阶跃信号傅里叶变换

2 T21 4 an T1 f (t ) cos(n1t )dt f (t ) cos(n1t )dt T1 0 T1 2
T1 2
2 T21 bn T1 f (t )sin(n1t )dt 0 T1 2
三角级数只含有直流和余弦项，不含有正弦项。
an jbn an Fn 2 2
n1 E Fn Sa( ) T1 2

E n1 E Sa Fn Sa T1 T1 2 n1 2
0 n 或 n , Sa 1 2 n , Sa 1 2 0 0
1 Fn F n cn 2 cn Fn F n
3. 指数形式的信号频谱
Fn Fn e
Fn ~ n1
幅度频谱
jn

Fn 是 n 的偶函数
n
是 n 的奇函数
n ~ n1 相位频谱
E 例：周期矩形脉冲 f (t ) T1
实数

双边频谱
n1 jn1t Sa( 2 )e n
c0 a0 ,
cn a b ,
2 n 2 n
n tan1 (
bn ) an
an , bn , cn ,n 都是 n1 的函数。
cn ～ n1 关系曲线，称为信号的 幅度频谱。
n
～
n1 关系曲线，称为信号的 相位频谱。
周期矩形脉冲 f (t ) E 2 E T1 T1
1 t0 T1 {a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]}2 dt T1 t0 n1
1 2 2 a0 (an bn2 ) 2 n1

பைடு நூலகம்
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法何勇福 皮小林 潘芳芳 南昌大学共青学院[摘 要]因为阶跃信号不满足傅里叶变换所需的条件---信号绝对可积， 故不 能直接利用傅里叶变换的定义式来求阶跃信号的频谱密度函数， 本文从多个方面 给出求解其傅氏变换的方法。

[关键词]阶跃信号；频谱函数；傅里叶变换；拉普拉斯变换 我们在用傅里叶变换公式计算一个信号的频谱密度函数时， 要求该信号的积 分必须存在，这就意味着信号要满足绝对可积这个条件。

对于单位阶跃信号来 说很显然不满足绝对可积，所以我们只能采用别的方法求其频谱函数，通常，用 取极限的方法是比较多的， 下面就结合信号与系统相关知识进一步研究其频谱函 数的多种求解。

一、按定义求解F [e (t )] = ò e - jwt dt = ò cos( wt )dt - j ò sin( wt )dt0 0 0¥¥¥= =1 1 sin( wt ) ¥ cos( wt ) ¥ 0 0 w jwlim ê ët ®¥é cos( wt ) ù 1 é sin( wt ) ù é sin( wt ) ù - sin ê - lim ê ú+ ú w ú w û t ®0 ë û t ®¥ ë jw û jw上式中第一项即 pd ( w) ，中间两项都等于零，最后一项是1 jw1 ，所以可 jw得阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) + 二、利用求极限的方法这是一种在很多教材上都采用了的一种方法。

将 e (t ) 看作单边指数信号衰减 信号 e - at e (t ) 当 a ® 0 时的极限，对于单边指数衰减信号的傅里叶变换容易求出：F [e -at e (t )] = 1 a w = 2 -j 2 2 a + jw a + w a + w2 1 ，但实部满足以下关系： jw当我们取 a ® 0 时容易求出虚部的极限为由此可以看出，这正是冲激信号 d（t） ，然后求得定积分的值 p 即为此冲激 信号的强度，所以可以得到阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) +1 jw三、利用符号函数求解ì+ 1, f (t ) = sgn( t) = í î- 1,t > 0 t < 0处理方法如下，作一个双边函数f1 ( t ) = sgn ( t ) e-a t，求 F1 (w )，求极限得到 F (w ) .(a ® 0)F1 (w ) = ò - ea t e- jw t dt + ò e -a t e- jw t dt =0 -¥ 0¥-1 1 - j 2w + = 2 a - jw a + jw a + w 2F (w ) = lim F1 (w ) = lima ®0 a ®0- j 2w 2 = 2 2 jw a +w又e (t ) =1 1 + sgn (t ) 2 21 jw故 e (t ) « pd (w ) +四、由冲激信号与阶跃信号的关系及傅里叶变换积分定理也可求得e (t ) = ò d (t )dt-¥tF ( w) = F [d (t )] = 1F [e (t )] =F ( w) 1 + pF (0)d ( w) = + pd ( w) jw jw这一方法结合傅里叶变换的性质，计算出了阶跃信号的频谱函数，而且 也很简便。

阶跃信号的傅里叶变换
阶跃信号是一种在某一时刻突然发生变化的信号，它的数学表达式为：
u(t) = {0, t < 0; 1, t >= 0}
其中，t表示时间，u(t)表示阶跃信号的值。

在t=0时，阶跃信号从0突然跳变到1，表示一个突然的事件发生了。

阶跃信号的傅里叶变换是指将阶跃信号在频域中的表达式，它可以用来分析阶跃信号的频谱特性。

傅里叶变换的公式为：
F(w) = ∫u(t)e^(-jwt)dt
其中，F(w)表示阶跃信号在频域中的表达式，w表示频率，j表示虚数单位，u(t)表示阶跃信号的值。

根据傅里叶变换的定义，我们可以得到阶跃信号的傅里叶变换表达式为：
F(w) = ∫u(t)e^(-jwt)dt = ∫0^∞e^(-jwt)dt = 1/jw
这个公式告诉我们，阶跃信号在频域中的表达式是一个复数，它的实部为0，虚部为1/w。

这意味着阶跃信号在频域中的幅度是与频率成反比的，频率越高，幅度越小。

阶跃信号的傅里叶变换还可以用来分析阶跃信号的相位特性。

根据傅里叶变换的定义，我们可以得到阶跃信号的相位为：
φ(w) = arg(F(w)) = -π/2
这个公式告诉我们，阶跃信号在频域中的相位是一个常数，它的值为-π/2。

这意味着阶跃信号在频域中的相位与频率无关，始终保持不变。

阶跃信号的傅里叶变换是一个重要的数学工具，它可以用来分析阶跃信号的频谱特性和相位特性。

在实际应用中，我们可以利用阶跃信号的傅里叶变换来设计滤波器、调制器等电路，以满足不同的信号处理需求。

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法何勇福 皮小林 潘芳芳 南昌大学共青学院[摘 要]因为阶跃信号不满足傅里叶变换所需的条件---信号绝对可积， 故不 能直接利用傅里叶变换的定义式来求阶跃信号的频谱密度函数， 本文从多个方面 给出求解其傅氏变换的方法。

[关键词]阶跃信号；频谱函数；傅里叶变换；拉普拉斯变换 我们在用傅里叶变换公式计算一个信号的频谱密度函数时， 要求该信号的积 分必须存在，这就意味着信号要满足绝对可积这个条件。

对于单位阶跃信号来 说很显然不满足绝对可积，所以我们只能采用别的方法求其频谱函数，通常，用 取极限的方法是比较多的， 下面就结合信号与系统相关知识进一步研究其频谱函 数的多种求解。

一、按定义求解F [e (t )] = ò e - jwt dt = ò cos( wt )dt - j ò sin( wt )dt0 0 0¥¥¥= =1 1 sin( wt ) ¥ cos( wt ) ¥ 0 0 w jwlim ê ët ®¥é cos( wt ) ù 1 é sin( wt ) ù é sin( wt ) ù - sin ê - lim ê ú+ ú w ú w û t ®0 ë û t ®¥ ë jw û jw上式中第一项即 pd ( w) ，中间两项都等于零，最后一项是1 jw1 ，所以可 jw得阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) + 二、利用求极限的方法这是一种在很多教材上都采用了的一种方法。

将 e (t ) 看作单边指数信号衰减 信号 e - at e (t ) 当 a ® 0 时的极限，对于单边指数衰减信号的傅里叶变换容易求出：F [e -at e (t )] = 1 a w = 2 -j 2 2 a + jw a + w a + w2 1 ，但实部满足以下关系： jw当我们取 a ® 0 时容易求出虚部的极限为由此可以看出，这正是冲激信号 d（t） ，然后求得定积分的值 p 即为此冲激 信号的强度，所以可以得到阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) +1 jw三、利用符号函数求解ì+ 1, f (t ) = sgn( t) = í î- 1,t > 0 t < 0处理方法如下，作一个双边函数f1 ( t ) = sgn ( t ) e-a t，求 F1 (w )，求极限得到 F (w ) .(a ® 0)F1 (w ) = ò - ea t e- jw t dt + ò e -a t e- jw t dt =0 -¥ 0¥-1 1 - j 2w + = 2 a - jw a + jw a + w 2F (w ) = lim F1 (w ) = lima ®0 a ®0- j 2w 2 = 2 2 jw a +w又e (t ) =1 1 + sgn (t ) 2 21 jw故 e (t ) « pd (w ) +四、由冲激信号与阶跃信号的关系及傅里叶变换积分定理也可求得e (t ) = ò d (t )dt-¥tF ( w) = F [d (t )] = 1F [e (t )] =F ( w) 1 + pF (0)d ( w) = + pd ( w) jw jw这一方法结合傅里叶变换的性质，计算出了阶跃信号的频谱函数，而且 也很简便。

第三章傅里叶变换3-1 概述对于一件复杂的事情，人们总是从简单的一步开始做起，富丽堂皇的高楼大厦，是人们一块砖一块砖垒起来的。

为了简化问题的求解，人们往往也使用“变换分析”这种技巧，所起“变换”大家可能会感到陌生，其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧，大家一定还记得对数运算，它实际上也是一种数学变换，我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和，两个数的商的对数等于这两个数的对数差，利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换（准确地说变换）为数的加法运算，可以将数的除法运算转换（变换）为数的减法运算，可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便，傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。

线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激（或样值）激励的线性组合。

本章将讨论信号和系统的另一种表示，其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合，但是这里用的简单函数不是单位冲激（或样值）而是三角函数（或复指数函数）。

用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代，当时他们利用这一想法来预测天体运动。

这一问题的近代研究始于1748年，欧拉在振动弦的研究中发现：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动（谐波）模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。

另外，欧拉还证明了在该线性组合中，其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。

欧拉的研究成果表明了：如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式。

现在大家已经认识到，很多有用的信号都能用复指数函数的线性组合来表示，但是在18世纪中期，这一观点还进行着激烈的争论。

1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾声称：一根弦的实际运动都可以用标准（谐波）振荡模的线性组合来表示。

而以J.L.拉格朗日(grange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运动的主张，他反对的论据就是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。

求阶跃信号u(t)的傅立叶变换阶跃函数是一种特殊的周期函数，在控制理论、电子电路、信号分析、模拟系统等众多领域中都有着重要的应用。

阶跃信号u(t)是在0时刻前的函数值为0，而在0时刻后的函数值为1，数学形式表达为：$$ u(t)=\begin{cases} 0, & t<0 \\ 1, & t \geq 0 \end{cases} $$阶跃信号的傅立叶变换在信号处理中也有着重要的应用。

下面将对阶跃信号u(t)的傅立叶变换进行详细的阐述。

1. 理论基础傅立叶变换是一种常见且常用的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号。

傅立叶变换将一个函数表示为一系列正弦波的叠加，通过对其进行积分来得到各个频率分量的复振幅和相位。

傅立叶变换可以帮助我们了解信号的频谱，进而实现信号的滤波、解调和编码等操作。

傅立叶变换的公式如下：$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt $$其中，f(t)表示原函数，F(ω)表示原函数在频率为ω处的傅立叶变换，j表示虚数单位。

傅立叶变换是一个复变换（即输入和输出都为复数），其结果常常以复数形式表示。

在t<0时，u(t)=0，所以对t<0的积分其值为0。

在t≥0时，u(t)=1，所以对t≥0的积分其值为：当ω>0时，e^{-j\omega t}在t→∞时趋近于0，因此上式可以化简为：因此在ω=0处，阶跃信号不存在傅立叶变换。

当ω=0时，阶跃信号不存在傅立叶变换。

此外，由于阶跃信号u(t)本身是一个奇函数，因此其傅立叶变换也是一个奇函数。

3. 实际应用阶跃信号的傅立叶变换在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在控制理论中，阶跃信号常用于表示系统的输入信号。

当系统的输入信号为阶跃信号时，系统的输出信号可以通过对输入信号的傅立叶变换得到。

这样，我们就可以通过对输出信号的傅立叶变换来分析系统的频率响应特性，进而实现对系统的控制和调节。

1
F(w) (w)
求f(t)
0
w
直流信号 f(t)=E
f (t)
1 2
其傅里叶变换为：
0
F() 2 E ,
F() 2 E
() 0
t
（正实函数）
求解直流信号的傅里叶变换 解：采用宽度为的矩形脉冲
f
(t)

E
u

t

2

1
其傅里叶变换为：
F () j,
F ()

( )


22,
,
0 0
（纯虚函数）
0
t
1
F (w)
0
w
(w)
2
0
w
2
推导：
解： IFT : (t) 1 e jwtdw
两边求导：
2
d (t) 1 ( jw)e jwt dw
2
若令
[] lim k Sa(kw) k
k 比较上两式可得到：
2
F[w] 2E (w)
当E=1时， F[w] 2(w)
(t) FT1 1FT2(w)
二、冲激偶信号的傅里叶变换
冲激偶函数： f (t) '(t)
f (t) '(t)
F () 1 ,
j
（复函数）

F ()


2
2



1
2



0, 0



(
)



2

Matlab 小波变换与傅立叶变换用于测阶跃信号1 从傅立叶变换到小波变换小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。

为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor 变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等。

其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。

短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，并移动分析窗函数，使)()(τ-t g t f 在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。

但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。

因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。

小波变换是一种信号的时间—尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。

即在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。

2 Fourier 变换Fourier 变换由下列公式定义： 正变换⎰∞∞--∧=dtet f f tj ωω)()((2-1)逆变换⎰∞∞-∧=dtef t f tj ωωπ)(21)(对于确定信号和平稳随机信号，傅里叶变换时信号分析和信号处理技术的理论基础，有着非凡的意义，起着重大作用。

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法阶跃信号是一种具有明显跳跃变化的信号，通常在控制系统、通信系统等领域中被广泛应用。

在信号处理中，傅里叶变换是一种常用的信号分析方法，可以将时域信号转换为频域信号，从而方便进行滤波、频率分析等处理。

本文将介绍阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法，包括：1. 基本公式法阶跃信号可以表示为一个单位阶跃函数和一个常数的和，即： f(t) = k + u(t)其中，k为常数，u(t)为单位阶跃函数。

根据傅里叶变换的基本公式，可得：F(ω) = ∫[k + u(t)]e^(-jωt)dt= k∫e^(-jωt)dt + ∫u(t)e^(-jωt)dt= kπδ(ω) + 1/jω + πδ(ω) (其中，δ(ω)为狄拉克δ函数)= (k + 1/2)πδ(ω) + 1/jω2. 分段法阶跃信号可以分段表示为：f(t) = {k, t<0; k+1, t≥0}根据傅里叶变换的线性性，可将f(t)分解为两个信号的和：f(t) = kδ(t) + (k+1)u(t)其中，δ(t)为单位冲激函数。

根据傅里叶变换的性质，可得：F(ω) = k + (k+1)/jω + π(k+1)δ(ω)3. 积分法将阶跃信号表示为积分形式：f(t) = k + ∫u(t')dt'根据傅里叶变换的积分性质，可得：F(ω) = kπδ(ω) + 1/jω·[1-e^(-jωt)]/(jω)= (k+1/2)πδ(ω) + 1/jω - (1/2πjω)·e^(-jωt) 其中，δ(ω)为狄拉克δ函数。

以上即为阶跃信号傅里叶变换的三种求解方法，可以根据不同情况选择合适的方法进行求解。

同时，需要注意的是，在计算过程中要注意分段和积分的边界条件，以及狄拉克δ函数的性质和定理的应用。

不满足绝对 可积条件
1
sgn(t )
e
t
et , f (t ) t e ,
sgn( t ) lim f (t )
0
t0 t 0
0
e
t
O 1
t
f (t ) F (j )
1
j

1
j

j 2

2
2
j 2 2 sgn(t ) lim F (j ) lim 0 0 2 2 j
0
1

(t ) ( ) j
1

▲
■
第 7页
三、 直流信号的傅里叶变换F [1]
构造 f (t)=e-t ，> 0←→
F ( j ) 2

2
2
f (t ) 1 lim f (t )
0
所以 又
0

F ( j ) lim F ( j ) lim
F (j )
2. 常用信号 F 变换对： δ(t)
dt
1
2πδ(ω)
( )
1 j
f (t ) e

j t
1 ε(t)
1 j
t 域
1
j t
ω 域
e -t ε(t)
Gτ(t) sgn (t)
Sa 2 2

j
dt
F j
f t
1
et f (t ) e t
F (j ) e
0
O
t
t j t
e

2.6 傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。

阶跃信号为什么不满足傅里叶变换条件?傅氏变换的充分条件是：在时域内要绝对可积。

但是这并不是必要条件，一些非绝对可积的函数（阶跃函数）也是有傅里叶变换的，它们的傅氏变换按定义不太可能求得，一般是通过求极限的方式得到其傅氏变换。

2.5 冲激信号和阶跃信号的傅里叶变换2.5.1 冲激信号由傅里叶变换定义及冲激信号的抽样特性很容易求得(t)函数的FT为可见，冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱都是均匀的。

在时域中波形变化剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量，这种频谱常称作"均匀谱"或"白色谱"。

2.5.2 直流信号如前所述，冲激信号的频谱是常数，那么时域为常数的信号（直流信号）的频谱是否为冲激函数呢？我们来考虑()的傅里叶逆变换，即这也就是说上式意味着式中的E为常数。

这表明，直流信号的频谱是位于w=0的冲激函数，这与直流信号的物理概念是一致的。

2.5.3单位阶跃信号单位阶跃函数同样不满足绝对可积条件，但仍存在傅里叶变换。

前面我们已经讲述了符号函数的傅里叶变换，下面我们借助符号函数来求阶跃信号的FT。

单位阶跃函数U(t)可用符号函数来表示，即再利用直流信号与符号函数的傅里叶变换可得单位阶跃函数的傅里叶变换为单位阶跃函数及其频谱如下图所示。

由图可知，U(t)在t>0时等同于直流信号，但它又不是纯粹的直流信号，它在t=0处有跳变，因此其频谱不是仅在=0处有一个冲激函数（这对应于信号的直流特性），而且还会含有其它众多的频率分量。

为什么会有众多的频率分量呢？这是因为信号在时域零点处有跳变！由于时域的剧烈变化，相应的频域中的分量将是无限的。

还记得我们在前面讲周期矩形脉冲信号所提及的"时域跳变将使频域包含无限的频率分量"的结论吗？这儿就是一个很好的例证。

大家可以翻回去看看，是不是这样。

图2-11 (a) 单位阶跃函数的波形(b) 信号的幅度谱。

f (t) 1 F ()e jtd
2
1 F () e d j[t ()]
2
1
F () cos[ t ()]d
2
j
F () sin[ t ()]d
2
f (t) 1
F () cos[ t ()]d
2
1
F() cos[ t ()]d
0
F () d
0 cos[ t ()]
2 , f 1 , B f 1
2
（4）符号函数
sgn(t)
1 (t 0) f (t) sgn(t) 0 (t 0)
实奇函数 1 (t 0)
1
0
t
1
符号函数信号不满足绝对可积条件，但它却存在 傅里叶变换。可以利用它和奇双边指数的关系:
f
(t
)
sgn(t
)
lim
a0
eat ea
1.信号在时间轴上的平移对应频域中的相移 （相位谱产生附加相移）
2.信号在时间轴上的平移不会影响信号的幅频 特性
例题：写出下列信号的傅里叶变换
f1(t)
2
0
4 6t
f3 (t )
2 1
0 1 2 3t
f 2 (t )
24
0
t
2
课本例题131页： 例题3-2 3-3
主要内容
典型信号的傅里叶变换 信号频谱的概念：幅度谱和相位谱 信号频谱带宽的概念：信号幅度谱的带宽，
0
t
F()
2a
a2
2,
F ()
2a
a2 2
() 0
正实偶函数
1
e f (t) a t
(a 0)

阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号是一种常用的信号形式，通常在系统控制、电路设计和信号传输等领域得到广泛应用。

阶跃信号是指在某个时刻突然发生变化，从零突然增加或减小到一个固定值的信号形式。

傅里叶变换是一种将信号在时域和频域之间相互转换的数学工具，可用于揭示信号的频率成分特征。

下面将详细介绍阶跃信号的傅里叶变换原理。

一、阶跃信号的定义阶跃信号是指在某个时刻突然发生变化，从零突然增加或减小到一个固定值的信号形式。

数学表示为：u(t) = U0，t≥0u(t) = 0，t<0其中，u(t)表示时间t上的阶跃信号，U0表示阶跃信号的幅值。

二、阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号的傅里叶变换可通过数学公式求解得到。

首先，根据傅里叶变换的定义，可将阶跃信号表示为：U(f) = ∫u(t)e^(-j2πft)dt根据阶跃信号的定义，可知在时间t之前，信号的值为0，在时间t之后，信号的值为U0。

因此，可以将公式重新表达为：U(f) = ∫0~∞U0 e^(-j2πft)dt该式可通过复合积分求解得到：U(f) = U0/ (j2πf)根据公式可知，阶跃信号在频域中呈现出1/f的形式，即低频成分较强，高频成分较弱。

这与阶跃信号的特点相符合，因为阶跃信号的变化是瞬间完成的，频率成分应该趋向于低频。

三、加入时间偏移量的阶跃信号的傅里叶变换如果阶跃信号在某个时刻发生突变与偏移，则可以将其表示为：u(t) = U0，t≥t0u(t) = 0，t<t0其中，t0表示阶跃信号发生突变与偏移的时刻。

类似于无偏移阶跃信号，可以将带有偏移的阶跃信号的傅里叶变换表示为：U(f) = ∫u(t)e^(-j2πft)dt根据阶跃信号的定义，可以将公式通过分段函数逐步化简为：U(f) = ∫t0~∞U0 e^(-j2πft)dt可以通过复合积分求解得到：U(f) = U0 e^(-j2πft0) / (j2πf)公式中的指数项表示时间偏移造成的影响。

傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。

在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。

因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、线性傅里叶变换是一种线性运算。

若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。

解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。

式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。

例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。

解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。

三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。

该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

例3-8已知,求频谱函数。

解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。

它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。

例3-9求的频谱函数。

解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。

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a>0 变换本身就是一个公式 J0(t) 是0阶第一类贝塞尔函数。 上一个变换的推广形式; Tn (t) 是第一类切比雪夫多项式。
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变换8的频域对应。
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角频率表 时域信 示的 号 傅里叶变 换
弧频率表 示的 傅里叶变 换
注释
10 11 12 13 14 15 16 17
矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波 器对反因果冲击的响应。 tri 是三角形函数 变换12的频域对应 高斯函数 exp( − αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可 积的。 光学领域应用较多
傅里叶变换族 拉普拉斯轉換 Z轉換 傅里叶级数 傅里叶变换 连续傅里叶变换 離散傅立葉級數 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 分數傅立葉轉換 短時距傅立葉轉換 小波分析 離散小波轉換
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号
傅里叶变 换
傅里叶变 换
1 2 3 4 5 6 7 8 9
平方可积函数
线性 时域平移 频域平移, 变换2的频域对应 如果 值较大，则 会收缩到原点附近，而 会扩散并变得扁 得到.