i i n n n n n n于是 s = ∑ ∆s ≈ ∑ ∆s ' = ∑ i v ( ) ti =1 i ii =1 i =1n= ∑ i =1[- i 2 1 2n n n = - 1 2 1n -1 2 1 n 2 1( n ) ⋅ n- - ( ) ⋅ - ( ) n n n ⋅ + 2 n = - 1[1+ 22 + + n 2 ] + 2n 3nn n= ∑ i =1i =1i =1⎰ ∑a= - 1 ⋅ n (n +1)(2n +1) + 2 n 3 6 = - 1 (1+ 1 )(1+ 1) + 23 n 2n 取极值，得s = lim ∑ 1 i n[ v ( )] lim [- 1 (1+ 1 )(1+ 1 ) + 2] = 5n →∞ i =1 nn n →∞ i =1 3 n 2n 3 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、 22 km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2x 3dx = 4 .说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线 y = x 3 与直线 x = 0 ， x = 2 ， y = 0 所围成的曲边梯形的面积 S = 4 . 习题 1.5 A 组（P50）2100i -1 1 1、（1） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 100 ) -1]⨯ 100 = 0.495 ； 2500i -1 1 （2） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 500) -1]⨯ 500 = 0.499 ； 21000i -1 1 （3） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 1000) -1]⨯ 1000 = 0.4995 . 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1+ 0 ⨯1 = 40 （m ）； 距离的过剩近似值为： 27 ⨯1+18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1 = 67 （m ）. 3、证明：令 f (x ) = 1 . 用分点 a = x 0 < x 1 < < x i -1 < x i < < x n = b将区间[a , b ] 等分成 n 个小区间， 在每个小区间[x i -1 , x i ] 上任取一点i(i = 1, 2, , n )作和式∑ f (i )∆x = ∑ b - an = b - a ， i =1bi =1nb - a 从而 1dx = lim n →∞i =1= b - a ，nnn n⎰1- x 2 1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-1-1说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义， ⎰01- x 2 dx 表示由直线 x = 0 ， x = 1 ， y = 0 以及曲线y = 所围成的曲边梯形的面积， 即四分之一单位圆的面积， 因此 1- x 2 d x = . 0 4 5、（1） ⎰0 x 3dx = - 1 . -1 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3≤ 0 ，所以定积分 0x 3dx 表示由直线 x = 0 ， x = -1 ， y = 0-1和曲线 y = x 3 所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得⎰1x 3dx = ⎰0x 3dx + ⎰1x 3dx = - 1 + 1= 0 .-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0,1] 上 x 3≥ 0 ，所以定积分 1x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得⎰2 x 3dx = ⎰0 x 3dx + ⎰2 x 3dx = - 1 + 4 = 15-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0, 2] 上 x 3 ≥ 0 ，所以定积分 2x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于 x 3 在区间[-1, 0] 上是非正的，在区间[0, 2] 上是非负的，如果直接利用定义把区间[-1, 2] 分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又 有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质 3 可以将定积分 2x 3dx-1化为 0 x 3dx + 2x 3dx ，这样， x 3 在区间[-1, 0] 和区间[0, 2] 上的符号都是不变的，再-1利用定积分的定义，容易求出⎰0x 3dx ， ⎰2x 3dx ，进而得到定积分⎰2x 3dx 的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题 1.5 B 组（P50）1、该物体在t = 0 到t = 6 （单位：s ）之间走过的路程大约为 145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1） v = 9.81t .8 i 1 1 8⨯ 9（2）过剩近似值： ∑9.81⨯ ⨯ = 9.81⨯ ⨯ = 88.29 （m ）； i =12 2 4 2 1⎰4 4∑ i l ∑ ∑ ∑ n8i -1 1 1 8⨯ 7不足近似值： ∑9.81⨯i =1⨯ = 9.81⨯ ⨯ 2 2 4 2 = 68.67 （m ）（3） ⎰09.81tdt ； 3、（1）分割⎰09.81t d t = 78.48 （m ）.在区间[0, l ] 上等间隔地插入n -1个分点，将它分成n 个小区间：l l 2l(n - 2)l [0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] ， n n n n 记第i 个区间为[(i -1)l iln , n ] （ i = 1, 2, n ），其长度为 ∆x = il - (i -1)l = l .n n n 把细棒在小段 ll 2l(n - 2)l[0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] 上质量分别记作： n n n n∆m 1 , ∆m 2 , , ∆m n ，则细棒的质量m = ∑∆m i .i =1 （2） 近似代替当n 很大，即∆x 很小时，在小区间[(i -1)l , il] 上，可以认为线密度(x ) = x 2 n n的值变化很小， 近似地等于一个常数， 不妨认为它近似地等于任意一点 ∈[(i -1)l il处的函数值 () = 2. 于是， 细棒在小段 [(i -1)l il上质量 i , ] i i , ] n n n n∆m ≈ ()∆x = 2 l （ i = 1, 2, n ）.i i i n（3） 求和得细棒的质量n nnm = ∆m ≈ ()∆x = 2. i ii n（4） 取极限i =1i =1nl2i =1l 2细棒的质量 m = limn →∞i =1n，所以m = ⎰0 x dx ..1.6 微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2） 50 ；（3）4 2 - 5； （4）24； 33 3（5） 3 - ln 2 ； （6） 1 ；（7）0；（8） -2 .2 23 6 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题 1.6 A 组（P55）1、（1） 40 ； （2） - 1- 3ln 2 ；（3） 9+ ln 3 - ln 2 ；3 （4） - 17 ；（5） 6232 82+1； （6） e 2- e - 2 ln 2 .说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、 3sin xdx = [-cos x ]3= 2 . ⎰0 它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习 题 1.6 B 组 （P55）1 e2 11 11、（1）原式＝[ e 2x ]1 = - ；（2）原式＝[ sin 2x ]4 = - ；2 0 2 22x 3 62 4 （3）原式＝[ ln 2]1 = ln 2.2、（1） sin mxdx = [- cos mx ]= - 1[cos m - cos(-m )] = 0 ； ⎰-m - msin mx 1（2） cos mxdx = | = [sin m - sin(-m )] = 0 ；⎰-m - m（3） sin 2 mxdx = 1- cos 2mx dx = [ x - sin 2mx ]= ；⎰- ⎰- 2 2 4m - （4） cos 2mxdx = 1+ cos 2mx dx = [ x + sin 2mx ] = .⎰- ⎰- 2 2 4m -3、 （ 1） s (t ) = t g (1- e -kt )dt = g+ g e - kt ]t = g t + g e - kt - g = 49t + 245e -0.2t - 245 . ⎰0 k [ k t k2 0 k k 2 k 2（2）由题意得 49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当t > 0 时， 0 < e -0.2t < 1 ，从而 5000 < 49t < 5245 ，因此， 5000 < t < 5245 .49 49因此245e-0.2⨯500049≈ 3.36 ⨯10-7 ， 245e-0.2⨯524549≈ 1.24 ⨯10-7 ，所以，1.24 ⨯10-7 < 245e -0.2t < 3.36 ⨯10-7 .从而，在解方程49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 时， 245e -0.2t 可以忽略不计.240 ⎰ ⎰= ⎰ 0a a 1]a 3因此，. 49t - 245 ≈ 5000 ，解之得 t ≈5245（s ）.49说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1.7 定积分的简单应用练习（P58）（1） 32； （2）1.3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）52 51、 s = (2t + 3)dt = [t + 3t ] = 22 （m ）.⎰3 2、W = ⎰0 (3x + 4)dx = [ 2 3x 2 + 4x ]4 = 40 （J ）. 习题 1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2） 9.2 2、W = ⎰b k q dr = [-q b = k q - k q.a r r a b3、令v (t ) = 0 ，即40 -10t = 0 . 解得t = 4 . 即第 4s 时物体达到最大高度.42 4最大高度为 h = (40 -10t )dt = [40t - 5t ] = 80 （m ）.⎰4、设t s 后两物体相遇，则 0t(3t 2+1)dt = t10tdt + 5 ， 0解之得t = 5 . 即 A , B 两物体 5s 后相遇.此时，物体 A 离出发地的距离为 5(3t 2 +1)dt = [t 3 + t ]5 = 130 （m ）.⎰5、由 F = kl ，得10 = 0.01k . 解之得k = 1000 .所做的功为 0.1W1000ldl = 500l 2 |0.1= 5 （J ）. 06、（1）令v (t ) = 5 - t + 551+ t= 0 ，解之得t = 10 . 因此，火车经过 10s 后完全停止.（2） s = (5 - t + 55 )dt = [5t - 1 t 2 + 55 ln(1+ t )]10 = 55 ln11（m ）. ⎰1+ t2习题 1.7 B 组（P60）1、（1） ⎰- aa 2 - x 2 dx 表示圆 x 2 + y 2 = a 2 与 x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎰- adx =a 22（2） ⎰[ - x ]dx 表示圆(x -1)2 + y 2 = 1与直线（ 第 1（ 2）2 a 2- x 21- (x -1)210k3 x 2 33x33x= 2bh . （第 2 题） 0⎩ ⎰ ⎰ y = x 所围成的图形（如图所示）的面积，1⨯12 1 1因此， ⎰0 [ - x ]dx =- ⨯1⨯1 = - . 4 2 4 22、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为 y = ax 2 ，则h = a ⨯ (b )2 ，所以a = 4h. 2 b 2从而抛物线的方程为y = 4h x 2. b 2b4h4h b 于是，抛物线拱的面积 S = 2 2(h - 0b 2 x 2 )dx = 2[hx - 3b 2 x 3 ]2 3⎧ y = x 2 + 23、如图所示.解方程组⎨ y = 3x得曲线 y = x 2 + 2 与曲线 y = 3x 交点的横坐标 x = 1 ， x = 2 .12于是，所求的面积为 1[(x 2 + 2) - 3x ]dx + 2[3x - (x 2 + 2)]dx = 1 .0 14、证明：W = R +h G Mm dr = [-G Mm ]R +h = GMmh .⎰Rr2rRR (R + h )第一章 复习参考题 A 组（P65）1、（1）3；（2） y = -4 .2、（1） y ' =2 s in x cos x + 2x； （2） y ' = 3(x - 2)2 (3x +1)(5x - 3) ；cos 2x（3） y ' =2x ln x ln 2 + 2x x；（4） y 2x - 2x 2(2x +1)4.3、 F ' = -2GMm .r34、（1） f '(t ) < 0 . 因为红茶的温度在下降.（2） f '(3) = -4 表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为 f (x ) = ，所以 f '(x ) =2 .当 f '(x ) =2> 0 ，即 x > 0 时， f (x ) 单调递增； 1- (x -1)2 ⎰ ' =33x=当 f '(x ) =2< 0 ，即 x < 0 时， f (x ) 单调递减.6、因为 f (x ) = x 2 + px + q ，所以 f '(x ) = 2x + p .当 f '(x ) = 2x + p = 0 ，即 x = - p= 1 时， f (x ) 有最小值.2由- p= 1，得 p = -2 . 又因为 f (1) = 1- 2 + q = 4 ，所以q = 5 .27、因为 f (x ) = x (x - c )2 = x 3 - 2cx 2 + c 2 x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 4cx + c 2 = (3x - c )(x - c ) .当 f '(x ) = 0 ，即 x = c，或 x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 可能有极值.3由题意当 x = 2 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值，所以c > 0 . 由于所以，当x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值. 此时， c = 2 ， c = 6 . 3 3 8、设当点 A 的坐标为(a , 0) 时， ∆AOB 的面积最小.因为直线 AB 过点 A (a , 0) ， P (1,1) ，所以直线 AB 的方程为 y - 0 = x - a，即 y =x - 0 1- a1 (x - a ) . 1- a 当 x = 0 时， y = a ，即点 B 的坐标是(0, a) .a -1因此， ∆AOB 的面积 S ∆AOB = S (a ) = a -11 aa 22 a a -1 2(a -1) .令 S '(a ) = ' = 1 ⋅a 2 - 2a =0 ，即 S (a ) 2 (a -1)2 0 .当a = 0 ，或a = 2 时， S '(a ) = 0 ， a = 0 不合题意舍去.x (-∞, c )3c 3( c , c ) 3c(c , +∞)f '(x ) ＋－＋f (x )单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由于所以，当a = 2 ，即直线 AB 的倾斜角为135︒ 时， ∆AOB 的面积最小，最小面积为 2. 9、 D .10、设底面一边的长为 x m ，另一边的长为(x + 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m. 所以，长方体容器的高为14.8 - 4x - 4(x + 0.5) = 12.8 - 8x = 3.2 - 2x .4 4设容器的容积为V ，则V = V (x ) = x (x + 0.5)(3.2 - 2x ) = -2x 3 + 2.2x 2 +1.6x ， 0 < x < 1.6 .令V '(x ) = 0 ，即-6x 2 + 4.4x +1.6 = 0 .所以， x = - 4 15（舍去），或 x = 1 .当 x ∈(0,1) 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈(1,1.6) 时，V '(x ) < 0 .因此， x = 1 是函数V (x ) 在(0,1.6) 的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100 + x 时，旅行社费用为 y = f (x ) = (100 + x )(1000 - 5x ) = -5x 2 + 500 +100000 (0 ≤ x ≤ 80) .令 f '(x ) = 0 ，即-10x + 500 = 0 ， x = 50 .又 f (0) = 100000 ， f (80) = 108000 ， f (50) = 112500 .所以， x = 50 是函数 f (x ) 的最大值点.所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为 x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为 623.7，长为 x ，所以宽为 623.7，x打印面积 S (x ) = (x - 2 ⨯ 2.54)( 623.7- 2 ⨯ 3.17)x= 655.9072 - 6.34x - 3168.396， 5.08 < x < 98.38 .x2 令 S '(x ) = 0 ，即6.34 - 3168.396 = 0 ， x ≈ 22.36 （负值舍去）， 623.7≈ 27.89 .x 2 22.365 2dx = 2 (cos x - sin x )dx = [sin x + cos x ]2 = 0 ； （5）原式＝ 2 dx = [ ]2 = x = 22.36 是函数 S (x ) 在(5.08, 98.38) 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为 27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为 y 元.则 y = R (q ) - 20000 -100q = - 1q 2 + 300q - 20000 (0 < q ≤ 400, q ∈ N ) .2令 y ' = 0 ，即-q + 300 = 0 ， q = 300 .当q = 300 时， y = 25000 ；当q = 400 时， y = 20000 .q = 300 是函数 y ( p ) 在(0, 400] 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为 25000 元. 14、（1） 2 - 2 ；（2） 2e - 2 ； （3）1；cos 2 x - sin 2 x⎰0cos x + sin x⎰01- cos x x - sin x - 2⎰0 2 2 0 4 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2 - 2 .17、由 F = kl ，得0.049 = 0.01k . 解之得k = 4.9 .0.3l 2 0.3所做的功为 W = ⎰0.1 4.9ldl = 4.9 ⨯ 2|0.1 = 0.196 （J ）第一章 复习参考题 B 组（P66）1、（1） b '(t ) = 104 - 2 ⨯103t . 所以，细菌在t = 5 与t = 10 时的瞬时速度分别为 0 和-104 .（2）当0 ≤ t < 5 时， b '(t ) > 0 ，所以细菌在增加；当5 < t < 5 + 5 时， b '(t ) < 0 ，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为弧度时，扇形的面积为 S .因为 S = 1r 2 ， l - 2r =r ，所以= l- 2 .2 rS = 1r 2 = 1 ( l - 2)r 2 = 1 (lr - 2r 2 ) ， 0 < r < l .2 2 r 2 23 2 （4）原式＝ .令 S ' = 0 ，即l - 4r = 0 ， r = l，此时为 2 弧度.4r = l 是函数 S (r ) 在 4 l(0, ) 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.2所以，扇形的半径为 l、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大.43、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么r 2 + h 2 = R 2 . 因此，V =1r 2h = 1(R 2 - h 2 )h = 1R 2h -1h 3 ， 0 < h < R .3 3 33令V ' = 1R 2 -h 2 = 0 ，解得h = 33 R .3容易知道， h =3 R 是函数V (h ) 的极大值点，也是最大值点.3所以，当h =3 R 时，容积最大.3把h =3 R 代入r 2 + h 2 = R 2 ，得r =36 R .3由 R = 2r ，得= 2 6 .3所以，圆心角为=2 6 时，容积最大.34、由于80 = k ⨯102 ，所以k = 4.5设船速为 x km ／h 时，总费用为 y ，则 y = 4 x 2 ⨯ 20 + 20⨯ 4805 x x令 y ' = 0 ，即16 - 9600= 0 ， x ≈ 24 .x2 = 16x + 9600， x > 0x容易知道， x = 24 是函数 y 的极小值点，也是最小值点.当 x = 24 时， (16 ⨯ 24 + 9600) ÷ ( 20) ≈ 941（元／时）24 24所以，船速约为 24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元.5、 设汽车以 x km ／ h 行驶时， 行车的总费用y = 390x(3 +x 2 360 ) + 130 ⨯14 ， x。