圆压轴八大模型题(3)-双切线组合说课讲解

专题40 圆的“双切线”问题【方法点拨】1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题. 【典型题示例】例1 （2020·新课标Ⅰ·理科·11）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2d ==，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +6上存在点P ，过点P 作圆O : x 2+ y 2=4的切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1 x 2+ y 1y 2=－2，则实数k 的取值范围为 . 【答案】(－∞，－52]∪[52，＋∞)12121212=cos =4cos 2x x y y OA OB OA OB AOB AOB +=⋅∠∠=-，则23AOB π∠=，在△PAC ，∠APC =300，PC =4，当直线l 上的点 P 满足PC =4即满足题意.又因为点C 与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C 到直线的距离不大于4.由点到直线的距离公式得：2641k ≤+，解之得5522k k ≤-≥或 所以k 的取值范围为(－∞，－52]∪[52，＋∞). 例 3 过点)1,1(-P 作圆C :)(1)2()(22R t t y t x ∈=+-+- 的切线,切点分别为B A ,,则PA PB ⋅ 的最小值为__________.【答案】214【分析】为了求出PA PB ⋅的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段PC 长为“元”. 设∠APC =θ，则1sin PC θ=，222cos 212sin 1PC θθ=-=-， 故222222cos 2(1)(1)3PA PB PA PB PC PC PC PCθ⋅==--=+- 又点(,2)C t t -在直线20x y --=，故22PC ≥即28PC ≥所以2218384PA PB ⋅≥+-= 故PA PB ⋅ 的最小值为214.点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；（2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.例4 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ． 【答案】[－65，0]【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q 固定不动，则点P 在圆O 运动时，当PQ 为圆O 的切线时，∠OQP 最大，故满足题意，需∠OQP ≥30︒，再将角的范围转化为O 、Q 间的距离问题，即需OQ ≤2.再固定P 不动，易得只需OM ≤3即可，利用两点间距离公式(a ＋3)2＋(2a )2≤9，解得－65 ≤a ≤ 0.点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.例5 平面直角坐标系xOy 中，点P 在x 轴上，从点P 向圆C 1：x 2＋(y －3)2＝5引切线，切线长为d 1，从点P 向圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝7引切线，切线长为d 2，则d 1＋d 2的最小值为_____． 【答案】52【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题. 【解析】设点P (x ，0)，则d 1＝ x 2＋(－3)2－5，d 2＝ (x －5)2＋42－7，d 1＋d 2＝ x 2＋4＋(x －5)2＋9，几何意义：点P (x ，0)到点M (0，2)，N (5，－3)的距离和． 当M ，P ，N 三点共线时，d 1＋d 2有最小值52，此时P (2，0).【巩固训练】1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．2.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．3.已知椭圆C 1：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与圆C 2：22234b x y +=，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是_______4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2+ y 2= r 2(r ＞0) 与圆C : (x －6)2+ (y －8)2=4，过圆O 上任意一点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，6PA PB +≥，则实数r 的取值范围为 .5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)(4)16x y +++=，若对于直线10x my ++= 上的任意一点P ，在圆C 上总存在Q 使∠PQC ＝2π，则实数m 的取值范围为 ． 6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)，过直线l 上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为M ，N .若PM →·PN →＝23，则正实数a 的取值范围是________．7. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最短时，△PAB 的面积为________．8. 已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点．且满足AP ⊥BP ，那么点P 的纵坐标的取值范围是________．【答案与提示】1.【答案】 [2314,22)【提示】直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化. 2．【答案】[1，5]【提示】∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题. 3.【答案】3(0,)3【分析】如图，设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点M N ，，由两条切线相互垂直，可知62OP b =，由题知OP a >，解得63b a >，又21b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可得出结果. 【解析】如图，设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点M N ，，由两条切线相互垂直， 可知36=222OP b b ⨯=， 又因为在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直， 所以OP a >，即得62b a >，所以63b a >， 所以椭圆C 1的离心率22222631133c a b b e a a a ⎛⎫-⎛⎫===-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又0e >，所以303e <<. 4.【答案】(][)+∞⋃,146,0 5.【答案】3(,)4+∞6.【答案】[2，+∞]【解析】如下图，设∠MPO ＝α，由切线的性质知∠NPO ＝α，PM ＝PN ，则PM →·PN →＝|PM →|·|PN →|·cos 2α＝|PN →|2(1－2sin 2α)＝23，即(PO 2－1)⎝⎛⎭⎪⎫1－2PO 2＝23，解得PO ＝3，故点P 的轨迹为x 2＋y 2＝3. 因为点P 在直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)上，所以直线l 与圆x 2＋y 2＝3有交点，即圆心到直线l 的距离为d ＝|－3|1＋a2≤3，解得a ≥ 2.7.【答案】12 8.【答案】[2,6]。

专题27切线模型【模型1】双切线模型已知如图27-1，点P 为⊙O 外一点，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，根据切线的性质，可证明PAO ∆≌PBO ∆,︒=∠+∠180AOB APB ，PO 垂直平分AB 。

【模型2】割线定理如图27-2，已知在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点P ，点P 在⊙O 外⇒PB PD PA PC ∙=∙。

【证明】如图27-5，连接AD 、BC ，P P ∠=∠，BA ∠=∠∴PDA ∆∽PCB∆∴PCPD PB PA =∴PBPD PA PC ∙=∙【模型3】切割线定理如图27-3，已知在⊙O 中，弦AC 的延长线交⊙O 的切线PB 于P ⇒PA PC PB ∙=2。

【证明】如图27-4，连接AB 、BC ，PBC ∠为⊙O 的弦切角，∴APBC ∠=∠又PP ∠=∠∴PCB ∆∽PBA ∆∴PA PB PB PC =∴PAPC PB ∙=2【例1】如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，记切点为A 、B ，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ．若∠ACB ＝62°，则∠APB 等于（）A ．68°B ．64°C ．58°D ．56°【答案】D 【分析】根据切线性质求出∠PAO ＝∠PBO ＝90°，圆周角定理求得∠AOB ，再根据四边形内角和定理即可求得．【解析】解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∴∠AOB +∠P ＝180°，∵∠ACB ＝62°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝2×62°＝124°，∴∠APB ＝180°﹣124°＝56°，故选：D ．【例2】已知：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，4PA cm =，6AB cm =，3CD cm =.则PD =______cm .【答案】8【分析】由于PAB 和PCD 是⊙O 的割线，可直接根据割线定理求出PD 的长．【解析】根据割线定理得：PA•PB=PC•PD ；∵4PA cm =，6AB cm =，3CD cm =；∴PD=•PA PB PC=8cm ．故答案为8.【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，射线BC 交⊙O 于点D ，E 是劣弧AD 上一点，且BE 平分FBA ∠，过点E 作EF BC ⊥于点F ，延长FE 和BA 的延长线交于点G ．(1)证明：GF 是⊙O 的切线；(2)若2AG =，6GE =，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析；(2)8【分析】（1）连接OE ，证明OE BF ，得到OE ⊥FG ，即可得证．（2）连接OE ，AE ，证明△GAE ∽GEB ，求得GB 、AB 的长，半径即可得解．【解析】（1）如图，连接OE ，因为BE 平分FBA ∠，所以∠OBE =∠FBE ；因为OE =OB ，所以∠OBE =∠OEB ；所以∠FBE =∠OEB ，所以OE BF ，因为EF BC ⊥，所以OE ⊥FG ，所以GF 是⊙O 的切线．（2）如图，连接OE ，AE ，因为AB 是直径，GF 是圆的切线，所以∠OEG =∠AEB =90°，所以∠GEA =∠OEB ；因为OE =OB ，所以∠OBE =∠OEB ；所以∠GEA =∠GBE ，因为∠G =∠G ，所以△GAE ∽GEB ，所以AG GE GE GB=，因为2AG =，6GE =，所以266GB =，解得GB =18，所以AB =GB -AG =18-2=16，所以圆的半径为8．一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MA ＝AO ，MD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交MD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为2，则BC 的长是（）A ．4B ．23C ．22D ．3【答案】B【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODM＝90°，根据勾股定理求出MD，再根据勾股定理求出BC即可．【解析】解：连接OD，∵MD切⊙O于D，∴∠ODM＝90°，∵⊙O的半径为2，MA＝AO，AB是⊙O的直径，∴MO＝2+2＝4，MB＝4+2＝6，OD＝2，由勾股定理得：MD∵BC⊥AB，∴BC切⊙O于B，∵DC切⊙O于D，∴CD＝BC，设CD＝CB＝x，在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2＝MB2+BC2，即（x）2＝62+x2，解得：x＝即BC＝故选：B．∠=∠，则2．如图，PA、PB分别切O于点A、B，点C为优弧AB上一点，若ACB APB∠的度数为（）ACBA．67.5︒B．62︒C．60︒D．58︒【答案】C【分析】要求∠ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解析】解：连接OA ，OB ，∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB+∠APB=180°，∵∠AOB=2∠ACB ，∠ACB=∠APB ，∴3∠ACB=180°，∴∠ACB=60°，故选：C ．3．如图，⊙O 的半径为72，BD 是⊙O 的切线，D 为切点，过圆上一点C 作BD 的垂线，垂足为B ，BC ＝3，点A 是优弧CD 的中点，则sin ∠A 的值是（）A ．37B ．7C ．7D ．21【答案】C【分析】根据题意构造△CDF ，由圆的性质可证△CDF ∽△CBD ，有相似的性质即可得CD 的值，从而求sin ∠A ；【解析】作直径CF ，连接CD 和DF ，则∠A ＝∠F ，∵BD 切⊙O 于D ，∴∠CDB＝∠F，∵CB⊥DB，CF为直径，∴∠CDF＝∠B＝90°，∴△CDF∽△CBD，∴CF CD CD BC=，∵722CF=⨯＝7，BC＝3，∴CD∴sin A＝sin F＝217 CDCF=，故选：C．二、填空题4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为____________【答案】65°或115°【分析】分当点C在优弧AB上时与当点C在劣弧AB上时两种情况进行讨论，根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【解析】解：当点C在优弧AB上时，如图1所示，连接OA、OB，图1∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB =180°-∠P =180°-50°=130°，∴∠ACB =12∠AOB =12×130°=65°．当点C 在劣弧AB 上时，如图2所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，图2∵AP 、BP 是切线，∴∠OAP =∠OBP =90°，∴∠AOB =360°-90°-90°-50°=130°，∴∠ADB =65°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB =180°-∠ADB =180°-65°=115°．故答案为：65°或115°．5．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ．若O 的半径为3，5BC =，则PA 的长为______．【答案】32【分析】直接利用切线的性质得出90PDO ∠=︒，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．【解析】解：连接DO ，PD 与O 相切于点D ，90PDO ∴∠=︒，90C ∠=︒，//DO BC ∴，PDO PCB ∴∆∆∽，∴35DO PO BC PB ==，设PA x =，则3536x x +=+，解得：32x =，故32PA =．故答案为：32．6．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点．若60APB ∠=︒，则AOP ∠的大小为______．【答案】60°【分析】先由切线的性质及切线长定理求出90,30PAO APO ∠=︒∠=︒，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【解析】PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点190,2PAO APO PAB ∴∠=︒∠=∠90APO AOP ∴∠+∠=︒60APB ∠=︒30APO ∴∠=︒60AOP ∴∠=︒故答案为：60°．7．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点．若∠P ＝45°，则∠AOB ＝_____°．【答案】135【分析】由切线的性质得∠PAO =∠PBO =90°，然后根据四边形内角和可求解．【解析】解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠PAO =∠PBO =90°，∴由四边形内角和可得：∠AOB +∠P =180°，∵∠P =45°，∴∠AOB =135°；故答案为：135．8．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且50E ∠=︒，则P ∠的度数为______．【答案】80°【分析】连接AO 、BO ，根据圆的切线的性质可得90∠=∠=︒PAO PBO ，再根据圆周角定理可得2100AOB E ∠=∠=︒，最后根据四边形内角和为360︒，即可求出P ∠的度数．【解析】解：连接AO 、BO ，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B ，90PAO PBO ∴∠=∠=︒50E ∠=︒2100AOB E ∴∠=∠=︒360360909010080P PAO PBO AOB ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒故答案为：80°．9．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，Q 是优弧AB 上一点，若∠P =40°，则∠Q 的度数是________．【答案】70°【分析】连接OA、OB，根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB，然后利用圆周角定理求解即可．【解析】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，∴∠Q=12∠AOB=70°，故答案为：70°．三、解答题10．如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】(1)60°(2)∠BOC=90°-12∠A，见解析【分析】（1）方法一：先根据平角的定义求出∠EBC 和∠DCF 的度数，再根据切线长定理得到∠EBO =∠DBO =12∠EBC =50°，∠DCO =∠FCO =12∠DCF =70°，据此理由三角形内角和定理求解即可；方法二：如图，连接OD ，OE ，OF ，则由切线的性质可知，证明Rt △ODB ≌Rt △OEB (HL)，Rt △ODC ≌Rt △OFC (HL)，得到∠EOB =∠DOB ，∠COD =∠COF ，先求出∠A 的度数，再利用四边形内角和定理求出∠EOF =120°，则∠BOC =∠BOD +∠COD =12∠EOF =60°．（2）同（1）方法二求解即可．【解析】（1）解：方法一：由题意得∠EBC =180°-∠ABC =180°-80°=100°，∠DCF =180°-∠ACB =180°-40°=140°，由切线长定理可知，∠EBO =∠DBO =12∠EBC =50°，∠DCO =∠FCO =12∠DCF =70°，∴在△OBC 中，∠BOC =180°-∠OBC -∠BCO =180°-70°-50°=60°；方法二：如图，连接OD ，OE ，OF ，则由切线的性质可知，∠BEO =∠BDO =∠CDO =∠CFO =90°，又∵OD =OE =OF ，OB =OB ，OC =OC ，∴Rt △ODB ≌Rt △OEB (HL)，Rt △ODC ≌Rt △OFC (HL)，∴∠EOB =∠DOB ，∠COD =∠COF ，在△ABC 中，∠A =180°-∠ABC -∠ACB =60°，在四边形AEOF 中，∠A +∠EOF =180°，∴∠EOF =120°，∴∠BOC =∠BOD +∠COD =12∠EOF =60°．（2）解：同（1）方法二可得180EOF A =︒-∠∠，∠EOB =∠DOB ，∠COD =∠COF ，∴∠BOC =∠BOD +∠COD =12∠EOF =1902A ︒-∠．11．如图，已知P ，PB 分别与⊙O 相切于点AB ，∠APB ＝60°，C 为⊙O 上一点．(1)如图②求∠ACB的度数；(2)如图②AE为⊙O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．【答案】(1)60°；(2)45°【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；（2）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，则∠BCE=90°-60°=30°，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BCE=30°，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可计算出∠EAC=15°，然后由∠BAC=∠BAE+∠EAC即可求解．【解析】（1）解：连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=60°；（2）解：连接CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，∴∠BCE=90°-60°=30°，∴∠BAE=∠BCE=30°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=15°．∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+15°=45°．12．如图，CD是⊙O的切线，切点为D，点C在直径AB的延长线上．(1)求证：∠CAD＝∠BDC；(2)若tan∠BDC＝23，AC＝3，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）根据切线的性质得到∠CDB+∠ODB=90°，由AB是⊙O的直径，推出∠ODB+∠ADO=90°，得到∠CDB=∠ADO，再利用OA=OD，推出∠ADO∠DAO，即可证得；（2）证明△CBD∽△CDA，推出BD CDAD AC=，根据tan∠BDC＝23，得到tan∠CAD＝2 3=BD CDAD AC=，代入AC=3，即可求出CD．【解析】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，即∠ODC=90°，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠CDB=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠CAD＝∠BDC；（2）∵∠CAD ＝∠BDC ，∠C =∠C ，∴△CBD ∽△CDA ，∴BD CD AD AC=，∵tan ∠BDC ＝23，∴tan ∠CAD ＝23=BD CD AD AC =，∴233CD =，解得：CD =2．13．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ．BD PD ⊥，垂足为D ，连接BC ．(1)求证：BC 平分∠PBD ；(2)若4cm PA =，42cm PC =，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析；(2)2cm【分析】（1）连接OC ，由切线的性质易得到OC BD ∥，进而推出OCB CBD ∠=∠，结合OB OC =易得CBD OBC ∠=∠，即可求解；（2）设半径为r ，进而求出4OP r =+，然后根据勾股定理求解．【解析】（1）证明：连接OC ，∵PD 是⊙O 的切线，∴OC PD ⊥．∵BD PD ⊥，∴OC BD ∥，∴OCB CBD ∠=∠．∵OB OC =，∴OCB OBC ∠=∠，∴CBD OBC ∠=∠，∴BC 平分∠PBD ；（2）解：设半径为r ，则OA OC r ==，则4OP r =+，在Rt △POC 中，由勾股定理得：222OC PC OP +=，∴(()222424r r +=+，∴2r =，即⊙O 的半径是2cm ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 是⊙O 的切线，AC 、CD 是⊙O 的弦，且CD AB ⊥，垂足为E ，连接BD 并延长，交AM 于点P ．(1)求证：CAB APB ∠=∠；(2)若⊙O 的半径5,8r AC ==，求线段PD 的长．【答案】(1)见解析；(2)323【分析】（1）根据AM 是O 的切线，得出90BAM ∠=︒．根据CD AB ⊥，可证AM CD ．得出CDB APB ∠=∠．根据同弧所对圆周角性质得出CAB CDB ∠=∠即可；（2）连接AD ．根据直径所对圆周角性质得出，90CDB ADC ∠+∠=︒．可证ADC C ∠=∠．得出8AD AC ==．根据勾股定理6BD ==．再证ADB PAB △∽△．求出21005063AB PB BD ===即可．【解析】(1)证明：∵AM 是O 的切线，∴90BAM ∠=︒．∵CD AB⊥∴90CEA ∠=︒，∴AM CD ．∴CDB APB ∠=∠．∵CAB CDB ∠=∠，∴CAB APB ∠=∠．(2)解：如图，连接AD ．∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，∴90CDB ADC ∠+∠=︒．∵90,CAB C CDB CAB ∠+∠=︒∠=∠，∴ADC C ∠=∠．∴8AD AC ==．∵210AB r ==，∴6BD ==．∵∠BAP =∠BDA =90°，∠ABD =∠PBA ，∴ADB PAB △∽△．∴AB BD PB AB=．∴21005063AB PB BD ===．∴5032633DP =-=．15．如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．(1)直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；(2)若2CA =，4CD =，求DE 的长．【答案】(1)相切，见解析；(2)6DE =【分析】（1）先证得：90ODC ODE ∠=∠=︒，再证ODE OBE ≌，得到90OBE ODE ∠=∠=︒，即可求出答案；（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，即可求得半径，再在直角三角形CBE 中，利用勾股定理222BC BE CE +=，求解即可．【解析】（1）证明：连接OD ．∵CD 为O 切线，∴90ODC ODE ∠=∠=︒，又∵OE AD ∥，∴DAO EOB ∠=∠，ADO EOD ∠=∠，且ADO DAO ∠=∠，∴EOD EOB ∠=∠，在ODE 与OBE △中；∵OD OB EOD EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ODE OBE ≌，∴90OBE ODE ∠=∠=︒，∴直线BE 与O 相切．（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，得3r =；在直角三角形CBE 中，222BC BE CE +=，222(233)(4)DE DE +++=+，解得6DE =16．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，直线PO 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于点C．(1)求证：∠ADE =∠PAE ．(2)若∠ADE =30°，求证：AE =PE ．(3)若PE =4，CD =6，求CE 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CE 的长为2．【分析】（1）连接OA ，根据切线的性质得到∠OAE +∠PAE =90°，根据圆周角定理得到∠OAE +∠DAO =90°，据此即可证明∠ADE =∠PAE ；（2）由（1）得∠ADE =∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE =∠AED -∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE =PE ；（3）证明Rt △EAC ∽Rt △ADC ，Rt △OAC ∽Rt △APC ，推出DC ×CE =OC ×PC ，设CE =x ，据此列方程求解即可．【解析】（1）证明：连接OA ，∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，即∠OAP =90°，∴∠OAE +∠PAE =90°，∵DE 为⊙O 的直径，∴∠DAE =90°，即∠OAE +∠DAO =90°，∴∠DAO =∠PAE ，∵OA =OD ，∴∠DAO =∠ADE ，∴∠ADE =∠PAE ；（2）证明：∵∠ADE =30°，由（1）得∠ADE =∠PAE =30°，∠AED =90°-∠ADE =60°，∴∠APE =∠AED -∠PAE =30°，∴∠APE =∠PAE =30°，∴AE =PE ；（3）解：∵PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，直线PO 交AB 于点C ．∴AB ⊥PD ，∵∠DAE =90°，∠OAP =90°，∴∠DAC +∠CAE =90°，∠OAC +∠PAC =90°，∵∠DAC +∠D =90°，∠OAC +∠AOC =90°，∴∠CAE =∠D ，∠PAC =∠AOC ，∴Rt △EAC ∽Rt △ADC ，Rt △OAC ∽Rt △APC ，∴,EC AC OC AC AC DC AC PC==∴AC 2=DC ×CE ，AC 2=OC ×PC ，即DC ×CE =OC ×PC ，设CE =x ，则DE =6+x ，OE =3+2x ，OC =3+2x -x =3-2x ，PC =4+x ，∴6x =(3-2x )(4+x )，整理得：x 2+10x -24=0，解得：x=2(负值已舍)．∴CE的长为2．。

2.圆的双切线模型及应用圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用.尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.如图1，从圆外任一点),(00y x P 向圆引两条切线，圆心C ，两切点B A ,，我们把线段PB P A ，的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则四边形P ABC 具有如下的性质：1.P AC PBC ；PB P A .2.切线长的计算：22r PC PB P A,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.3.C B A P AP CA BP BC ,,,, 四点共圆180 ACB APB ，C B A P ,,,的外接圆以PC 为直径 PC AB AP BC PB AC （托勒密定理）.4.PC 平分ACB APB ，.5.222r PC r PB BC S S PBC P ABC ，当半径给定，四边形P ABC 最小等价于PC 最小.6.假设 2 APC BPC 且PCrPC BCsin .由基本的三角恒等关系可知：22(21sin 212cos PCr ，故可得：2cos ||||P A PB PB P A 224222232](21[)(r PC r PC PC r r PC .对2PC 使用均值不等式可得 PB P A 最小值.图17.假设),(00y x P ，圆C 的方程为022 F Ey Dx y x （0422 F E D ）则切点弦AB 的方程为：0220000 F yy E x x Dy y x x .可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为PC 的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.例1.若P 是直线l ：3490x y 上一动点，过P 作圆C ：2240x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）B．D．解析：考察性质5.因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ，且PAC PBC ≌所以四边形PACB 面积12222PAC S S AC PA PA ，又PA，所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y 的距离，所以min 3PC，所以min PA 所以四边形PACB面积的最小值2S PA ，故选：B例2.（2020全国1卷）已知⊙M：222220x y x y ，直线l ：220x y ，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．210x y B．210x y C．210x y D．210x y 解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为 22114x y ，点M 到直线l的距离为2d，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ，所以14442PAM PM AB S PA AM PA，而PA，当直线MP l时，min MP ，min 1PA ，此时PM AB 最小．∴ 1:112MP y x 即1122y x ，由1122220y x x y解得，10x y．所以以MP 为直径的圆的方程为 1110x x y y ，即2210x y y ，两圆的方程相减可得：210x y ，即为直线AB 的方程．我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.练习题.1．已知圆C ： 22111x y ，P 是直线10x y 的一点，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，则PC AB 的最小值为（）B．C．2．设P 为圆224x y 外一点，过P 引圆的切线，两切点分别为A 和B ，若4PA PB，则cos APB （）A．21C．2D．23．过椭圆2213627x y 上一点P 分别向圆 221:34C x y 和圆 222:31C x y 作切线，切点分别为M 、N ，则222PM PN 的最小值为（）A．90B．102C．107D．1654．已知点P 是直线:260l x y 上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r (0)r 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN 的最大值为60 ，则r 的值为（）A．2B．1C．D5．已知圆C ：224210x y x y ，点P 是直线4y 上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（）6．已知圆22:(2)(6)4 C x y ，点M 为直线:80l x y 上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（）A．22(7)(1)4 x y B．22(1)(7)4 x y C．22(7)(1)2x y D．22(1)(7)2x y7．已知 3,4P ，过点P 作圆 22:11C x a y a （a 为参数，且a R ）的两条切线分别切圆C 于点A 、B ，则sin APB 的最大值为（）A．1B．128．已知圆22:20C x y x ，直线:10l x y ，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．0x y B．0x y C．2210x y D．2210x y5.解析：圆C ：224210x y x y 化为标准方程： 22214 x y ，其圆心 2,1C ,半径2r .过点P 引圆C 的两条切线,切点分别为点A、B ,如图：在△PAC 中,有11||||||||222PAC AB S CA AP CP，即||||||4AB AP CP ，变形可得：4||||||AP AB CP.设||CP x ，则44||AB x 所以当||CP 的值即x 最小时，24x 的值最大，此时||AB 最小.而||CP 的最小值为点C 到直线4y 的距离，即min ||3CP ，所以min ||AB .故选：B6.解析：圆22:(2)(6)4 C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r ，点C 到直线l 的距离dCA AM ，四边形CAMB 周长2||2||44CA AM 48 ，当且仅当CM l 时取“=”，此时直线:80CM x y ，由8080x y x y得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)22(1)(7)2 x y .故选：D7.解析：圆心 ,1C a a ，半径为1，圆心C 在直线1y x 上运动，设APC ，则2APB ，由圆的几何性质可知1tan AC PA PA，所以，2222sin cos 2tan 22sin sin 211sin cos tan 1tan tan APB PA PA，当直线PC 与直线1y x 垂直时，PC取最小值，则PA 且min2PC，则min PAPA ，由双勾函数的单调性可知，函数1yx x在上为增函数，且10y x x，故函数21f xx x在上为减函数，故当PAsin APB取得最大值42.故选：C.8.解析：圆C 的标准方程为 2211x y ，圆心为 1,0，半径为1r .依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA△，而PA当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB 最小.结合图象可知，此时切点为 0,0,1,1 ，所以直线AB 的方程为y x ，即0x y .故选：A。

两圆的公切线－教学教案第一课时两圆的公切线〔一〕教学目标：〔1〕理解两圆相切长等有关概念，把握两圆外公切线长的求法；〔2〕培育同学的归纳、总结力量；〔3〕通过两圆外公切线长的求法向同学渗透“转化〞思想．教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长同学理解的不透，简洁混淆．教学活动设计〔一〕实际问题〔引入〕很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．〔这里是一种简洁的数学建模，了解数学产生与实践〕〔二〕两圆的公切线概念1、概念：老师引导同学自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区分与联系(2)公切线的长与公切线又有何区分与联系(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．〔三〕两圆的位置与公切线条数的关系组织同学观看、概念、概括，培育同学的学习力量．添写教材P143练习第2题表．〔四〕应用、反思、总结例1、：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．〔组织同学分析，老师点拨，标准步骤〕解：连结O1A、O2B，作O1A⊙AB，O2B⊙AB．过O1作O1C⊙O2B，垂足为C，那么四边形O1ABC为矩形，于是有O1C⊙C O2，O1C= AB，O1A=CB．在Rt⊙O2CO1和．O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5AB= O1C= (cm)．反思：〔1〕“转化〞思想，构造三角形；〔2〕初步把握添加帮助线的方法．例2*、如图，⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，假设PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．分析：由于线段AB是⊙APB的一条边，在⊙APB中，PA和PB 的长，只需先证明⊙PAB是直角三角形，然后再依据勾股定理，使问题得解．证⊙PAB是直角三角形，只需证⊙APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，由于AB是两圆的公切线，所以⊙CPB=⊙ABP，⊙CPA=⊙BAP．由于⊙BAP+⊙CPA+⊙CPB+⊙ABP=180°，所以2⊙CPA+2⊙CPB=180°，所以⊙CPA+⊙CPB=90°，即⊙APB=90°，故⊙APB是直角三角形，此题得解．解：过点P作两圆的公切线CD⊙ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点⊙⊙CPA=⊙BAP⊙CPB=⊙ABP又⊙⊙BAP+⊙CPA+⊙CPB+⊙ABP=180°⊙ 2⊙CPA+2⊙CPB=180°⊙⊙CPA+⊙CPB=90°即⊙APB=90°在Rt⊙APB中，AB2=AP2+BP2说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．〔五〕稳固练习1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差肯定组成()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对．此题考察外公切线与外公切线长之间的差异，答案(D)2、外公切线是指(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义推断．答案：(D)3、教材P141练习〔略〕〔六〕小结〔组织同学进行〕学问：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；力量：归纳、概括力量和求外公切线长的力量；思想：“转化〞思想．〔七〕作业：P151习题10，11．其次课时两圆的公切线〔二〕教学目标：〔1〕把握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；〔2〕培育的迁移力量，进一步培育同学的归纳、总结力量；〔3〕通过两圆内公切线长的求法进一步向同学渗透“转化〞思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长同学理解的不透，简洁混淆．教学活动设计〔一〕复习根底学问〔1〕两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．〔2〕两圆的位置与公切线条数的关系．〔构成数形对应，且一一对应〕〔二〕应用、反思例1、〔教材例2〕：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B．求：公切线的长AB。

圆压轴题八大模型题（三）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型3双切线组合径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的⊙O与斜边相切于点D.【分析】(1)由PC=226810+=,△POD∽△PCB得DO POBC PC=，∴8610r r-=，∴r=3.(2)设BC=CD=x，在Rt△PBC中，82+x2=(4+x)2,得BC=x=6.(3)在Rt△PDO中，42+r2=(2+r)2,解得r=3.(4)由△PDA∽△PBD得：PD2=PA⋅PB.(5)由△PDA∽△PBD得1tan2PD PA ADPB PD DBα====，PB=8,∴PD=4,PA=2,AB=6.设AD=x,DB=2x,在Rt△ADB中，x2+(2x)2=62,∴AD=x=65 5.(6)由∠DEC=∠ADB=90°得OC∥AD.(7)由AB=2,则OB=1,又BC=2OC=21(2)3+=,在Rt△OBC中，BE⊥OC，得OE=33,由中位线定理得：AD=2OE=233.DB=263,由△PDA∽△PBD得：12PA ADPD DB==,设PA=x,则PD=2x,在Rt△PDO中，(2x)2+1=(x+1)2得x=2,∴PA=2,PD=22.(8)由AD∥OC得21PA PDAO DC==,设AO=DO=BO=m，OPDCBA(4)PD2＝P A⋅PB;(5)PB＝8，tanα＝12，求P A和A D.ABCDPOα(6)求证:OC∥AD（变式）.(7)若AB＝2,BC＝,求AD、PD、PA的长.图(1) 图(2) 图(3)(1)PB＝8,BC＝6,求⊙O的半径r.(2)PD＝4,PB＝8,求BC的长.(3)PD＝4,P A＝2,求⊙O的半径r.DOECBAPDOECBAP则PA=2m ，P0=3m ，PD=22m ，由△PDA ∽△PBD 得12PA AD PD DB ==,且AD+BD=2+22， ∴AD=2,BD=22,则AB=23=2m,∴m=3,PB=33,PD=26,PC=36,BC=33, S △PBC=12BC ⋅PB=13.5.【典例】（2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，PO 交AB 于点F ，延长BO 交⊙O 于点C ，交PA 的延长交于点Q ，连结A C ． （1）求证：AC ∥PO ；（2）设D 为PB 的中点，QD 交AB 于点E ，若⊙O 的半径为3，CQ ＝2，求的值．【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等。

圆压轴⼋⼤模型题-圆内接等边三⾓形泸州市七中佳德学校易建洪引⾔：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第⼆题的位置上，是试卷中综合性与难度都⽐较⼤的习题。

⼀般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本⽂结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常⽤技巧。

把握了这些⽅法与技巧，就能台阶性帮助考⽣解决问题。

类型4 圆内接等边三⾓形如图，点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上⼀点.(1) 求证：PA ＝PB ＋PC ；(2) 设PA 、BC 交于点M ，①若BP ＝4，PC ＝2，求CM 的长度.②若AB ＝4，PC ＝2，求CM 的长度.【分析】(1) 证明：连结CD ．在PA 上截取PD=PC ，证得△ACD ≌△BCP ，∴AD=PB ，⼜DP=PC ，因此PA=PB+PC. (2)①⊙O 中△ABM ∽△CPM,12PC MC AB MA == ∴12PC MC AB MA == 设MC=x ，则AM=2x,MN=2-x ，⼜在Rt △AMN 中，由勾股定理得.(2)②过点C 作CE ⊥AP 于E ，过点A 作AN ⊥BC 于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,Rt △PCE 中，则因此由（2）②可得.【典例】（2018·湖南常德）如图，已知⊙O 是等边三⾓形ABC 的外接圆，点D 在圆上，在CD 的延长线上有⼀点F ，使DF ＝DA ，AE ∥BC 交CF 于E ．（1）求证：EA 是⊙O 的切线；图1图（1）图（2）图（3）（2）求证：BD ＝CF ．【分析】（1）连结OA 后，由∠OAC ＝30°，BC ∥AE 得∠CAE ＝∠BCA ＝60°，因此∠OAE ＝90°证得AE 是⊙O的切线.（2）∠ADF ＝∠ABC ＝60°，且DF ＝DA 得等边△ADF ，且△ABC 也是等边三⾓形，可得△ADB ≌△AFC ，因此BD ＝CF .【解答】证明：（1）连接OD ，∵⊙O 是等边三⾓形ABC 的外接圆，∴∠OAC ＝30°，∠BCA ＝60°，∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠BCA ＝60°，∴∠OAE ＝∠OAC ＋∠EAC ＝30°＋60°＝90°，∴AE 是⊙O 的切线；（2）∵△ABC 是等边三⾓形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠ADF ＝∠ABC ＝60°，∵AD ＝DF ，∴△ADF 是等边三⾓形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝60°，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠BAF ＝∠CAF ，在△BAD 和△CAF 中，∵，∴△BAD ≌△CAF ，∴BD ＝CF ．【点拨】等边三⾓形的边等⾓等易构造三⾓形全等和相似，圆上⼀点与圆内接等边三⾓形三顶点的连线之间的关系探究，可以运⽤延长法与截短法；含60°⾓三⾓形，知两边求第三边；借相交弦或平⾏线得三⾓形相似，作等边三⾓形的⾼，借⽐例线段和勾股定理建⽅程求线段是关键。