非线性时程分析重点61页PPT

1 A
2 A
1 ( 2 )2 1 AA
1
(
1 A
)
2
第15页/共24页
7.3 非线性系统的描述函数法
通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率 法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为 描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。
可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即
y(t) A1 cos nt B1 sinnt Y1 sin(t 1)
式中：A1
Y1
1 2
0
A12
y (t ) B12 ,
costd (t),
1
arctg
A1 B1
1
B1
2
y(t ) sintd (t )
0
（2）描述函数的定义
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具 体的计算方法是：振幅可由 1 N(A) 曲线的自变量A来确定，振荡频率
y
2 1 k2
x 12
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见，k 2,a 2, 1
第14页/共24页
于是，等效非线性特性的描述函数为
N ( A)
2k
arcsin
a A
arcsin
A
a A
1 ( a )2 AA
1
(
A
)
2
4
arcsin
2 A
arcsin第3页ຫໍສະໝຸດ 共24页三、典型非线性特性
（1）饱和特性

一、幅值的调整
本例选择程序自带实录地震波： 1940, El Centro Site, 270 Deg进行调整
24
设计加速度时程的确定（选用实录波）
一、幅值的调整
打开工具－地震波数据生成器－Generate－ Earthquake Response Spectra 选择程序自带实录地震波： 1940, El Centro Site, 270 Deg
美国采用有效加速度峰值EPA，而我国
实际采用的是加速度峰值PGA
21
设计加速度时程的确定（选用实录）
一、幅值的调整
设计加速度峰值PGA的求法 以设计加速度反应谱最大值Smax除以放大系数 （约2.25）得到。
PGA S max 2.25Ci Cs Cd A Ci Cs Cd A 2.25 2.25
本例中主要讲解如何选择实录地震波。
17
设计加速度时程的确定
地震波的三要素
地震动三要素：频谱特性、有效峰值 和持续时间。
18
实录地震波
否 否
先计算EPA、EPV， 据此计算比较
是
否
T1 , T 双指 g 标控制
是
按反应谱面积 控制
是
持时
否
是
峰值
与设计反应谱结果 比较
是
选用
19
设计加速度时程的确定（选用实录波）
PGA 1.911 0.5464 0.3569 g 0.3569 g
加速度峰值PGA调整系数
25
PSA w PSV
设计加速度时程的确定（选用实录波）
二、确定实录波的特征周期 Tg
因为拟相对速度反应谱PSV和拟绝对加速度的 反应谱PSA之间有近似关系：PSA w PSV 则可得到特征周期 ：

法求解有困难时，可用图解法绘制。
▪ 对于式（9.2-1）xf(x,x)，令 x1x、 x2x ，
▪
有 x 2f(x1、 x2)，所以 可得 dx2 f (x1、x2)
d d x t2d dx x1 2d d x t1x2d dx x1 2f(x1、 x2)
（9.2-5）
▪
dx1
x2
式（9.2-5）是关于
y
-b 0
k
x
b
a.
b.
图9.1-4 齿轮传动及其间隙特性
y(x)k[xs g x)n b](|y/kx|b y (x)0、 y(x)C |y/kx|b
▪ 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致 系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区 会降低定位精度、增大非系线统性控静制差系统。的分析课件
▪ 由于相平面只能表示 x(t ) 和 x(t ) 两个独立变量，所以相 平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。
▪ 2）相轨迹的绘制方法
▪ （1）二阶线性系统的相轨迹 ▪ （2）相轨迹的绘制
非线性控制系统的分析课件
j
[s]
2 1
0
a.
j 1 [s]
0
2
d.
x2
j
x2
1
[s]
x1
0
0
0
稳定 节点
x
(
t
)
和 x (t ) 的一阶微分方程，即二阶非线性
系统的相轨迹方程。
▪
由式（9.2-5），令
dx2 f (x1,x2)
dx1
x2
，即有
▪
f (x1, x2 )
（9.2-6）

相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
第30页/共52页
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
第24页/共52页
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
第49页/共52页
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x

2
在tk, tk＋1内设定某种变化规律（Wilson-θ法、线性加 速度法） ，从而可根据tk时刻值，求得tk＋1时刻的值。 2. 线性加速度法，假定[tk-1 tk] 内的加速度满足下式：
t tk 1 x x( tk 1) [ x( tk ) x( t k 1 )] tk tk 1
t xk Ak 1 xk 6
Ak-1
2
t xk Bk 1 xk 2
将上两项代入运动方程
2 t t xk 2 Bk 1 2 xk 2 Ak 1 2 xk x gk 2 6
x(t ) 2 x(t ) x(t ) xg (t )
(ti 1 ) y(ti 1 )、y y(0.1) 0.05 弹性阶段 k (0.1) 60 求ti时刻的状态向量及增量 f s (0.1) k (0.1) y(0.1) 0.1488 （1）求ti时刻的状态向量 (0.1) 0.0744 P(0.1) 2.5 f D (0.1) c y y (ti ) y (ti 1 ) y (ti 1 ) (0.1) 1.4891 f I (0.1) P(0.1) f D (0.1) f s (0.1) 2.2768 ; y
(ti ) [ P(ti ) f D (ti ) f s (ti )] (0) 0.0744 y y 2. t=0.1s m ~ ~ (0.1) y (0) y (0) 0.0744 y(0.1) y(0) y(0) 0.00248 y P ( t ) 、 k （ti ) （2）求 i ~ 6 3 y(0.1) 0.05 弹性阶段 k (0.1) 60 k (t ) k (t ) m c(t )

奇点称为不稳定的节点。
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性

在 整 堂 课 的 教学中 ，刘教 师总是 让学生 带着问 题来学 习，而 问题的 设置具 有一定 的梯度 ，由浅 入深， 所提出 的问题 也很明 确
结构时程分析的计算模型
结构分析时均要根据结构形式、构造、 受力特点、计算机容量、要求的精度等各 种因素，选择既能较真实地描述结构中力 －变形性质，又能使用简便的力学计算模 型。
输入地震动的选择
地震动输入对结构的地震反应影响非常大。目前的现状是，
输入地震动的选择大多选择为数不多的几条典型记录（如： 1940年的El Centro（NS）记录或1952年的Taft记录），国内外 进行结构时程分析时所经常采用的几条实际强震记录主要有适 用于 I类 场 地的滦河 波 、适用 于 II、III 类 场 地 的 El-Centrol波 (1940，N-S)和Taft波（1952，E-w）、适用于IV类场地的宁河波 等。
在 整 堂 课 的 教学中 ，刘教 师总是 让学生 带着问 题来学 习，而 问题的 设置具 有一定 的梯度 ，由浅 入深， 所提出 的问题 也很明 确
输入地震动选择
• 《2008桥梁抗震规范》：时程分析的最 终结果，当采用3组时程波计算时，应取 3组计算结果的最大值;当采用7组时程波 计算时，可取7组 计算结果的平均值。在 E1地震作用下，线性时程的计算结果不 应小于反应谱计算结果的80%。
在 整 堂 课 的 教学中 ，刘教 师总是 让学生 带着问 题来学 习，而 问题的 设置具 有一定 的梯度 ，由浅 入深， 所提出 的问题 也很明 确
杆系模型
视结构为杆件体系。取梁、柱等杆件为基本计 算单元。将结构质量集中于各结点．即构成杆系模 型，如下图所示。
在 整 堂 课 的 教学中 ，刘教 师总是 让学生 带着问 题来学 习，而 问题的 设置具 有一定 的梯度 ，由浅 入深， 所提出 的问题 也很明 确

0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图（b）所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线，表征了系统的
运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统：
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到：
.
dx dx

10
②线性系统自由运动的形式与系统的初
始偏移无关。
非线性系统则不一样，自由运动的时
间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。
图7-4 非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在
临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有
图7-13 图7-12系统的响应
21
根轨迹分析：
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
22
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发
散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的
曲线2。
图7-16系统的时间响应
16
图7-8 斜坡输入时 的系统输出量
图7-7 包含死区的非线性系统
17
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种
非线性特性。
图7-9 部件的饱和现象
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a
• 式中：
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
图7-21 摩擦力矩示意图
23
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
图7—17 齿轮传动中的间隙
24
间隙特性的典型形 式如图7-18所示
•数学表达式为
图7—18 间隙非线性特性
x2
Kx1 bsi

2
一、桥梁构造、材料概况
3
一、桥梁构造、材料概况
材料
➢ 混凝土
主梁采用JTG04（RC）规范的C50混凝土 桥墩采用JTG04（RC）规范的C40混凝土
➢ 钢材
采用JTG04（S）规范，在数据库中选Strand1860
荷载
➢ 恒荷载
自重，在程序中按自重输入，由程序自动计算
4
一、桥梁构造、材料概况
二、人工地震波； a、相关部门提供的人工地震波； b、clan和Sacks在1974年提出的用三角级数 叠加来模拟地震动加速度；
本例中主要讲解如何选择实录地震波。
17
设计加速度时程的确定
地震波的三要素
地震动三要素：频谱特性、有效峰值 和持续时间。
18
实录地震波
否
否
否
先计算EPA、EPV，
据此计算比较
➢ 六、与设计反应谱基底剪力比较
时程基底正向剪力最大值：
38
设计加速度时程的确定（选用实录波）
➢ 六、与设计反应谱基底剪力比较
时程基底负向剪力最大值：
39
设计加速度时程的确定（选用实录波）
➢ 六、与设计反应谱基底剪力比较
某墩柱时程基底剪力：
40
设计加速度时程的确定（选用实录波）
➢ 七、最终确定所选波是否符合条件
静力法
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时程分析中恒载效应的考虑
➢二、Civil时程分析中考虑恒载效应
非线性振型叠加法：
（1）定义一个斜坡类型的无量纲加速度时程函数如 图，在相对结构第一周期较长（如10倍）的时间段 上，从0到1线性增加，且在相等的时间段上保持恒 定。（2）定义一个非线性振型叠加法分析工况如图， 分析时间为“RAMP”函数持续时间，振型阻尼输 入高阻尼比：0.999，其它默认。（3）接续动力非 线性振型叠加法分析工况。